2025年新高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：橢圓離心率取值范圍十八大題型（原卷版）

專題2-5橢圓離心率取值范圍十八大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍.....................................1

題型2橢圓的有界性..............................................................2

題型3臨界關(guān)系求離心率的取值范圍................................................3

題型4和差最值的應(yīng)用............................................................4

題型5轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系............................................................5

題型6方程聯(lián)立型................................................................7

題型7焦半徑范圍的應(yīng)用..........................................................8

題型8焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)...........................................................10

題型9橢圓對(duì)稱性的使用.........................................................10

題型10由給定條件求離心率取值范圍..............................................12

題型11點(diǎn)差法的使用............................................................13

題型13與向量結(jié)合..............................................................14

題型14與基本不等式結(jié)合........................................................15

題型15與三角函數(shù)結(jié)合..........................................................16

題型16轉(zhuǎn)化為函數(shù)..............................................................17

題型17橢圓與雙曲線結(jié)合........................................................18

題型18內(nèi)切圓相關(guān)..............................................................18

但知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn).求解橢圓離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得a、c的值或不等式，根據(jù)離心率

的定義求解離心率e的值或取值范圍；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程

或不等式求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.

u題型分類

題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍

【例題1](2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))橢圓在+￡=1的焦點(diǎn)在久軸上，則它的離心率的

5a4az+1

取值范圍是（）

A.（0《）B.（]爭(zhēng)

C.（吟D.恃1）

【變式1-1]1.（2023春?海南?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知橢圓5+l（m>4）的焦距大

于2,則其離心率的取值范圍為（）

A?（嗚

【變式1-1]2.（多選）（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C：mx2+（1-m）y2=1為焦點(diǎn)在

x軸上的橢圓，則（）

A.0<m<iB.C的離心率為居

C.m的值越小，C的焦距越大D.C的短軸長(zhǎng)的取值范圍是（0,2企）

【變式1-1]3.（2023秋?高二單元測(cè)試）已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率

的取值范圍為

題型2橢圓的有界性

【方法總結(jié)】

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形

?號(hào)l(a>b>0]

標(biāo)準(zhǔn)方程%+方=l(a>b>0)

范圍-a<x<a且-b<y<b-b<x<b且-a<y<a

22

【例題212023?全國(guó)?高三專題練習(xí)舊知尸是橢圓C：京+琶=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn),

若橢圓上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的4￡兩點(diǎn)滿足41F8=90。貝端圓C離心率的取值范圍是（）

A?停，1）B.（。有

C.憐1)D.(0,等

【變式(2021秋?吉林四平?高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知橢圓C：S+

3=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)為&,離心率為e"是C上的任意一點(diǎn)，P到直線-=9的距離

為d,若等<2e,貝Ue的取值范圍是()

a

A?冷)D.(0片]

【變式2-1]2.(2023秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)如圖，已知F]，尸2為橢圓5+《=

l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)P(x,y)使N&P七為鈍角，則橢圓離心率的取值范圍

是

【變式2-1]3.(2023秋?浙江麗水?高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末)已知&尸2是橢圓

￡吟+5=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn),若E上存在不同的兩點(diǎn)4B使得瓦5=3序,則該橢

圓離心率的取值范圍為

【變式2-1]4.(2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？级?已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線1與橢圓

22

M：a+a=l(a>b>0)相切，與圓。：/+y2=相交于4B兩點(diǎn)，若小O4B的面積的最

n2

大值為3,則橢圓離心率的取值范圍為

題型3臨界關(guān)系求離心率的取值范圍

【例題3](2023春?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥?已知橢圓

l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為&，橢圓存在一點(diǎn)P,若N&P4=120°,則橢圓的離心

率取值范圍為()

A.[y,y]

C.白,1）D.[|,^]

【變式3-1】1.（2022秋?安徽合肥?高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為6，F(xiàn)2，P為C上

一點(diǎn)滿足NF1PF2=T，則C的離心率取值范圍是

【變式3-1J2.（2022秋福建?高三校聯(lián)考階段練習(xí)舊知橢圓華真+《=l（a>6>0）與

圓心：/+V=竽,若在橢圓Ci上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓。2的兩條切線所成的角為

=，則橢圓G的離心率的取值范圍是

【變式3-1]3.（2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高二校考期中）已知橢圓C:1

（a〉6>0）對(duì)于C上的任意一點(diǎn)P圓O爐+*=垓上均存在點(diǎn)M,N使得NMPN=60°,

則C的離心率的取值范圍是

題型4和差最值的應(yīng)用

【例題4]（2023秋?黑龍江鶴崗?高二鶴崗一中?？计谀┰O(shè)橢圓C：g+g=l（a>b>0）左、

右焦點(diǎn)分別尻，F(xiàn)2，其焦距為2c，點(diǎn)Q七,§在橢圓的外部，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且IP&I+

IPQI<||尻尸2|恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A-（T<i）B-（T4）D,（|（l）

【變式4-1]1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓5=1的左右焦點(diǎn)分別為2,尸2，

焦距為2c，點(diǎn)Q七,§在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且|PFi|+\PQ\<5|F/2l恒成

立，則橢圓的離心率的取值范圍為（）

A.（渭）B.（|4）C.（透）D.g.l）

【變式4-1]2.（2023秋?河北保定?高二河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓C：S+

A=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&、F2,其焦距為2c，點(diǎn)Q9,￡）在橢圓的外部，點(diǎn)P

是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且pF/+|PQ|<||五/2]恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A-（°4）B.（羽D.g,l）

【變式4-1]3.（2022春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)橢圓C:捺+5=

l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,F1F2=2c,過F2作左軸的垂線與橢圓在第一象限的

交點(diǎn)為4已知Q卜,曲,F2Q>,P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且P0+PQ<|0尸2恒成立，則

橢圓的離心率的取值范圍是（）

Ag）B?）C.（O,|）D.（I，i）

【變式4-1]4.（2021?湖南?校聯(lián)考二模）設(shè)橢圓C:捻+《=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)

&、F2,其焦距為2c，點(diǎn)Q卜，學(xué)）在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且IP&I+|PQ|<

4|&々1恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是

【變式4-1]5.（2023海南省直轄縣級(jí)單位統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓《+《=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)分別為6、F2,其焦距為2c,點(diǎn)Q（c,“在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，

且|PF1|+1PQ|<6|FlF21恒成立.則橢圓離心率的取值范圍是

題型5轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系

2

【例題5]（2023秋?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)POo，y0）是橢圓+

《=l（a>6>0）上的一點(diǎn)，國(guó),4是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若麗<-PK<0,則橢圓。的離心率的

取值范圍是（）

A.（0片）B.（0當(dāng)C.（^l）D.憐1）

【變式5-1]1.（2023春?甘肅張掖?高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓E：/+

匕J=1（0<m<1）上存在點(diǎn)P,滿足|OP|=m（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則E的離心率的取值范圍

為（）

A.（0,j]B,[j,l）C.（0^]D.憐1）

【變式5-1]2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C』+5=

l（a>b>0）的左焦點(diǎn).若橢圓C上存在兩點(diǎn)A,B滿足尸41,且A,B,O三點(diǎn)共線，

則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

ANO,DB.（譚C.憐1）D.[f,f]

【變式5-1]3.（2023秋?廣東河源?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C：5+《=l（a>b〉0）

的左焦點(diǎn)為F,若尸關(guān)于直線y=-%的對(duì)稱點(diǎn)P落在C上或C內(nèi),則橢圓C的離心率的取值范

圍為?

【變式5-1]4.（2023?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:捺+5=

l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為0,F2,點(diǎn)P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若橢圓C上有且僅有4

個(gè)點(diǎn)P滿足△P06是直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.（*）B-（°-T）

C.（。,耳D.&）

【變式5-1]5.（2023秋?吉林長(zhǎng)春?高二?？计谀┮阎?4是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)N是

橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，若0<MN6<],則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（。丹）B.（0,l）C.（0,i]D.[^l）

【變式5-1]6.（2023?四川校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:5+q=1（0<4）,定點(diǎn)

4（2,0）,5（6,0）,有一動(dòng)點(diǎn)P滿足|P8|=V3IPAI,若P點(diǎn)軌跡與橢圓C恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，

則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（。*）B.（0,#G，l）D.&1）

22

【變式5-1]7.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))如圖，橢圓靠+標(biāo)=Ka>b>0)的左、右焦

點(diǎn)分別為&，/2，點(diǎn)4B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若直線AB上存在點(diǎn)P,使得PF】1PF?,

【變式5-1】8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C《+卷=

l(a>6>0)的左，右焦點(diǎn)分別是6,尸2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段P&靠近點(diǎn)6的

三等分點(diǎn)，若。P10Q,則橢圓的離心率的取值范圍是()

A?)B?)C.G片)D.(^l)

【變式5-1]9.(2020秋浙江臺(tái)州?高二臺(tái)州一中?？计谥?已知橢圓C《+A=l(a>b>0)

的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0的直線交橢圓于A.B兩點(diǎn)，M、N分別為線段AF、BF

的中點(diǎn)，若存在以MN為直徑的圓恰經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,則橢圓的離心率的取值范圍為.

題型6方程聯(lián)立型

【例題6】(2023秋?全國(guó)?高二期中)點(diǎn)4為橢圓C：攝+5=l(a>b>1)的右頂點(diǎn)，P為橢

圓C上一點(diǎn)(不與4重合),若同-PA=0(。是坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓C的離心率的取值范圍是

()

A.&l)B0)C.(^l)D.(0,^)

【變式6-1J1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓C：《+《=l(a>6>0)的焦距為2,

過橢圓C的右焦點(diǎn)F且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓C于4,B兩點(diǎn)，若久軸上的點(diǎn)P滿足

\PA\=\PB\^\PF\>|恒成立，則橢圓C離心率e的取值范圍為

22

【變式6-1]2.（2022秋?廣東?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓京+琶=l（a>b>0）的一個(gè)

焦點(diǎn)是F（l,。）,0為坐標(biāo)原點(diǎn)過F的直線I交橢圓于A,B兩點(diǎn)若恒有|。川2+|OB|2<，

則橢圓離心率的取值范圍為

【變式6-1]3.（2023春?河北石家莊?高三石家莊二中校考階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上

的橢圓C：捺+《=l（a〉6>0）的內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別經(jīng)過其兩個(gè)焦點(diǎn)（如圖），

當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，其面積最大，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A?（譚B.償,1）

C?（鳴D.酊）

【變式6-1]4.（2023春?浙江溫州?高二瑞安中學(xué)?？计谥校┮阎狝是橢圓E:g+g=

l（a>6>0）的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B,C是E上異于A的兩點(diǎn)，△4BC是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角

三角形.若滿足條件的44BC有且僅有1個(gè)，則橢圓E離心率的取值范圍是（）

A?（謂B.（0片]C.（0,f]D.（0,其

題型7焦半徑范圍的應(yīng)用

【方法總結(jié)】

設(shè)P為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)i為焦點(diǎn),^\a-X<PFr<a+c,

【例題7]（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓?+《=l（a>b>0）上存在點(diǎn)P,使得

|P0|=3|PFzl，其中&尸2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

A?（詞B小，。）C.&l）D.[|,l）

【變式7-1]1.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）設(shè)&、F2分別是橢圓+g=l（a>&>0）

的左右焦點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)P,使線段PF1的垂直平分線過點(diǎn)&，則橢圓離心率的取值

范圍是（）

A.（0,j]B.（0,j]c,[j,l）D.[|，l）

【變式7-1]2.（2023秋?河南洛陽(yáng)?高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓9+^=l（a>b>0）的

左、右焦點(diǎn)分別為0,F2,半焦距為c.在橢圓上存在點(diǎn)P使得一冷=—^―,則橢圓

sinzPF1F2s\nz.PF2F1

離心率的取值范圍是（）

A.[V2-1,1）B.（V2-l,l）C,（0,V2-1）D.（0,72-1]

【變式7-1]3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：捻+5=l（a>6>0）的左、右

焦點(diǎn)分別為&,尸2.若橢圓C上存在一點(diǎn)M，使得|6七|2=\MFr\-\MF2\,則橢圓C的離心

率的取值范圍是（）

A也B.展]C.g,l）D.（0,|]

【變式7-1]4.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若橢圓上存在點(diǎn)P,使得P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的

距離之比為2：1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓".則"倍徑橢圓"的離心率e的取值范圍是（）

A/*）C.g.l）D.（0,1]

【變式7-1]5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓+《=l（a〉6>0）的左、右焦點(diǎn)

分別為a,F2，點(diǎn)P在橢圓C上,若離心率e=需,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（0,V2—1）B.（0,亨）C.惇,1）D.[V2—1,1）

【變式7-1]6.（2023?四川綿陽(yáng)?綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┰O(shè)&、尸2橢圓《+《=

l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M4MF/2=aAMF2Fr-￡，使得離心率e=黑,

則e取值范圍為（）

A.(0,1)B.(O,V2-1)

C.（V2-1,1）D.（V2-1,V2+1）

22

【變式7-1]7.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知國(guó),尸2是橢圓C曝+器=l（a〉b>0）的

左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)N是。尸2的中點(diǎn)，若MN

平分N&MF2,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

At，]）B.M）C.&1）D.（0,1）

題型8焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)

【方法總結(jié)】

運(yùn)用e=Vl+fc2|缶|求離心率

22

【例題8]（2023春?寧夏吳忠?高二昊忠中學(xué)校考期中）已知橢圓C京+a=l（a>6>0）的

下頂點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為尸，直線AF交橢圓C于B點(diǎn)，灰=2而，若423,則橢圓C的離心率

的取值范圍是

22

【變式8-1]（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓3+左=1（a>6>°）的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為

F,AF延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B,若方=2而,2<2<3,則橢圓離心率的取值范圍為（）

A.品]B.惇川C,[f,1）D.怪1）

題型9橢圓對(duì)稱性的使用

【方法總結(jié)】

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形卜

標(biāo)準(zhǔn)方程a+方=l(a>g0)8l(a>b>0)

對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸,對(duì)稱中心（0,0）

離心率e=]o<e<l)

【例題9]（2023秋?山西太原?高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓+g=1（a>b>

0）的右焦點(diǎn)為F,橢圓C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足嬴-FB=0,\FB\<\FA\<

3|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.憐1）B.憐噌C.[f,V3-l]D.[V3-1,1）

22

【變式9-1]1.（2022?全國(guó)?高二假期作業(yè)）已知橢圓C嗑+a=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)

為F,點(diǎn)A是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線I：y=2久與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).若點(diǎn)A到直

線I的距離是1,且|MF|+\NF\<6,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.（0）|]B.[|,l）C.（0,寺D.停,1）

【變式9-1]2.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知橢圓圣+3=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,

橢圓上的A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|必|=2|陽(yáng)，且雨?麗W滑，則該橢圓離心率的取

值范圍是（）

A]。，用B.（。，耳C.停,1）D欄,1）

【變式9-1]3.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?高二江蘇省邛江中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓。：捻+g=

l（a>6>0）的左，右焦點(diǎn)亂尸2,過原點(diǎn)的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).其中點(diǎn)M在第

一象限,\MN\=|0町，黑之T，則橢圓C的離心率的取值范圍為

22

【變式9-1]4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：京+琶=l（a>b〉0）的右焦點(diǎn)

為尸（2,0）,經(jīng)過原點(diǎn)。且斜率k>舊的直線與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)，力尸的中點(diǎn)為M,BF的中

點(diǎn)為N.若。M1ON，則橢圓C的離心率e的取值范圍是

題型10由給定條件求離心率取值范圍

22

【例題10]2023?江蘇?高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓C曝=l（a>b>0）的焦點(diǎn)為6/2〃為

橢圓C上的任意一點(diǎn)而?庵的最小值取值范圍為[。2,302],其中a?=b2+c2，則橢圓C的

離心率為（）

A?圖B.四c.yD.[f,f]

【變式10-1】1.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)M是橢圓C：g+g=

l（a>b>0）的上頂點(diǎn)，「是。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)時(shí)，|PM|取得最大值，則C的

離心率的取值范圍是（）

A欄，1）B.（0當(dāng)C.[j,l）D.（0,i]

【變式10-1】2.（2021秋?陜西漢中?高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,

直線2：%—y=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,滿足|MF|+\NF\=4,且點(diǎn)B到直線I

的距離不小于白，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）

A.（鳴B.償,1）C.（0,耳D欄,1）

22

【變式10-1】3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過橢圓。++翥=l（a〉b>0）的左頂點(diǎn)4且

斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若,<k<]則

橢圓C的離心率的取值范圍是（）

【變式10-1】4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知C：5+《=l（a〉6>0）的上、下焦點(diǎn)

分別是&,尸2，若橢圓C上存在點(diǎn)P使得可；?布=那，西2+可/<4。2_3廣，則其

4

離心率的取值范圍是（）

A?（詞B.（|,1）C.（0,9D佳,1）

22

【變式10-1】5.（2023秋?全國(guó)?高二期中）已知橢圓C:今+左=l（a>b>0）的左、右

焦點(diǎn)分別為&、F2,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P.

(1)若NF1PF2為直角，焦距為2,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若N6PF2為銳角，求橢圓C的離心率的取值范圍.

【變式10-1]6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓捻+《=l(a>6>c>0)的左、右

焦點(diǎn)分別為&&，若以心為圓心，b-C為半徑作圓F2,過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線.切

點(diǎn)為T,且|PT冏最小值為苧(a-c),則橢圓的離心率e的取值范圍是.

【變式10-1】7.(2023?全國(guó)高二專題練習(xí))過原點(diǎn)作一條傾斜角為9e尼羽)的直線

與橢圓捺+《=l(a〉6>0)交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若AF1BF,則該橢圓

的離心率e的取值范圍為

題型11點(diǎn)差法的使用

【方法總結(jié)】

點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差,

構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(xi,yi),8(X2,>2)是橢圓，+9

00

+1口

一

一1

00

由

①②得2

022

l(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)M(xo，光)是線段AB的中點(diǎn)，202。

-+-□

一--

0202

（X?-6）+75（JT-帔）=0，變形得""="^2--~二=-多管,（%1-%2K0血+%2力0）

DXl-X2UVl+V2a-V0

即以B=-黑.

KAB'K°M=e2—1

【例題111(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線=kx+t與橢圓C4+

A=l(a>6>0)交于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn)，直線OP的斜率為冊(cè)，若—：<kk。<—J

則橢圓的離心率的取值范圍為

22

【變式11-111.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知F(-c,0)是橢圓[+其=l(a>b>0)的

左焦點(diǎn)，直線y=x+c與該橢圓相交于M,N兩點(diǎn),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，。是線段。F的中點(diǎn)，線段

MN的中垂線與x軸的交點(diǎn)在線段PF上.該橢圓離心率的取值范圍是()

A.怪1）B.償,1）C.（0陷D.惇。

22

【變式11-1]2.（2021?江蘇南京統(tǒng)考一模）已知橢圓尢=1（a>6〉0）,直線與

橢圓交于A,B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C,設(shè)直線AB與直

線OM的斜率分別為七,上2，目燈?fc2<-2則橢圓離心率的取值范圍為

【變式11-1】3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓捻+?=1（。>3）,直線人8斜率存在，

弦AB中垂線過（-*0）,求離心率e的取值范圍.

【變式11-1】4.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn),N（x2,y2）（X1豐?。闄E圓

C$+箕=1（。>。>0）上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P（%。）滿足|PM|=\PN\,則C的離心率e的取值范圍

為（）

A.&1）C.g,l）D.（0,0

題型13與向量結(jié)合

【例題13]（2023?陜西寶雞??？寄M預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:《+《=

l（a>6>0）上頂點(diǎn)A與右頂點(diǎn)C連線與過下頂點(diǎn)B和右焦點(diǎn)F的直線交于點(diǎn)P,若NAPB

為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A.（軍，1）B.（0,亨）C.（誓，1）D.（0,等）

【變式13-1]1.（2023秋?貴州六盤水?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：g+g=l（a>fo>0）

的左右焦點(diǎn)分別為6，々，若橢圓C上存在點(diǎn)P,使得仍。|2—|。6|2=9（。為原點(diǎn)）,|P6|2+

222

\PF2\>4a-3b,則橢圓C的離心率e的取值范圍是

【變式13-1】2.（多選）（2022?高二課時(shí)練習(xí)）橢圓C：《+《=l（a>b>0）,&,4分

別為左、右焦點(diǎn)，人分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且西-PFI+PK-PK>0

恒成立，則橢圓C的離心率可能為()

A.-B.巫C.-D.恒

2232

【變式13-1J3.(2022秋?江西上饒?高二校考階段練習(xí))已知橢圓《=l(a>b>0)

的右焦點(diǎn)為凡C上的4B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|F*=2|FB|,且福?麗W^a2,貝北離心率的

取值范圍是

【變式13-1J4.(2022?江蘇?高二期末港6(—2,0),4(2,0)為橢圓C《+冬=l(a>b>0)

的左、右焦點(diǎn)點(diǎn)P為C上一點(diǎn)若對(duì)任意的4G[1,4]均存在四個(gè)不同的點(diǎn)P滿足羽-PK=

心則C的離心率e的取值范圍為

題型14與基本不等式結(jié)合

【例題14](2023?海南??？寄M預(yù)測(cè))已知F是橢圓捻+，=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，

若過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于4B兩點(diǎn)，且乙4FB=120。，則橢圓離心率的取值范圍是()

A.哼,1)B.(0,身C.[i,l)D.(0,|]

【變式14-1】1.(2022秋?福建福州?高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知F是橢圓

的一個(gè)焦點(diǎn)，若存在直線y=依與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，且乙4FB=60°,則橢圓離心率

的取值范圍是().

A.伴,1)B.(0,f)C.[f,l)D.(0,

【變式14-1]2.(2022秋?河南鶴壁?高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí))設(shè)6、4分別是橢圓5+

2=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，。為橢圓上的一點(diǎn)，若懸篝喬的最大值為止,則橢圓的

z￡

o\PF1\+8\PF2r8a

離心率的取值范圍是()

11

A.§《e<lB--<e<l

-|-1

C.0<e<-D,0<e<-

【變式14-1]3.（2023春?四川宜賓?高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)

&是橢圓盤+'=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線1交橢圓于4B兩點(diǎn)，M、N分別

是40、的中點(diǎn)，若4MON=90。，則橢圓離心率的最小值為（）

A.-B.更C.iD.在

4422

【變式14-1】4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：^+^=l（a>b>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為&，/2，離心率為e，點(diǎn)P在橢圓上，連接P6并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)Q,連接Q4，若存在點(diǎn)

P使|PQ|=IQF2成立，則e2的取值范圍為

題型15與三角函數(shù)結(jié)合

【例題15】（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知橢圓捺+2=l（a>0,b>0）上一點(diǎn)4,它關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足4F1BF,設(shè)乙4BF=a，且ae（也以，則

該橢圓的離心率的取值范圍是

【變式15-1】1.（2023?重慶統(tǒng)考三模）已知6,4分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上

一點(diǎn)，上PF/2=3LPF2Fi,乙PF2F1￡，則橢圓離心率的取值范圍為

【變式15-1】2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：圣+A=1的左右焦點(diǎn)分別為&,

F2,若與橢圓C無公共點(diǎn)的直線x=3上存在一點(diǎn)P,使得tanN&P4的最大值為2a，則橢

圓離心率的取值范圍是

【變式15-1]3.（2019秋?安徽滁州?高二校聯(lián)考期末）已知橢圓5+A=l（a>6>0）上

有一點(diǎn)4,它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,點(diǎn)尸為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足AF1BF,設(shè)4ABF=a,

且a6居，力，則該橢圓的離心率e的取值范圍為

A.吟，苧B.哼，青C.[f,f]D.[f,f]

題型16轉(zhuǎn)化為函數(shù)

【例題16]（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)B是橢圓C：^+^=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)，若

C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|WV5a,則C的離心率的取值范圍是

22

【變式16-1】1.（2023春?湖南衡陽(yáng)?高三衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C曝+琶=

l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為0,尸2,點(diǎn)M為圓。:/+/=a2一垓與。的一個(gè)公共點(diǎn)，

若a=吃，則當(dāng):三機(jī)三4時(shí)，橢圓C的離心率的取值范圍為

\MF2\4------

【變式16-1】2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知后、F2分別為橢圓3=l（a>b>0）的

左、右焦點(diǎn),是C上第一象限內(nèi)的點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且黑=2，置箴<3,

則橢圓C的離心率的取值范圍為

【變式16-1]3.（2023春?上海靜安?高二上海市新中高級(jí)中學(xué)校考期中）設(shè)橢圓捺+g=

lda>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為a、F2,且與圓久2+*=?2在第二象限的交點(diǎn)為P,|<

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