2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型解讀與提分訓(xùn)練

專題09三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對(duì)角互

補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型］

模型1.垂美四邊形模型

模型解讀

垂美四邊形的定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。

模型證明

圖1圖2

條件：如圖1,已知四邊形A8CZ）,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O,S.AC1BD；

結(jié)論：①4加+82=4。2+802；②“垂美，，四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，即S四邊形ABCD二LACBDO

2

證明："：AC1BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO-+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

?*.AD2+BC2=AB2+CD2；'：AC±BD,：.S^ABC=~ACBO,S^DC=-AC-DO

22

=

SVSWABCDS^ABC+S^ADC=-AC-BO+—AC-DO=-AC-BDo

條件：如圖2,在矩形ABC。中，尸為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2

證明：,?,四邊形ABC。是矩形，；,NADP=NBCP=90。,AD=BC,

由勾股定理得，，，.二AP2-DP2=BP2-CP2,：.AP2+CP2=BP2+DP20

條件：如圖3（或圖4）,在矩形ABCD中，尸為矩形內(nèi)部（外部）任意一點(diǎn)，連接4P、BP,CP,DP；

結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2

證明：過點(diǎn)P作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則四邊形AB正和COM為矩形，

圖3

:.AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：則AP?==尸尸？十。尸2

BP~=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,：.PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,

PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2>PA2+PC2=PB2+PD2.（圖4的證明和圖3證明相同）

用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上?河北保定?期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”

四邊形ABC。，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、0.若AD=1,8c=4,則入4+⑺?等于（）

A.15B.16C.17D.20

例2.（23-24九年級(jí)上.天津.期末）如圖，四邊形ABCD兩條對(duì)角線AC、2?；ハ啻怪?，且AC+fiD=10.設(shè)

AC=x,（0<x<5）

B

⑴用含x的式子表示：S四逝殄ABCD=;（2）當(dāng)ABCD四邊形的面積為8cm2時(shí)，求AC、的長(zhǎng)；

例3.（2023?江蘇鹽城?一模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和3?；ハ啻怪保珹C+2BD=10,則四邊形

例4.（2024?陜西?一模）已知矩形ABC。中有一點(diǎn)P,滿足E4=l,PB=2,PC=3,則尸。=

例5.（23-24八年級(jí)下.浙江寧波?期中）定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.

了解性質(zhì)：如圖1：已知四邊形ABCD中，AC.LBD.垂足為。，則有：AB2+CD2=AD2+BC2;

性質(zhì)應(yīng)用：（1）如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形，若A￡>=2,3c=4,CD=3,則AB=_；

性質(zhì)變式：（2）如圖2,圖3,尸是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論:

AP-+CP-=2產(chǎn)+口尸.請(qǐng)以圖3為例將重要結(jié)論證明出來.

DA2pr2

應(yīng)用變式：（3）①如圖4,在矩形ABC￡>中，。為對(duì)角線交點(diǎn)，P為8。中點(diǎn)，則，^~=二=10；（寫出證

PB-

明過程）；②如圖5,在VABC中，CA=4,CB=6,。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD=2,ZADB=90°,則A3的

最小值是_________

例6.（23-24八年級(jí)下?江西贛州?期末）如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說

明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1,四邊形ABC。的對(duì)角線AC、3。交于點(diǎn)。，ACLBD.經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)垂美四

邊形的兩組對(duì)邊AB2,CD?和AD?,BC?有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你猜想有何種數(shù)量關(guān)系？并證明.

（3）解決問題：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形ACFG和正方形ABAE,

連結(jié)CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).

例7.（2024.山東德州.一模）我們把兩條中線互相垂直的二角形稱為“中垂二角形”.例如圖1,圖2,圖3

中，AR3E是VABC的中線，AF±BE,垂足為尸.則稱VABC為“中垂三角形”.設(shè)8C=a,AC=6,AB=c.

②如圖2,當(dāng)ZABE=3（T,c=4時(shí)，求。和b的值.

⑵請(qǐng)猜想/、〃和,?三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程.

（3）如圖4,在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，。為對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)，及F分別為線段A。,。。的中點(diǎn),

連接BE,CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,BM,CM分別交AD于點(diǎn)G,H,求陌丁+MH2的值.

模型2.378和578模型

模型解讀

378和578模型：邊長(zhǎng)為3、7、8或5、7、8的三角形（如圖1）。

當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是

因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的

等邊三角形。

模型證明

條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8時(shí)；

結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為6g、10g；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個(gè)三角形長(zhǎng)為7

的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形。

證明：如圖2,過點(diǎn)C作CM_LAB于點(diǎn)設(shè)尤則AM=3+x,AZCMB=90°,

在RA4CA/中：CM2=AC2-AM2,在中：CM1=BC1-BM1,

：.AC2-AM2=BC2-BM2,BP82-(3+x)2=72-^,解得x=l,：.CM=4,:.CM=，6,

.'.S^ABC=-AB-CM=-?3?4退=6A/LVCA/M,AC=8,ZACM=30°,NC4M=60°。

22

如圖3,過點(diǎn)F作FNLDE于點(diǎn)N,設(shè)DN=x則NE=5-x,：./FND=9G,

在.RtADNF中:NF1=DF--DN1,在RtAENF中:NF2=EF2-NE2,

：.DF2-DN2=EF2-NE2,即724=82-(5-x)2,解得x=l,NE=4,：.NF=44,

：.SM)EF=--DE-NF=1.5?4A/3=10A/3,\'NE=4,EF=8,ZEFN=30°,NFEN=6Q°。

22

：.CM=NF=443,NCMB=/FND=90°,,;CB=DF=1,:.RtABCM"RtADNF,：.ZCBM=ZFDN,

：/CBM+/ABC=180。，：.ZFDN+ZABC=1SO°,VAC=EF=80

...將兩個(gè)三角形長(zhǎng)為7的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形（如圖4）。

模型運(yùn)用

例1.（2023?浙江溫州?九年級(jí)校考期末）邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

例2.（2023?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB=8,AC=7,BC=3,則N3=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

例3.（2023?綿陽(yáng)市?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊A3=8,BC=5,AC=1.求邊上的高.

例4.（2023八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）已知在VABC中，AB=7,AC=8,3C=5,貝!JVA8C的面積為（）

A.17.5B.20C.10指D.28

例5.（23-24九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）在VABC中，AB=8,NB=60。，AC=7,貝3C的長(zhǎng)為

習(xí)題練模型

1.（2023?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，AC,8。是方程

f-16x+60=0的兩個(gè)解，則四邊形ABCD的面積是（）

D,

C

------------------

A.60B.30C.16D.32

2.（23-24八年級(jí)下.安徽合肥?期末）點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足上4=2,PB=3,PC=4,則尸。的

值為（）

3.（2024天津和平.二模）如圖，四邊形A3CD的兩條對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。在線段AC上，且

AC1BD,AB=5,BC=3,若AC+8D=10.有下列結(jié)論：①AC的取值范圍是2VAe<8；②AC的長(zhǎng)有兩

個(gè)不同的值滿足四邊形A3CD的面積為12；③四邊形A3CD面積最大值為2三5.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

4.（2023?山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在AABC中，AB=7,AC=8,BC=5,則/C=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

5.（2024?四川廣元?二模）如圖，在四邊形ABC。中，AD〃BC,對(duì)角線AC,8。互相垂直，AC=12,BD=8,

則AD+3c的值是

6.（2022?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O.若AO=3,BC=5,貝114￥+。2=

7.（23-24九年級(jí)上.廣東梅州.期中）四邊形的對(duì)角線互相垂直且長(zhǎng)分別為8和12,則面積為.

8.（23-24八年級(jí)?浙江?期末）當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積

之和是?

9.（23-24八年級(jí)下.河北石家莊?階段練習(xí)）已知對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所

示的“垂美"四邊形ABCD對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O.

（2）若AD=6，BC=A/5貝U6+必=

（3）若=BC=n,CD=c,AD=d,則加，“，c,1之間的數(shù)量關(guān)系是

10.（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期末）己知三角形一邊上的中線，與三角形三邊有如下數(shù)量關(guān)系：三角形兩

邊的平方和等于第三邊一半的平方與第三邊中線平方之和的2倍.即：如圖，在VABC中，AD是BC邊上

的中線，則有加AC?=2伊I）?+AD）請(qǐng)運(yùn)用上述結(jié)論，解答下面問題.如圖，點(diǎn)尸為矩形ABCD外部

一點(diǎn)，已知己4=PC=3,若尸￡>=1,則AC的取值范圍為

11.（2022?湖北?一模）如圖，P是矩形ABC。外一點(diǎn)，有以下結(jié)論：①

2222

SAPBC=SAPAC+SAPCD@PA+PC=PB+PD；④若PZ）_LPB,則尸、A、B、C、。在同一個(gè)圓上其中正確的

序號(hào)是.

12.（23-24九年級(jí)上.廣東廣州?期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC8?；ハ啻怪保褹C+3D=8,

則四邊形98面積的最大值為一.

13.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等，則稱這個(gè)四邊形為

奇妙四邊形.如圖1,四邊形ABCD中，若AC=BD,ACJ.BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)

奇妙四邊形對(duì)角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：奇妙四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘

積的一半.根據(jù)以上信息回答：

（1）矩形奇妙四邊形（填“是"或‘不是”）；（2）如圖2,已知。。的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形，

若。。的半徑為8,ZfiCD=60°.求奇妙四邊形ABCD的面積；（3）如圖3,已知。。的內(nèi)接四邊形ABCD是

奇妙四邊形.請(qǐng)猜測(cè)AD和的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

14.（23-24九年級(jí)上.廣東東莞?期中）如圖，四邊形A3c。中，AD=CD,AB=BC,我們把這種兩組鄰邊

分別相等的四邊形叫做“箏形”

（1）試猜想箏形的對(duì)角線有什么位置關(guān)系，然后用全等三角形的知識(shí)證明你的猜想；

（2）已知箏形ABCD的對(duì)角線AC,3。的長(zhǎng)度為整數(shù)值，且滿足AC+3D=6.設(shè)AC的長(zhǎng)為尤，四邊形ABCD

的面積為S,試求x為多少時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

15.（2024?山西晉城?三模）請(qǐng)閱讀列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

三角形中線定理

三角形中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線長(zhǎng)度關(guān)系.

阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘亞歷山大前期

的三大數(shù)學(xué)家.

中線定理:三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.如圖1,在VABC中，

點(diǎn)。為的中點(diǎn),根據(jù)“阿波羅尼奧斯”,可得AB2+AC2=2AD2+2BD2.下面是該定理的證明過程（部分）：

證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,如圖2,在RtAABE中，AB2=AE2+BE2，

同理可得：AC2^AE2+CE2,AD1=AE1+DE1，

證明的方便，不妨設(shè)9=Cr）=x,DE=y,

AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=...

AA

任務(wù)：（1）按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分;

（2）如圖3,在VABC中，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，AB=4,AC=W,BC=8,貝必。的長(zhǎng)為:

⑶如圖4,已知平行四邊形A5a（中，AC和BD相交于點(diǎn)。，設(shè)AC=。，BD=b,請(qǐng)直接用含“，6的代

數(shù)式表示2（4笈+2。2）的值；⑷如圖5,已知平行四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)尸為。。內(nèi)一點(diǎn)，若AB=6,

BC=8,尸8=4,PD=1,請(qǐng)直接寫出。尸的長(zhǎng).

16.（24-25九年級(jí)上?廣東深圳?月考）垂美四邊形定義如下：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

（1）如圖1,四邊形ABCD是“垂美四邊形"，猜想CD?與3c2、AD?之間的數(shù)量關(guān)系：,并說明

理由.

(2)如圖2,分別以的直角邊AC和斜邊A3為邊向外作正方形ACFG和正方形連接

BG、CE,若AB=4,AC=2拒,求EG的長(zhǎng).

(3)如圖3,在RtAABC中，ZABC=90。，點(diǎn)尸是Rt^ABC外一點(diǎn),連接BP,BP=AC=10,已知忸C—=2,

若以A、B、aP為頂點(diǎn)的四邊形為垂美四邊形，請(qǐng)直接寫出AP的長(zhǎng).

17.(2024?山東德州?一模)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3中,

AF,8E是VABC的中線，AF±BE,垂足為P.則稱VABC為“中垂三角形”.設(shè)8C=“，AC=b,AB=c.

②如圖2,當(dāng)NABE=30。，c=4時(shí)，求。和b的值.

⑵請(qǐng)猜想/、〃和c?三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程.

(3)如圖4,在邊長(zhǎng)為3的菱形ABC。中，。為對(duì)角線AC,的交點(diǎn)，E,歹分別為線段A。，D。的中點(diǎn),

連接BE,CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,BM,分別交AD于點(diǎn)G,H,求的值.

18.(2023?山東青島?二模)如果一個(gè)三角形有兩條互相垂直的中線，我們就把這樣的三角形稱為“中垂三角

形”，例如圖1,圖2,圖3中，AF,BE是VABC的中線，AFrBE,垂足為P,稱VABC這樣的三角形為

“中垂三角形”，設(shè)■BC=a,AC=b,AB=c.

(1)如圖1,當(dāng)—ABE=45。，c=2時(shí)，a=,b=

如圖2,當(dāng)ZABE=30。，c=4時(shí)，a=,b=

歸納證明

(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，用等式表示對(duì).2,及，三者之間關(guān)系的猜想，并利用圖3證明q2,b2,

,2三者之間的關(guān)系.

19.(2024浙江?模擬預(yù)測(cè))定義：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，且較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)度是較短對(duì)角線長(zhǎng)

度的2倍，則稱這個(gè)四邊形為“倍垂四邊形”.

(1)如圖①，在菱形中，對(duì)角線AC與3D相交于點(diǎn)O,AB=y/5,AC=2,試判斷菱形ABCD是否

為“倍垂四邊形”，并說明理由；

(2)如圖②，在VA3C中，AB=3&BC=7,AC=5,作49,3c于點(diǎn)O,問在射線AO上是否存在著一

點(diǎn)D,使得四邊形ABDC是“倍垂四邊形”.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)線段0D的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖③，在尺以45。中，AB=4,AC=5,且NABC=90。，分別以RhABC的斜邊AC和直角邊AB為

邊向外作和RQABE,且NC4￡>=N54E=90。，連接。E,當(dāng)四邊形3C￡>E是“倍垂四邊形”時(shí),

求DE的長(zhǎng).

D

20.（23-24九年級(jí)上?浙江金華?期中）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

（1）如圖1,已知在垂等四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與80交于點(diǎn)E,若AB=4cm,AD=3cm,

求AC的長(zhǎng)度.

【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李與同學(xué)討論出了如下方法：如圖2,在

00中，已知A3是。。的弦，只需作ODLQ4、OC^OB,分別交0。于點(diǎn)。和點(diǎn)C,即可得到垂等四邊

形ABC￡>,請(qǐng)你寫出證明過程.

【問題解決】（3）如圖3,已知A是。。上一定點(diǎn)，8為。。上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出。。的內(nèi)接垂等四

邊形（A、8不重合且A、B、。三點(diǎn)不共線），對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)E,。。的半徑為4應(yīng)，當(dāng)點(diǎn)E到4D

的距離為2右時(shí)，求弦的長(zhǎng)度.

AB

圖1

專題09三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對(duì)角互

補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型］

模型1.垂美四邊形模型

模型解讀

垂美四邊形的定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。

模型證明

圖1圖2

條件：如圖1,已知四邊形A8CZ）,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O,S.AC1BD；

結(jié)論：①4加+82=4。2+802；②“垂美，，四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，即S四邊形ABCD二LACBDO

2

證明："：AC1BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

?*.AD2+BC2=AB2+CD2；'：AC±BD,：.S^ABC=~ACBO,S^DC=~ACDO

22

S四邊形ABCZ)=SA4BC+SAADC=5AG30+不AC，Z)O=a

條件：如圖2,在矩形ABC。中，尸為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2

證明：,四邊形48C。是矩形，/.ZADP^ZBCP^90°,AD=BC,

由勾股定理得，AD-^AP--DP-<BC2=BP2-CP2,

：.AP2-DP2=BP2-CP2,?*.AP2+CP2=BP2+DP2。

條件：如圖3（或圖4）,在矩形ABCQ中，尸為矩形內(nèi)部（外部）任意一點(diǎn)，連接AP、BP,CP,DP-,

結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2

證明：過點(diǎn)尸作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則四邊形AB莊和CDE尸為矩形，

圖3

AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：貝ljAP?=AE?+p后?,/2+。尸2

BP'=BF2+PF',PD-=DE2+PE2,PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,

PB2+PD-=BF2+PF2+DE2+PE2，PA2+PC2=PB2+PD2.（圖4的證明和圖3證明相同）

用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上.河北保定?期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美

四邊形ABCD,對(duì)角線AC,3。交于點(diǎn)。.若A￡>=1,BC=4,則AB2+CZ）2等于（）

A.15B.16C.17D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用即可求解，本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定

理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；四邊形ABCD是“垂美"四邊形，即

...在RSAOB中，AB2=OA2+OB2,在RJCO。中，CD2=OC2+OD2,

：.AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

在RtAAOD中，AD2=1=OA2+Or>2,在RtcBOC中，BC2=42=OB2+OC2,

：.AD2+BC-=OA2+OB2+OC2+OD2,AAB2+CD2=AD2+BC2=1+42=17,故選：C.

例2.（23-24九年級(jí)上?天津?期末）如圖，四邊形A8CD兩條對(duì)角線AC、80互相垂直，且AC+8￡>=10.設(shè)

AC=x,（0<%<5）

B

⑴用含X的式子表示：s四邊形ABCD=;⑵當(dāng)ABCD四邊形的面積為8cm2時(shí)，求AC、3。的長(zhǎng);

【答案】（l）5x—；x2（2）AC=2cm,BD=8cm

【分析】⑴根據(jù)S颼物牖=5“血+5口皿=；瓦>4°進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求，代入S四邊疇"co=8進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)AC、3D交于點(diǎn)O,

*/AC+BD=W,AC=x,：.BD=W-x,二?四邊形ABC。兩條對(duì)角線AC、即互相垂直，

22

*,?S四邊形ABCD=SVABD+BCD=—BD-OA+—BD-OC=-BD-AC=-x(10-x)=5x--x,故答案為；5x--x；

乙乙乙乙乙乙

（2）解：由題意得—=8,x2—10x+16=0,角軍得x=2或％=8（舍去）

AC=2cm,BD=10-x=8cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積，一元二次方程的應(yīng)用，正確列出四邊形的面積關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇鹽城?一模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和3?；ハ啻怪?，AC+2BD=10,則四邊形

25

【答案】v

4

【分析】本題考查了二次函數(shù)最值以及四邊形面積求法.直接利用對(duì)角線互相垂直的四邊形面積求法得出

S=^ACBD,再利用配方法求出二次函數(shù)最值.

【詳解】解：設(shè)BD=x,四邊形ABCD的面積為S,：AC+2應(yīng)）=10,AC=10-2x,

:四邊形ABC。的對(duì)角線AC和互相垂直，?.S=|AC-BD=1X（10-2X）=-^-|^+],

?,?當(dāng)5時(shí)，S取得最大值，最大值2為5弓，即四邊形ABC。面積最大值2為5弓.故答案為：25寧.

2444

例4.（2024?陜西?一模）已知矩形A3CD中有一點(diǎn)P,滿足B4=l,PB=2,PC=3,則尸。

AD

【答案】V6

【分析】由ABC。是矩形，過尸作GH1IBC交AB、CO于點(diǎn)G、H,過戶作"http://A8交A。、BC于點(diǎn)E、F,

在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出A盾+CP2=g尸+￡>產(chǎn)，從而求出OP.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作GH//BC交AB、C。于點(diǎn)G、H,過點(diǎn)尸作EF//48交A。、BC于點(diǎn)E、F,

設(shè)AE=BF=c,AG=DH=a,GB=HC=b,ED=FC=d

AP2=a2+c2,CP2=b'+d-,BP1^b2+c2,DP2^d2+a2

■-B4=l,PB=2,PC=3,:.AP-+CP1=BP-+DP1

即1+9=4+0尸.?.￡>2=布（負(fù)值已舍去）故答案為：底.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理列方程組.

例5.（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?期中）定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.

了解性質(zhì)：如圖1：已知四邊形ABCD中，ACJ.BD.垂足為。，則有：AB2+CD2AD2+BC2;

性質(zhì)應(yīng)用：（1）如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形，若AO=2,BC=4,CD=3,則AB=_；

性質(zhì)變式：（2）如圖2,圖3,尸是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論:

AP2+CP2=BP2+DP2請(qǐng)以圖3為例將重要結(jié)論證明出來.

PA2_LPC2

應(yīng)用變式：（3）①如圖4,在矩形ABCD中，。為對(duì)角線交點(diǎn)，P為3。中點(diǎn)，則-----=10；（寫出證

PB2

明過程）；②如圖5,在VABC中，C4=4,CB=6,。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD=2,ZADB=9Q°,則A3的

最小值是.

【答案】（1）布；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②4代-2

【分析】本題是四邊形綜合題，考查了新定義“垂美”四邊形、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；

（1）由勾股定理可得出答案；（2）過尸作于"，交DC的延長(zhǎng)線于N,由（1）性質(zhì)可知：

BH2+CP-=BP-+CH2,由勾股定理可得出答案；（3）以AD、3D為邊作矩形AD跳;，連接CE、DE,

由矩形的性質(zhì)得出=由題意得C￡>2+CE2=C42+CB2,求出。￡=46,當(dāng)C、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，

OE最小，得出A3的最小值=OE的最小值=CE-CD=4幣-2.

【詳解】（1）解：如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形，.?.AB2+CD2=A￡?2+8C2,

■.■AD^2,BC=4,CD=3,/.AB2=22+42-32=11,=故答案為：7TT;

（2）證明：過P作于M,交DC的延長(zhǎng)線于N,

由(1)性質(zhì)可知：BH2+CP2=BP2+CH2,

即：CP2-BP2=CH--BH1=(HD2+DC2)-(AH2+A3?)=HD2-AH2，

2222222

又V由勾股定理可知：PD-PA=(HD。+PH)-(AH+PH)=HD-AH,

CP2-BP2=PD2-PA2,ipAP2+CP2=BP2+DP2;

(3)解：①設(shè)=則尸￡>=3。，由(2)<MAP2+CP2=BP2+DP2,

PA2_i_PC2

AP2+CP2=々2+9/=I。/,.---------=10；

PB2

②以AD、BD為邊作矩形ADBE,連接CE、DE,如圖所示：

則AB=DE,由題意得：CD2+CE-=C^c+CB2,即2?+CE?=4?+6?,解得：CE=4拒,

當(dāng)C、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，DE最小，.：A3的最小值=DE的最小值=以-CD=4白-2；故答案為：4^-2.

例6.（23-24八年級(jí)下?江西贛州?期末）如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說

明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1,四邊形ABC。的對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,AC1BD.經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)垂美四

邊形ABC。的兩組對(duì)邊AB?,CD?和AD?,BC?有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你猜想有何種數(shù)量關(guān)系？并證明.

（3）解決問題：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊為邊向外作正方形ACPG和正方形A2DE,

連結(jié)CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，證明見解析；（2）AD2+BC2^AB2+CD2,證明見解析；（3）GE

=773

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算.

【詳解】解：（1）四邊形A8C。是垂美四邊形.證明：連接BD、AC

?.?A8=A￡>,.?.點(diǎn)A在線段BZ）的垂直平分線上,

?：CB=CD,/.點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,

直線AC是線段80的垂直平分線，：.AC±BD,即四邊形ABC。是垂美四邊形;

（2）猜想：ArP+BC^AB^CD2

證明：\'AC±BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,：.AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)連接CG、BE,VZCAG=ZBAE=90°,AZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/G4B=/CAE,

AG=AC

在AGAB和ACAE中，＜NGAB=NCAE,.?.△GABg/XCAE（SAS）,

AB=AE

：.ZABG=ZAEC,又/AEC+NAME=90°,：.NABG+/BMN=90。,即CE_LBG,

四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG+BE2=CB2+GE2,

?：AC=4,AB=5,：.BC=3,CG=4&,BE=5垃,

：.GE2=CG+BE?-CB2=73,:.GE=回.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂

美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

例7.（2024.山東德州?一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3

中，AEBE是VABC的中線，AF±BE,垂足為尸.則稱VABC為“中垂三角形”.^BC=a,AC=b,AB=c.

C

圖4

⑴①如圖1,當(dāng)—ABE=45。，c=4五時(shí)，PF=_____.BF=_______.

②如圖2,當(dāng)/ABE=3（T,c=4時(shí)，求。和6的值.

⑵請(qǐng)猜想/、〃和c?三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程.

（3）如圖4,在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，。為對(duì)角線AC、的交點(diǎn)，瓦廠分別為線段A。,。。的中點(diǎn)，

連接3E,C尸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)CM分別交乂）于點(diǎn)G,H,求叔丁+必六的值.

【答案】⑴①尸尸=2,BF=2非；②a=2屈,b=2?⑵關(guān)系為：a2+b2=5c2,見解析證明（3）15

【分析】本題為四邊形綜合題，考查了三角形相似、中位線等知識(shí)，其中（3）,直接利用（2）的結(jié)論是本

題的新穎點(diǎn)和突破點(diǎn).（1）在圖1中，PB=ABcos450=4=PA,即可求解；同理可得：a=2厄b=2幣;

（2）PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,PF=—PA=—csina,PE=—ccosa,則。？+廿=Q+（28尸產(chǎn),即

222

O111

可求解；（3）證明：MG=-ME=-MB,MH=-MC,則MG?+Affl2=§（^52+MC?）,即可求解.

【詳解】（1）解：如圖1、2、3、4,連接砂,

c

c

ABABAB

圖1圖2圖3

?.?AF,B￡是VABC的中線,???￡1尸是VABC的中位線,

1PRpA47?

：.EF=-AB,EF//AB,：NEFP岡BPA,：.—=—=—=2,

2PEPFEF

'：AF±BE,則在圖1中，PB=ABcos45°=c--=4A/2X—=4=PA,

22

22

由止匕得：PF=^PA=2,gp=y/pB+PF=2A/5：

在圖2中，PB=ABcos30°=c—=4x—=2.73,PA=ABsin30°=c--=4x-=2,

2222

由止匕得：PF=^PA=1,BFNPB'PF?=A,a=BC=2BF=2岳，

PE=；PB=6AENPEZ+AP?=S,b=AC=2AE=2不，則4=2而,6=2A/7；

(2)關(guān)系為：a2+b2=5c2J

證明：如圖3,設(shè)：NEBA=a,則：PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,

由(1)得：PF=—PA=—csina,PE=—ccosa,

222

AE2=PE2+AP2=c2r(sincr)2+1(costz)2,BF2=PF2+BP2=c2i(sina)2+(cosa)2

AP?BPY_ar、+BP。AB2

(sina]+(cosa)"r*r

IABJ+IABJ__AB"-AB7

則a2+b2=(2AE)2+(28/產(chǎn)=4c2x-[(sina)2+(cos?)2l=5c2；

4」

(3)根據(jù)題意可得AEnOEngECAGaBC,AAAGE^ACBE,AAG=^BC=^AD,EG=^BE,

：E,尸分別為線段AO,OO的中點(diǎn)，EF是△Q4D的中位線，

EF^-AD,則所=工2。=14。，Z.NMGH^NMBC,

222

FFGMMH1

A—=—=^-=-,：.EM=BE,MF=FC,:.GM=2EG,二￡,尸分別是90,011中點(diǎn)，

BCBGMC2

QGH〃BC,EF〃BC,：.HG〃EF,.NMGHKMEF,

:.MG=-ME=-MB,MH=-MF=-MC,HG=-EF=-AD

333333f

,?E,F分別是CM中點(diǎn)，，CE,BF是ABCM的中線，，A3cM是“中垂三角形”,

由（2）得片+尸=502,即^52+同。2=3。2,貝ijMG2+MH2=g（MB2+Mc2）=gx5xBC2=i5.

模型2.378和578模型

模型解讀

378和578模型：邊長(zhǎng)為3、7、8或5、7、8的三角形(如圖1)。

當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,1,8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是

因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的

等邊三角形。

模型證明

條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8時(shí)；

結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為6g、1。6；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個(gè)三角形長(zhǎng)為7

的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形。

證明：如圖2,過點(diǎn)C作CM_LAB于點(diǎn)M,設(shè)尤則AM=3+x,AZCMB=9Q°,

在血”CA1中：CM2=AC2-AM2,在R/A8C"中：

：.AC2-AM2=BC1-BM2,即82-(3+x)2=72-記，解得x=l,ACM=4,:.CM=4yE,

：.S^ABC=-AB?CM=-%46=6幣,：GW=4,AC=8,ZACM=30°,NCAM=60°。

22

如圖3,過點(diǎn)尸作FALLOE于點(diǎn)N,設(shè)DN=x則NE=5-x,:.NFND=90。,

在RtADNF中:NF2=DF2-DN2,在.RtAENF中:NF2=EF2-NE2,

：.DF2-DN2=EF2-NE2,gp72-^=82-(5-x)2,解得x=l,NE=4,：.NF=4TL

:.SM)EF=LDE，NF=1?5?4V3=10A/3,,:NE=4,EF=8,ZEFN=30°,ZFEN=60°.

22

：.CM=NF=4A/3,ZCMB=ZFND=9Q°,,:CB=DF=I,:.RtkBCM義RtADNF,：.ZCBM=ZFDN,

VZCBM+ZABC=180°,：.ZFDN+ZABC^180°,,：AC=EF=SO

.??將兩個(gè)三角形長(zhǎng)為7的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形(如圖4)。

模型運(yùn)用

例1.（2023?浙江溫州?九年級(jí)校考期末）邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

【答案】D

【分析】法1：拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，即可求解。法2：設(shè)"BC的三邊AB=5,AC=7,BC=8,

過點(diǎn)A作4D_LBC于點(diǎn)。，設(shè)8￡>=無，分別在吊"。8和MAADC中，利用勾股定理求得AD,從而可建立

方程，求得尤的值，可求得NB,因此可得最大角和最小角的和.

【詳解】法1：;△ABC的邊長(zhǎng)為5,7,8,

???其可以和邊長(zhǎng)為3,7,8的三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的