2025年浙教版九年級(jí)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：分式

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第一單元數(shù)與式

《第3講分式》

【知識(shí)梳理】

1.分式的概念

⑴分式的概念:形如2(4B是整式,5中含有字母,且5W0)的代數(shù)式叫做分式.

⑵分式有意義的條件:分母不為0.

(3)分式的值為零的條件：分子為零,但分母不為零.

2.分式的基本性質(zhì)

⑴分式的基本性質(zhì)：3=當(dāng)，3=言(其中舷是不等于零的整式).

(2)約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,叫做分式的約分.

(3)最簡(jiǎn)分式:分子、分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.

(4)通分:把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分.

3.分式的加減

(1)同分母的分式相加減:分式的分母不變，把分子相加減，即牡安一早—

(2)異分母的分式相加減:先通分，轉(zhuǎn)化為同分母的分式,然后相加減，即牡，一曙

4.分式的乘除

(1)分式乘分式:用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即李?卜焉

⑵分式除以分式:把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即￡+(=￡

_ad

"bc—.

(3)分式的乘方:把分子、分母各自乘方，分別做結(jié)果的分子、分母，即(￡)"=一奈_(〃為整數(shù)).

5.分式的混合運(yùn)算

⑴法則:在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方,再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡(jiǎn),最后

進(jìn)行加減運(yùn)算,如有括號(hào),要先算括號(hào)里的.

(2)實(shí)數(shù)的各種運(yùn)算律也適用于分式的運(yùn)算,且運(yùn)算結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【考題探究】

類型一分式有意義的條件

［例1］［2024?安徽］若分式上有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是xW4.

%—4

變式1:2024?湖州模擬］若分式必的值為0,則x的值是（A）

%—2

A.-2B.O

C.2D.4

類型二分式的基本性質(zhì)的運(yùn)用

【例2】下列式子從左邊至右邊的變形，錯(cuò)誤的是（A）

AA.2-=—2cB.-=-

33c5c5

c.a—11Da

—ia+1-vb

變式2T［經(jīng)典題］已鴕-寧3,則代數(shù)式，空墳3的值為（D）

x—xy—y

A-

C-1

【解析】Vi-i=3,

xy

^=3,.*.x-y=-3孫

xy

2(%—y)+3xy_-6xy+3xy_-3xy_3

原式=

(x-y)-xy—3xy-xy—4xy4

變式2—2［一題多解］若//則^=-1—?

【解析】斛法1:利用比例的基本性質(zhì)”兩內(nèi)項(xiàng)積等于兩外項(xiàng)積”求解.

V^=|)：.3a=2b,：.a=h,

.a+b_lb+b_5

??----

bbb3,

解法2:設(shè)參數(shù)求解.

=

設(shè)a=2匕則b3kf

?a+匕2Zc+3/c5k5

??,

b3k3k3

斛法3:逆,用同分母分式加減法法則求斛.

a+b=￡+-=-+1=

bbbb1+1胃

類型三分式的運(yùn)算

?a+1

【例3】[2024?河南]化簡(jiǎn):(六+1

*a2—4

解:原式=山二ja+l_

a—2(a+2)(a—2)

a+1.(a+2)(a—2)

CL—2a+1

=a+2.

變式3T[2023.溫州]計(jì)算:常一..

2

解:原式=a+2—3_(a+l)(a—1)口_]

a+1a+1a+1

變式3—2[2023.江西]化簡(jiǎn)義+士?.下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過(guò)程:

x(x-l)%(%+1)x2-l'

解：原式=L(x+l)(x-l)+(x+l)(x-l)J

甲同學(xué)

'乙同學(xué)

⑴甲同學(xué)解法的依據(jù)是②，乙同學(xué)解法的依據(jù)是③.(填序號(hào))

①等式的基本性質(zhì);②分式的基本性質(zhì);③分配律;④乘法交換律.

(2)請(qǐng)選擇一種解法,寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.

解:(2)選擇乙同學(xué)的斛法.

原式=3.三+上.給二

x+1XX—1X

X(x+l)(x—1).x(x+l)(x—1)

?------------十-----?-------------

%+1XX—1X

=2x.

類型四分式的化簡(jiǎn)求值

2L

【例4][2023?棗莊]先化簡(jiǎn),再求值:(a—英品n,其中a的值從不等式組一芯

\a2—1a2—1

的解中選取一個(gè)合適的整數(shù).

解:原式=(a—J—a2—1

\a2—1a2

a2—la2a2—l

a2—1a2

a2—1.2

------1=-a---—--a---l

aa

Va2-1R0,aRO,

a^+1,a，0,

a=2,

22-2-11

:?原式=

22

變式4—1[2024?蘇州]先化簡(jiǎn),再求值:x+1+1)+^^,其中X=-3.

%—2/%2—4

x+1+x—2.」+2)(%—2)

角星:原式=

x~2%(2%—1)

2x—l.(x+2)(x—2)

%—2x(2x—1)

%+2

x

—3+21

當(dāng)x=—3時(shí)，原式=

-33,

2

變式4-2[2024?煙臺(tái)]利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算,按鍵順序如下:3T%5

若加是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡(jiǎn):含+7m—4白匕善,再求值.

9—m2m+3

m2+3m7m—4

角星:原式=m+3

m2—9m2—94—2m

(巾―2)2m+3

(m+3)(m—3)-2(m-2)

m—2

6~2m

根據(jù)討算器可得價(jià)=±9-5=±V4=±2.

V4—2zn?^0,

當(dāng)m=—2時(shí)，原式=二^二2

6+45,

【課后作業(yè)】

1?代數(shù)式①久②*③3，④1—1，⑤*⑥*中，屬于分式的是（c）

A.②⑤B.①⑤⑥

C.③⑤⑥D(zhuǎn).①②④⑥

2.下列分式中，屬于最簡(jiǎn)分式的是(A)

AX2—lx+1

B.

'x2+l%2—1

C%2-2xy+y2

x2~xy

3.[2023?邵陽(yáng)]下列計(jì)算正確的是(D)

6

n2

A.—於=a

B.(6Z2)3=4Z5

「a+--

(a+匕)2(a+b『

0

D.=1

4.[2。24?甘肅]計(jì)算:含一含=(A)

A.2B.2a-b

2

C.D.C

2a—b2a—b

5.若x是自然數(shù),則表示圣-蕓的值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在如圖所示的數(shù)軸上的范圍是(

x-\-2(x+2)

①②③

?~—-——――-

-1.10.11.32.5

第5題圖

A.①B.②

C.③D.①或②

【解析】原式=系(無(wú)+2)(%—2)

(第+29

2xx~2_2%—(x—2)_x+2_

---=-------=---=1A

x+2x+2x+2x+2

?2x%2—4

?*的值在0.l~l.3之間.

x+2(x+2)2

6.[2024.河北]已知A為整式，若計(jì)算入一木的結(jié)果為衰，則A=(A)

A.xB.y

C.x-\-yD.x-y

【解析】??4_y_%—y

xy-\-y2x2-\~xyxy

xy-\-y2xyx2-\-xy，

?a_%—y

??_L|y,

y(x+y)xyx(x+y)

Ax=(x—y)(x+y)+y2,

.\Ax=x2.

又；?4=乂

7.已知o＞Q0,且/+廿=3次則弓十斤式煮一目的值是(B)

A.V5B.lV5

C.立D.—漁

55

【解析】&+￡)&&-a)

_(a+D)2.b2—a2

a2b2*a2b2

(a+匕產(chǎn).a2b2

a2b2(b+a)(b—a)

a+匕

a-b

/?(a+bp=Sab,(a—b)2=ab.

又?.?。＞力＞0,..a+b=V5ab,a—b=y[ab,

?力

??原式4_—一7漏Sab^=-V5.

ab

8.由（空一口值的正負(fù)可以比較A=坐與2的大小，下列說(shuō)法中，正確的是（C）

\2十c2/2十c2

A.當(dāng)c=-2時(shí),A=：

B.當(dāng)c=0時(shí)，?？?/p>

C.當(dāng)c<一2時(shí),

D.當(dāng)c<0時(shí),A<2

1+c12+2c—2—

【解析】cc

2+c24+2c4+2c*

C不能等于一2,A錯(cuò)誤.

1

當(dāng)c=0時(shí),4=5,B錯(cuò)誤.

r1

當(dāng)c<~2時(shí)，；>0,故A>:C正確.

4十2c2

r*11

當(dāng)c<0時(shí)，可能大于0也可能小于0,故A可能大于；，也可能小于小D錯(cuò)誤.

4+2c22

9.[2024?吉林]當(dāng)分式士的值為正數(shù)時(shí),寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的x的值：0(答案不唯一).

10.[2024?綏化]化簡(jiǎn):口+

x-y.%2—2%y+y2x-yx1

【解析】原式=

x*xx(x~y)2x-y

U.[2023.衡陽(yáng)]已知尸5,則代數(shù)式力-六的值為弓

【解析】原式=溫詈丁麗蕓3口-12_3(%—4)_3

(x+4)(x—4)(x+4)(x—4)%+4*

Q1

當(dāng)*=5時(shí)，原式,=^=5.

12.如圖所示的解題過(guò)程中，步驟①出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的

值是5.

先化簡(jiǎn)，再求值：至+1,其中許洪.

x-4T

解:原式二?(%_4)+(%一4)???①

=3—4

=-1.

第14題圖

3-Y3-—41

【解析】——X+■1=----x---\-x----

%—4%—44—%*

1

令」=一1,解得x=5.

4—%

3—x

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=5時(shí)，——+1有意義,

%—4

/.圖中被污染的x的值是5.

13.(1)[2024-重慶B卷]計(jì)算：

%2—4

%2—4%+4

解:原式=匚龍(1)2

(x+2)(x-2)

%.(%—21

x—2(x+2)(x—2)

X

x+2*

⑵［2024,湖南］先化簡(jiǎn),再求值:*.六十*其中-3.

解原式=-2）廠2）--X--十?一3=-x--~-2十I一3=%+1

X乙x+2xxx—

,—I/k3+14

當(dāng)x=3時(shí)，原式=丁=3-

14.［2023?臨沂］下面是某同學(xué)計(jì)算多一a—1的解題過(guò)程:

a—1

2

解:」n一一a—1

a—1

—a?_(a-1產(chǎn)…①

a—1a—1

=a2一立―…②

a—1

a2—a2+a—1

a—1

=-a----l=Lr???④xrx

a—1

上述解題過(guò)程從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程.

解:斛題過(guò)程從第1步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正確的斛題過(guò)程如下:

a2

a—1=圣一(a+1)

a—1

a2—(a2—1)

a-l

a2—a2+l

a—1

1

a—1

15.（1）［2024?棗莊］先化簡(jiǎn)，再求值乎，其中a=l.

\a+3/az—9

解:原式=寄一a+2

(a+3)(a—3)

a+2*(a+3)(a—3)

a+3a+2

當(dāng)a=l時(shí)，原式=1-3=-2.

（2）12024.遂寧］先化簡(jiǎn)：（1一士）.-p再?gòu)?,2,3中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入

求值.

解:原式x-2

(%—

—久—2〉(久―1)2

X~1X—2

X—1.

Vx—1^=0,x—2對(duì)，；?存1,存2,

/?X只能取3.

當(dāng)x=3時(shí)，原式=2.

16.[2024?濱州]歐拉是歷史上享譽(yù)全球的最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他不僅在高等數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域

作出杰出貢獻(xiàn),也在初等數(shù)學(xué)中留下了不凡的足跡.設(shè)4c為兩兩不同的數(shù),稱&=廠4—

(a—b)[a—c)

un

+—4