2025年中考數(shù)學一輪復習-專題07平行四邊形存在性問題含答案

2025年中考數(shù)學一輪復習-專題07平行四邊形存在性問題（2022?福山區(qū)一模）1．如圖，拋物線過點A（?1，0），點B（3，0），與y軸負半軸交于點C，且，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求直線BC的函數(shù)表達式；(3)若點P是拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸交直線BC于點Q，試探究是否存在以點E，D，P，Q為頂點的平行四邊形．若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．（2024秋?長沙期中）2．如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一個交點為．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點為該二次函數(shù)的圖象在第一象限上一點，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標系中找一點，當、、、為頂點所構成的四邊形是平行四邊形時，直接寫出的坐標．（2024秋?阜陽期中）3．如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點和點，與y軸交于點C．(1)求的值；(2)若點P是拋物線段上的一點，當?shù)拿娣e最大時求出點P的坐標，并求出面積的最大值；(3)點F是拋物線上的動點，作交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．（2023?成都模擬）4．如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與y軸交于點C．點D在y軸上，其坐標為．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)已知在線段下方的拋物線上有一動點P，直線與直線交于點Q，連接，．當?shù)拿娣e最大時，求點P的坐標；(3)在（2）條件下，將拋物線沿射線平移個單位長度，得到新的拋物線（如圖2），點R在新拋物線的對稱軸上．在直線上有一點S，使得以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的點R的坐標．（2023?懷遠縣校級模擬）5．如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線的對稱軸與交于點D，連接，點F在x軸上，拋物線上是否存在點E，使得以O，F(xiàn)，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（2024春?萊蕪區(qū)期中）6．已知二次函數(shù)的圖象過原點，頂點坐標為．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，在x軸下方作x軸的平行線l，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點，過A、B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為點D、點C．當矩形為正方形時，求A點的坐標；(3)如圖2，在（2）的條件下，作直線，動點P從點A出發(fā)沿射線以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從點A出發(fā)沿線段勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．過點P向x軸作垂線，交拋物線于點E，交直線于點F，當以A、E、F、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．（2024?陽西縣一模）7．已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，且與x軸交于點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點旋轉，此時點A、B的對應點分別為點C、D．①連結，當四邊形為矩形時，求m的值；②在①的條件下，若點M是直線上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：1．(1)(2)(3)存在，點P坐標為（4，5）或（-1，0）【分析】（1）先求得點C（0，3），再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設出直線BC的函數(shù)表達式，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）設點，由PQ⊥x軸交直線BC于點Q，可知點，因為，所以當時，四邊形EDPQ為平行四邊形，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵點A（?1，0），，∴，∴點C（0，-3），將點A（?1，0）、點B（3，0）和點C（0，-3）代入拋物線，可得，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）設直線BC解析式為，將點B（3，0）和點C（0，-3）代入，可得，解得，∴直線BC的函數(shù)表達式為；（3）存在，設點，∴點，∵拋物線的頂點為D，∴點D（1，-4），∵點E（1，0），∴，，若EDPQ為平行四邊形，則，∵點D（1，-4），點E（1，0），∴，∴，∴或，當時，解得，；當時，即，此時，無解．∴，，∴存在以點E，D，P，Q為頂點的平行四邊形，點P坐標為（4，5）或（-1，0）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖形問題，解題關鍵是利用數(shù)形結合思想將代數(shù)和幾何圖形結合起來．2．(1)(2)(3)或或【分析】（1）先求出點B，C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解；（2）先求出直線的解析式，作軸于點D，交直線于點E，設點，用含p的二次函數(shù)表示出的面積，即可求解；（3）設點Q的坐標為，分點P在第一、二、四象限三種情況，利用平行四邊形的性質列方程，即可求解【詳解】（1）解：中，令，得，令，則，解得，，，將，，代入，得：，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）解：設直線的解析式為，將，代入，得，解得，直線的解析式為．如圖，作軸于點D，交直線于點E，

設點，則，，，當時，取最大值4，，點的坐標為2,3；（3）解：設點Q的坐標為，分三種情況，當點Q在第一象限時，，即，解得，點Q的坐標為；同理，當點Q在第四象限時，，即，解得，點Q的坐標為；當點Q在第二象限時，，即，解得，點Q的坐標為；綜上可知，點Q的坐標為或或．

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質等，第二問的關鍵是用二次函數(shù)表達出，第三問的關鍵是注意分情況討論，避免漏解．3．(1)(2)，此時(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）方法一：連接，，通過表示出函數(shù)關系，利用函數(shù)的性質進行求解；方法二：作于Q，交于點D，，求得函數(shù)關系式，進行求解即可；（3）分兩種情況，當四邊形為平行四邊形時或當四邊形為平行四邊形時，利用平行四邊形的性質進行求解即可．【詳解】（1）解：把點和點代入，得，解得，∴；（2）解：當時，，∴，∴，方法一：如圖1，連接，設點，∴，∴，∴當時，，此時；方法二：如圖2，作于Q，交于點D，設解析式為：∵，則，解得∴直線的解析式為：，∴，∴，∴，∴當時，，此時；（3）解：如圖3，當四邊形為平行四邊形時，，∵拋物線對稱軸為直線：，∴點的坐標：如圖4，當四邊形為平行四邊形時，，作于G，∵，∴，又，∴，∴，當時，，∴，，∴，，綜上所述：或或．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了二次函數(shù)與面積問題，二次函數(shù)與特殊的平行四邊形，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．4．(1)(2)(3)或或【分析】（1）將A，B的坐標代入二次函數(shù)解析式，建立方程組，求解即可；（2）分別求出直線，的解析式，可證，所以的面積的面積，進而求的面積最大可轉化為求的面積最大；過點P作軸交于點E，表達的面積，利用二次函數(shù)的性質求解即可；（3）由平移的性質可知，拋物線沿射線平移個單位長度，即向右平移2個單位，向下平移2個單位，由此可得出新拋物線的解析式，可得出點R的橫坐標，根據(jù)平行四邊形的性質，可分類討論∶當是平行四邊形的邊時，當是平行四邊形的對角線時，分別求解即可，【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，∴，解得，∴該二次函數(shù)的表達為；（2）解：如圖1，連接．∵拋物線與y軸交于點C，∴點C的坐標為．設直線的函數(shù)表達式為，代入和得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．∵點B的坐標為，點D的坐標為，設直線的函數(shù)表達式為，代入和得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．，．．．過點P作軸交于點E，設點P的橫坐標為t，則，，．，高的和為3，，∴當時，有最大值，為，，此時；（3）解：由平移的性質可知，拋物線沿射線平移個單位長度，即向右平移2個單位，向下平移2個單位，∴平移后的拋物線為：．∵點R在新拋物線對稱軸上，,∴點R的橫坐標為．若以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意，需要分以下兩種情況：①當為平行四邊形的邊時，或，或，解得或．或．或，或，或，或；②當為平行四邊形的對角線時，，，解得，；，，．．綜上，若以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，點R的坐標為：或或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質，與拋物線有關的動三角形的面積最值，平行四邊形的存在性等問題，解答本題的關鍵是熟練運用分類討論的思想解決問題．5．(1)(2)存在，或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況討論，①當以為平行四邊形的一邊時，②當以為平行四邊形的對角線時，利用平行四邊形的性質求解即可．【詳解】（1）解：把點代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：存在，拋物線的對稱軸為直線，點，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，∵拋物線的對稱軸與交于點，∴點為的坐標為，當以為平行四邊形的一邊時，此時，即軸，過點作軸，交拋物線于點，∴點的縱坐標為，∴，解得：或，∴點的坐標為或；當以為平行四邊形的對角線時，此時也為平行四邊形的對角線，設點的坐標為，點的坐標為，，解得：或，∴點的坐標為或，綜上，點的坐標為或或或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性質，一次函數(shù)解析式求解，平行四邊形的性質等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．6．(1)(2)(3)4或6或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點A，B的坐標，進而可得出點C，D的坐標，再利用正方形的性質可得出關于m的方程，解之即可得出結論；（3）由（2）可得出點A，B，C，D的坐標，根據(jù)點A，C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點E、F的坐標，由且以A、E、F、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形可得出，分，，三種情況找出，的長，由可得出關于t的-元二次方程，解之取其合適的值即可得出結論．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，頂點坐標為，將原點的坐標代入上式得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）解：設直線l的表達式為：，當時，，解得：，∴點A的坐標為，點B的坐標為，∴點D的坐標為，點C的坐標為．∵矩形為正方形，，解得：（舍去），．，即點；（3）解：以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形能為平行四邊形．由（2）可知：點A的坐標為，點B的坐標為，點C的坐標為，點D的坐標為．設直線的解析式為，代入，，得，解得，直線的解析式為．當時，，，∴點E的坐標為，點F的坐標為．∵以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形，且，，分三種情況考慮：①當時，，，，解得：（舍去），；②當時，，，，解得：（舍去），；③當時，，，，解得：（舍去），．綜上所述：當以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形時，t的值為4或6或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是∶(1)根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式∶(2)利用正方形的性質，找出關于m的方程∶(3)分，，三種情況，利用平行四邊形的性質找出關于t的一元二次方程．7．(1)（或）(2)①，②存在符合條件的點Q，其坐標為或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標，設二次函數(shù)的表達式為，再把代入即可得出答案；（2）①過點作軸于點E，根據(jù)，又因為，證明出，從而得出，將，，代入即可求出m的值；②根據(jù)上問可以得到，點M的橫坐標為4，，要讓以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當以為邊時，存在平行四邊形為；2）當以為邊時，存在平行四邊形為；3）當以為對角線時，存在平行四邊形為；即可得出答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，∴設二次函數(shù)的表達式為，又∵，∴，解得：，∴（或）；（2）①∵點P在x軸正半軸上，∴，∴，由旋轉可得：，∴，過點作軸于點E，∴，，在中，，當四邊形為矩形時，，∴，又，∴，∴，∴，解得；②由題可得點與點C關于點成中心對稱，∴，∵點M在直線上，∴點M的橫坐標為4，存在以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，1）、當以為邊時，平行四邊形為，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐