2025年新高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：橢圓離心率取值十八大題型（原卷版）

專題2-4橢圓離心率取值十八大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1直接型....................................................................2

題型2通徑型....................................................................3

題型3坐標(biāo)法....................................................................5

題型4焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)............................................................7

題型5焦點(diǎn)三角已知頂角型........................................................8

題型6焦點(diǎn)三角已知底角型........................................................9

題型7焦點(diǎn)三角形雙余弦定理型...................................................10

題型8焦點(diǎn)四邊形...............................................................11

題型9利用圖形求離心率.........................................................12

題型10利用橢圓的對稱性........................................................13

題型11中點(diǎn)弦公式..............................................................14

題型12點(diǎn)差法..................................................................16

題型13角平分線相關(guān)............................................................17

題型14焦點(diǎn)圓問題..............................................................18

題型15內(nèi)切圓相關(guān)..............................................................19

題型16橢圓與圓問題............................................................20

題型17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題..................................................21

題型18橢圓與四心問題..........................................................23

已知橢圓方程為「+*=1（。＞。＞0）,兩焦點(diǎn)分別為耳，居，設(shè)焦點(diǎn)三角形

ab

PFR,/PFH=%NP工片=氏則橢圓的離心率e=加二，為

sina+sin尸

證明：

ZPF{F2=a,ZPF2F.=B，

公式3|尸閭」尸工］

由正弦定理得:

sin(180O-a-/3}sinorsin/?

上』四“即一

sin(i+〃)sin1+sin尸sin(a+〃)sina+sin/

c_sin(a+/?)

asintr+sin/?0

點(diǎn)尸是橢圓的焦點(diǎn)，過下的弦與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為8%（05），k為

直線28的斜率，且4而（4＞0），貝!Je=71+k2—

公式4

當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e;Fiii

但題型分類

題型1直接型

【方法總結(jié)】

直接運(yùn)用公式e=￡a,求橢圓的離心率

22

【例題1］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）已知橢圓C：券+占=1經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,則橢圓C的離心

率為（）

【變式1-1］1.（2023秋?廣東廣州?高三廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）直線I經(jīng)過橢圓的

兩個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓中心到I的距離為其長軸長的;，則該橢圓的離心率為()

O

AWB虺C.漁D.包

3544

【變式1-1】2.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓C：攝+5=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為

F(2,0),P為橢圓的左頂點(diǎn),且|PF|=5,則C的離心率為()

A.-B.-C.-D.i

3253

【變式1-1]3.(2023春?四川涼山?高二寧南中學(xué)校考階段練習(xí))已知橢圓C:g+g=

l(a>6>0)的左，右焦點(diǎn)分別為&,F2,若橢圓C上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)6的最大距離為7,最

小距離為3,則橢圓C的離心率為()

A.iB.-C.-D.-

2533

【變式1-1]4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓C』+《=l(a>b>0)的長軸長、

短軸長、焦距成等比數(shù)列，則C的離心率等于()

A%TB遮tQ用1口片1

.4242

【變式1-1】5.(2023?全國?高三專題練習(xí))橢圓。吟+5=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分

別為4,B,左焦點(diǎn)為F,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|所|,|尸。|,|。8成等比數(shù)列，貝北的離心率為

()

A更B.回

54

cV3-1D<5-1

?2°2

【變式1-1]6.(2023?全國?高三專題練習(xí))橢圓C：/+5=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為&,

々，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M,N滿足銅=而，2赤=加+理，若

四邊形MONP的周長等于4b,則橢圓C的離心率為e=()

A-iB-TC-TD-T

題型2通徑型

【方法總結(jié)】

橢圓的半通徑是紇通徑是更

aa

【例題2]（2021秋?河北邯鄲?高二校考階段練習(xí)）已知過橢圓捻+^=l（a>b>0）的左

焦點(diǎn)6作無軸的垂線交橢圓于點(diǎn)PF2為其右焦點(diǎn)，若NF1P&=60。，則橢圓的離心率為

A.-B.如C.-D.隹

3223

【變式2-1]1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：捺+A=l（a>6>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為0,F2,過點(diǎn)&作長軸的垂線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為P,若tanzP&&=;,則橢圓C

的離心率為（）

A.iB.C.iD.i

2345

?

【變式2-1]2.（2023全國?高三對口高考）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為6,F2,過尸2作橢圓

長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若A6PF2為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于.

22

【變式2-1]3.（2022秋?安徽?高二校聯(lián)考期末）從橢圓京+^=l（a>b>0）上一點(diǎn)P

向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)&,A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸

的交點(diǎn)，且ABIIOP（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是

?

【變式2-1]4.（2019春北京海淀?高二統(tǒng)考期中）已知Fi,F2為橢圓C:攝+^=

l（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)Fi作x軸的垂線，交橢圓（:于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)AF2PQ為等腰

直角三角形時(shí)，橢圓C的離心率為ei,當(dāng)M2PQ為等邊三角形時(shí)，橢圓C的離心率為e2,

則ei,e2的大小關(guān)系為eie2（用">"，"<"或"="連接）

【變式2-1]5.（2020秋?吉林?高二校考階段練習(xí)）橢圓C:《+《=l（a>6>0）的右焦

點(diǎn)為F,過F作久軸的垂線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，若AOAB是直角三角形（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

則c的離心率為

A.V5-2B.V3-1C.—D.

22

【變式2-1]6.(2023?江蘇?高二專題練習(xí))已知橢圓C+l(a>b>0)的左、右

焦點(diǎn)分別為&,尸2,點(diǎn)P在橢圓C上,且PF?1F#2,過P作&P的垂線交x軸于點(diǎn)A,若

\AF2\=\C,記橢圓的離心率為e,則e2=()

A.—B.3-V5C.V2-1D.-

22

【變式2-1]7.(2021秋福建福州?高三福建省福州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知A、B為

橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且PF，x軸，過點(diǎn)A的直線與線段

PF交于M點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，若直線BM經(jīng)過OE中點(diǎn)，則橢圓的離心率為()

A.-B.且C.iD.在

2233

題型3坐標(biāo)法

【方法總結(jié)】

方法：求出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入橢圓方程建立等式

【例題3](2023秋?陜西西安?高二長安一中?？计谀?已知過橢圓/+5=l(a>6>0)的

左焦點(diǎn)F(-2,0)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)4,B,與y軸交于點(diǎn)C,若點(diǎn)C,F是線段48的

三等分點(diǎn)，則該橢圓的離心率為

22

【變式3-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓京+琶=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)

分別為尻，F(xiàn)2,P是橢圓上任意一點(diǎn)，直線尸2M垂直于。P且交線段尸止于點(diǎn)M,若|&M|=

2\MP\,則該橢圓的離心率的取值范圍是

【變式3-1J2.（2021?江蘇揚(yáng)州?高三開學(xué)考試漢口圖在平面直角坐標(biāo)系xoy中,A1,A2,B1,B2

為橢圓/+《=l（a>6〉0）的四個(gè)頂點(diǎn)，尸為其右焦點(diǎn)，直線&&與直線BF相交于點(diǎn)T,

線段。T與橢圓的交點(diǎn)為“,且而=3面則該橢圓的離心率為

【變式3-1]3.（2023春?四川涼山?高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓捺+g=l（a>b>0）的

左，右焦點(diǎn)分別為&,F2,過a且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，直線力4與橢圓

的另一個(gè)交點(diǎn)為C,若S^BC=3SMBCF2，則橢圓的離心率為（）

A匹B且c—D—

53510

【變式3-1]4.（2023秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）設(shè)&,尸2分別為橢圓5+

5=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，直線M&MF2分別交橢圓于點(diǎn)A,B,若

MK=2及無MK=3用,則橢圓離心率為（）

A虺BYC—D.叵

21777

【變式3-1]5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：《+冬=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為F,

過點(diǎn)F作傾斜角為甘勺直線交橢圓C于4B兩點(diǎn)，弦AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，若=1,

4\AB\4

則橢圓C的離心率e=

22

【變式3-1]6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：U+/=l（a>b>0）,4又是長

軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB1AB,連接AM,交橢圓于點(diǎn)P,目布?麗為常數(shù)，則橢

圓離心率為

【變式3-1]7.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓。：攝+《=l（a>6>0）的左頂點(diǎn)為

A,上頂點(diǎn)為B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)用（如,如），NON.VN）分別在第一，第二象限

內(nèi)，若小OAN與AOBM的面積相等，且明+端=3b2,則橢圓C的離心率為

題型4焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)

【方法總結(jié)】

運(yùn)用e=VT”|缶|求離心率

A+1

Y2V2

【例題4】經(jīng)過橢圓二+*=1（40）的左焦點(diǎn)后作傾斜角為60。的直線和橢圓相交于

ab

48兩點(diǎn),若|A耳|=2%,求橢圓的離心率。

22

【變式4-1J1.（2023秋?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:京+琶=1（a〉

b>0）的左焦點(diǎn)為&，過左焦點(diǎn)&作傾斜角為！的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，且麗=3時(shí),

則橢圓c的離心率為（）

A.-B.-C.-D.這

2333

【變式4-1]2.（2023?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓盤+5=1的右焦點(diǎn)

為尸2,過右焦點(diǎn)作傾斜角為弟勺直線交橢圓于G,"兩點(diǎn)，且碣=2竊，則橢圓的離心率為

（）

A.iB.C.-D.3

2232

22

【變式4-1]3.（2023?廣東佛山校考模擬預(yù)測）已知橢圓C++標(biāo)=l（a>6>0）的下焦

點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為4,直線4F交橢圓C于另一點(diǎn)B,且4F=2FB,則橢圓C的離心率是（）

A.V3-1B.—C.—D.V2-1

23

22

【變式4-1]4.（2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓C曝+芯=l（a>6>0）的上頂點(diǎn)為4尸

是C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)B在C上,若3方+5BF=0,則C的離心率為（）

A.-B.-C.-D.恒

2522

題型5焦點(diǎn)三角已知頂角型

【例題5]（2023秋?高二課前預(yù)習(xí)）已知橢圓C：5+《=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別

為FLF2,P為C上的一點(diǎn)，且NFlP尸2=60。，|PFll=3|P/2l,則橢圓C的離心率為（）

A.-B."C.—D.-

2444

【變式5-1]1.（2023秋?江西宜春?高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E:g+g=

l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6,F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為直徑的圓與橢圓E在

第一象限交于點(diǎn)P,且^OPF2是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（）

A-B.-C.也D.V3-1

222

【變式5-1J2.（2022秋?四川綿陽?高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓T：^+5=l（a>b>

0）的左、右焦點(diǎn)分別為&F2,焦距為2c，若直線y=?（"+c）與橢圓如勺一個(gè)交點(diǎn)為“在%軸

上方，滿足N6M6=l^MF2Fr,則該橢圓的離心率為（）

A.V3-1B.^

2

C.V5-1D.—

2

【變式5-1]3.（2023春?福建泉州?高二校聯(lián)考期中）橢圓E:《+《=l（a>6>0）的左

焦點(diǎn)為6,右焦點(diǎn)為尸2,以6為圓心，|&0|為半徑的圓與E交于點(diǎn)P,且P&1PF2,則E的

離心率為（）

A.—B.V3-1CD.V5-1

22

【變式5-1J4.（2023春?貴州貴陽?高二貴陽一中校考階段練習(xí)）已知橢圓+《=1（。>

b>。）的左、右焦點(diǎn)分別為國,尸2，點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，N&MF2=60°,若點(diǎn)心到直線的

距離為日a,則橢圓的離心率為

2

【變式5-1]5.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考三模）若雙曲線/—三=1的兩條漸近線與橢圓M:

5=l（a>b>0）的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M

的離心率為（）

A.V2-1B.V3-1C.-D.-

22

【變式5-1]6.（2023春?安徽?高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：《+《=l（a>b〉0）的左焦

點(diǎn)為F，點(diǎn)力在C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且N04F=NOF力=?，貝！]C的離心率是

【變式5-1]7{2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓C：9+5=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,

點(diǎn)P,Q在橢圓C上,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，目^^4FQ,\OP\=\OF\,則橢圓的離心率是.

題型6焦點(diǎn)三角已知底角型

【方法總結(jié)】

運(yùn)￡=半假求離心率

asina+sinp

【例題6】（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為&,尸2，點(diǎn)P為橢圓上

一點(diǎn)，目tanNPF/2=|,tanzPF^i=2,則橢圓E的離心率為

22

【變式（2022秋?山東青島?高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谥谐眻A。囁+a=

l（a>6>。）的左、右焦點(diǎn)分別為幾%，焦距為2c,若直線y=V3（x+c）與橢圓C的一個(gè)

交點(diǎn)M滿足NM6F2=2AMF2Ft，則該橢圓的離心率等于（）

A.V3-1B.V2-1C.-D.比

22

22

【變式6-1]2.（2020秋貴州貴陽高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：39=1（。>。>。）的

?az

左右焦點(diǎn)分別為0,F2，焦距為2c.若直線y=^（x+c）與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足NMF2&=

2Z-MF1F2,則該橢圓的離心率等于

A.3-V5B.V5-V3C.V3+1D.V3-1

【變式6-1]3.（2021秋?廣西百色?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓捻+2=l（a〉6〉0）的左

右焦點(diǎn)分別為6,,焦距為2c,若直線y=-V3（x-c）與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足NM46=

2Z-MF1F2,則該橢圓的離心率等于

22

【變式6-1】4.過橢圓A+A=la>6>0）的左焦點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)Q,

ab

￡為右焦點(diǎn)，若26所=60。，則橢圓的離心率為（）

,6。石「1cl

A.B.---C.—D.—

2323

題型7焦點(diǎn)三角形雙余弦定理型

【例題7]（2023秋?安徽?高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分

別為6,尸2，P，Q為C上兩點(diǎn)，2電=3點(diǎn),若函1電，則C的離心率為（）

A.三BJC.巫D.叵

5555

【變式7-1]1.（2023秋?廣西百色?高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:

.+5=l（a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為&尸2，點(diǎn)P在C上，若及|=|a,|所+電|=

3b,則C的離心率為

22

【變式7-1J2.（2023秋?吉林四平?高二校考階段練習(xí)）已知6M分別是橢圓。++左=1

（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，M,N是橢圓C上兩點(diǎn)，且麗=2中，麗?麗=0,貝U

橢圓C的離心率為（）

32

V5V7

ABC-D丁

3

--

【變4式7-1]33.（2023秋?天津河?xùn)|?高三天津市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)0,F2分

別是橢圓C的左右焦點(diǎn)過點(diǎn)&的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，若麗=30，且8SNMNF2=

I，則橢圓c的離心率為

22

【變式7-1】4（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓a=l（a>6>0）的左頂點(diǎn)為4,

點(diǎn)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn).若直線4MAN的斜率之積為|,貝北的離心率為（）

A.-B.四C.iD.更

2223

題型8焦點(diǎn)四邊形

【例題8】（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓E的左焦點(diǎn)為F萬上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)人

B滿足4F1BF,若tanNFAB的最小值為J貝！JE的離心率為（）

A.-B.四C.-D.i

3253

【變式8-1]1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)&、&分別是橢圓C*+《=l（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M、N在。上（M位于第一象限）目點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對稱，若|MN|=\FrF2\,

\NF2\=3|MF2|,則C的離心率為()

AB.fC.-D逑

.呼8?8

【變式8-1】2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓C：《+A=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為

F,過原點(diǎn)的直線1與C交于4B兩點(diǎn)，若4F1BF,S.\AF\=3\BF\,貝兒的離心率為（）

【變式8-1J3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：攝+5=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)是尸,

直線y=依交橢圓于48兩點(diǎn)‘直線XF與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若鼠=搗=1，則橢圓

的離心率為

【變式8-1]4.（2023春?廣東廣州?高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),

P（xi，yj是橢圓匕5+《=l（a>6>0）上一點(diǎn)（久1>0）,F為右焦點(diǎn).延長P。，PF交橢圓E

于。，G兩點(diǎn),DF-FG=0,\DF\=4|FG|,則橢圓E的離心率為（）

22

【變式8-1]5.（2023秋?山西大同?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓Ga+京=1（a>b〉0）

的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2，點(diǎn)P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQI=\FIF2\,且

四邊形PF1QF2的面積為次,貝丸的離心率為

題型9利用圖形求離心率

【例題9]（2023?河南開封??？寄M預(yù)測）已知橢圓C：9+2=l（a〉b>0）,4,B分別

是C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的左焦點(diǎn)，若tanN凡4B=2tan/FB2,則C的離心率為（）

A.-B.更

22

c3-V5DV5-1

?2°2

【變式9-1】L（2023?湖南邵陽?邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知6,F2是橢圓C：9+

3=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，4是C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過4且斜率為2百的直線上，△P66

為等腰三角形，“尸/2=120。，則。的離心率為（）

A.包B.包C.-D.i

101494

【變式9-1]2.（2023春?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知橢圓盤+《=

l（a>6>0）,過左焦點(diǎn)&作直線I在x軸上方交橢圓于點(diǎn)A,過右焦點(diǎn)F2作直線x=c交直

線I于點(diǎn)B（B在橢圓外），若A284為正三角形，則橢圓的離心率為

【變式9-1]3.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓T：+§=

l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6/2,左頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為8,點(diǎn)P是橢圓上位于第一象

限內(nèi)的點(diǎn)，且小ABO~A6PF2,。為坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為

22

【變式9-1]4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)6,4是橢圓+羽=Ma〉6〉0）的兩

個(gè)焦點(diǎn),P為直線丫=就上一點(diǎn)，熱底是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率

為

【變式9-1]5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知M是橢圓E：《+《=l（a〉6〉0）的右焦

點(diǎn)，過M作直線y=緊的垂線，垂足為N,\MN\=\a,則該橢圓的離心率為.

【變式9-1]6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1+卷=l（a>b>0）的左、右

焦點(diǎn)分別為&、F2，過6的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，若2SAMNFZ=5SAM&FZ且N4&N=

乙F2NF1,則橢圓C的離心率為

【變式9-1]7.（2023?江蘇無錫?江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)4ABC內(nèi)接于橢圓E：，+

《=l（a>6>0）/與橢圓的上頂點(diǎn)重合，邊8c過E的中心。，若2C邊上中線BD過點(diǎn)F（0,c）,

其中c為橢圓E的半焦距，則該橢圓的離心率為

題型10利用橢圓的對稱性

【例題101（2023秋?貴州銅仁?高三貴州省思南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C：9+5=

l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6,尸2,過點(diǎn)P（3c,0）作直線咬橢圓C于M,N兩點(diǎn)，若兩=

2而，|用百=4|序|則橢圓C的離心率為

【變式10-1】1.（2023春?廣東珠海?高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)6,尸2為橢圓《+《=

l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B在橢圓上且滿足瓦1=5百，則

橢圓的離心率為（）

A.-B.-C.-D.西

2233

【變式10-1]2.（2023?江西南昌?校聯(lián)考二模）已知橢圓C：3+冬=l（a>b>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為0,F2，直線1經(jīng)過點(diǎn)6交C于4方兩點(diǎn)，點(diǎn)M在C上,AM\\FrF2,\AB\=\MF±\,

=60°,貝仁的離心率為（）

A.-B.在C.-D.在

2322

【變式10-1】3.（2023春福建莆田?高二莆田一中?？计谥校┰O(shè)&,尸2分別為橢圓C噌+

5=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B均在C上，若瓦彳=2取,2\FrB\=5|&川，則

橢圓C的離心率為（）

2

【變式10-1】4.（2023春?安徽池州?高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓「：京+

/=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6,4，點(diǎn)M,N在橢圓上，且可=若|府|=

2|麗|,則橢圓「的離心率為（）

過

2漁

V5

ABC一D

-3

333

【變式10-1】5.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知4B,C是橢圓+S=l（a>b>0）

上的三個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為E的左焦點(diǎn)，A,C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。對稱，若乙4FC=^,AF=3FB,則橢圓E

的離心率為

題型11中點(diǎn)弦公式

【方法總結(jié)】

焦點(diǎn)在x軸的橢圓：運(yùn)用=-提=e2-1求離心率

【例題11]（2023秋遼寧遼陽?高三統(tǒng)考期末）已知直線y=-jx+2與橢圓C：攝+3=

l（a>6>0）交于A,B兩點(diǎn)，線段4B的中點(diǎn)為P（2,l）,則橢圓C的離心率是（）

A.更B.-C.-D.

2244

【變式11-1]1.（2018河南鄭州校聯(lián)考二模）直線3x+4y-7=。與橢圓真+5=1（a>

b>0）相交于兩點(diǎn)4B,線段4B的中點(diǎn)為,則橢圓的離心率是（）

A.iB.叱C.-D.-

2224

【變式11-1】2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓C^+A=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為

F,過F作一條傾斜角為45。的直線與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)，若M（-3,2）為線段43的中點(diǎn)，則

橢圓C的離心率是（）

22

【變式11-1J3(2023?河南?鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓C:京+標(biāo)=l(a>b〉0)

的上頂點(diǎn)為A,直線I：9*-10y-57=0與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為

B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F,SAB=3FB,則橢圓C的離心率為()

lV5_p.2V5、V10_p.3V10

A.叵B."C?三或三D?行或年

105

【變式11-1】4.(2022秋?湖北?高二校聯(lián)考期末)過橢圓C：各A=IQ>。>0)左焦點(diǎn)

F(-c,0)作傾斜角為興勺直線1,與橢圓C交于4B兩點(diǎn)，其中P為線段4B的中點(diǎn)，線段PF的

O

長為fc,則橢圓C的離心率為()

A-TB-1C-TD-T

【變式11-D5(多選I2023?全國?高三專題練習(xí))已知直線y=-|x+t與橢圓C：9+5=

l(a>6>0))交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P(皿()(6>2),則C的離心率可能是

()

AV33B逗c-D—

6666

【變式11-1】6.(2023?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知橢圓C:g+g=

l(a>6>0)的焦距為2c,左焦點(diǎn)為F,直線I與C相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的

中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為!c.若直線I與直線PF的斜率之積等于-［，則C的離心率為.

【變式11-1】7.(2023?江蘇?高二專題練習(xí))設(shè)橢圓舞+5=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為

F(c,O),點(diǎn)A(3c,0)在橢圓外，P、Q在橢圓上，且P是線段4Q的中點(diǎn).若直線PQ、PF的斜率

之積為-J則橢圓的離心率為

【變式11-1】8.(2023安徽滁州?？级?已知直線］與橢圓E：5+冬=l(a>b>0)交

于M,N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)P在直線x=-1上，且線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)Q(-|,0),

則橢圓E的離心率是

【變式11-1】9.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知橢圓方程為攝+5=l(a>6>0)

為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，以M為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)4B,與久軸交于點(diǎn)P,線段2B的中垂線與x軸

交于點(diǎn)G,當(dāng)4GPM面積最小時(shí),橢圓的離心率為（）

A]C*D.g

題型12點(diǎn)差法

【方法總結(jié)】

解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：

（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元

二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；

（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作

差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,具體如下：已知4尤1,巾）,8（X2,>2）是橢圓/+W

（蛻+邑=1口

=1（。泌>0）上的兩個(gè)不同的點(diǎn)M（xo,次）是線段AB的中點(diǎn)，檔5'由①-②,

1

得5（巖-君）+-於）=0,變形得""=-%，~=-*噂,（%1-%2*0,Xt+

aDXi-X2ayi+J2ay0

%2。0）

2

即kAB=-篝.KAB-K0M=e-l

22

【例題12】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知P為橢圓r曝+a=l（a>6>0）在第一象限

上一點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為2,P關(guān)于左軸的對稱點(diǎn)為E,設(shè)方=1PE,直線4D與橢圓r

4

的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若PA1PB，則橢圓的離心率為

【變式12-1】1.（2022秋?甘肅蘭州?高二統(tǒng)考期中）已知M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的

兩點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),且直線PM、PN的斜率分別為七、七（七?七40），若隹|+|fc2|

的最小值為1，則橢圓的離心率為e=（）.

A.-B.-C.-D.如

5332

22

【變式12-1】2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓cW+需=Ka>b>0）的右頂點(diǎn)

為A,P、Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，若直線AP,AQ的斜率之積為-1,則C的

離心率為（）

A.用B.叵C.漁D.-

5533

【變式12-1】3.（2023秋?廣東肇慶?高三德慶縣香山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓C:捺+3=

l（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上，且關(guān)于V軸對稱.若直線AP,AQ的斜率

之積為1則C的離心率為；

【變式12-1]4.（2023?湖北黃岡流水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:捺+卷=

l（a>6>0）,過C中心的直線交C于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在久軸上,其橫坐標(biāo)是點(diǎn)M橫坐標(biāo)的3

倍，直線NP交C于點(diǎn)Q,若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為（）

A.-B.漁C.漁D.遺

2332

題型13角平分線相關(guān)

【方法總結(jié)】

1.角平分線"拆"面積：回△函回=回△回函+團(tuán)△國回

2.角平分線定理性質(zhì)：*=*

【例題13】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）&,尸2是橢圓E:5+冬=l（a>b>0）的左，右焦

點(diǎn)點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)點(diǎn)N在X軸上滿足N&MN=^F2MN=45。,3|NF/=4\NF2\,

則橢圓E的離心率為

【變式13-1】1.（2023?山東煙臺(tái)??？寄M預(yù)測）設(shè)橢圓C：攝+A=l（a>b>0）的焦點(diǎn)

為6（—0,0）,690），點(diǎn)P是C與圓/+V=02的交點(diǎn)，的平分線交P4于Q,若

IPQI=||QF2I，則橢圓C的離心率為（）

A虺B.V2-1C.返D.V3-1

32

【變式13-112.（2023春?江西贛州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：《+A=l（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)分別為6,尸2.橢圓c在第一象限存在點(diǎn)M，使得IM6I=I&F2I,直線6M與y

軸交于點(diǎn)4,且尸2人是NMF26的角平分線，則橢圓C的離心率為（）

AV6-iBV5-ic1口.生

2222

【變式13-1】3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：^+《=l[a>b>0）的左、右

頂點(diǎn)分別為4,B,右焦點(diǎn)為F,P為橢圓上一點(diǎn)，直線2P與直線久=a交于點(diǎn)M,NPFB的角

平分線與直線x=a交于點(diǎn)N,若PF1AB,AMAB的面積是4NFB面積的6倍，則橢圓C的

離心率是

【變式13-1】4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓。：捻+^=l（a>b>0）的離心率e豐

y,C的左右焦點(diǎn)分別為&&，點(diǎn)A在橢圓C上滿足NFMF2=].NFMF2的角平分線交橢

圓于另一點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)D.已知荏=2BD,貝!]e=.

題型14焦點(diǎn)圓問題

【例題141（2023春?吉林長春?高二?？奸_學(xué)考試）已知F是橢圓C噌+5=l（a>b〉0）

的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF與圓（％-1）2+*=9相切于點(diǎn)Q，且而=2而，則

橢圓C的離心率等于（）

A.-B.-C.-D.更

3223

【變式14-1]1.（2022秋?江蘇南京?高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓

C吟+5=l（a>b>0）上點(diǎn)Q在圓&:（x+c）2+y2=1a2其中c為橢圓C的半焦距，

若|PQI的最大值恰好等于橢圓C的長軸長，則橢圓C的離心率為（）

A.V2-1B.-C.-D.-

432

22

【變式14-1]2..（2023秋?廣東茂名?高二統(tǒng)考期末）已知過橢圓￡：二+-=l（m>5）上

TTlTH-1

的動(dòng)點(diǎn)P作圓c（c為圓心）：/—2x+V=。的兩條切線，切點(diǎn)分別為48,若乙4cB的最

小值為學(xué),則橢圓E的離心率為

22

【變式14-1]3.(2022浙江?高三專題練習(xí))已知橢圓C曝+標(biāo)=l(a>b>0)的左，右

焦點(diǎn)分別是&(-c,0),F2(C,0),點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿足|的+耐|=|西-配|,若以

點(diǎn)P為圓心，r為半徑的圓與圓&：(%+c)2+y2=,圓尸2：(x-c)2+y2=彳口?都內(nèi)切；

其中。<r<|a,則橢圓。的離心率為

22

【變式14-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓。++標(biāo)=l