湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

湖南師大附中學(xué)年度高二第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)時(shí)量：分鐘滿分：分一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)得解.【詳解】，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D2設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,得到集合與集合在全集中的補(bǔ)集，最后求出.【詳解】已知，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由可得，即.已知，.因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由可得，即.第1頁/共23頁因?yàn)?，所?可得.故選：C.3.在等差數(shù)列中，已知，，則等于（）A.B.13C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和表達(dá)式即可得到方程，解出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，則.故選：A.4.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）A.12種B.24種C.36種D.48種【答案】B【解析】【分析】分別考慮甲站在排頭或排尾再結(jié)合捆綁法，求解即可.【詳解】若甲站在排頭，則丙和丁相鄰，則共有種方法，若甲站在排尾，則丙和丁相鄰，則共有種方法，則共有：種方法.故選：B.5.圓和圓交于、兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】AB第2頁/共23頁心坐標(biāo)和直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】將兩圓的方程相減，得直線AB的方程，則線段AB的垂直平分線的斜率為，由兩圓的方程知，兩圓的圓心分別為，所以線段AB的垂直平分線的方程為，即.故選：C.6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A.690B.C.710D.【答案】D【解析】【分析】本題可先根據(jù)等比數(shù)列求和公式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù).【詳解】觀察原式，這是首項(xiàng)為，公比為（項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列的和.根據(jù)等比數(shù)列求和公式要求原式展開式中的系數(shù)，即求展開式中的系數(shù).根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式分別求出和展開式中的系數(shù).對(duì)于，，令，則的系數(shù)為.對(duì)于，，令，則的系數(shù)為.所以展開式中的系數(shù)為，即原式展開式中的系數(shù)為.故選：D.7.已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足第3頁/共23頁，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，,令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線上的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B8.已知對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】為恒成立問題，最后通過求函數(shù)在上的最大值來確定的取值范圍.【詳解】設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，可得.因?yàn)闀r(shí)，，，所以，這表明在上單調(diào)遞增.第4頁/共23頁已知對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，可變形為.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，（可得對(duì)恒成立.設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，可得.當(dāng)時(shí)，，所以，，則.這說明在上單調(diào)遞減，那么在上的最大值為.因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分遠(yuǎn)為0得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的是（）A.若與對(duì)立，則B.若與互斥，，，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)是7.8D.若與相互獨(dú)立，，，【答案】BD【解析】ABC選項(xiàng)根據(jù)百分位數(shù)的定義可得；D選項(xiàng)根據(jù)事件相互獨(dú)立性的概念可得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榕c對(duì)立，，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，因?yàn)榕c互斥，第5頁/共23頁所以，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)一共有10個(gè)數(shù)，所以分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，因?yàn)?，，所以，，所以，所以D正確.故選：BD.10.如圖，兩兩互相垂直，三棱錐是正四面體，則下列結(jié)論正確的是（）A.二面角的大小為B.C.若的中心為，則三點(diǎn)共線D.三棱錐的外接球過點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】由已知可得，取的中點(diǎn)，可得，，所以為二面角、中由余弦定理可判斷A，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；根據(jù)三棱錐是正三棱錐得平面，三棱錐是正三棱錐得平面可判斷C；幾何體與棱長(zhǎng)為正方體有相同的外接球可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，，而，所以，取的中點(diǎn)，連接、，第6頁/共23頁可得，，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，，在中，由余弦定理可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A選項(xiàng)連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，平面，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知三棱錐是正三棱錐，且平面，三棱錐也是正三棱錐，平面，則三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)是棱長(zhǎng)為正四面體，三棱錐是側(cè)棱長(zhǎng)為，第7頁/共23頁底面邊長(zhǎng)為的正三棱錐，所以幾何體與棱長(zhǎng)為正方體有相同的外接球，故D正確.故選：BCD.加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A（圖2）.已知橢圓：，，均在的蒙日?qǐng)A上，，分別與相切于，，則下列說法正確的是（）A.的蒙日?qǐng)A方程是B.設(shè)，則的取值范圍為C.若點(diǎn)在第一象限的角平分線上，則直線的方程為D.若直線過原點(diǎn)，且與的一個(gè)交點(diǎn)為，，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)橢圓的兩條特殊切線的交點(diǎn)求出蒙日?qǐng)A的半徑，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，利用橢圓的定義求出的取值范圍可得BCCD第8頁/共23頁據(jù)橢圓的定義以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求出，可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，分別過橢圓的頂點(diǎn)，作橢圓的切線，則兩切線的交點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，故該蒙日?qǐng)A的半徑，即橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓的定義得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為，故B正確；對(duì)于C，在方程中，令，得，故，設(shè)切點(diǎn)，，因?yàn)椋?，所以，，由兩邊?duì)求導(dǎo)得，所以，，第9頁/共23頁又，，所以，，所以，，所以，，所以點(diǎn)、都在直線上，所以直線的方程為，故C正確；對(duì)于D，，則，所以，由得①，由得②，則①②得，解得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解橢圓的切線方程，利用平面向量數(shù)量積求解向量的長(zhǎng)度是第10頁/共23頁解題關(guān)鍵.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分．12.若函數(shù)在處取得極大值，則常數(shù)a的值為_______．【答案】3【解析】【分析】由題意得出，可求得實(shí)數(shù)的值，然后將實(shí)數(shù)的值代入導(dǎo)數(shù)，就函數(shù)是否在處極大值進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，由題意可得，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，令，或;令，,此時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，.令，得或；令，得得.此時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.綜上所述，.故答案為：3.13.如圖，過拋物線焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓于點(diǎn)A，B，C，D，F(xiàn)為圓心，F(xiàn)O為半徑，則的值是_______．第11頁/共23頁【答案】1【解析】【分析】設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)F的直線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)?，所?故答案為：1.14.設(shè)首項(xiàng)是1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若數(shù)m的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】分為偶數(shù)與奇數(shù)，利用遞推公式及構(gòu)造法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)分組求和結(jié)合等比求和公式可得為偶數(shù)時(shí)的前項(xiàng)和，再確定的值即可．【詳解】，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，又，故，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，又，第12頁/共23頁故，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最大值是，故答案為：11.四、解答題：本大題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，平面四邊形中，．（1）若，求；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）第13頁/共23頁【解析】1）連接后由余弦定理與兩角和的正弦公式求解（2）由余弦定理與面積公式求解【小問1詳解】連接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以【小問2詳解】在中，由余弦定理得，即，解得或所以四邊形的面積為16.的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，是圓臺(tái)上底面圓上的點(diǎn)，且平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn).第14頁/共23頁（1）證明：平面；（2上平面且過點(diǎn)上是否存在點(diǎn)與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點(diǎn)的所有可能位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點(diǎn)與點(diǎn)重合.【解析】1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為垂直于平面的直線為系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：因?yàn)闉閳A的一條直徑，且是圓上異于、的點(diǎn)，故，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?【小問2詳解】解：存在，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，第15頁/共23頁則，，，，，，由直線平面且過點(diǎn)，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；第16頁/共23頁（2）若數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】和的值，再通過的關(guān)系得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）采用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后證明.【小問1詳解】已知，且.當(dāng)時(shí)，，即，將代入可得.當(dāng)時(shí)，，即，將代入可得.聯(lián)立方程組，解得，則.所以.當(dāng)時(shí)，.用減去可得：因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)除以可得：.第17頁/共23頁當(dāng)時(shí)，，，上式也成立.利用累加法求：，，，，將以上個(gè)式子相加可得：因?yàn)?，所以，則.當(dāng)時(shí)，，上式也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】已知，則得：其中是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，得，第18頁/共23頁則所以.18.已知雙曲線：離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程．（2）若，試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？若存在求出直線l的方程；若不存在，說明理由．（3交直線于點(diǎn)、的斜率分別、為定值．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）證明見解析【解析】1）根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；（3）用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．【小問1詳解】由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，第19頁/共23頁可得，解得，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】雙曲線左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，與雙曲線左支只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，由，消去得，顯然，，設(shè)，則，得，于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．【小問3詳解】由直線，得，則，又，于是，第20頁/共23頁而，即有，且，所以，即為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量