2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動(dòng)點(diǎn)在四邊形中的分類討論（基礎(chǔ)訓(xùn)練） 含解析

動(dòng)點(diǎn)在四邊形中的分類討論

【專題說(shuō)明】

動(dòng)點(diǎn)問題是中考中非常重要的一類問題，也是中考中的熱點(diǎn)問題。動(dòng)點(diǎn)問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中變化的思想，

分類討論的思想，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求非常高。

四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題是一類非常重要的問題，它將三角形和平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合在

一起進(jìn)行考察。

一、解題基本思路

解決動(dòng)點(diǎn)問題的思路，要注意以下幾點(diǎn)：

1、設(shè)出未知數(shù)

動(dòng)點(diǎn)問題一般都是求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，通常設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

2、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑就是線段長(zhǎng)度

題目通常會(huì)給動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度例如每秒兩個(gè)單位，那么運(yùn)動(dòng)路程就是2t個(gè)單位。而2t也就是這個(gè)點(diǎn)所

運(yùn)動(dòng)的線段長(zhǎng)。進(jìn)而能表示其他相關(guān)線段的長(zhǎng)度。

所以我們?cè)谧鰟?dòng)點(diǎn)問題的時(shí)候，第一步就是把圖形中的線段都用含t的代數(shù)式來(lái)表示。

3、方程思想求出時(shí)間

動(dòng)點(diǎn)問題通常都是用方程來(lái)解決，根據(jù)題目找到線段之間的等量關(guān)系，然后用含有t的代數(shù)式表示出來(lái)，

列出方程求解出t的值。

4、難點(diǎn)是找等量關(guān)系

這種題的難點(diǎn)是找到等量關(guān)系。這個(gè)等量關(guān)系往往不是題目中用語(yǔ)言敘述出來(lái).的，而是同學(xué)們根據(jù)題

型自己挖掘出來(lái)的等量關(guān)系，所以對(duì)同學(xué)們圖形分解的能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力要求非常高。

5、注意分類討論

因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的位置不同，形成的圖形就不同，符合結(jié)論的情況可能就不止一種，所以做動(dòng)點(diǎn)問題要注意

分類討論。.

【精典例題】

1、如圖，在矩形ABC。中，BC=20cm,P,Q,M,N分別從A,B,C,。出發(fā)沿A。，BC,CB,D4方向

在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止.已知在相同時(shí)間內(nèi)，

若BQ=_rcm(XW0),則AP=2rcm,CM=3xcm,DN=x^cm.

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，以尸。，為兩邊，以矩形的邊(A?；駼C)的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；

1

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

（3）以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，己知矩形ABC。的三個(gè)頂點(diǎn)2（1,0）、C（3,0）、0（3,4）.以A為頂點(diǎn)的拋

物線>="2+6尤+c過(guò)點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線

段C。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作交AC于

點(diǎn)E.

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)E作于肛交拋物線于點(diǎn)G,當(dāng)t為何值時(shí)，AACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動(dòng)點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)f為何值時(shí)，在矩形ABCC內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H,使以C、0、E、

H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出f的值.

圖1

3、如圖1,在R3ABC中，NC=90。，AC=6,3C=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD//BC,

交于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)尸。點(diǎn)P、。分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒（侖0）.

（1）直接用含，的代數(shù)式分別表示：QB=,PD=；

（2）是否存在f的值，使四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由，并探究如何

改變點(diǎn)。的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)。的速度；

（3）如圖2,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段尸。的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

2

圖1圖2

4、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=加一2°元-3a（a<0）與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)2的

左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線/：y=.fcc+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，且CO=4AC.

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線/的函數(shù)表達(dá)式（其中入b用含。的式子表示）；

（2）點(diǎn)E是直線/上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若AACE的面積的最大值為?，求。的值；

（3）設(shè)尸是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線上，以點(diǎn)A、。、P、。為頂點(diǎn)的四邊形能否成

為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1備用圖

5、如圖1,已知拋物線C：y=—f+6x+c經(jīng)過(guò)A（—3,0）和仇0,3）兩點(diǎn).將這條拋物線的頂點(diǎn)記為它的

對(duì)稱軸與無(wú)軸的交點(diǎn)記為N.

（1）求拋物線C的表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將拋物線C平移到拋物線。，拋物線。的頂點(diǎn)記為AT,它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N<如果

以點(diǎn)〃、N、M'、V為頂點(diǎn)的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？

3

圖1

1.【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)N重合或點(diǎn)。與點(diǎn)M重合時(shí)，以尸。，MN為兩邊,以矩形的邊(AD或BC)

的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.

①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)N重合時(shí)，

由f+2x=20,=721-1.X2=-V21-1(舍去).

因?yàn)?Q+CM=x+3x=4("[-l)<20,此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)M不重合.所以x=0T-1符合題意.

②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)M重合時(shí)，

由x+3x=20,得x=5.此時(shí)DV=X2=25>20,不符合題意.故點(diǎn)。與點(diǎn)M不能重合.

所以所求尤的值為歷-1.

(2)由(1)知，點(diǎn)。只能在點(diǎn)M的左側(cè)，

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由20-(x+3x)=2()_(2x+x2),解得玉=0(舍去)，％=2.

當(dāng)廣2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形.

②當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由20—(x+3x)=(2x+x2)—20,解得玉=-10(舍去)，9=4.

當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形.所以當(dāng)尤=2或x=4時(shí)，以尸，Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形.

(3)過(guò)點(diǎn)°,M分別作A。的垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F.由于2尤X,所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè).

若以尸，Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)尸一定在點(diǎn)N的右側(cè)，旦PE=NF,

即2x-x=f-3x.解得%=0(舍去)，無(wú)2=4.

由于當(dāng)x=4時(shí)，以尸，Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以，以「，Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形不

能為等腰梯形

4

2.思路點(diǎn)撥

1.把A4CG分割成以GE為公共底邊的兩個(gè)三角形，高的和等于AD

2.用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點(diǎn)的坐標(biāo)都表示出來(lái).

3.構(gòu)造以C、。、E、H為頂點(diǎn)的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗(yàn)證菱形是否存在.

滿分解答

(1)A(l,4).因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)2+4,

代入點(diǎn)C(3,0),可得a=-1.

所以拋物線的解析式為y=—(x—1>+4=—^+2x+3.

(2)因?yàn)镻EIIBC,所以空=組=2.因此尸E=L八

PEBC22

所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1+4八

2

將X=1+_L/代入拋物線的解析式，y=—(X—1)2+4=4-工產(chǎn).

24

所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4一于是得到GE=(4-L/)_(4_t)=_L/+r.

444

因此SMCG=S^GE+SACGE=；GE(人尸+°/)=-；/+f=—：(/一2>+1?

所以當(dāng)f=l時(shí)，AACG面積的最大值為1.

(3)"型或/=20-8G.

13

考點(diǎn)伸展

第(3)題的解題思路是這樣的：

因?yàn)镕EUQC,FE=QC,所以四邊形FECQ是平行四邊形.再構(gòu)造點(diǎn)/關(guān)于PE軸對(duì)稱的點(diǎn)“，那么

四邊形EH'CQ也是平行四邊形.

再根據(jù)尸。=C。列關(guān)于f的方程，檢驗(yàn)四邊形FEC。是否為菱形，根據(jù)EQ=C。列關(guān)于f的方程，檢

驗(yàn)四邊形EH'CQ是否為菱形.

￡(1+；/,4—力，F(xiàn)(l+1r,4)>e(3,r),C(3,0).

如圖2,當(dāng)/。=C。時(shí)，BQ』。。，因此(}_2)2+(47)2=已

整理，得/一40/+80=0.解得％=20—8石，勻=20+8行(舍去).

如圖3,當(dāng)EQ=C。時(shí)，EQ2=C02,因此(}_2)2+(4-27)2=/.

5

整理，得13/_72r+800=0.(13?-20)(?-40)=0.所以％=型，與=40(舍去).

3.思路點(diǎn)撥

1.菱形PO8Q必須符合兩個(gè)條件，點(diǎn)尸在NABC的平分線上，PQ//AB.先求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間3再

根據(jù)PQ//AB,對(duì)應(yīng)線段成比例求C。的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)。的速度.

2.探究點(diǎn)M的路徑，可以先取兩個(gè)極端值畫線.段，再驗(yàn)證這條線段是不是點(diǎn)〃的路徑.

滿分解答

4

(1)。2=8—2/,PD=-t.

3

(2)如圖3,作/ABC的平分線交CA于P,過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB交于°,那么四邊形PDBQ是菱形.

過(guò)點(diǎn)P作垂足為E,那么BE=BC=8.

在RtAABC中，AC=6,BC=8,所以AB=10.

在RtAAPE中，CosA=—=-=所以r=W.

APt53

6_io

當(dāng)尸Q/42時(shí)，絲=色，即絲=_3_.解得。。=衛(wèi).

CBCA869

所以點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為%+12=3.

9315

(3)以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

如圖4,當(dāng)t=0時(shí)，尸。的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3,0).

如圖5,當(dāng)t=4時(shí)，尸。的中點(diǎn)就是尸8的中點(diǎn)網(wǎng)1,4).

直線EF的解析式是y=-2了+6.

如圖6,PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為(生N,f).經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)M(心，力在直線上.

22

所以尸。的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是線段EF的長(zhǎng)，EF=2A/5.

6

第(3)題求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：

當(dāng)t=2時(shí)，尸。的中點(diǎn)為(2,2).

設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為代入￡(3,0)、FQ,4)和(2,2),

9a+3b+c=0,

得,a+b+c=4,解得。=0，b=—2,c=6.

4a+2b+c=2.

所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y=~2x+6.

4.思路點(diǎn)撥.

1.過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交4。于尸，那么A4E尸與ACE尸是共底的兩個(gè)三角形.

2.以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)討論矩形，當(dāng)AD為邊時(shí)，與。尸平行且相等，對(duì)角線AP=QD當(dāng)為對(duì)

角線時(shí)，與尸?；ハ嗥椒智蚁嗟?

滿分解答

(1)由>=辦2—2ax—3a=a(x+l)(x—3),得4(—1,0).

由CD=4AC,得孫=4.所以。(4,5a).

由A(—1,0)、￡>(4,5。)，得直線/的函數(shù)表達(dá)式為y=or+a.

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作無(wú)軸的垂線交AD于尸.

設(shè)E(JC,ax2-2ox—3a),F(x,ax-\-d),那么EF=yE~yF=ax1~^ax—4a.

由sKACE=s4AEF—sZCEF=-x)-^-X)

gEF(x￡AEF(XEc

22

=^EF(xc-xJ=1(ax-3ax-4a)=|a(x-|)-a，

得AACE的面積的最大值為-紀(jì)a.解方程—至a=9,得2

a=——

8845

(3)已知A(—1,0)、0(4.5a),xP=\,以A。為分類標(biāo)準(zhǔn),分兩種情況討論:

①如圖2,如果為矩形的邊，那么AD//QP,AD^QP,對(duì)角線AP=QD

由XD-XA=XP-XQ,得XQ=-4.

7

當(dāng)x=-4時(shí)，y=a(x+l)(x—3)=21a.所以。(一4,21a).

由>A=yp—y°，得yp=26a.所以尸(1,26。).

由4尸2=?！?gt;2,得22+(26a)2=82+(16。)2.

整理，得7/=i.所以一乎.此時(shí)P（l,_

②如圖3,.如果A。為矩形的對(duì)角線，那么A。與P?；ハ嗥椒智蚁嗟?

由知+XA=X?+_X2，得X°=2.所以。(2,—3a).

由y?+y4=yp+y°,得yp=8a.所以P(l,8a).

由AD1=PQ1,得52+(5a)2=l2+(lU)2.

考點(diǎn)伸展

第（3）題也可以這樣解.設(shè)尸

①如圖2,當(dāng)4。時(shí)矩形的邊時(shí)，ZQPD=90°,所以邈=空，即工二3

MDNP-5a3

解得”=1±初.所以P（I,1±至）.所以°（_4,3）.

aaa

將。（一4,3）代入y=a（x+D（x—3），得』=21a.所以。=一立.

aa7

②如圖3,.當(dāng)AZ）為矩形的對(duì)角線時(shí)，先求得。（2,—3a）.

由乙4紗=90。，得生=變,即3=_?_.解得

GQKD3—3a—5a2

5.思路點(diǎn)撥

1.拋物線在平移的過(guò)程中,MW與MN保持平行，當(dāng)M\T=MN=4時(shí)，以點(diǎn)M、N、M\V為頂點(diǎn)

的四邊形就是平行四邊形.

2.平行四邊形的面積為16,底邊MN=4,那么高NN』4.

3.M，N，=4分兩種情況：點(diǎn)在點(diǎn)N，的上方和下方.

8

4.NN，=4分兩種情況：點(diǎn)N，在點(diǎn)N的右側(cè)和左側(cè).

滿分解答

(1)將4-3,0)、8(0,3)分別代入yn-d+M+c,得

-9-3Z?+c=0,

解得