八年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：動(dòng)點(diǎn)中特殊三角形存在性的勾股求解

動(dòng)點(diǎn)中特殊三角形存在性的勾股求解

動(dòng)

態(tài)

問

題

【題型一】等腰三角形存在性（求坐標(biāo)）

【例1一1】（2020?山西太原期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（0,2）,

（4,0）,連接PQ.

（1）若點(diǎn)M是尤軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且則點(diǎn)/的坐標(biāo)為.

（2）若點(diǎn)/是y軸上的一點(diǎn)，且MP=MQ,則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為.

【答案】(1)(4-27510),(2)(0,-3).

【解析】解：⑴如圖，MQ=PQ=2下，

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4-2石，0）.

(x+2)2=x2+42,解得：x=3

【變式1—1］（2020?宿遷市期中）如圖，己知點(diǎn)8在數(shù)軸負(fù)半軸上，。為原點(diǎn)，點(diǎn)A在過。

且垂直于數(shù)軸的直線上，ZBAO=60°,AB=4,點(diǎn)C在數(shù)軸上，當(dāng)/4BC是以為腰的等

腰三角形時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)為.

【答案】-26-4或2vL

【解析】解：'：OA±OB,ZBAO=6Q°,AB=4,

△O4B為直角三角形，ZABO=30°,

：.OA=^AB=2,OB=y/AB--OAr=A/42-22=2^3-

①當(dāng)A8=AC時(shí),

'：AB=AC,OALOB,

0C=0B=26，

.??點(diǎn)C表示的數(shù)為：2班;

②當(dāng)時(shí)，

"：AB=BC=4,

：.0C=0B+BC=2y/3+4，

?.?點(diǎn)C在數(shù)軸負(fù)半軸上，

.??點(diǎn)C表示的數(shù)為：-26-4;

故答案為：—20—4或26.

【題型二】等腰三角形存在性（求時(shí)間）

【例2一1］（2020?浙江杭州市期中）在RfABC中，ZC=90°,BC=8cm,AC=6cm,

在射線3C上有一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)/（s）時(shí)以點(diǎn)

A,D,3為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形，則所用時(shí)間/為s.

25

【答案】—，5,8.

8

在RfAACD中，由勾股定理得：AD^AC^+CD2,即2。2=（8-30）2+62,

25

解得：BD=一cm,

4

25

貝Ut=BD^2=—秒；

8

②當(dāng)48=8。時(shí)，

在放△ABC中，由勾股定理得：AB=10,z=AB+2=5秒.

③當(dāng)時(shí)，BD=2BC=\6,UBZX2=8秒

【變式2—1](2020?江陰月考)如圖，在6x8的網(wǎng)格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,動(dòng)

點(diǎn)尸、。分別從點(diǎn)。、A同時(shí)出發(fā)向右移動(dòng)，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)

速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).

(1)求8。的長(zhǎng)；

(2)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間f為多少秒時(shí)，△PQ6為以8尸為底的等腰三角形?

【答案】見解析.

【解析】解：(1)在RdAB。中，由勾股定理得：BD=10.

(2)過點(diǎn)。作于S,則PS=2t-t=t,

在RrZkPSQ中，尸。2=62+凡

當(dāng)。2=。尸時(shí)，BQ=S-t,

即62+/2=(8-02

7

解得：t=—；

4

7

運(yùn)動(dòng)時(shí)間f為一秒時(shí)，APB。為以8P為底的等腰三角形.

4

【題型三】等腰三角形存在性(動(dòng)點(diǎn)往返運(yùn)動(dòng))

【例3一1](2020?四川成都期中)如圖，ABC中，NC=90°,AC=8cm,BC=6cm,

若點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿A-運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

(1)若點(diǎn)尸恰好運(yùn)動(dòng)到8C的中點(diǎn)，求，的值.

(2)若ACBP為等腰三角形，求f的值.

【答案】見解析.

【解析】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6

由勾股定理得：AB=l0cm.

(1)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程：AC+0.5BC=8+3=ll,

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為11+2=5.5s.

(2)①尸從A-C,0<f<4時(shí)，

止匕時(shí)/C=90°,BC=CPi=6,APi=2,/=ls.

②尸從C—B時(shí)，4</<7,△CBP不存在

③尸從8―4時(shí)，7c區(qū)12

(z)當(dāng)BC=CP2=6時(shí)，過C作CH±AB于H,

由CHAB=BCAC得：CH=—

1o

由勾股定理得

BP2=2BH=^-

t=(8+6+~^~)4-2=10.6S.

(z7)BC=BP3=6,

t=(8+6+6)4-2=10s.

(訪)BP4=CP4,

則N2=N3,

由N2+Nl=90。，ZB+ZA=90°

得：Z1=ZA

.*.AP4=CP4,

；.尸4為AB中點(diǎn)，

t=(8+6+5)+2=9.5s.

綜上所述，f的值為Is,10.6s,10s,9.5s.

【變式3一1］（2020?青神縣期中）如圖所示，已知△ABC中，ZB=90°,AB=16cm,BC=

12cm,P、。是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿A-2方向運(yùn)動(dòng)，且速度為

每秒1C7W,點(diǎn)。從點(diǎn)8開始沿B—CTA方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2c〃z,它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)

出發(fā)的時(shí)間為ts.

務(wù)用圖

(1)出發(fā)3s后，求尸8的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在邊2C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)多久后，△PQB能形成等腰三角形？

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BC。成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

【答案】(1)13cm；(2)—秒；(3)11秒或12秒或13.2秒.

3

【解析】解：(1)當(dāng)才=3時(shí)，則4尸=3,

AB=16cmf

：.PB=AB-AP=16-3=13(cm),

(2)由題意，AP=t,BQ=2t,

VAB=16,

：.BP=AB-AP=16-t,

當(dāng)△尸。3為等腰三角形時(shí)，則有8尸=5。，

即16-t=2t,解得t=—,

3

出發(fā)(秒后△PQB能形成等腰三角形；

(3)①當(dāng)CQ=5。時(shí)，如圖所示，

則NC=NC3Q,

丁ZABC=90°f

：.ZCBQ-^ZABQ=90°.

ZA+ZC=90°,

ZA=ZABQf

：.BQ=AQ,

：.CQ=AQ=1Q,

：.BC+CQ=22,

，f=22+2=ll秒.

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖所示,

貝U2C+CQ=24,

.?"=24+2=12秒.

③當(dāng)時(shí)，如圖所示,

過8點(diǎn)作BEL4C于點(diǎn)E,

48

則nlBE.,

由勾股定理得：CEq,

：.CQ=2CE=14.4,

???8。+。。=26.4,

/.t=26.44-2=13.2秒.

綜上所述，當(dāng)/為H秒或12秒或13.2秒時(shí)，△BC。為等腰三角形.

【題型四】等腰三角形存在性（多動(dòng)點(diǎn)）

【例4一1】（2020遮州市期中）如圖，AB1BC,8,5。，且3。=8=4。加，AB=lcm,

點(diǎn)P以每秒0.5的的速度從點(diǎn)B開始沿射線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。在線段CD上由點(diǎn)。向終

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％秒.

DDD

圖①圖②

(1)當(dāng)f=2時(shí)，BP=cm,CP=cm.

(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)Q經(jīng)過幾秒時(shí)，使得△ABP與APC。全等？此時(shí)，點(diǎn)Q的速度

是多少？(注：只求一種情況即可，并寫出求解過程)

(3)如圖②，是否存在點(diǎn)尸，使得△ADP是以AP為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫

出/的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)1,3；(2)(3)見解析.

【解析】解：(1)/=2時(shí)，BP=lcm,

?；BC=4cm,

PC=BC~BP=3cm

故答案為1,3.

(2)①當(dāng)BP=PC=2,AB=CQ=1時(shí)，

△ABP咨AQCP

Z=2-T-0.5=4S

Vg=0.25cm/s.

②當(dāng)AB=CP=1,CQ=BP=3時(shí)，4ABP咨APCQ,

Z=34-0.5=6s,VQ=0.5cm/s.

(3)過點(diǎn)A作AHLC。于H,

在放△AM中，AH=BC=4,DH=CD-CH=CD-AB=3>

由勾股定理得AO=5,AD2=25,

AP2=AB2+BP2=l+-t2,PD2=CD2+PC2=16+(4--Z)2

42

①當(dāng)AP=PO時(shí)，1+-/2=16+（4--Z）2

42

解得r=J31

4

②當(dāng)AP=AO時(shí)，l+-r2=25,

4

解得f=4痣或-4卡（舍）.

綜上所述，滿足條件的t的值為4面或3二1.

4

【變式4一1］（2020?浙江諸暨市期中）如圖，在?△ABC中，AB=8,BC=6,點(diǎn)。從8點(diǎn)

出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，射線射線CB且8M=10,點(diǎn)

。從M點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以每秒。個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，已知。、。兩點(diǎn)同時(shí)出

發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

（1）當(dāng)U2時(shí)，△OM。是等腰三角形，求a的值.

（2）求,為何值時(shí)，△DC4為等腰三角形.

（3）是否存在a,使得△DM。與AABC全等，若存在，請(qǐng)直接寫出a的值，若不存在，請(qǐng)

說明理由

47,

【答案】（1）<2=2；（2）t=\,—,—；（3）。=1或3或6或9.

39

【解析】解：（1）當(dāng)/=2時(shí)，DB=6,

'：BM=10,

：.DM=4,

?.?△。河。是等腰三角形，ZDMQ=90°,

：.DM=MQ,即4=2a,

(2)在放ZWC中，A8=8,BC=6,AC=10,

①當(dāng)AC=A。時(shí)，△DC4為等腰三角形，

?：AB_LCD,

:?BD=BC=6,t—2；

②當(dāng)AC=CO=10時(shí)，△￡)&1為等腰三角形，

VBC=6,

4

.\BD=4,t=—；

3

③當(dāng)AO=CO=6+3/時(shí)，△DCA為等腰三角形，

?.?ZABD=90°,

7

：.AB2+BD2=AD2,即82+(302=(6+3力2,/=-；

9

47

綜上所述：f=l,一,—時(shí)，△DC4為等腰三角形；

39

(3)與aABC全等，分兩種情況：

①若△DM。也△ABC,

則MQ=BC=6,DM=AB=S,

VBM=10,

...BD=2或5。=18,

?2一°

..f=一或t=6,

3

.".a=9或。=1；

②若△CBA,

：.DM=BC=6,MQ=AB=S,

80=4或16,

?—4-8

..t——或一，

33

.".a=6或3,

綜上所述：當(dāng)△■DM。與△ABC全等時(shí)，。=1或3或6或9.

【題型五】直角三角形存在性(求坐標(biāo))

【例5一1](2020?上海奉賢區(qū)期末)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的放aABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為A(4,3)、8(1,2)、C(3,-4),則直角頂點(diǎn)是.

【答案】A.

【解析】解：(4,3)、B(1,2)、C(3,-4),

.\AB2=(4-1)2+(3-2)2=10,BC=(3-4)2+(-4-3)2=50,AO=(3-1)2+(-4-2)2=40,

...△ABC為直角三角形，

AZA=90°,即該直角三角形的直角頂點(diǎn)為A.

故答案為A.

【例5-2］（2020?浙江開化縣期中）如圖，在，ABC中，AB=3C=6,點(diǎn)。為中點(diǎn)，

點(diǎn)尸是射線4?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ZAOC=60°.要使得.BC0為直角三角形，CP的長(zhǎng)

為.

【答案】3后或3或3s.

【解析】解：①當(dāng)NCPB=90。時(shí)，尸在線段A。延長(zhǎng)線時(shí),

?.?點(diǎn)。為中點(diǎn)，

：.AO=BO,

：.PO=BO,

'：ZAOC=60°,

：.ZBOP=60°,

:.叢BOP為等邊三角形，

*.*AB=BC=6,

：.BP=3,PC=3石.

②當(dāng)/BPC=90。時(shí)，P在線段A。上，

:點(diǎn)。為BC中點(diǎn),

：.AO=BO,

ZCPB=90°,

：.PO=BO=CO,

,/ZAOC=60°,

.?.△COP為等邊三角形,

CP=CO=3.

②當(dāng)/CBP=90。時(shí)，

ZAOC=ZBOP=60°,

：.ZBPO=30°,

:.BP=3W>

在RdCB尸中，由勾股定理得：CP=BC2+BP2=3s/l-

故答案為：3若或3或3J7.

【變式5一1］如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,3)和3(4,0)；

(1)在x軸上求點(diǎn)C,使得BA=BC,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)在丁軸上求點(diǎn)。，使得NABD=90°,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(1)(-1,0)或(9,0)；(2)(0)

3

【解析】解：(1)由題意得：0A=3,。8=4,ZAOB=90°,

在放AAOB中，由勾股定理得：AB=5,

△A8G是等腰三角形，AB=BCi=5,OCi=BCi-OB=5-4=l,則Ci坐標(biāo)為(-1,0),

△ABC2是等腰三角形，AB=BCz=5,OC2=BC2+OB=5+4^9,則Ci坐標(biāo)為(9,0),

則C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）或（9,0）.

（2）設(shè)OD=x,ZBOD=90°,

在RtABOD中，BD2=OB2+OD2=16+^,

由/ABO=90°,AD=3+x,由勾股定理得人/^幺^+瓦居

即（x+3）2=25+16+N,解得x=電

3

則。點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-蛆）.

3

【題型六】直角三角形存在性（求時(shí)間）

【例6一1］（2019?河南平頂山月考）如圖，ZAOB=90，線段04=187%,OB=6m,

一機(jī)器人。在點(diǎn)3處.

（1）若3C=AC,求線段3C的長(zhǎng).

（2）在（1）的條件下，若機(jī)器人。從點(diǎn)3出發(fā)，以3/n/min的速度沿著A03C的三條邊

逆時(shí)針走一圈后回到點(diǎn)3,設(shè)行走的時(shí)間為/min,則當(dāng)/為何值時(shí)，A08Q是以。點(diǎn)為

直角頂點(diǎn)的直角三角形？

B

【答案】(1)10/7?(2)6.8.

【解析】解：⑴設(shè)BC=x

"：BC=AC

：.OC=OA-CA=OA-BC=18-x

在RdO8C中由勾股定理得：62+(18-x)2=/

解得x=10

即BC=10m.

(2)當(dāng)2QL2C時(shí)符合條件

此時(shí)eC=3r-(<9B+OC)=3/-(6+8)=3M4,BQ=BC-QC=24-3t

在放AOQC中，由勾股定理得：

O^OC^-CQ2^2-(3M4)2,

在Rt2OQB中，由勾股定理得：

002=082-802=62-(24-3r)2

故82-(3M4)2=62-(24-3力2

解得：r=6.8

則當(dāng)r=6.8s時(shí)，△。8。是以。點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

【例6一2](2020?達(dá)州市期中)如圖1,放AA8C中，NAC5=90°,直角邊AC在射線OP

上，直角頂點(diǎn)C與射線端點(diǎn)。重合，AC=4,BC=3,如圖2,向右勻速移動(dòng)RfAABC,在移

動(dòng)的過程中放△ABC的直角邊AC在射線OP上勻速向右運(yùn)動(dòng),移動(dòng)的速度為2個(gè)單位/秒，

移動(dòng)的時(shí)間為r秒，連接。艮

①若△0A8為等腰三角形，求r的值；

②RAABC在移動(dòng)的過程中，能否使△為直角三角形？若能，求出f的值：若不能，說

明理由.

【解析】解：（1）在放△ABC中，AB=^AC~+BC'=5,

由題意得，0C=2t,

當(dāng)20=BA時(shí)，OC=CA,即？=2,

當(dāng)A2=A0時(shí)，2/=5-4=1,即,

2

當(dāng)08=。4時(shí)，衣—⑵尸=2什4,

7

解得，t=—（舍），

16

綜上所述，當(dāng)?=4或/=1時(shí)，A0A2為等腰三角形；

（2）AOAB為直角三角形時(shí)，ZOBA=90°,

則（2/）2+32+52=⑵+4）2,

9

解得：t=~,

8

9

當(dāng)U—時(shí)，為直角三角形.

8

【變式6—1X2020?南陽市月考）如圖，在RtZXABC中，ZABC=9Q°,AB=20,BC=15,

點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊C4往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若

設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.

（1）當(dāng)f=2時(shí)，CD=,AD=；（請(qǐng)直接寫出答案）

（2）當(dāng)/為何值時(shí)，是直角三角形；（寫出解答過程）

（3）求當(dāng)/為何值時(shí)，.CBD是等腰三角形？并說明理由.

B.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）片2時(shí)，CD=2x2=4,

VZABC=90°,AB=20,BC=\5,

：.AC=25,AD=AC-C￡>=25-4=21；

故答案為：4,21；

（2）①NCDB=90°時(shí)，AC-BD=AB-BC,

：.BD=n,CD=9,

：.2t=9,

9

解得：t=-（秒）；

2

②NCBO=90。時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，

：.2t=25,

25

解得：t=—（秒）；

2

925

綜上所述，當(dāng)仁一或一秒時(shí)，△CB￡）是直角三角形;

22

（3）①CO=B￡>時(shí)，過點(diǎn)。作OELBC于E,

貝1|CE=BE,DE//AB,

.1…25

..CD—AD=_AC=—,

22

解得：t=—（秒）；

4

②CO=8C時(shí)，C￡>=15,

：.2t=15,

解得：六"（秒）；

2

③2D=8C時(shí)，過點(diǎn)2作BfUAC于E

R

；.2z=18,

解得：t=9（秒）；

綜上所