高中數(shù)學(xué)分層練習(xí)（壓軸題）06：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（30題）【含解析】

試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page55頁，共=sectionpages66頁函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、單選題1．已知是奇函數(shù)，實(shí)數(shù)、均小于，為自然對數(shù)底數(shù)，且，，則（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，，若，則下列各式成立的是（

）A． B． C． D．3．設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則（

）A．10 B．11 C．12 D．134．已知函數(shù)，若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題6．已知函數(shù)則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，B．函數(shù)的值域?yàn)镃．若關(guān)于的方程有三個(gè)根，則D．若對于恒成立，則7．已知函數(shù)函數(shù)，則（

）A．B．C．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則函數(shù)恰好有5個(gè)零點(diǎn)，且5個(gè)零點(diǎn)之和的取值范圍是8．已知函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．若，則 D．若，，則9．廣東汕頭海灣大橋被譽(yù)為“中國第一座大跨度現(xiàn)代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數(shù)，）．當(dāng)時(shí)，該方程是雙曲余弦函數(shù)，類似的函數(shù)還有雙曲正弦函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．，B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值C．，D．，10．已知函數(shù)，則（

）A．若在處取得極值，則.B．若，則函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn).C．若的極小值小于0，則.D．若無極值，則.三、填空題11．已知，定義：，設(shè)．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，若，不等式在上總存在實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為．13．若對任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．14．已知，，若對任意，都存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.15．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．（1）已知函數(shù)滿足：，，則方程所有實(shí)根之和為．（2）對于函數(shù)，若存在使，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對“隱對稱點(diǎn)”．若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．17．已知函數(shù)，點(diǎn)在第四象限內(nèi)，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為.18．如果函數(shù)滿足對任意、，有，則稱為優(yōu)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①為優(yōu)函數(shù)；②若為優(yōu)函數(shù)，則；③若為優(yōu)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增；④若在上單調(diào)遞減，則為優(yōu)函數(shù).其中所有正確結(jié)論的序號是.19．對于，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題21．已知函數(shù)（且）(1)判斷的單調(diào)性；(2)若m，n為方程的兩個(gè)根，求的最小值．22．設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；(2)若在時(shí)恒成立，求a的取值范圍；(3)若，證明．23．已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求與的極值；(2)是否存在，使與均有2個(gè)零點(diǎn).若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.24．設(shè)，若對任意，總成立，則稱為的“不可躍”函數(shù)．(1)判斷是否為的“不可躍”函數(shù)，并說明理由；(2)求證：①為的“不可躍”函數(shù)；②為的“不可躍”函數(shù)；一定不是的“不可躍”函數(shù)．25．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)對任意的，存在，使得成立，試確定m的取值范圍．26．已知函數(shù)，．(1)若存在，使得不等式有解，求的取值范圍；(2)對于定義域內(nèi)的，，，若且，求的取值范圍．27．已知四數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．28．若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對任意的和，都有，我們就稱這個(gè)函數(shù)是“優(yōu)美的”．(1)若函數(shù)是優(yōu)美的，求；(2)寫出一個(gè)優(yōu)美的函數(shù)，使得，并說明為什么是優(yōu)美的；(3)對于任意優(yōu)美的函數(shù)，證明：對任意的有理數(shù)，都有．29．對于給定的正項(xiàng)數(shù)列，定義：，其中，為數(shù)列中的第項(xiàng)（）.若存在非零常數(shù)，使得數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列.(1)寫出首項(xiàng)為2的“2數(shù)列”的前4項(xiàng)；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1的“數(shù)列”，數(shù)列為等比數(shù)列，且.求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)數(shù)列為“數(shù)列”，，，記為的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和；證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.30．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（1805-1859）在1837年時(shí)提出：“如果對于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的一個(gè)函數(shù).”這個(gè)定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)，有一個(gè)確定的和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式還是用圖象、表格等形式表示，如狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集.(1)已知函數(shù).①判斷函數(shù)的奇偶性（直接寫結(jié)果），并求的值；②記函數(shù)，求的零點(diǎn)；(2)對任意集合，定義.已知集合，證明：對，（其中符號表示不大于的最大整數(shù)）.答案第=page3838頁，共=sectionpages3838頁答案第=page3737頁，共=sectionpages3838頁《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》參考答案題號12345678910答案DBCDAACDACDBCDBCDBD1．D【分析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得出，由已知可得出，，由結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，可得出，可得出，并推導(dǎo)出、，即可得解.【解析】對任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，所以，，，則函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；因?yàn)?，，則，，因?yàn)?，則，所以，即，即，即，因?yàn)?，，則，則，故，即，又因?yàn)?，即，可得或，則或，即，同理可知，，故.故選：D.2．B【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.【解析】由題可得，即，在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)，，的圖象，

由，可知，由，可得，聯(lián)立，解得，因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，則，，且，，對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，由，，則，故B正確；對于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B.3．C【分析】根據(jù)的定義進(jìn)行分析，由此列不等式來求得的取值范圍，進(jìn)而求得正確答案.【解析】因?yàn)椋栽撌降那?5項(xiàng)都為0，后4項(xiàng)都為1，所以，所以，即，得，因?yàn)?，所以，所以，?故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先根據(jù)和式的結(jié)果分析每一項(xiàng)的取值情況，列出關(guān)于變量的不等式，然后解不等式得到變量的取值范圍，若取值范圍涉及到指數(shù)形式，通過計(jì)算近似值進(jìn)一步精確范圍，最后根據(jù)變量的取值范圍求出所求式子的值.4．D【分析】問題化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間單調(diào)性及其值域，即可求參數(shù)范圍.【解析】由題設(shè)在上有兩個(gè)實(shí)根，即在上有兩個(gè)實(shí)根，所以與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，由，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，，所以使，即，，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，根據(jù)解析式易知趨向0或時(shí)，均趨向于，且，綜上，只需.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：問題化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)是關(guān)鍵.5．A【分析】利用分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得的周期為2，且求出，利用導(dǎo)數(shù)判斷出時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用對數(shù)的性質(zhì)判斷出的大小可得答案.【解析】因?yàn)榉謩e為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，由，得，所以，可得的周期為2，又，可得，兩式相加可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，且，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，，，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出，利用導(dǎo)數(shù)判斷出時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù).6．ACD【分析】先根據(jù)分式函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識判斷函數(shù)單調(diào)性與漸近線，從而畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而直接判斷A和B；通過方程的根與圖象的公共點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合圖象即可判斷C，設(shè)函數(shù)，并求出與函數(shù)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析時(shí)，直線斜率增大，此時(shí)函數(shù)滿足在時(shí)處于直線下方，從而判斷D.【解析】（i）當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.（ii）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，，，恒有.綜上可知，，作出函數(shù)大致圖象，如下圖.對于A，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確；對于B，函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對于C，方程有三個(gè)根，則所以與有3個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，即的取值范圍是，故C正確;對于D，設(shè)函數(shù)為過定點(diǎn)的直線，且與函數(shù)的切點(diǎn)為，則有①，②，且③，由①②得，將③代入上式可得，即，即，解得或（舍去），，此時(shí)直線與函數(shù)相切，為臨界情況；當(dāng)，直線斜率增大，此時(shí)函數(shù)滿足在時(shí)，處于直線下方，即對于恒成立，因此，，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對函數(shù)解析式或方程變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.7．ACD【分析】AB選項(xiàng)，畫出的圖象，要想使得，只需考慮，分別求出對應(yīng)的自變量取值范圍，B錯(cuò)誤，A正確；C選項(xiàng)，恒成立，由函數(shù)圖象可知，故，解得；D選項(xiàng)，令，得到或，對應(yīng)兩個(gè)解，，對應(yīng)三個(gè)解，即，，故，D正確.【解析】AB選項(xiàng)，畫出的圖象，如下：不妨設(shè)，則，要想使得，只需考慮，令，解得，令，解得，且，故不存在，使得，B錯(cuò)誤，A正確；C選項(xiàng)，，恒成立，即，恒成立，由函數(shù)圖象可知，要想恒成立，需滿足，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，C正確；D選項(xiàng)，若，令，即，故或，顯然對應(yīng)兩個(gè)解，，令得，對應(yīng)三個(gè)解，即，且，，故，則函數(shù)恰好有5個(gè)零點(diǎn)，且5個(gè)零點(diǎn)之和的取值范圍是故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進(jìn)行解決.8．BCD【分析】求出即可判斷A；脫出即可判斷B；將多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為乘積形式函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的對稱性可判斷D.【解析】對于A，由題意可知，則為二次函數(shù)，不可能有3個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對于B，，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，B正確；對于C，若，則，故，同理故，故，C正確；對于D，時(shí)，，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線，即對稱，且此函數(shù)在對稱軸處有意義且可導(dǎo)，即在時(shí)取到極值，則必有，D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于將多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為乘積形式函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).9．BCD【分析】利用指數(shù)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值，可判斷B選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)比較、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；令，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng).【解析】對于A選項(xiàng)，，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，B對；對于C選項(xiàng)．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，又，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，．故C正確；對于D選項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，則，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)，可在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，則，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判定.10．BD【分析】根據(jù)極值與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系可判斷A錯(cuò)誤，由函數(shù)解析式通過解方程可得B正確，取特殊值可判斷C錯(cuò)誤，若無極值可得沒有變號零點(diǎn)，解方程可得，即D正確.【解析】對于A，由可得，若在處取得極值，則，解得或；當(dāng)時(shí)，可知，因?yàn)?，所以是的變號零點(diǎn)，滿足在處取得極值，符合題意；當(dāng)時(shí)，可知，因?yàn)椋砸彩堑淖兲柫泓c(diǎn)，滿足在處取得極值，符合題意；綜合可得，或，可得A錯(cuò)誤；對于B，若，可得，則，令，解得，所以函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；對于C，令，則，所以，因此當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，即，但此時(shí)，即C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋羁傻没?；又因?yàn)闊o極值，可得，解得，即D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用函數(shù)極值與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，通過解方程并驗(yàn)證參數(shù)取值即可判斷BD選項(xiàng)是否正確.11．【分析】令函數(shù)，通過分析的正負(fù)確定函數(shù)及的解析式，把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【解析】令函數(shù)，由解析式可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，.令，由，得，∴函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，

先考慮與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，而，故直線與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為，故當(dāng)即時(shí)，直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖2，當(dāng)，即時(shí)，直線過點(diǎn)，故直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖3，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖4，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖5，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，根據(jù)得，其中，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.12．【分析】由題可得，不等式存在解，轉(zhuǎn)化為求解不等式左邊的最大值.構(gòu)建函數(shù)，得到函數(shù)在的單調(diào)性，從而知道函數(shù)在內(nèi)的值域，當(dāng)時(shí)，取最小，建立不等式，求得的取值范圍.【解析】依題意在上總存在實(shí)數(shù)解，∴．∵，∴在上單調(diào)遞增，∴，由于，∴當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小，即，∴，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，不等式存在解（恒成立）的問題，一般轉(zhuǎn)換為求不等式的最值來建立新的不等式，然后求得參數(shù)范圍.13．【分析】整理可得，同構(gòu)結(jié)合的單調(diào)性分析可得，換元令，可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.【解析】因?yàn)?，且，可得，整理可得，?gòu)建又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，整理可得，令，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題1.分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．2.函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．14．【分析】由得.設(shè)，，求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，求兩個(gè)函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)值域的包含關(guān)系求的取值范圍.【解析】由得，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；所以.且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)?；設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；所以，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)?；依題意，的值域是的值域的子集.顯然，若，則的值域?yàn)椋缓项}意，舍去；若，則的值域，則需的值域，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得.設(shè)，，對任意，都存在，使得就轉(zhuǎn)化成的值域是的值域的子集.15．【分析】先求導(dǎo)，將有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象，通過切線解決即可.【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，故有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象，又恒過定點(diǎn)，

若，顯然只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意；若，則無交點(diǎn)，不合題意；若，設(shè)直線和相切于點(diǎn)，由，則，所以，所以，解得，故切點(diǎn)是，所以，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16．【分析】（1）首先判斷兩函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，從而得到與有兩個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對稱，結(jié)合對稱性計(jì)算可得；（2）結(jié)合奇函數(shù)的特征，區(qū)間轉(zhuǎn)化法求解析式，再根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到方程根的問題，利用基本不等式即可解決.【解析】（1）

由題意知，定義域?yàn)?，顯然在上單調(diào)遞減，當(dāng)從正數(shù)趨向于時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，由于，故的對稱中心為，同理，的對稱中心為且單調(diào)遞增，且趨向于時(shí)，趨向于，故與有兩個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對稱，不妨設(shè)兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，故故的實(shí)根之和為．故答案為：（2）

由“隱對稱點(diǎn)”的定義可知，的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，設(shè)的圖象與圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則，，所以，，故的圖象與，的圖象有交點(diǎn)，等價(jià)于方程有實(shí)根，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第（2）先依據(jù)對稱性求出與函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，進(jìn)而將題設(shè)等價(jià)轉(zhuǎn)換成方程有實(shí)根，再結(jié)合參變分離法和基本不等式計(jì)算即可.17．【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可得出，令，分析可知，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得出或，由，可求出的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍.【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，由題意可知，，，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，則，即方程有兩個(gè)解.令，或，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)解，所以，或，當(dāng)時(shí)，則有，即，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，可得，由可得，所以，，則，綜上，，即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在其上一點(diǎn)處的切線方程的基本步驟如下：（1）對函數(shù)求導(dǎo)得；（2）計(jì)算切線的斜率；（3）利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.18．①②④【分析】利用優(yōu)函數(shù)的定義可判斷①；利用賦值法推導(dǎo)出、，逐項(xiàng)遞推可判斷②；取，，結(jié)合優(yōu)函數(shù)的定義可判斷③；利用減函數(shù)的性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)結(jié)合優(yōu)函數(shù)的定義可判斷④.【解析】對于①，因?yàn)?、，則，所以，，則是優(yōu)函數(shù)，故①正確；對于②，因?yàn)槭莾?yōu)函數(shù)，則，即，，即，同理可得、、，故②正確；對于③，例如，，滿足，所以，，則為優(yōu)函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；對于④，若在上單調(diào)遞減，任取、，，，則，，所以，，，變形為，，兩式相加得：，因?yàn)?，所以，，所以，為?yōu)函數(shù)，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.19．【分析】分離常數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可得的值域?yàn)?，且為單調(diào)函數(shù)，即可求導(dǎo)，結(jié)合或恒成立求解.【解析】依題意，任意的均使得有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，令0，得，記函數(shù)，即與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，若的值域不是，設(shè)的值域?yàn)?，則，使得，矛盾，所以的值域?yàn)椋覟閱握{(diào)函數(shù)（否則與直線存在至少兩個(gè)交點(diǎn)），所以恒有或，易得，當(dāng)且時(shí)，有，所以恒有，得恒成立，記，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最大值為，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．20．或【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)換為或總共有三個(gè)零點(diǎn)，對分類討論即可求解.【解析】當(dāng)時(shí)，由得，解得或，當(dāng)時(shí)，由得，解得（舍），作出的圖象，如圖，由得或，即或，當(dāng)，即時(shí)，無實(shí)根，此時(shí)，最多兩個(gè)實(shí)根，與題意不符；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)實(shí)根，有兩個(gè)實(shí)根，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，少有兩個(gè)實(shí)根，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，至少有一個(gè)實(shí)根，不符合題意：當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，有一個(gè)實(shí)根，符合題意：當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意綜上所述，有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的問題．21．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）利用得到是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，從而得到，，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解，即可得答案.【解析】（1）根據(jù)題意，，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減.（2）由，，可得，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，其中，得，故，，即.故，設(shè)，，設(shè)，則，所以為上的增函數(shù)，則.，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，即，所以為上的增函數(shù)，的最小值為，故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是求最小值時(shí)，要利用得到，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，從而得到，，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解.22．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程求解即可；（2）先由題設(shè)條件得到，再證明時(shí)條件滿足；（3）先確定的單調(diào)性，再對范圍分類討論.【解析】（1）由于，故．所以，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為1，故其方程為．（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，這就說明，即，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對任意，都有．一方面，若對任意，都有，則對，有，取，得，故．再取，得，所以．另一方面，若，則對任意都有，滿足條件．綜合以上兩個(gè)方面，知a的取值范圍是．（3）先證明一個(gè)結(jié)構(gòu)，對，有，證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即．由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．不妨設(shè)，下面分三種情況證明本題結(jié)論．情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時(shí)，有．對任意的，設(shè)，則．由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)時(shí)，由可知．所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，由于，故可以?。畯亩?dāng)時(shí)，由，可得．再根據(jù)在上單調(diào)遞減，即知對都有；綜合①②可知對任意，都有，即．根據(jù)和的任意性，取，就得到．所以．情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，．而根據(jù)的單調(diào)性，知或．故一定有成立．綜上，結(jié)論成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．23．(1)的極小值為1，無極大值，的極小值為1，無極大值(2)不存在，理由見解析【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)極值點(diǎn)的定義求解，（2）根據(jù)方程的根，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)圖形求解.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與均單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與均單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，均各自取到相應(yīng)的極小值，無極大值；（2），故，，可得（且）令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，有極大值，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根.令（且），則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)從1的左邊趨于1時(shí)，趨于正無窮，當(dāng)從1的右邊趨于1時(shí)，趨于負(fù)無窮，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程()有兩個(gè)根.綜上所述，不存在，使與均有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．24．(1)不是的“不可躍”函數(shù)，理由見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）取驗(yàn)證，可知不是的“不可躍”函數(shù)．（2）①令，記為的導(dǎo)數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，則，，…，，且，先證時(shí)的結(jié)論，再利用轉(zhuǎn)化方法證明的是情況②對于上面一連串的導(dǎo)函數(shù)，從后往前逐次利用導(dǎo)數(shù)的意義研究其單調(diào)性，進(jìn)而得出的單調(diào)性，進(jìn)而可證.【解析】（1）不是．由，故不是的“不可躍”函數(shù)．（2）證：①當(dāng)時(shí)，令，記為的導(dǎo)數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，則，，…，，且，所以，在單調(diào)遞增，所以，依次類推，，所以在單調(diào)遞增，又，所以，即；當(dāng)時(shí)，即要證明，即證：當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，已證成立，顯然在時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；②令，記為的導(dǎo)數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，則，，…，，且，時(shí)，時(shí)，所以單調(diào)遞減，所以，所以單調(diào)遞增，...，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞增，...，，單調(diào)遞增，，所以；所以為的“不可躍”函數(shù)；則，，…，，且，時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，...，，單調(diào)遞增，，所以；所以一定不是的“不可躍”函數(shù)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是令，記為的導(dǎo)數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，則，，…，，且，從后往前利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性.25．(1)(2)【分析】（1）先把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與有2個(gè)交點(diǎn)，再求導(dǎo)函數(shù)得出最小值，進(jìn)而得出參數(shù)范圍；（2）先把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值關(guān)系，再分別求出導(dǎo)函數(shù)判定單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最小值，最后列式計(jì)算求解.【解析】（1）因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以即有2個(gè)根，令與有2個(gè)交點(diǎn)，，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；所以，又因?yàn)椋耘c有2個(gè)交點(diǎn)可得，即得.（2）因?yàn)閷θ我獾?，存在，使得成立，所以，由?）知的最小值為，因?yàn)?，，令，因?yàn)椋?，所以，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是把任意的，存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為.26．(1)實(shí)數(shù)的取值范圍為(2)的取值范圍為【分析】（1）分析的單調(diào)性并將問題轉(zhuǎn)化為“存在，使得不等式有解”，根據(jù)二次函數(shù)的最值可求解出結(jié)果；（2）先分析出的范圍，再通過條件用表示出，由此可求的范圍.【解析】（1）因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)榇嬖冢沟貌坏仁接薪?，即存在，使得不等式有解，即存在，使得不等式有解，所以且，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)方面，一方面是存在性問題的轉(zhuǎn)化，通過參變分離將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與新函數(shù)最值之間的關(guān)系；另一方面是在求的最大值時(shí)，合理利用條件結(jié)合基本不等式將的范圍求出，通過與的關(guān)系求解.27．(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）討論、、，根據(jù)函數(shù)值符號，且利用導(dǎo)數(shù)判斷在上恒成立或的單調(diào)性，即可證結(jié)論；（3）問題化為在上恒成立，對求導(dǎo)，討論參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)的單調(diào)性及其函數(shù)符號求參數(shù)范圍.【解析】（1）由題設(shè)，則，又，所以在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，故恒成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，法一：令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立；法二：恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以；綜上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為，得證；（3）由題意，在上恒成立，所以，在上恒成立，而，令，則，對于且，則，所以在上單調(diào)遞增，則，可得，對于且，則，所以在上單調(diào)遞增，則，可得，綜上，，則，即在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，此時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，，，所以使，即存在區(qū)間使，不符合；（保號性：，，故必存在的情況，不符合；