八年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：全等三角形的性質(zhì)（八大題型）

八上數(shù)學(xué)【全等三角形的性質(zhì)】八大題型

【知識點1全等圖形的概念】

能完全重合的圖形叫做全等圖形.

【知識點2全等圖形的性質(zhì)】

兩個圖形全等，它們的形狀相同，大小相同.

【題型1全等圖形的概念】

【例1】（2022?偃師市期末）下列說法不正確的是（）

A.如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同

B.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)

C.全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形

D.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

【變式1T】（2021?思南縣期中）有下列說法，其中正確的有（）

①兩個等邊三角形一定能完全重合；

②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同；

③兩個等腰三角形一定是全等圖形；

④面積相等的兩個圖形一定是全等圖形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式『2】（2021?蔡甸區(qū)期中）如圖，有①?⑤5個條形方格圖，每個小方格

的邊長均為1,則②?⑤中由實線圍成的圖形與①中由實線圍成的圖形全等

的有（）

【變式1-3]（2021?寧德期末）在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長

都為L沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個全等的圖形.在所有的

分割方案中，最長分割線的長度等于.

【知識點3全等三角形的性質(zhì)】

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相

等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）

【題型2全等三角形的對應(yīng)元素判斷】

[例2]（2021?南沙區(qū)期末）如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形

的邊長，則N1的度數(shù)是（）

A.115°B.65°C.40°D.25°

【變式2-1]（2021?大連期中）如圖，△ABNZ^ACM,NB和NC是對應(yīng)角，AB

和AC是對應(yīng)邊，其它對應(yīng)邊及對應(yīng)角正確的是（）

A.NANB和/AMC是對應(yīng)角B.NBAN和NCAB是對應(yīng)角

C.AM和BM是對應(yīng)邊D.BN和CN是對應(yīng)邊

【變式2-2］（2021?泰興市期末）邊長都為整數(shù)的4ABC和aDEF全等，AB與

DE是對應(yīng)邊，AB=2,BC=4,若aDEF的周長為奇數(shù)，則DF的值為（）

A.3B.4C.3或5D.3或4或5

【變式2-3］（2021?魯?shù)榭h期末）如果AABC的三邊長分別為3,5,7,ADEF

的三邊長分別為3,3x-2,2y-L若這兩個三角形全等，則x+y=.

【題型3全等三角形的性質(zhì)（求長度）】

【例3】（2021?青田縣期末）如圖，已知△ABCZZ^DEF,B,E,C,F在同一條

直線上.若BF=8cm,BE=2cm,則CE的長度（）cm.

【變式3-1】（2022?巴南區(qū)期末）如圖，AABC^ABDE,AB±BD,AB=BD,AC=

4,DE=3,CE的長為（）

A.1B.2

C.3D.4

【變式3-2］（2020?永嘉縣校級期末）如圖，已知△ABCZZXDBE,點A,C分別

對應(yīng)點D,E,BC交DE于點F,ZABD=ZE,若BE=10,CF=4,則EF的長

為（）

A.4B.5D.7

【變式3-3］（2021?沙坪壩區(qū)期末）如圖，^ABC中，點D、點E分別在邊AB、

BC上，連結(jié)AE、DE,若△ADE^Z^BDE,AC：AB：BC=2：3：4,且AABC的周

長比AAEC的周長大6.則4AEC的周長為

【題型4全等三角形的性質(zhì)（求角度）】

【例4】（2022?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，△ABCZ^A'B'C',邊B'C過點

A且平分NBAC交BC于點D,ZB=27°,ZCDBZ=98°,則NC'的度數(shù)為

)

A.60°B.45C.43°D.34°

【變式4-1］（2021?民權(quán)縣期末）如圖，△ABCZ/kADE,且AE//BD,ZBAD=

94°,則NBAC的度數(shù)的值為（）

【變式4-2］（2021?招遠(yuǎn)市期中）如圖，△ABC且點A和點D是對應(yīng)頂

點，點B和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AF±CD,垂足為點F,若NBCE=56°,

【變式4-3］（2022?武侯區(qū)期末）如圖，在AABC中，在邊BC上取一點D,連

接AD,在邊AD上取一點E,連接CE.若△ADB^ZkCDE,ZBAD=a,則NACE

的度數(shù)為（）

A.aB.a-45°C.45°-aD.90°-a

【題型5全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】

【例5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABCZaA'B'C,且點B'在AB邊上,

點A，恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是（）

C.NB'CA=NB'ACD.B’C平分/BB'A'

【變式5T】（2021??？谄谀┤鐖D，△ABCZ^AEF,AB=AE,ZB=ZE,則對

于結(jié)論①AC=AF,②NFAB=NEAB,③EF=BC,④NEAB=NFAC,其中正確

結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式5-2]（2021?新樂市期末）如圖，△ABDZ/kEBC,AB=12,BC=5,A,

B,C三點共線，則下列結(jié)論中：①CDLAE；②ADLCE；③NEAD=NECD；正

確的是

E

【變式5-3］（2021?五常市期末）如圖，點E是CD上的一點，RtAACD^RtA

EBC,則下結(jié)論：①AC=BC,②AD〃BE,③NACB=90。,④AD+DE=BE,成立

的有個.

【題型6全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】

【例6】（2022?長春二模）如圖，△AOB0AADC,點B和點C是對應(yīng)頂點，Z0

=ZD=90°,記N0AD=a,NAB0=B,當(dāng)BC〃OA時，a與B之間的數(shù)

量關(guān)系為（）

A.a=BB.a=28C.a+B=90°D.a+23=180°

【變式6-1］（2021?林州市期末）如圖，點D,E,F分別在AABC的邊AB,BC,

CA上（不與頂點重合），設(shè)NBAC=a,ZFED=。.若△BEDZZXCFE,則a,

0滿足的關(guān)系是（）

C.a-9=90°D.2a+e=180°

【變式6-2］（2022?徐匯區(qū)校級期末）如圖，N,C,A三點在同一直線上，在4

ABC中，ZA：ZABC：ZACB=3：5：10,又△MNCZ^ABC,則NBCM：ZBCN

等于（）

M

AcA

A.1：2B.1：3C.2：3D.1：4

【變式6-3］（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，銳角AABC中,D、E分別是AB、AC邊

上的點，△ADCZ/^ADC',△AEB^AAEB/,且C'D〃EB'〃BC,BE、CD交

于點F,若NBAC=a,NBFC=B,則（）

A

A.2Q+B=180°B.20-a=145°

C.a+B=135°D.B-a=60°

【題型7全等三角形的性質(zhì)（動點問題）】

【例7】（2021?柘城縣期中）如圖，NC=NCAM=90°,AC=8cm,BC=4cm,點

P在線段AC上，以2cm/s速度從點A出發(fā)向點C運動，到點C停止運動.點

Q在射線AM上運動，且PQ=AB.若AABC與4PQA全等，則點P運動的時間

為（）

【變式7-1]（2021?浦東新區(qū)校級期末）AABC中，AB=AC=12厘米，ZB=Z

C,BC=9厘米，點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以v厘米/秒的速

度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的

運動速度為3厘米/秒，則當(dāng)ABPD與4CQP全等時，v的值為（）

A.2.5B.3C.2.25或3D.1或5

【變式7-2]（2021?和平區(qū)期末）如圖，CA_LAB于點A,AB=8,AC=4,射線

BMLAB于點B,一動點E從A點出發(fā)以2個單位/秒沿射線AB運動，點D為

射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB,若點E經(jīng)過t

秒（t>0）,ZXDEB與4BCA全等，則t的值為秒.

【變式7-3］（2021?高新區(qū)期末）如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=

8.點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出

發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動，終點為A點.點P和Q分別以每秒1和3的

運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，

分別過P和Q作PEL1于E、作QFL1于F,當(dāng)點P運動秒時，

以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等.

【題型8全等三角形的性質(zhì)（證明題）】

【例8】（2021?大化縣期中）如圖所示，已知△ABD^ZkCFD,AD_LBC于D.

（1）求證：CEXAB；

(2)已知BC=7,AD=5,求AF的長.

【變式8-1］（2021?海淀區(qū)校級期中）如圖，A,E,C三點在同一直線上，且4

ABC^ADAE.

(1)線段DE,CE,BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)請你猜想4ADE滿足什么條件時，DE〃BC,并證明.

【變式8-2](2021?灌云縣月考)如圖所示，A,C,E三點在同一直線上，且4

ABC^ADAE.

(1)求證：BC=DE+CE；

(2)當(dāng)aABC滿足什么條件時，BC〃DE?

【變式8-3](2021?定遠(yuǎn)縣校級期中)如圖所示，△ACDZaECD,ACEF^ABEF,

ZACB=90°.

(1)求證：CD±AB；

(2)求NB的度數(shù);

(3)求證:EF〃AC.

DE■B

參考答案及解析

【題型1全等圖形的概念】

【例1】（2022?偃師市期末）下列說法不正確的是（）

A.如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同

B.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)

C.全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形

D.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

【分析】直接利用全等圖形的定義與性質(zhì)分別分析得出答案.

【解答】解：A.如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，正確，不合題意;

B.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意；

C.全等圖形的面積相等，但是面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項錯誤，符

合題意；

D.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確，不合題意；

故選：C.

【變式1T】（2021?思南縣期中）有下列說法，其中正確的有（）

①兩個等邊三角形一定能完全重合；

②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同；

③兩個等腰三角形一定是全等圖形；

④面積相等的兩個圖形一定是全等圖形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)分別分析得出答案.

【解答】解：①兩個等邊三角形不一定能完全重合，故此選項不合題意；

②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同，故此選項符合題意；

③兩個等腰三角形不一定是全等圖形，故此選項不合題意；

④面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項不合題意.

故選：A.

【變式『2】（2021?蔡甸區(qū)期中）如圖，有①?⑤5個條形方格圖，每個小方格的邊長均為

1,則②?⑤中由實線圍成的圖形與①中由實線圍成的圖形全等的有（)

【分析】本題可通過旋轉(zhuǎn)，看后邊四個實線圖形能和①中圖形完全重合的便是①的全等形.

【解答】解：②以右下角頂點為定點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，兩個實線圖形剛好重合，

③中為平行四邊形，而①中為梯形，所以不能和①中圖形完全重合，

④可上下反轉(zhuǎn)成②的情況，然后旋轉(zhuǎn)可和①中圖形完全重合，

⑤可旋轉(zhuǎn)180。后可和①中圖形完全重合，

故選：C.

【變式1-3]（2021?寧德期末）在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長都為1.沿著

圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個全等的圖形.在所有的分割方案中，最長分割線的

長度等于.

【分析】沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個全等的圖形.畫出所有的分割方案,

即可得到最長分割線的長度.

【解答】解：分割方案如圖所示：

由圖可得，最長分割線的長度等于7.

故答案為：7.

【題型2全等三角形的對應(yīng)元素判斷】

【例2】（2021?南沙區(qū)期末）如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則N

1的度數(shù)是（)

C.40°D.25°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理得，Z2=180°-115°-25°=40°,

：兩個三角形全等，

.?.Nl=N2=40°,

【變式2-1］（2021?大連期中）如圖，4ABNmAACM,NB和NC是對應(yīng)角，AB和AC是對應(yīng)

邊，其它對應(yīng)邊及對應(yīng)角正確的是（)

B.NBAN和NCAB是對應(yīng)角

C.AM和BM是對應(yīng)邊D.BN和CN是對應(yīng)邊

【分析】全等三角形的對應(yīng)頂點在對應(yīng)位置，按順序找即可.關(guān)鍵要細(xì)心，找對對應(yīng)角和

對應(yīng)邊.

【解答】解：?.'△ABN絲Z\ACM,NB和NC是對應(yīng)角，AB與AC是對應(yīng)邊，

.".對應(yīng)邊:AN與AM,BN與CM；

對應(yīng)角：NBAN=NCAM,NANB=NAMC.

故選：A.

【變式2-2］（2021?泰興市期末）邊長都為整數(shù)的AABC和ADEF全等，AB與DE是對應(yīng)邊,

AB=2,BC=4,若4DEF的周長為奇數(shù)，則DF的值為（）

A.3B.4C.3或5D.3或4或5

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得AC的范圍，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求

解.

【解答】解：AC的范圍是2VAe<6,則AC的奇數(shù)值是3或5.

△ABC和4DEF全等，AB與DE是對應(yīng)邊，則DE=AB=2,

當(dāng)DF=AC時，DF=3或5.

當(dāng)DF=BC時，DF=4.

故選：D.

【變式2-3］（2021?魯?shù)榭h期末）如果AABC的三邊長分別為3,5,7,ADEF的三邊長分別

為3,3x-2,2y-1,若這兩個三角形全等，則x+y=.

【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列出方程，解方程分別求出x、y,計算即可，注意

分類討論.

【解答】解：.??兩個三角形全等，

3x-2=5,2y-l=7或3x-2=7,2y-1=5,

解得：x=I，y=4或x=3,y=3,

則x+y=g或6,

故答案為：二或6.

3

【題型3全等三角形的性質(zhì)（求長度）】

【例3】（2021?青田縣期末）如圖，已知△ABCgaDEF,B,E,C,F在同一條直線上.若BF

=8cm,BE=2cm,則CE的長度（）cm.

A.5B.4C.3D.2

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC=EF,求出BE=CF=2cm,再求出答案即可.

【解答】解：VAABC^ADEF,

，BC=EF,

ABC-CE=EF-CE,

.*.BE=CF,

*.*BE=2cm,

/.CF=BE=2cm,

BF=8cm,

，CE=BF-BE-CF=8-2-2=4（cm）,

故選：B.

【變式3-1]（2022?巴南區(qū)期末）如圖，AABC^ABDE,AB±BD,AB=BD,AC=4,DE=3,

CE的長為（）

A

B

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得到結(jié)論.

【解答】解：VAABC^ABDE,

BE=AC=4,BC=DE=3,

，CE=BE-BC=1,

故選：A.

【變式3-2］（2020?永嘉縣校級期末）如圖，已知AABC咨ADBE,點A,C分別對應(yīng)點D,E,

BC交DE于點F,ZABD=ZE,若BE=10,CF=4,則EF的長為（）

【分析】根據(jù)全等三角形性質(zhì)，可得：NABC=NDBE,進(jìn)而得出NABD=NFBE,得出NFBE

=NE,得出BF=EF即可.

【解答】解：VAABC^ADBE,

...NABC=NDBE,BE=BC,

，ZABC-NDBF=NDBE-ZDBF,

即NABD=NFBE,

：ZABD=ZE,

...NFBE=NE,

.*.BF=EF=BC-CF=10-4=6,

故選：C.

【變式3-3］（2021?沙坪壩區(qū)期末）如圖，AABC中，點D、點E分別在邊AB、BC上，連結(jié)

AE、DE,若4ADEmABDE,AC：AB：BC=2：3：4,且aABC的周長比AAEC的周長大6.則

△AEC的周長為.

【分析】由AC：AB：BC=2：3：4,可設(shè)AC=2x,AB=3x,BC=4x.Z\ABC的周長比4AEC

的周長大6,可推斷出x=2,故AC=4,BC=8.由4ADE烏Z^BDE,得AE=BE,故以詆=

AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=12.

【解答】解：?.,△ADE式z\BDE,

:.BE=AE.

CAAEC=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC.

VAC：AB：BC=2：3：4,

.,.設(shè)AC=2x,AB=3x,BC=4x.

?.?△ABC的周長比AAEC的周長大6,

??CAABC-CAAEC-6.

/.(AB+BC+AC)-(BC+AC)=6.

AB=3x=6.

，x=2.

/.AC=2x=4,BC=4x=8.

CAAEC=BC+AC=8+4=12.

故答案為：12.

【題型4全等三角形的性質(zhì)（求角度）】

【例4】（2022?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，AABCmAA，B'C’,邊B'C'過點A且平分NBAC

交BC于點D,ZB=27°,NCDB'=98°,則NC'的度數(shù)為（）

c'

B'

A.60°B.45°C.43°D.34°

【分析】根據(jù)對頂角相等求出NADB,根據(jù)三角形內(nèi)角定理求出/BAD,根據(jù)角平分線的定

義求出NBAC,進(jìn)而求出NC,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等解答即可.

【解答】解：,；NCDB'=98°,

...NADB=NCDB'=98°,

，NBAD=180°-NB-NADB=55°,

VABZ平分NBAC,

AZBAC=2ZBAD=110°,

.,.ZC=180°-ZB-ZBAC=43°,

VAABC^AAZB'C,

：.ZC=NC=43°,

故選：C.

【變式4T】（2021?民權(quán)縣期末）如圖，AABC^4ADE,且AE〃BD,ZBAD=94°,則NBAC

的度數(shù)的值為（）

A.84°B.60°C.48°D.43°

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NBAC=NEAD,AB=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三

角形內(nèi)角和定理求出NADB=NABD=43°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEAD=NADB=43°,

再求出答案即可.

【解答】解：VAABC^AADE,

...NBAC=NEAD,AB=AD,

；NBAD=94°,

ZADB=ZABD=ix（180°-ZBAD）=43°,

2

：AE〃BD,

...NEAD=NADB=43°,

，NBAC=NEAD=43°,

故選：D.

【變式4-2］（2021?招遠(yuǎn)市期中）如圖，4ABC咨△口￡＜：,點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點

E是對應(yīng)頂點，過點A作AF,CD,垂足為點F,若NBCE=56°,則NCAF的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NBCA=NECD,求出NBCE=NACF,求出NACF=56°,

再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得出即可.

【解答】解：VAABC^ADEC,

Z.NBCA=NECD,

...ZBCA-ZECA=ZECD-ZECA,

即NBCE=NACF,

VZBCE=56°,

.?.NACF=56°,

VAFXCD,

AFC=90°,

.\ZCAF=90°-NACF==34°,

故選：D.

【變式4-3］（2022?武侯區(qū)期末）如圖，在AABC中，在邊BC上取一點D,連接AD,在邊AD

上取一點E,連接CE.若4ADB咨ACDE,NBAD=a,則NACE的度數(shù)為（）

A.aB.a-45°C.45°-aD.90°-a

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NADB=NCDE,AD=CD,ZDCE=ZBAD,進(jìn)一步可得

ZCDE=90°,ZACD=45°,即可求出NACE的度數(shù).

【解答】解：VAADB^ACDE,

AZADB=ZCDE,AD=CD,ZDCE=ZBAD,

VZADB+ZCDE=180°,

.?.NCDE=90°,

，NACD=NCAD=45°,

ZBAD=a,

，NDCE=a,

AZACE=45°-a,

故選：C.

【題型5全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】

【例5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，4ABCmAA'B'C,且點B'在AB邊上，點A，恰好在

BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.NBCB'=NACA，B.ZACB=2ZB

C.ZB'CA=NB'ACD.B'C平分NBB'A'

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC=B，C,NACB=NA，CB，,ZB=ZAZBzC,再

逐個判斷即可.

【解答】解：VAABC^AAZB'C,

/.BC=B,C,NACB=NA'CB'，ZB=ZAZB'C,

A.VZACB=ZA,CB'，

AZACB-ZACBZ=NA'CB'-NACB',

/.ZBCBZ=ZACAZ,故本選項不符合題意；

B.VBC=B/C,

.?.NB=NCB'B,

...NA'CB'=NB+NBB‘C=2NB,

；NACB=NA'CB',

.,.NACB=2NB,故本選項不符合題意;

C.不能推出NB，CA=ZBZAC,故本選項符合題意；

D.VZB=ZBBzC,ZB=ZAzB，C,

.'.NA'B'C=NBB'C,

即B'C平分NBB'A',故本選項不符合題意；

故選：C.

【變式5T】（2021??？谄谀┤鐖D，AABC咨AAEF,AB=AE,NB=NE,則對于結(jié)論①AC

=AF,②NFAB=NEAB,③EF=BC,④NEAB=NFAC,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等結(jié)合圖象解答即可.

【解答】解：VAABC^AAEF,

，AC=AF,故①正確；

NEAF=NBAC,

NFAC=NEABWZFAB,故②錯誤；

EF=BC,故③正確；

NEAB=NFAC,故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個.

故選：C.

【變式5-2］（2021?新樂市期末）如圖，△ABDg^EBC,AB=12,BC=5,A,B,C三點共線,

則下列結(jié)論中：

①CDLAE；

②ADLCE；

③NEAD=NECD；

正確的是

E

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否

成立，從而可以解答本題.

【解答】解：延長AD交EC于點N,延長CD交AE于點M,

AABD^AEBC,

，NABD=NEBC,AB=EB,BD=BC,NDAB=NCEB,

VZABD+ZEBC=180°,ZBAE=ZBEA,NBDC=NBCD,

AZABD=ZEBC=90°,

，NBAE=NBEA=45°,NBDC=NBCD=45°,

ZBAE+ZBCD=90°,

AZAMC=90°,

.\CD±AE,故①正確；

VZCEB+ZECB=90°,NBAD=NBEC,

AZBAD+ZECB=90°,

AZANC=90°,

.*.AD±CE,故②正確；

VZADB=ZEAD+ZAED=ZEAD+45°,

ZECB=ZECD+ZBCD=ZECD+45°,

NADB=NECB,

.\ZEAD=ZECD,故③正確;

故填：①②③.

【變式5-3］（2021?五常市期末）如圖，點E是CD上的一點，RtAACD^RtAEBC,則下結(jié)

論：

①AC=BC,②AD〃BE,③NACB=90。，④AD+DE=BE,

成立的有個.

c

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE,CD=BC,ZACD=ZCBE,ZD=ZBCE,根據(jù)

以上結(jié)論即可推出AC<BC,NDWNBED,ZACB=90°,AD+DE=CD=BC>BE,即可判斷各

個小題.

【解答】解：

VRtAACD^RtAEBC,

，AC=BE,

,在RtZ\BEC中，BE<BC,

?,.AC<BC,.,.①錯誤；

,.,NCAD=NCEB=NBED=90°,ZD<ZCAD,

...NDWNBED,入

...AD和BE不平行，.?.②錯誤；/

VRtAACD^RtAEBC,/

/.ZACD=ZCEE,ZD=ZBCE,月《---f------二^^5

VZCAD=90°,\/

V)

ZACD+ZD=90°,

AZACB=ZACD+ZBDE=90°,.?.③正確；

VRtAACD^RtAEBC,

，AD=CE,CD=BC,

CD=CE+DE=AD+DE=BC,

VBE<BC,

，AD+DE>BE,...④錯誤；

故答案為：1.

【題型6全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】

【例6】（2022?長春二模）如圖，^AOB咨△ADC,點B和點C是對應(yīng)頂點，Z0=ZD=90°,

記N0AD=a,NAB0=B,當(dāng)BC〃OA時，a與B之間的數(shù)量關(guān)系為（）

5

D

<5-------A

A.a=BB.a=23C.a+B=90°D.a+28=180°

【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AC,全等三角形對應(yīng)角相等可得NBA0=N

CAD,然后求出NBAC=a,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出/ABC,然后根據(jù)兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補表示出N0BC,整理即可.

【解答】解：VAAOB^AADC,

/.AB=AC,ZBAO=ZCAD,

/.ZBAC=ZOAD=a,

在aABC中，ZABC=-（180°-a）,

2

VBC/70A,

.?.N0BC=180°-Z0=180°-90°=90°,

/.0+-（180°-a）=90°,

2

整理得，a=2B.

故選：B.

【變式6-1]（2021?林州市期末）如圖，點D,E,F分別在△ABC的邊AB,BC,CA±（不與

頂點重合），設(shè)NBAC=a,ZFED=。.若ABED絲ACFE,則a,9滿足的關(guān)系是（）

A.a+9=90°B.a+2。=180°C.a-0=90°D.2a+0=180°

【分析】由NBAC=a,得NB+NC=180°-a,根據(jù)△BEDgaCFE,即有NB=NC=90°

-1a,ZBDE=ZFEC,故NFEC+NBED=90°+|a,從而90°+1a+9=180°,即可答

案.

【解答】解：:NBAC=a,

/.ZB+ZC=180°-a，

ABED^ACFE,

.,.NB=NC=90°--a,ZBDE=ZFEC,

2

AZBDE+ZBED=180°-ZB=180°-（90°--a）=90°+-a,

22

.\ZFEC+ZBED=90°+-1a,

2

VZFED=6,ZFEC+ZBED+ZFED=180°,

，90°4-ia+e=180°,

2

a+29=180°,

故選：B.

【變式6-2］（2022?徐匯區(qū)校級期末）如圖，N,C,A三點在同一直線上，在△ABC中，ZA：

ZABC：ZACB=3：5：10,又△MNCg^ABC,則NBCM：NBCN等于（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.1：4

【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)各角之間的關(guān)系求出N

BCM、NBCN的度數(shù)可求出結(jié)果.

【解答】解：在AABC中，ZA：ZABC：NACB=3：5：10

設(shè)NA=3x°,則NABC=5x°,ZACB=10x°

3x+5x+10x=180

解得x=10

則NA=30°,ZABC=50°,ZACB=100°

/.ZBCN=180°-100°=80°

又△MNCgAABC

NACB=NMCN=100°

/.ZBCM=ZNCM-ZBCN=100°-80°=20°

AZBCM：NBCN=20°：80°=1：4

故選：D.

【變式6-3］（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，銳角AABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，△

ADC四△ADC',AAEB^AAEBZ,且C'D//EB'〃BC,BE、CD交于點F,若NBAC=a,

ZBFC=B,則（）

A.2a+3=180°B.23-a=145°C.a+0=135°D.B-a=60°

【分析】延長C'D交AC于M,如圖，根據(jù)全等的性質(zhì)得NC'=ZACD,ZCAD=ZCAD

=NB，AE=a,再利用三角形外角性質(zhì)得NLMC=/C，+ZCZAM=N。+2a,接著利

用C'D〃B'E得至UNAEB=NC'MC,而根據(jù)三角形內(nèi)角和得到NAEB'=180°-NB,-

a,則NC,+2a=180°-ZB'-a,所以NC'+NB'=180°-3a,利用三角形外角

性質(zhì)和等角代換得到NBFC=NC=a+NC,+NB「所以NBFC=B=180°-2a,進(jìn)一步

變形后即可得到答案.

【解答】解：延長C，D交AC于M,如圖，

△AD3ZXADC',△AEBg/XAEB',

：.ZC=/ACD,NC'AD=NCAD=NB'AE=a,

：.ZCMC=NC'+ZCAM=NC'+2a,

?.?D〃B,E,

...NAEB'=NC'MC,

VZAEBZ=180°-ZB'-ZB'AE=180°-ZB'-a,

：.ZC+2a=180°-ZB'-a,

：.ZC+NB'=180°-3a,

：B=NBFC=NBDF+NDBF=NDAC+NACD+NB'=a+NACD+NB'=a+ZC+ZB'=

a+180°-3a=180°-2a,

即：2a+0=180°.

故選：A.

【題型7全等三角形的性質(zhì)（動點問題）】

【例7】（2021?柘城縣期中）如圖，ZC=ZCAM=90°,AC=8cm,BC=4cm,點P在線段AC

上，以2cm/s速度從點A出發(fā)向點C運動，到點C停止運動.點Q在射線AM上運動，且

PQ=AB.若AABC與4PQA全等，則點P運動的時間為（）

2sC.2s或3s或4sD.2s或4s

【分析】分AABCg4PQA和4ABC等ZXQPA兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：當(dāng)AABC等APOA時，AP=AC=8,

?點P的速度為2cm/s,

.?.8+2=4(s)；

當(dāng)aABC也4QPA時，當(dāng)AP=BC=4,

???點P的速度為2cm/s,

.*.44-2=2(s)

故選：D.

【變式7-1］（2021?浦東新區(qū)校級期末）AABC中，AB=AC=12厘米，ZB=ZC,BC=9厘

米，點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點向C點運動，同

時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的運動速度為3厘米/秒，則當(dāng)4BPD與

△CQP全等時，v的值為（)

A.2.5B.3C.2.25或3D.1或5

【分析】分兩種情況討論：①若△BPDg^CPQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則BD=CQ=6厘

米，BP=CP=/C=：X9=4.5（厘米），根據(jù)速度、路程、時間的關(guān)系即可求得；②若4BPD

^△CQP,則CP=BD=6厘米，BP=CQ,得出v=3.

【解答】解：'.,△ABC中，AB=AC=12厘米，點D為AB的中點,

；.BD=6厘米,

若aBPD也△CPQ,則需BD=CQ=6厘米，BP=CP=|BC=|x9=4.5（厘米），

???點Q的運動速度為3厘米/秒，

.?.點Q的運動時間為：64-3=2（s）,

/.v=4.54-2=2.25（厘米/秒）；

若△BPD^ZXCQP,則需CP=BD=6厘米，BP=CQ,

，v=3,

???v的值為：2.25或3,

故選：C.

【變式7-2］（2021?和平區(qū)期末）如圖，CALAB于點A,AB=8,AC=4,射線BM,AB于點

B,一動點E從A點出發(fā)以2個單位/秒沿射線AB運動，點D為射線BM上一動點，隨著E

點運動而運動，且始終保持ED=CB,若點E經(jīng)過t秒（t>0）,4DEB與4BCA全等，則

t的值為秒.

【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時，②當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情

況AC=BE,AB=BE進(jìn)行計算即可.

【解答】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC=BE時，△ACBgABED,

VAC=4,

BE=4,

，AE=8-4=4,

.?.點E的運動時間為4+2=2（秒）；

②當(dāng)E在BN上，AC=BE時，

VAC=4,

，BE=4,

/.AE=8+4=12,

...點E的運動時間為12+2=6（秒）；

③當(dāng)E在BN上，AB=EB時，4ACB等ABDE,

AE=8+8=16,

點E的運動時間為16+2=8（秒），

故答案為：2,6,8.

【變式7-3］（2021?高新區(qū)期末）如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.點P從A

點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點

運動，終點為A點.點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相

應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PEL1于E、作QFL1于F,當(dāng)點P

運動秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等.

【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ,代入得出關(guān)于t的

方程，解方程即可.

【解答】解：分為五種情況：①如圖1,P在AC上，Q在BC上，則PC=6-t,QC=8-3t,

VPE±LQF±L

...NPEC=NQFC=90°,

VZACB=90°,

.\ZEPC+ZPCE=90o,ZPCE+ZQCF=90°,

.\ZEPC=ZQCF,

VAPCE^ACQF,

/.PC=CQ,B

即6-t=8-3t,

t=l；

②如圖2,P在BC上，Q在AC上，則PC=t-6,

?.?由①知：PC=CQ,

t-6=3t-8,

t=l；

t-6<0,即此種情況不符合題意;

圖3

③當(dāng)P、Q都在AC上時，如圖3,

CP=6-t=3t-8,

t=I；

④當(dāng)Q到A點停止，P在BC上時，AC=PC,t-6=6時，解得t=12.

⑤P和Q都在BC上的情況不存在，因為P的速度是每秒1cm,Q的速度是每秒3cm；

答：點P運動1或;或12秒時，以P、E、C為頂點的三角形上以0、F、C為頂點的三角形

全等.

故答案為：1或［或12.

2

【題型8全等三角形的性質(zhì)（證明題）】

【例8】（2021?大化縣期中）如圖所示，已知4ABD咨ACFD,ADLBC于D.

（1）求證：CEXAB；

（2）已知BC=7,AD=5,求AF的長.

【分析】（1）由△ABD0Z