2025年新高考數(shù)學重難點突破：圓錐曲線易錯題十五大題型（解析版）

重難點13圓錐曲線易錯題十五大題型匯總

題型解讀

好W滿分技巧

易錯一.忽略橢圓定義中的限制條件

橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)"這一條件不能忽視.

定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量.

常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件.

易錯二.忽略橢圓焦點位置的討論

橢圓的標準方程有兩個，焦點分別在兩個坐標軸上；求橢圓方程時，如果無法確定焦點位置時，常常要進

行分類討論.此類問題也可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=l(mwn,m>0,n>0)因為它包括焦點在x軸上(m<n)或焦

點在y軸上(m>n)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡化了運算.

易錯三.忽略雙曲線定義的限制條件

L定義：在平面內(nèi)，到兩個定點耳、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a(〃大于0且2。<|斗)的動點

P的軌跡叫作雙曲線.

2.焦距：這兩個定點片、F2叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.

注意：1.若去掉定義中的“絕對值"，常數(shù).滿足約束條件：歸耳1/啊=2。<閨閭(a>Q),則動

點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點F2的一支；若||-|?用=2a<國耳|(a>0),則動點軌跡僅表示雙曲

線中靠焦點的一支；

2.若常數(shù)a滿足約束條件：旭娟"||=2a=|耳閭，則動點軌跡是以FKF2為端點的兩條射線(包括

端點)；

3.若常數(shù)a滿足約束條件：\[PFi\-\PF^=2a>\F1F2\,則動點軌跡不存在；

4.若常數(shù)。=0，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。

易錯四.忽略雙曲線位置的討論

雙曲線的標準方程有兩種形式，其焦點分別在x,y軸上，焦點位置不同求出的解是不一樣的，在解題時要注

意分類討論.

易錯五.忽略拋物線定義的限制條件

拋物線的定義是到定點距離等于到定直線距離相等的點的軌跡，注意定點不在定直線上，在解方程時注意

點的坐標范圍。

易錯六.忽略拋物線的焦點所在位置的討論

拋物線的焦點位置有四種不同的位置，在解題時要注意避免因焦點位置不同而出錯.

易錯七.忽略拋物線需要轉(zhuǎn)化為標準形式

拋物線方程如果是y=ax2類型，需要轉(zhuǎn)化為焦點在x軸拋物線的標準形式x2=y,然后在進行求解其他的量。

易錯八.求軌跡方程忽略取值范圍

在求軌跡方程時，要注意題設(shè)條件對變量的限制，這一點易被忽視.

易錯九.忽略判別式大于零

在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意；二次項的系數(shù)是否為零?判別式A1的限制

（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△>0下進行）.

易錯十.弦長公式需要合理選擇

弦長公式：若直線y=kx+b與圓錐曲線相交于兩點AB且Xi,X2分別為A,B的橫坐標,

2

|AB=V1+k\x1-x2|,

若為,為為分別為A,B的縱坐標，則ABI=Jl+加-y2|,

若弦AB所在直線方程設(shè)為x=ky+MMAB|=VrTF|yi-y2|.

易錯十一.混淆相切與有一個公共點

當聯(lián)立直線與圓錐曲線方程構(gòu)成方程組有唯一解時，在橢圓中相切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)

系；在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切.在解題過程中要注意如下細節(jié)：①設(shè)直線

方程時，要注意直線斜率是否存在，如果不確定需討論；②聯(lián)立方程組，消元得到關(guān)于x或y的方程后，

要注意二次項系數(shù)是否為0情況的討論；③直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情

形：相切和相交.如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果直線與拋

物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點.

易錯十二.忽視數(shù)形結(jié)合的使用

解析幾何中解題的關(guān)鍵就是把題目中的幾何條件代數(shù)化，特別是一些很不起眼的條件，有時起著關(guān)鍵的作

用，如：點在曲線上、相交、共線、以某線段為直徑的圓、經(jīng)過某點、夾角、垂直、平行、中點、角平分

線、中點弦問題等.圓和橢圓參數(shù)方程不要忘，有時在解決問題時很方便.數(shù)形結(jié)合是解決解析幾何問題的重

要思想方法，要記得畫圖分析！

易錯十三.忽視焦點弦與非焦點弦

求拋物線弦長的時候，應(yīng)該首先確認直線是否通過拋物線的焦點，如果通過焦點就用焦點

弦公式，否則只能用一般弦長公式

2

(1)一般弦長公式：ABI=VI+/c|%i-%2|=Ji-y?l.

(2)焦點弦長:設(shè)AB是拋物線y2=2px(p>0)的一條過焦點F的弦，人的加破施必),則弦長

|AB|=|AF|+|BF|=Xi+X2+p.

題型提分練/

題型1橢圓定義忽略限制條件

【例題1】(2023上?浙江金華?高二浙江師范大學附屬中學?？茧A段練習)設(shè)「0,丫)滿足:，例+3+2)2+

V%2+(y-2)2=5,貝UP的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.不存在

【答案】B

【分析】設(shè)尸1(0,-2),F2(0,2),即可得到|Pa|+|PF2|=5,根據(jù)橢圓的定義判斷即可.

【詳解】設(shè)尻(0,-2),尸2(。，2),則IP&I=+。+21,\PF2\=J/+。一2)2,

由J/+(y+2)2++十—2)2=5,即1PF/+|PF2|=5,

又內(nèi)加=4,所以|PFil+\PF2\=5>又F2I,

根據(jù)橢圓的定義可知點P的軌跡是以0(0,-2),F2(。，2)為焦點的橢圓。

故選：B

【變式1-1】1.(多選)(2023上?吉林松原?高二?？计谥?下列說法正確的是()

A.已知點6(-1,0),F2(l,0),動點P滿足［PF/+\PF2\=4,則點P的軌跡是橢圓

B.已知點6(—1,0),F2(l,0),動點P滿足|PFi|+\PF2\=2,則點P的軌跡是橢圓

C.已知點a(-1,0),F2(l,0),動點P滿足|PF1|+\PF2\=1，則點P的軌跡是橢圓

D.已知點&（—1,0）,F2QO），動點P滿足IP&I+IPF2I=3,則點P的軌跡是橢圓

【答案】AD

【分析】根據(jù)橢圓的定義分別判斷各選項.

【詳解】A選項：|P6|+|PBI=4>=2,所以動點P的軌跡是橢圓，A選項正確；

B選項：IPFJ+IPF2I=2=l&Fzl,所以動點P的軌跡是線段F/2，B選項錯誤；

C選項：IP&I+\PF2\=1<\FrF2\=2,所以動點P不存在，C選項錯誤；

的選項：IP&I+IPF2I=3>|尸161=2,所以動點P的軌跡是橢圓，D選項正確；

故選：AD.

2

【變式1-1]2.（多選）（2023上河南?高二校聯(lián)考期中）0°<a<180。變化時,方程式+ycosa=1表

示的曲線的形狀可以是（）

A.兩條平行直線B.圓

C.焦點在x軸上的橢圓D.焦點在x軸上的雙曲線

【答案】ABD

【分析】根據(jù)cosa符號，對角a分五類進行討論，由圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應(yīng)曲線的具體形

狀即可.

【詳解】當a=90。時，cos900=0,方程%2=L得％=±1表示與y軸平行的兩條直線;故A正確；

當a=0°時，cosO°=1,方程x2+y2=1表示圓心在原點的單位圓;故B正確；

當90°>a>0°時，1>cosa>0,方程%2+y2cosa=1表示中心在原點，焦點在y軸上的橢圓;故C錯

誤；

當180°>a>90°時，cosa<0,方程/+y2cosa=1表示焦點在x軸上的雙曲線;故D正確；

當a=180°時，cosl80°=-1,方程%2-y2=1表示焦點在%軸上的等軸雙曲線.

故選:ABD.

【變式1-1]3.（多選）（2023上?江蘇揚州?高二儀征市第二中學?？茧A段練習）下列命題錯誤的是（）

A.若定點&F2,滿足尸i&|=8,動點P滿足|P6I+\PF2\=8,則動點P的軌跡是橢圓

B.若定點&尸2，滿足RF2I=8,動點M滿足IMF/+\MF2\=10,則M的軌跡是橢圓

22

C.當1<k<4時，曲線C：凸+y=1表示橢圓

4-kk-1

D.若動點M的坐標滿足方程9+1=1,則點M的軌跡是橢圓，且焦點坐標為（土/,0）

【答案】AC

【分析】根據(jù)橢圓的定義和橢圓標準方程及幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，若定點&尸2,滿足IF/21=8,動點P滿足|PFil+|P&I=8=\FrF2\,

可得點P的軌跡為以&F2為端點的線段，所以A不正確；

=

對于B中，右定點F1/2I滿足IF/2I=8,動點兩足IMF/+\MF2\10>\F^F2\,

由橢圓的定義，可得點時的軌跡是以&,尸2為焦點的橢圓，所以B正確；

對于C中，當1<k<4時，曲線C：>=1,若4-k=k-1時，即k=?時，此時曲線表示圓，所

4-kk-12

以C不正確；

對于D中，若動點M的坐標滿足方程9+1=1,則點M的軌跡是橢圓，

其中=4方=2,可得C=7^二京=V2,所以焦點坐標為（士企,0）,所以D正確.

故選：AC.

【變式1-U4.（多選）（2023上?江西南昌?高三南昌市第三中學校考階段練習）下列結(jié)論正確的是（）

A.平面內(nèi)與兩個定點Fl,F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.

B.橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.

C.方程m/+政2=l（m>0,n>0,m^n）表示的曲線是橢圓.

D與+2=1（a>b>0）與\+總=1（a>6>0）的焦距相同.

【答案】CD

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程、定義性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】對A,要使"平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓"，

還需要這個常數(shù)大于兩個定點的距離，所以A錯誤.

對B,離心率e越小，這時6就越接近于a,橢圓就越圓，故B錯誤；

22

對C,方程zu/+72y2=i(m>Ozn>O,m^n)可化為"+*=1,

mn

且由爪>0,n>0n有5>；>0或;>*>0，即11=1是焦點在%軸或焦點在y軸的橢圓的標準

mn

方程，

故方程小%2+71y2=i(m>o,n>O,m^n)表示的曲線是橢圓，選項C正確；

對D,由題意得兩個橢圓的焦距均為2,故D正確；

故選：CD.

【變式1-1]5.(多選)(2023下?河南;累河?高二統(tǒng)考期末)下列命題中正確的是()

A.若平面內(nèi)兩定點4B,貝II滿足|P川+\PB\=2a(a>0)的動點P的軌跡為橢圓

B.雙曲線/一川=1與直線％-y-2=0有且只有一個公共點

C.若方程三-三=1表示焦點在y軸上的雙曲線，則t>4

4—LU—1

D.過橢圓一焦點F作橢圓的動弦PQ,則弦PQ的中點M的軌跡為橢圓

【答案】BD

【分析】根據(jù)橢圓定義可判斷A；雙曲線與直線聯(lián)立求解可判斷B;根據(jù)方程表示焦點在y軸上的雙曲線求

出t的范圍可判斷C；設(shè)橢圓方程為9+卷=l(a>6>0),弦PQ的中點為M(x,y),當直線PQ與x軸不垂

直時，設(shè)弦PQ方程為y=-c),與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理可得動弦PQ的中點橫、縱坐標，得k=

-裊X,代入y=k(x-c)可得中點M的軌跡方程，當直線PQ與X軸垂直時直接得答案可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)橢圓定義,若平面內(nèi)兩定點4、B,則滿足|P川+\PB\=2a(a>0)且2a>\AB\

的動點P的軌跡為橢圓，故A錯誤；

(Y—v—2=0x=-

對于B,由21得4所以雙曲線/一2=1與直線X2=0有且只有一個公共點,

z

(x=1v=_￡

V4

故B正確；

對于C,若方程。=1表示焦點在y軸上的雙曲線，則*—：：g,方程組無解，故C錯誤;

4—CC—114—L<.U

22

對于D,不妨設(shè)橢圓方程為京+章=13>6>0),a2—爐=c2(c>0),

則F(c,0),弦PQ的中點為M(x,y),

當直線PQ與x軸不垂直時，設(shè)弦PQ方程為y=fc(%-c),

y=k(x—c)

222222222

%y,聯(lián)立可得(序+ak)x-2cakx+(a/cc)-(ah)=0,

I了+”=1

所以動弦PQ的中點橫坐標為x=黑，,中點縱坐標為y=k(4盤-c),

'_ca2k2

所以“二朝5、，可得仁-爺巴代入y=k(x—c)可得皚2+第=1,當直線PQ與久軸垂直

_7,(caK\yo————

時，弦PQ的中點為F(c,0)在與-+5=1上，綜上弦PQ的中點M的軌跡為橢圓,故D正確.

44a2

故選：BD.

22

【變式1-U6.(多選)(2022上?新疆克拉瑪依?高二克拉瑪依市高級中學?？计谥?若方程三+三=1所

表示的曲線為c,則下面四個命題中正確的是（）

A.曲線C可能是圓

B.若C為橢圓，則1<t<3

C.當t>2時曲線C是焦點在y軸上的橢圓

D.當"0時曲線C不是橢圓

【答案】AD

【分析】根據(jù)橢圓標準方程滿足的關(guān)系，分別根據(jù)選項曲線的類型列出對應(yīng)的不等式，解不等式判斷即可

【詳解】若t=2則方程為/+好=1曲線C表示圓，故A正確

-3-t>0

若C為橢圓，則t-l>0l<t<3且tH2,故B錯誤

3—t豐t—1

3-t>0

若C是焦點在y軸上的橢圓，則t-l>0,.-.2<t<3，故C錯誤

X—1>3—t

若t=。則方程為9-y2=1表示雙曲線，則曲線C不是橢圓，故D正確，

故選：AD

題型2橢圓方程忽略焦點位置的討論

【例題2］（2023上?湖北武漢?高二華中師大一附中校考期中）已知橢圓C；9+為=1的離心率為］則實

數(shù)k的值為（）

A.2B.2或7c.2或?D.7或日

【答案】C

【分析】利用橢圓的標準方程、橢圓的離心率公式分析運算即可得解.

22

【詳解】由題意，橢圓—+占=1,則k+l>。，且卜+。4，

由離心率。=上注=］解得/=|，

若橢圓的焦點在久軸上，則9=牛=）解得：卜=2；

若橢圓的焦點在y軸上，則捺=土=.解得：k=葭；

綜上知，k=2或?qū)W

故選：C.

【變式2-1]1.（2023上?河南洛陽?高二洛陽市第一高級中學?？计谥校┮阎獧E圓C過點（3,0）,且離心率

為手,則橢圓C的標準方程為（）

A.巨+”=1B."+過=1

93279

c.次+日=1或次+些=1D.應(yīng)+竺=1或日+次=1

933993279

【答案】D

【分析】就焦點的位置分類討論后結(jié)合基本量的關(guān)系可求標準方程.

【詳解】若焦點在x軸上，則a=3.由6=￡=￥，得c=&，所以b2=a2-C2=3,

a3

此時橢圓c的標準方程為9+9=1.

若焦點在y軸上，貝！]b=3.由e=（=Jl-§=小一爰=y，得=27,

22

此時橢圓c的標準方程為卷+^=1.

綜上所述，橢圓c的標準方程為9+?=1或,+總=1.

故選：D.

22

【變式2-1】2.（多選）（2023上?安徽合肥?高二校聯(lián)考期中）已知曲線C：—+券=1為橢圓，則（）

1—THZ十TH

A.-2<m<1

B.若C的焦點在x軸上,則C的焦距為2V—2帆—1

C.若。的焦點在x軸上,則C的短軸長取值范圍為（0,日）

D.若C的焦點在y軸上,則C的離心率為后不

【答案】BD

【分析】根據(jù)已知列出關(guān)系式，求出血的范圍，以及得出a,b,c的值，進而得出答案.

1—m>0

【詳解】對于A項,由題意可知2+m>0,解得-2<m<-[或-]VmV1,故A項錯誤；

.1—m2+m

對于B項，當C的焦點在％軸上時,c=Va2-b2=J1-TH-（2+m）=V-2m-1,所以C的焦距為

一故項正確；

2、一2m1zB

對于C項，當C的焦點在入軸上時，l-m>2+m>0z

所以一2VmV-J貝1]0<m+2<|,所以0V2Vm+2<V6,

則C的短軸長的取值范圍是（0,傷），故c項錯誤；

對于D項，當C的焦點在y軸上時，c=Va2-b2=52+zn-（1一/n）=，27n+1,

所以C的離心率為e==佟亙,故D項正確.

y/2+m72+m

故選：BD.

【變式2-1]3.（2023上?江蘇南通?高二校聯(lián)考階段練習）若橢圓5+f=1的離心率為f,則小的值

為

【答案】4或；

【分析】分m>1和0<m<1兩種情況，根據(jù)橢圓的離心率公式進行求解即可.

【詳解】當m>1時，該橢圓的焦點在工軸上，所以有。=布*=1=>c=Va2-b2=7m-1,

因為該橢圓的離心率為手,所以軍=fm=4；

Z-\JTTIZ

當0<m<1時，該橢圓的焦點在y軸上,所以有a=l,b=Vrn=>c=Va2-b2=71-m,

因為該橢圓的離心率為日,

所以F=f=m=

1Z4

故答案為：4或:.

【變式2-1】4.（2023上?高二課時練習）橢圓過+[=1的焦距為4,則m的值為

m6

【答案】10或2

【分析】討論橢圓中的的取值，結(jié)合見仇C之間的關(guān)系，即可求得答案.

22

【詳解】橢圓上+?=1的焦距為4,即2c=4,c=2

m6

當a2=血，〃=6時,m—6=4,???m=10；

當M=6,廬=Tn時,6—m=4,m=2；

故m的值為10或2,

故答案為：10或2

22

【變式2-1J5.（2023上浙江紹興?高二浙江省上虞中學?？计谥校E圓C彳+3=1的焦距為4，則C的

長軸長為

【答案】4V2

【分析】設(shè)橢圓的長軸長為2a,由題意有a>2,m2=a2=4+22,即可得出.

22

【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為2a,由橢圓+4=1的焦距為4,可得a>2.

因此橢圓的焦點只能在y軸上,可得m2=a2=4+22,解得a=2企.

所以橢圓C的長軸長為2a=4V2.

故答案為：4近.

【變式2-1]6.（2022?高二課時練習）若常數(shù)a>0,橢圓式+a2y2=2a2的長軸長是短軸長的3倍，則

實數(shù)a的值為

【答案】3或5

【分析】分a>1,0<a<1討論，根據(jù)條件列出等式，即求.

22

【詳解】由橢圓/+a2y2=2a2,可得橢圓為+^=1,

2az2

當a>1時，言+[=1表示焦點在x軸上的橢圓，

2az2

.-.2V2a2=3X2&,即a=3,

22

當0<a<1時，券+方=1表示焦點在y軸上的橢圓，

：.2y[2=3X2>/2a2,gp（i=|,

綜上，實數(shù)a的值為3或（

故答案為：3或:.

【變式2-1】7.（2023?全國模擬預測）過四點（0,1）,,（1,日），（1,一日）中的三點的一個橢圓標準

方程可以是，這樣的橢圓方程有個.

【答案】9+曠2=1或禁+譬=1（寫一個即可）2

415ID

【分析】首先分析滿足條件的三點，再設(shè)橢圓方程的一般形式，再代入橢圓方程，即可求解.

【詳解】因為點（1，￥）,（1,-￥）關(guān)于%軸對稱，所以橢圓過四點中的三點，只有（0,1）,（1,苧）,（1，-日）和

&T）,S,口），（L-手）兩種情況-

2

設(shè)橢圓方程為+ny=l（m^n/m>0,n>0）.

當橢圓過（0,1）,（1,相,（1,-由三點時，將（0,1）,（I,5的坐標代入橢圓方程，得

（n=1（n=12

6+三n=1,解得巾=工，所以橢圓的方程為9r+y2=l.

1T4I4

同理可得當橢圓經(jīng)過&-1）,（1,日），（1,-日）三點時，代入橢圓方程有，得

-m+ri=14

4

3，得小=!"=技；

!m+^n=11313

該橢圓的方程為卷+譬=1.

故答案為：9+必=1或等+等=1（寫一個即可）；2

題型3雙曲線定義忽略限制條件

【例題3]（2023上?江西?高二校聯(lián)考階段練習）已知點8（0,4）,C（0,-4），動點4滿足||力四-|4C||=2V3,

則力的軌跡方程為（）

A.H-藝=1B.J次=1

313164

2,.2

C.乙r―匕=1D."—次=1

164313

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的定義確定軌跡，即可得軌跡方程.

【詳解】因為||4B|-|4C||=2V3<\BC\=8,所以4的軌跡為雙曲線，且焦點在y軸上

設(shè)該雙曲線的方程為彳一高=l(a>0,b>0),則a=V3,c=4,b2=c2-a2=13.

22

所以力的軌跡方程為白-竟=1.

故選：D.

【變式3-1】1.(2023?全國?高三專題練習)在平面直角坐標系中，一動圓C與x軸切于點4(4,0),分別過

點M(-5,0),N(5,0)作圓C的切線并交于點P(點P不在x軸上),則點P的軌跡方程為()

2“2

A.二r一匕=l(x>4)

169vJ

B.史—加=i(久<一4)

169v)

22

c.=1(%>4或%<-4)

D.E—片=1

169

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的切線長定理以及雙曲線的定義得點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支(不含頂點)，

再求出a,b可得雙曲線方程.

【詳解】設(shè)PM,PN分別與圓C相切于點S,T,則|PS|=\PT\,\MS\=\MA\,\NA\=\NT\,

所以|PM|-\PN\=\MA\-\NA\=9—1=8,且8<\MN\=10,

所以點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支(除去與久軸交點)，

這里2a=8,a=4,c=5,貝帕=Vc2-a2=V25-16=3,

故點P的軌跡方程為2-?=1(x>4).

故選：A

22

【變式3-1]2.(2023上?湖北襄陽?高二襄陽市第一中學校考階段練習)M是雙曲線--"=1上一點，點

41Z

6/2分別是雙曲線左右焦點，若|M6|=5,則|MF2l=()

A.9pglB.1C.9D.9或2

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.

【詳解】M是雙曲線5=1上一點，所以，2"，所以1=

412(C=。/+匕"=16I。=4

由雙曲線定義可知||MF1|-IMF2II=2a=4,

所以|M&I=1或者9,又|M&|>c-a=2,所以|M七|=9,

故選：C

【變式3-1]3.(2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高二統(tǒng)考期中)已知雙曲線條-g=l(m>0)的左右兩個焦點分別是

&、F2,焦距為8，點M是雙曲線上一點，且IMF/=5,貝”MFzl=

【答案】7或3

【分析】直接利用雙曲線的定義求解即可.

【詳解】由已知得a?=m2,b2=15,2c=8,

m2+15=42,解彳導a=m=1,

當點M是雙曲線左支上一點時，|M&I-=2a=2,則|M&I=72a+c=5,

當點”是雙曲線右支上一點時，IMF/-IMF2I=2a=2,貝UIMF2I=3>c-a=3,

\MF2\=7或3

故答案為：7或3.

【變式3-114.(2023?全國?高二課堂例題)已知&(—2,0)/2(2,0),動點P滿足出印—|P4I=2,求動點

P的軌跡方程.

2

【答案】x2-y=l（x>0）

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得正確答案.

【詳解】因為IP&I-FBI=2<I6F2I，所以根據(jù)雙曲線的定義可知，

P一定在a=1,C=2且焦點在X軸上的雙曲線的右支上，貝帕=Vc2-a2=V3,

這就是說，點P的坐標（%,y）一定滿足/-白=1.

另一方面，由|Pa|-IP&I=2>?？芍狪PaI>\PF2\,因此P的橫坐標要大于零，

從而可知P的軌跡方程為/-=1（X>0）

題型4雙曲線方程忽略焦點位置的討論

【例題4]（2023上?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學?？计谥校┤綦p曲線C以兩條坐標軸為對稱軸,y=^x

是其一條漸近線，則雙曲線C的離心率為（）

A*C?戲或|

【答案】D

【分析】討論雙曲線焦點位置，結(jié)合已知漸近線確定雙曲線參數(shù)關(guān)系，進而求離心率.

【詳解】若雙曲線焦點在x軸上，則一條漸近線為y=n￡=]

所以e=J+（1=|；

若雙曲線焦點在y軸上,則一條漸近線為y=￡久=（%=￡=]

所以吁歷于=|；

所以雙曲線C的離心率為[或|.

故選：D

22__

【變式4-1]1.（2023上?河南三門峽?高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線。：篙-?=1的一條漸近線為y=,則

C的離心率為

【答案】舊或手

【分析】根據(jù)雙曲線焦點的位置，結(jié)合雙曲線方程與離心率公式分類討論進行求解即可.

【詳解】當該雙曲線焦點位于橫軸時，則有巾＞0,n＞0,

因為該雙曲線一條漸近線為y=V2x,

所以有第=魚今巴=2=巴+1=3今1=3今普=禽，

7mmmm7m

即此時雙曲線的離心率為次;

當該雙曲線焦點位于縱軸時，則有巾＜0,n＜0,

因為該雙曲線一條漸近線為y=V2x,

所以有等=/=二=2=二=2*=4等=￡=當，

yj-m-m-n2-n2yj-ny22

即此時雙曲線的離心率為日,

故答案為：或日

【變式4-1]2.（2024上?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學校考階段練習）已知中心為坐標原點,焦點在坐

標軸上的雙曲線C的一條漸近線與曲線y=?-表相切，則雙曲線C的離心率可以是.（寫出一個

結(jié)果即可）

【答案】寅或|）

【分析】設(shè)雙曲線一條漸近線方程為y=kx,設(shè)其與曲線y=近-甘目切的切點坐標為卜。，伍-2），利

用導數(shù)的幾何意義求導列方程即可得與的值，即可得漸近線方程的斜率，分別求解焦點在軸的離心率即

可.

【詳解】設(shè)雙曲線一條漸近線方程為y=kx,設(shè)其與曲線y=?-2相切的切點坐標為（%0，月一卷），

又＞'=泰+/，所以斜率心虛+自

于是將切點坐標代入切線y=履可得：歷-京=（虛+表）出，整理得歷=2，解得%。=1

所以k=-pH—=-

2?4X124

若雙曲線的焦點在左軸上，貝必W，此時雙曲線的離心率e=?=J1+探幻1+0=|；

若雙曲線的焦點在y軸上，則k=￡=|,此時雙曲線的離心率e=：=Jl+|=Jl+g)2=|；

所以雙曲線的離心率為|或*

故答案為：|(或|).

【變式4-1】3.(2023?高三課時練習)已知雙曲線的焦距為6,它的離心率為3,則該雙曲線的標準方程

為

22

【答案】x2~~-=1或y2-千=1

OO

【分析】根據(jù)雙曲線的焦距和離心率求出0b,再分兩種情況寫出標準方程.

【詳解】依題意2c=6,c=3,

由：=3，得a=1,所以/=c2-a2=8,

當雙曲線的焦點在X軸上時，雙曲線的標準方程為/-=1;

當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為必-1=1.

O

故答案為：/一52=1或必一2=1.

OO

22

【變式4-1]4.(2021下?陜西安康?高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線4+—=1的焦距為2遮,則其離心率

3—771HT—Z

為

【答案】1

22

【詳解】分析：已知雙曲線8+—=1的焦距為2遍，故C=V3,然后根據(jù)焦點位置的不同由=02

3-mm-2

建立等式關(guān)系即可得出m,再求離心率即可.

詳解：由題可知：當m<2時，焦點在X軸上，3—6+[-(m-2)]=3m=1,此時e=得=?或者當

m>3時,焦點在y軸，—(3-m)+⑺—2)=3=6=4,此時e=-=孚,故綜合得離心率為當

點睛：考查雙曲線基本性質(zhì)和標準方程，屬于基礎(chǔ)題.

題型5離心率忽略范圍

22

【例題5](2023?全國?模擬預測)已知直線1：y=久-c過雙曲線C+-￡=l(a>0,b>0)的右焦點F(c,0),

且與雙曲線右支交于M,N兩點.若前=9MF,則雙曲線C的離心率為()

A辿B.這C.V2D.V3

35

【答案】B

2

【分析】設(shè)”(右,為),/V(x2,y2),由麗=9而得到y(tǒng)i,%的關(guān)系，結(jié)合韋達定理得到小，b,c?之間的關(guān)

系式，進而求出離心率.

【詳解】設(shè)M即％),N(x2,y2),則而=(c-xv-yx),fW=(x2-c,y2).

由麗=9MF,得力=一9%.

直線I的方程為y=x-c,即x=y+c,

代入雙曲線C的方程中，得62。+c)2—a2y2=&2b2,

即(爐—a2)y2+2b2cy+b4=0,

2b2cb4

??為+先=一』,丫，2=9=,

b2c八一9b2c

?,乃=4(V)'72=-971=4(小a2)'

_-9b4c2_b4

一月力=16(fi2_a2)2=亦獲，

整理得25c2=32a2.又e>1,，e=當.

故選:B.

22

【變式5-1]1.(2023上?浙江臺州?高二校聯(lián)考期中)橢圓a+琶=l(a>b>0)的左，右焦點分別為a,

F2,若橢圓上存在點Q，使N6Q4=120。，則橢圓離心率e的取值范圍為()

A.(。片)B.(。有

C.俘,1)D.憐1)

【答案】D

【分析】設(shè)橢圓與y軸正半軸的交點為B,橢圓上存在點Q，使得NF1Q&=120。，則需>120°,再

結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】設(shè)橢圓的上頂點為B,連接86、BF2,則=\BF2\=a,|0F2|=c,

橢圓上存在點Q，使得4&Q&=120°,則需NF/%>120°,

貝!UOBF2>60°,顯然NOB6<90°,所以sin/OB%>sin60°,

所以￡>sin60°=當,

a2

所以e=￡2f,又e<1,

a2

所以苧<e<l,即橢圓離心率e的取值范圍為惇,1).

故選：D.

【變式5-1]2.(2023上?山西大同?高二統(tǒng)考期中)已知橢圓+V=l(a>b>0)的左、右焦點分別為

F1,F2，點4B在C上，四邊形A&FZB是等腰梯形，|4&|=|F/2l，NB4&則C的離心率的e取值范圍是

()

A?(喝B.齡衿C.警,和然第

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，可得AB〃F]F2,利用橢圓的性質(zhì)得|4川>a-c,再結(jié)合橢圓的定義求出等腰三

角形底角的余弦值并列式求解即得.

【詳解】令橢圓C的半焦距為C,依題意，AB//F.F,,如圖，

由橢圓性質(zhì)知，橢圓上一點到焦點的距離的最小值為長軸端點到相鄰焦點的距離，

于是2c==\AF±\>a-c,解得e=^>|,\AF2\2a-\AFr\=2a-2c,

在小力產(chǎn)出中，24a=乙4?2羯=^BAF=-^BAF<-,

NF2216

顯然cos叫叫=鵠=愛>/解得e=>看=等，

所以C的離心率的e取值范圍是：<e<3二.

故選：B

22

【變式5-1]3.（2023?全國?模擬預測）已知雙曲線C:^-^=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為&,

尸2,A為C的左頂點，點B在C的右支上，若|力41=\BF2\,且直線被圓*2+/=。2（c為半焦距）

截得的弦長為[c,則雙曲線C的離心率為

【答案】|

【分析】設(shè)HF2的方程為y=k（x-c）（不妨設(shè)k>0）,根據(jù)直線BF2被圓/+y2=c2（c為半焦距）截得

的弦長為卜，求得斜率k,從而得到COSN&&B,連接B0,由|4七1=出&1=a+c及|B&|—舊&|=2a,

得到IBP/=3a+c,然后利用余弦定理求解.

【詳解】解：由條件得，直線的斜率存在，設(shè)其方程為V=k（x-c）（不妨設(shè)k>0），即依-y-kc=0,

則圓心到直線BP2的距離為缶，得2、"黑=上,

解得k=V15,貝Utan/Fi/2鳥=-V15,故COSNFI&B=-1,

連接BFi,由|4Fzl=\BF2\=a+c及|B&|—|BF?|=2a,

得出&|=3a+c,

2

由余弦定理可得IBF/2=內(nèi)尸2弦+\BF2\-2I&F2Ix\BF2\x8SZF/2B,

即(3a+c)?=4c2+(a+c)2+|X2cX(a+c),

即5c2—3ac-8a2=0，得5e?-3e-8=0,

解得得e=I（舍去負值）.

故答案為：I

【變式5-1]4.（2023?全國?模擬預測）雙曲線5=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為6,，點P

是其右支上一點.若〔PF/=3,|OP|=?,N&P&=；,則雙曲線C的離心率為

【答案】?

【分析】根據(jù)題意由IOPI=手利用向量可得而=*的+配），即可求得|而|=1,利用雙曲線定義可

得a=1,再由余弦定理即可求得c=?,可得離心率為冬

【詳解】如下圖所示：

由雙曲線的幾何性質(zhì)，可知點。是線段尸出的中點，則而=式所+配），

即而『=|兩『+2.所以而|+|配『，

4|2|P^||P^|COS^+|M|13=9+3|

解得|所|=1或|配|=-4（舍）.

所以2a=西一困=3-1=2,故a=1.

「尸12+「62一月五232+12一M2

由COSN&PF2=cos]=1,解得C=y,

2PF1PF22X3X1

V7

V7

所以e=-

a12

故答案為：?

【變式5-1J5.(2023上?安徽安慶高二安徽省懷寧縣新安中學校考階段練習)已知橢圓C：^+g=l(a>

b>0)的左、右頂點分別為&,4，且以線段為直徑的圓與直線版-ay+2ab=0相交，則橢圓C的

離心率的取值范圍為

【答案】弓,1)

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，建立不等式，再化歸轉(zhuǎn)化，即可求解.

【詳解】?.?橢圓+V=l(a>b>0)的左、右頂點分別為&、A2,

且以線段公42為直徑的圓與直線ax+by-2ab=0相交，

.2ab

Va2+z?2a'

???4爐<a2+Z)2,

???3b2<a2,

???3(a2—c2)<a2,

又0Ve<1

???橢圓。的離心率的取值范圍為(當,1).

故答案為：(y.l).

【變式5-1]6.(2022上?湖南?高二校聯(lián)考期末)已知橢圓盤+g=l(a>b>0)的右焦點為叫,0),上

頂點為力(0,b)，橢圓右準線上存在一點P滿足(而+同)?萬=0,則橢圓的離心率的取值范圍為.

【答案】[誓,1)

【分析】由（而+而）?麗=0可得IF*=|FP|=a,又點P在右準線上可得|FP|>y-c,解關(guān)于e的一元