8.3 實數(shù)及其簡單運算（第1課時 實數(shù)概念）（教學(xué)設(shè)計）-（人教版2024）

8.3實數(shù)及其簡單運算（第一課時實數(shù)的概念）教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級下冊第八章實數(shù)8.3實數(shù)及其簡單運算，內(nèi)容包括：第一課時實數(shù)的概念2.內(nèi)容解析本節(jié)課是在前面學(xué)習(xí)了開方運算，平方根，算術(shù)平方根，立方根和有理數(shù)的概念和分類的基礎(chǔ)上安排的，之前有理數(shù)的分類為這節(jié)課奠定了方法基礎(chǔ)和知識基礎(chǔ).新課標中提出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，要從數(shù)學(xué)本身的特點出發(fā)，從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個實踐、思考、探索、交流、解釋、應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程，本節(jié)課就在這個思想的指導(dǎo)下設(shè)計的.教材通過類比有理數(shù)的概念和分類設(shè)置喚醒學(xué)生探究交流的激情，讓學(xué)生在類比、探索、交流的過程中感悟?qū)崝?shù)的意義，同時讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識技能的同時，注意數(shù)學(xué)思想方法和良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的“實踐第一”和數(shù)學(xué)來源于實踐，又服務(wù)于實踐的思想.基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點是:理解實數(shù)的意義，并能將實數(shù)按要求進行準確的分類.二、目標和目標解析1.目標（1）理解實數(shù)的意義，并能將實數(shù)按要求進行準確的分類；（2）了解實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能用數(shù)軸上的點表示無理數(shù)；（3）掌握利用數(shù)軸比較實數(shù)大小.2.目標解析（1）教材類比有理數(shù)引入，利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心.學(xué)生通過計算，觀察，類比，總結(jié)，歸納有理數(shù)的另一定義，有利于學(xué)生充分理解和牢固掌握有理數(shù)的定義.通過小組討論，培養(yǎng)合作精神，讓學(xué)生在探索問題的過程中，體驗解決問題的方法和樂趣，增強學(xué)習(xí)興趣.（2）學(xué)生能根據(jù)有理數(shù)的分類對實數(shù)進行分類，構(gòu)建關(guān)于實數(shù)的知識體系，既有利于學(xué)生知識學(xué)習(xí)也利于方法的遷移.（3）會在數(shù)軸上表示無理數(shù)，并利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小.三、教學(xué)問題診斷分析在本課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生們已經(jīng)掌握了一些無理數(shù)和有理數(shù)的分類和概念，對無理數(shù)的大小學(xué)生可以通過夾逼估值知道一個無理數(shù)的大小，但是對于準確在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)的大小相當(dāng)困難，此時應(yīng)給予時間讓學(xué)生充分理解如何在數(shù)軸上找到一個無理數(shù)的位置，并理解數(shù)軸上不僅有有理數(shù)還有無理數(shù)，理解數(shù)軸和實數(shù)一一對應(yīng).基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點為:理解實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能用數(shù)軸上的點表示無理數(shù).四、教學(xué)過程設(shè)計（一）問題導(dǎo)入問1我們知道有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，把下列分數(shù)寫成小數(shù)的形式.52.5?0.66.751.2問2:整數(shù)能寫成小數(shù)的形式嗎？例如：5整數(shù)可以寫成小數(shù)點后為0的小數(shù)問3.這些小數(shù)它們有什么特征？有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).【設(shè)計意圖】利用問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提出問題引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)，既鞏固舊知，又利于對新知學(xué)習(xí)和掌握，養(yǎng)成類比學(xué)習(xí)的意識.（二）新知講解問4.所有的數(shù)都可以寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的形式嗎？不是.如：23π≈3.1415926535897932384626…1.01001000100001…（兩個1之間依次多一個0）問5.這些小數(shù)它們又有什么特征？無限不循環(huán)無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).常見的無理數(shù)類型(1)含有π的數(shù)；如π2，(2)開不盡方的數(shù)開方所得結(jié)果；如2(3)有規(guī)律但不循環(huán)的小數(shù)，如1.01001000100001…【設(shè)計意圖】由問題引出新知，水到渠成，之前開不盡方的平方根和立方根與有理數(shù)定義不符合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，對比有理數(shù)引出無理數(shù)定義利于學(xué)生掌握兩者的區(qū)別，理解新知.（三）新知應(yīng)用1．下列實數(shù)是無理數(shù)的是（A）A.2B．1C．0D．－52.判斷下列數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)①38；②8；③π；④3.1415926；⑤6π3?2π①有理數(shù)②無理數(shù)③無理數(shù)④有理數(shù)⑤有理數(shù)⑥有理數(shù)注意(1)類似①帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù),帶根號時還應(yīng)注意根指數(shù)，(2)類似⑤⑥先化簡再判斷3.下列各數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？(1)2.6(2)45(3)3π(4)3.020020002?

(每相鄰兩個2之間依次多一個0)(5)3?64(6)64(7)316(8)2+2【設(shè)計意圖】通過練習(xí)讓學(xué)生利用定義能夠判斷一個數(shù)是無理數(shù)和有理數(shù)，2題主要讓學(xué)生區(qū)分幾種易錯易混的數(shù)，一題一總結(jié)，有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察，歸納，總結(jié)的能力.（四）新知講解實數(shù)的分類問6.我們將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，仿照有理數(shù)的分類嗎？據(jù)此你能給出實數(shù)的其他分類嗎？【設(shè)計意圖】通過類比有理數(shù)的分類，引導(dǎo)學(xué)生對實數(shù)根據(jù)不同標準進行分類，培養(yǎng)學(xué)生類比，歸納的能力.（五）典例講解例1將下列各數(shù)分別填入下列相應(yīng)的括號內(nèi)：39，14，7，π+1，?16，?52無理數(shù)集合:{39，7，π+1，?有理數(shù)集合:{14，?16，3?27，49正實數(shù)集合:{39，14，7，π+1，49，0.3737737773負實數(shù)集合:{?16，?52，3?27注意：對每個數(shù)都要進行判斷，分類標準不同結(jié)果不同【設(shè)計意圖】通過練習(xí)讓學(xué)生熟練地掌握實數(shù)的不同分類，并能根據(jù)情況對每一個實數(shù)進行分類.（六）針對訓(xùn)練1.判斷：(1).實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)。（√）(2).實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù)。（×）(3).無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)。（√）(4).無理數(shù)都是無限小數(shù)。（√）(5).帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。（×）(6).無理數(shù)一定都帶根號。（×）2.將下列各數(shù)分別填入下列相應(yīng)的括號內(nèi)?12，?3，π4，3?64，171，0，正實數(shù)集合:{π4，171，3.14非正數(shù)集合:{?12，?3，3?64，0，?32正分數(shù)集合:{3.14…};自然數(shù)集合:{171，0…};無理數(shù)集合:{π4，?【設(shè)計意圖】通過此題訓(xùn)練熟練掌握實數(shù)的定義并能對實數(shù)進行分類.（七）新知探究問7.每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，那么無理數(shù)是否也可以用數(shù)軸上的點來表示呢？思考1：如圖，直徑為１個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上一點從原點到達A點，則數(shù)軸上表示點A的數(shù)是多少？∵圓的周長為π,∴點A所對的數(shù)為:π思考2：你能在數(shù)軸上表示出2和?2嗎？(1)把兩個邊長為1的小正方形通過剪、拼，得到一個大正方形，大正方形的邊長為2，從而說明邊長為1的小正方形的對角線為2.(2)如下圖，以一個單位長度為邊長畫一個正方形,以原點為圓心,正方形對角線為半徑畫弧,與正、負半軸的交點分別為點A和點B，數(shù)軸上A點和B點對應(yīng)的數(shù)是什么？∵OA=OB=0C,∴點A所對的數(shù)為:2,點B所對的數(shù)為:?2.數(shù)軸上的點有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù).每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示出來。每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一點都表示一個實數(shù)。實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的【設(shè)計意圖】通過在數(shù)軸上找π，（八）典例講解例2.如圖所示，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別為?1和3，(1)點B關(guān)于原點O的對稱點為E,求點E所表示的實數(shù)(2)點B關(guān)于點A的對稱點為C，求點C所表示的實數(shù)．解：(1)∵數(shù)軸上B兩點表示的數(shù)分別為3

，∴點B到原點0的距離為3

則點E到原點的距離為3

∴點E表示的實數(shù)為?3解：(2)法一∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別為?1和3

∴點B到點A的距離為1＋3

設(shè)點C表示的實數(shù)為x，則點A到點C的距離為?1?x，∴?1?x＝∴x點撥：當(dāng)點C為點B關(guān)于點A的對稱點時，CA=BA數(shù)軸上兩點間的距離的求法：數(shù)軸上兩點間的距離等于表示這兩點的數(shù)之差的絕對值．解：(2)法二設(shè)點C表示的實數(shù)為x∵點B關(guān)于點A的對稱點為C，∴3+x∴x點撥：中點公式:若P為MN的中點,點M所表示的數(shù)為m,點N所表示的數(shù)為n，則中點P點所表示的數(shù)為：m+n例3.(1)請將數(shù)軸上是各點與下列實數(shù)對應(yīng)起來：2?1.55?π(2)比較它們的大?。ㄓ谩埃肌碧栠B接）?1.5<在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。與有理數(shù)一樣，在實數(shù)范圍內(nèi)：1.正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù)；2.兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；3.兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小.4.數(shù)軸上的點越往右表示的實數(shù)越大【設(shè)計意圖】通過練習(xí)進一步理解數(shù)軸與實數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系，并類比有理數(shù)的大小比較，無理數(shù)也可以利用數(shù)軸比較大小，越靠右數(shù)越大.（九）針對訓(xùn)練1.如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)7的點可能是(B)A.點PB.點QC.點RD.點S（第1題圖）（第2題圖）2.如圖，在數(shù)軸上點A和點B之間表示整數(shù)的點有4個3.小于30的所有正整數(shù)有_1，2，3，4，5____.4.數(shù)軸上表示1，2的對應(yīng)點為A,B，點B關(guān)于點A的對稱點為C,則點C所表示的數(shù)是__【設(shè)計意圖】通過練習(xí)能熟練在數(shù)軸上找到無理數(shù)的位置，并能比較實數(shù)的大小.（十）當(dāng)堂檢測1.下列實數(shù)中是無理數(shù)的是（C）A.3.14B.9C.3D.12.下列說法：①無限小數(shù)是無理數(shù)；②開方開不盡的實數(shù)都是無理數(shù)；③有理數(shù)都是實數(shù)；④所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示，反過來，數(shù)軸上所有的點都表示有理數(shù)；⑤35是分數(shù).其中正確的有（BA.1個B.2個C.3個D.4個3.如圖所示，數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)分別為2和5.1，則A，B兩點之間表示整數(shù)的點共有(C)A．6個B．5個C．4個D．3個4.如圖,數(shù)軸上的點A、B、O、C、D分別表示數(shù)?2,?1,0,1,2,則表示數(shù)2?5的點P應(yīng)落在（A.線段AB上B.線段BO上C.線段OC上D.線段CD上5.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為35，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為－5，則A，B兩點之間的距離為__6.如圖,在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是3.若把點A向左平移2個單位得到點B,則點B表示的數(shù)是___3?2_______;再作點B關(guān)于原點0的對稱點C,則點C表示的數(shù)是___2?7.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi).15，4，917，?227，0.15，有理數(shù)集合：{4，?227，0.15，?7.5，無理數(shù)集合：{15，917，1?3，π