第6節(jié) 空間向量與線面位置關(guān)系

第6節(jié)空間向量與線面位置關(guān)系考試要求1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理．【知識梳理】1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有______和______的量相等向量方向________且模________的向量相反向量方向________且模________的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相________或________的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得____________________．(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在________的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝________．(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是________，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b_____________，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝____________________．(3)空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b__________________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)________________________模|a|________________________夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l________________，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．6．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?____________直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?____________l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?____________[常用結(jié)論與微點提醒]1．空間向量的線性運算和數(shù)量積運算可類比平面向量的線性運算和數(shù)量積運算．2．空間向量的坐標(biāo)運算和坐標(biāo)原點的選取無關(guān)．3．實數(shù)0和任意向量相乘都為零向量．4．實數(shù)與空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算．5．在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時，必須說明M點或N點不在平面ABC內(nèi)．【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的．()(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()(3)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量．()(4)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角．()(5)若兩平面的法向量平行，則不重合的兩平面平行．()2．(選修一P12例1改編)如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN＝eq\f(1,2)ON，AP＝eq\f(3,4)AN，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝________(用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示)．3．(選修一P22T2改編)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則x＝________．4．正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF的長為________.考點一空間向量的運算及共線、共面定理例1(1)(2023·北京海淀區(qū)質(zhì)檢)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c(2)(多選)下列說法中正確的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDC．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點共面D．若P，A，B，C為空間四點，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件感悟提升1.(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求．(2)解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，靈活運用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量．2．(1)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，則點P，A，B共線．(2)已知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))不共線，證明空間四點P，M，A，B共面的方法．①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).②對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．③eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．訓(xùn)練1已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點二空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用例2如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，試采用向量法解決下列問題：(1)求eq\o(EF,\s\up6(→))的模長；(2)求eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))的夾角．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確．訓(xùn)練2如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點三利用空間向量證明平行與垂直例3如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進而用向量表示涉及直線、平面