2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：瓜豆原理（含解析）

第5節(jié)瓜豆原理

前言：“瓜豆原理”是近來中考最值中的熱點(diǎn)話題之一，“瓜豆”是寓意，由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡探究另一動(dòng)點(diǎn)軌跡，正

所謂：種瓜得瓜，種豆得豆.用數(shù)學(xué)語言解釋即旋轉(zhuǎn)、放縮，本節(jié)介紹模型及解題思路.

知識(shí)導(dǎo)航

1軌跡圓

探究1：如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究Q點(diǎn)

軌跡.

分析：線段AQ可以理解為由AP放縮得來，

則P點(diǎn)軌跡放縮即可得Q點(diǎn)軌跡，

連接AO,取AO中點(diǎn)M,

則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ=10P.

任意時(shí)刻.均有△AMQ-AAOP,

MQ_AQ_1

OP~AP~2

探究2：如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQXAP且AQ=AP.當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí),

探究Q點(diǎn)軌跡.

分析AQ可以理解為由AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得來，則P點(diǎn)軌跡繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得Q點(diǎn)軌跡,

???點(diǎn)Q軌跡也是圓.

點(diǎn)Q軌跡圓圓心M滿足AM=AO且AM_LAO,在任意時(shí)刻均有^APO^AAQM.

探究3如圖,△APQ是直角三角形,/PAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.

分析：由APLAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMLAO油荒=|,Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足籌=|,

即可確定圓M位置,

任意時(shí)刻均有△APOS^AQM,且相似比為2:1.

由P點(diǎn)軌跡推Q點(diǎn)軌跡.

通常稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”.

瓜豆問題的必要條件：兩個(gè)定量

⑴主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（/PAQ是定值）；

（2）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：AQ是定值）.

(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM;

(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：喘=黑=區(qū).

AQAMTjvf

探究動(dòng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與放縮，即動(dòng)點(diǎn)軌跡的旋轉(zhuǎn)與放縮.

引例1：如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ.當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.

解析：如圖，；AP=AQ,且NPAQ=60。，可得點(diǎn)Q軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且NOAM=60。.

弓I例2：如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角△APQ.當(dāng)點(diǎn)P在圓。

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.

解析：△APQ是等腰直角三角形，即有黑=彳且NPAQ=45。.由此得點(diǎn)Q軌跡圓心M滿足券=圣且NMA

0=45。.

2軌跡直線

探究4:如圖，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.

分析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是線段時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條線段.

分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,

在運(yùn)動(dòng)過程中，AP=2AQ,ON=^AM,

??.Q點(diǎn)到BC的距離是定值，，Q點(diǎn)軌跡是一條線段，即下圖中的線段EF.

探究5:如圖，AAPQ是等腰直角三角形，NPAQ=90。且AP=AQ,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究Q點(diǎn)軌

跡.

分析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話，所以Q點(diǎn)軌跡也是線段.分別確定P在起點(diǎn)和終點(diǎn)

時(shí)，點(diǎn)Q的位置，即可得Q點(diǎn)軌跡.

模型總結(jié)

必要條件：兩個(gè)定量

⑴主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；

⑵主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：AQ是定值）.

(1)P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于/PAQ.

(當(dāng)/PAQW90。時(shí)，/PAQ等于MN與BC夾角)

(2)P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ

(由△ABC-AAMN,可得券=等)

所謂“種圓得圓”、“種線得線”，謂之“瓜豆原理”.

弓I例3:如圖，在等邊△ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD，以PD為

邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________.

解析：根據(jù)△DPF是等邊三角形，，可知F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)路徑長(zhǎng)為8,

???F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是8.

3其它圖形

所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡的旋轉(zhuǎn)放縮，只需主、從動(dòng)點(diǎn)滿足①夾角定角；②比例定值，當(dāng)

主動(dòng)點(diǎn)軌跡是任意圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是與其相似的圖形.

引例4：如圖，在反比例函數(shù)y=-|的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,連接AO并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)B,在第

一象限內(nèi)有一點(diǎn)C,滿足AC=BC,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=：的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tanZCAB=2,k=()

解析：NAOC=90。且AO:OC=1:2,顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別

為M、N,連接0C,貝?。荨鰽MOSAONC,；.CN=20M,ON=2AM,ONCN=4AMOM，,k=4x2=8,故選D.

引例5:如圖，A(-l,1),B(-l,4),C(-5,4),點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)連接OP,以O(shè)P為斜邊在OP的右上

方作等腰直角△OPQ,當(dāng)點(diǎn)P在仆ABC邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為.

解析：根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與P點(diǎn)軌跡形狀相同，根據(jù)翡=號(hào)可得P點(diǎn)軌跡

圖形與Q點(diǎn)軌跡圖形相似比為企：1,；?面積比為2:1,AABC面積為ix3x4=6,

???Q點(diǎn)軌跡形成的封閉圖形面積為3.

真題演練

1.如圖在等腰RtAABC中，AC=BC=2/,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)

A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

2.如圖，正方形ABCD中，AB=2V5,O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接DE，將線段

DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得DF,連接AE、CF.線段OF長(zhǎng)的最小值是.

3.如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(2,0)、B(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連

接OM，則OM的最大值為()

/1,V2+1B.V2+1

C.2V2+1。.2夜旺

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B是。O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為

弦AB的中點(diǎn)，直線y=|x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,則4CDE面積的最小值為.

5.AABC中，AB=4,AC=2,以BC為也在^ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點(diǎn)0,則線段A0的最

大值為.

'D

6.如圖所示，AB=4,AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角△BCD,連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)P,使AD=PD,則P

B的取值范圍為.

7.如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB

垂直相較于點(diǎn)P,且滿足PC=PA,若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

8.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為b2的一個(gè)定點(diǎn)，AC_Lx軸于點(diǎn)M,交直線y=-x于點(diǎn)N,若點(diǎn)P

是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAPB=30°,BA±PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)

點(diǎn)P從點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_______.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以AB為邊

在AB的下方作等邊△ABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的最小值是.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-1+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得

到點(diǎn)Q',連接OQ',則OQ'的最小值為()

「5V2

B.V5

A"3

11.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊

向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG，則CG的最小值為

AD

G

C

第5講瓜豆原理

71.

解析：考慮C、M、P共線及M是CP中點(diǎn)，可確定M點(diǎn)軌跡：取AB中點(diǎn)0,連接C0取CO中點(diǎn)D,以D為圓

心,DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)則弧EF即為M點(diǎn)軌跡.；.M點(diǎn)路徑長(zhǎng)為署?2?兀?1=加

360

5V2-2.

解析：E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿足EO=2,故E點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓.考慮DE

±DF且DE=DF,故作DMLDO且DM=DO,F點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交

22

點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)OF最小.。"=（2V5-V5）+（2V5+V5）=5V2,OF的最小值為5V2-2.

解析：連接AB,取AB中點(diǎn)N,M點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)N為圓心，稱為半徑的圓，如圖當(dāng)點(diǎn)。、N、M共線時(shí)，OM最

大，最大值為V2+|,故選B.

解析：由題意可知點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,-3),點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0),取OA中點(diǎn)M(l,0),則點(diǎn)C軌跡是以點(diǎn)M為圓心，1為半

徑的圓，連接MC并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)H,當(dāng)CH_LDE時(shí)QH最小此時(shí)三角形面積最小QH的最小值為MH-MC

=|-1=|,三角形CDE面積的最小值為|x5x1=2,BPACDE面積的最小值為2.

3V2.

解析：固定AB,將AC看成動(dòng)線段，求得線段A0的最大值.根據(jù)AC=2,可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為

半徑的圓.觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓，所以0點(diǎn)軌跡也

是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)0軌跡圓圓心.連接AM并延長(zhǎng)與圓M交點(diǎn)即為所

求的點(diǎn)。，此時(shí)A0最大，最大值為2V2+V2=3V2.

4-2V2<PB<4+2V2.

固定AB不變，AC=2，則C點(diǎn)軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，則D點(diǎn)

軌跡是以點(diǎn)M為圓心、或?yàn)榘霃降膱A考慮到AP=2AD,故P點(diǎn)軌跡是以N為圓心，2加為半徑的圓，可得PB

的取值氾圍是4—2V2<PB<4+2>/2.

解析：連接CA,則CA=&P4可得點(diǎn)C軌跡長(zhǎng)為&34=6隹；.點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（6&.

2V2.

根據(jù)/PAB=90。，/APB=30?？傻?AP:AB=舊:1,故B點(diǎn)軌跡也是線段，且P點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)與B點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)之

比也為百：1,P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)ON為2&,故B點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為2企。P=|.

解析：求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌