北京市西城區(qū)2024-2025學年高三10月月考數(shù)學質量檢測試卷（含解析）

北京市西城區(qū)2024-2025學年高三10月月考數(shù)學質量檢測試卷

本試卷共4頁，全卷共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷

上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.設集合4={X|N-5X+6>0},5={X|X-1<0},則

A.(-os,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+oo)

2,復數(shù)z=(3+i)(2—i)在復平面上的對應點落在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3,下列函數(shù)中，值域為R且在區(qū)間(0,+8)上單調遞增的是

A.y=x2+2xB,y=2X+1

C.j=x3+lD.>=(x-l)|x|

4.設等差數(shù)列{%}的前〃項和為S“,若%=1,4+%=11，則'-S=

A.27B.39C.45D.63

5.設。=2°-3,6=(3)45,。=1112,則()

Ac<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

6.已知函數(shù)/(x)=/sin(0x+e)的部分圖象如圖所示，則/(x)的表達式為()

371

A./(x)=2sii,n|—x+—B./(x)=2sinl-x+y

24

225兀，

C./(x)=2sinD./(x)=2sin-X+

3

7.“cos6=0”是，函數(shù)/(x)=sin(x+6)+cosx為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.點聲源在空間中傳播時，衰減量瓦(單位：小)與傳播距離r(單位：米)的關系式為

AL=101g—，則r從5米變化到40米時，衰減量的增加值約為()

參考數(shù)據(jù)：1g2。0.3

A.24dBB.18dBC.16dBD.12dB

9.已知函數(shù)/■(x)=|2*-2|,若/(a)=/3)(awb),則a+b的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(l,+℃)D.(2,+oo)

10.如圖，A,8是半徑為2的圓周上的定點，尸為圓周上的動點，N4P8是銳角，大小為民

圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

A.4￡+4cos￡B.4￡+4sin￡C.2￡+2cos￡D.2￡+2sin￡

二、填空題(本題共5小題，每小題5分，共25分.)

11.已知角a終邊上一點P(-2,-l),則tan2a=.

12.函數(shù)/(》)=正的定義域為.

x-2

11e.兀

13.已知a為第二象限角，cos—,則sin(XH—

14I3

14.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)為/'(x),且/'(x)是偶函數(shù)，r(O)=l,/'⑴=0.寫出一個

滿足條件的函數(shù)/(x)=.

ax+1,x<0

15.已知函數(shù)/(x)=<給出下列三個結論:

|lnx|,x>0

①當a=-2時，函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間為(-*1)；

②若函數(shù)/'(x)無最小值，則a的取值范圍為(0,+8)；

③若。＜1且awO,則mbeR,使得函數(shù)y=/(x)—近恰有3個零點占，/，七，且

XxX2X3=-1.

其中，所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四邊形45CD中，ABHCD,AB=2CD=屈,cosA二旦,

3

cosZADB=—.

3

(1)求cosNBDC；

(2)求3c的長.

17.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx+acos2x,且/省.

(1)求。的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；

(3)若對于任意的xe［0,加］，總有/(x)2/(0),直接寫出機的最大值.

18.已知函數(shù)/(x)=e"(x—a-1).

(1)當a=0時，求曲線在(0,/(0))處的切線方程；

(2)求/(x)的單調性；

(3)求函數(shù)/(x)在［0』上的最小值.

19.在V/8C中，已知力+〃—缶6=02.

(1)求角C的大??；

(2)若°=2正，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使得VABC

存在且唯「確定，求V/BC的面積.

4

條件①：sinA=-；

條件②：2QCOS/=ccos5+6cosC；

條件③：V48。的周長是2遙+2拒.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

20.圖象識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)

人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了200張不同的人臉照片

作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表(單位：張)：

飛型結果

男女無法識別

真實性別

男902010

女106010

假設用頻率估計概率，且該程序對每張照片的識別都是獨立的.

(1)從這200張照片中隨機抽取一張，已知這張照片的識別結果為女性，求識別正確的概率;

(2)在新一輪測試中，小組同學對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次,

當首次出現(xiàn)識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設X表示測試的次數(shù)，估計X的

分布列和數(shù)學期望EX；

(3)為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：

方案T;將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性(即判定為男性的概率為50%,判定為女

性的概率為50%).

現(xiàn)從若干張不同的人臉照片(其中男性、女性照片的數(shù)量之比為1:1)中隨機抽取一張，分別

用方案一、方案二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為月,22，23?試比較

月,22,23的大小.（結論不要求證明）

InV

21.已知函數(shù)人＞）=上土（。＞0）.

ax

（1）求/（x）的單調區(qū)間；

（2）若/（x）Kx—,對xe（O,+s）恒成立，求a的取值范圍;

a

（3）若%21口％1+再卜％2=0（苞』12），證明：x{+x2＞2

北京市西城區(qū)2024-2025學年高三10月月考數(shù)學質量檢測試卷

本試卷共4頁，全卷共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷

上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.設集合4={X|N-5X+6>0},5={X|X-1<0},則

A.(-os,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+oo)

【正確答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【詳解】由題意得，/={巾(2或x〉3},8={x|x<l},則Zc8={x|x<l}.故選A.

本題考點為集合的運算，為基礎題目.

2,復數(shù)z=(3+i)(2—i)在復平面上的對應點落在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算可求解.

【詳解】由題可知z=(3+i)(2—i)=6—3i+2i—I?=7—i,

所以復數(shù)z對應的點為(7,-1)在第四象限，

故選:D.

3,下列函數(shù)中，值域為R且在區(qū)間(0,+8)上單調遞增的是

A.y=x2+2xB.j=2X+1

C.y=x3+lD.y=(x-l)|x|

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調性以及值域，綜合即可得答案.

【詳解】（A）y=x2+2x的值域不是R,是［—1,+oo）,所以，排除;

（B）y=2，+i的值域是（0,+oo）,排除；

（D）y=（x-l）\x\^\,在（0,1）上遞減，在（，，+oo）上遞增，不符;

'711^-x2+x,x<022

只有（C）符合題意.故選C.

本題考查函數(shù)的單調性以及值域，關鍵是掌握常見函數(shù)的單調性以及值域，屬于基礎題.

4.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若q=1,4+%=11，則"-S3=

A.27B.39C.45D.63

【正確答案】B

【詳解】1.等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為Sn,q=1,a2+a3=ll

1+d+1+2d=11,d=3

$6—S3=16+等“―13+竽“=3+12d=39

故選3

5.設a=2a3,b=（g）45,c=ln2,則（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.

b<a<c

【正確答案】B

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的性質，求得6>。>1,再結合對數(shù)函數(shù)的性質，得到0<c<l,即可求解.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質和b=（；）45=205,可得2°<2°3<2°5,即6>。>1

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，可得lnl<ln2<lne,

因為c=ln2,所以0<c<l,

綜上可得6>a>c.

本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性

質是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.

6.已知函數(shù)/(x)=/sin(0x+°)的部分圖象如圖所示，則/(x)的表達式為()

3兀22兀

A./(x)=2sin—XH■一B./(%)=2sin—XH-------

2439

225兀

C./(x)=2sinD./(x)=2sin—XH---------

318

【正確答案】C

又/(%)過點(E，oJ,

【分析】根據(jù)圖像求出A,周期T,利用周期公式可求。,利用五點

作圖法可求。，即可求函數(shù)/(x)的解析式.

35兀71

【詳解】根據(jù)圖像得人2,?=不

可得7=」4兀，

3

,2兀3

??CD---二—，

T2

又/(x)過點J,

3

可得2sin—X+。=0,

2

由五點法可得gx[—石]+°=兀，解得*=]■,

所以/(x)=2singx+*).

故選：C.

7.“cos0=0”是“函數(shù)/(x)=sin(x+6)+cosx為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

TT

【分析】利用cos0=0,得出e=,+從而求出/(x),再利用偶函數(shù)的定義進行

判斷即可得出充分性成立，再利用/(-x)=/(x),得出cos0=0,從而判斷必要性成立，從

而得出結果.

7T

【詳解】若cos8=0,得到。二一+所以

2

兀

f(x)=sin(x+。)+cosx=sin(x+—+左兀)+cosx,

當比=2加+1,加eZ時，/(x)=0,當左=2加，加eZ時，/(x)=2cosx,

即/(》)=0或/(%)=2(：05%,

當/(x)=0時,恒有/(—X)=/(x),當/(x)=2cosx時，

f(-x)=2cos(-x)=2cosx=/(x),

所以，若cosO=0,則/(x)為偶函數(shù)，

若/(X)為偶函數(shù)，則/(—x)=/(x),所以sin(—x+e)+cos(—x)=sin(x+e)+cosx,化簡

得sinxcosd=0,所以cosO=0,

故選：C.

8.點聲源在空間中傳播時，衰減量瓦(單位：小)與傳播距離r(單位：米)的關系式為

AL=101g—，則r從5米變化到40米時，衰減量的增加值約為()

參考數(shù)據(jù)：1g2。0.3

A.24dBB.18dBC.16dBD.12dB

【正確答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則化簡計算即可求得增加值.

【詳解】由已知"=101g-,

402TT52TT

所以廠從5米變化到40米衰減量的增加值為103—101gU=ioig64,

44

整理得101g64=101g26=60lg2?18.

故選：B

9.已知函數(shù)/'(x)=|2，-2|,若/(a)=/3)(awb),則a+b的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)D.(2,+co)

【正確答案】B

2—2%Y<J

【分析】由/(x)=|2、—2|=(：',可知。<1<“由/(。)=/伍)可得2"+26=4,

2—2,x21

根據(jù)基本不等式可求a+6的取值范圍.

[2—2xx<1

【詳解】/(x)=|2-2卜’若1<。<上由/(°)=/伍)，則

2—2,x<1

2a-2=2b-2,:.a=b與awb矛盾；同理a<b<l,也可導出矛盾，故

a

a<1<“，2-2"=2"一2,2"+2'=4,而2"+2&〉212.2b=22a鉆<4=2?,

即a+6<2.

故選B

本題考查分段函數(shù)的性質以及基本不等式的應用，屬中檔題.

10.如圖，A,2是半徑為2的圓周上的定點，尸為圓周上的動點，/4P8是銳角，大小為民

圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

A.4￡+4cos￡B.4￡+4sin￡C.2￡+2cos￡D.2尸+2sin￡

【正確答案】B

【分析】由題意首先確定面積最大時點尸的位置，然后結合扇形面積公式和三角形面積公式

可得最大的面積值.

【詳解】觀察圖象可知，當尸為弧的中點時，陰影部分的面積S取最大值，

此時ABOP=AAOP=n-P,面積S的最大值為萬x2?x+S#°B+

2萬

S^POA=4/3+-^|0P\\OB|sin（"一,）+^-10P\\OA\sin（"一￡）

=4,+2sin夕+2sin￡=4夕+4-sin〃.

故選2.

本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學應用意識、數(shù)形結合思想及數(shù)學式子變形和運算求解能力,

有一定的難度.關鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.

二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分.）

11.已知角a終邊上一點P（-2,-l）,則tan2a=.

41

【正確答案】一##1—

33

【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可得tana=工，再結合倍角公式運算求解.

2

-11

【詳解】因為角。終邊上一點尸（-2,-1）,則tana='=上，

-22

2tana

所以tan2a二

1-tan2a

4

故答案為.一

3

12.函數(shù)/(%)=，二的定義域為

x-2

【正確答案】［0,2)U(2,+8)

【分析】根據(jù)函數(shù)有意義得到不等式組，解得即可；

【詳解】解：因為/(?=旦，所以《解得x20且xw2,所以函數(shù)的定義域

為［0,2)U(2,+8)

故［0,2)U(2,+8)

11.71

13.已知a為第二象限角，cos—,則sinccH—

14I3

【正確答案】-4

7

【分析】利用誘導公式與同角的正余弦的平方關系和兩角和的正弦公式即可求解.

—,所以sina=U

【詳解】因為cos

1414

因為a為第二象限角，所以cosa=—

14

所以sin]a+—71=sinacos—+cosasin-=1

3331421427

故答案為.—

7

14.己知函數(shù)/(x)的導函數(shù)為/'(x),且/'(x)是偶函數(shù)，/'(0)=1,/'⑴=0.寫出一個

滿足條件的函數(shù)/(x)=.

【正確答案】—-Y+X(答案不唯一)

3

【分析】結合導數(shù)公式寫出一個滿足條件的函數(shù)即可.

【詳解】因為/'(x)是偶函數(shù)，

設/(%)=6+&v,貝!=3。/+，,

由題意可知/'(0)=6=1,/'(1)=3〃+6=0,解得a=—g,b=lf

故/⑴=T/+工.

故答案為.--X3+X

3

QX+1,X?0

15-已知函數(shù)/四=||

1nxi,x>0給出下列三個結論:

①當a=-2時，函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間為(-*1)；

②若函數(shù)/'(x)無最小值，則a的取值范圍為(0,+8)；

③若。<1且awO,則mbe火，使得函數(shù)y=/(x)—b恰有3個零點4，吃,x3,且

x{x2x3=-1.

其中，所有正確結論的序號是

【正確答案】②③

【分析】由題意結合函數(shù)單調性的概念舉出反例可判斷①；畫出函數(shù)的圖象數(shù)形結合即可判

A_1

斷②；由題意結合函數(shù)圖象不妨設西<0<%<1</，進而可得西=——>X2=e'\x3

a

令X]=2匚=-1驗證后即可判斷③；即可得解.

a

[詳解】對于①，當a=—2時，由。<”2<1,/(0)=1</d)=忖1卜2,所以函數(shù)/(%)

在區(qū)間(-*1)不單調遞減，故①錯誤;

ax+lx<0

QX+1,X?09

對于②,函數(shù)/(%)=<、|lnx|,x>0可轉化為/四=,-Inx,0<x<1,

Inx,x>1

畫出函數(shù)的圖象，如圖：

由題意可得若函數(shù)/(X)無最小值，則4的取值范圍為(0,+8),故②正確；

對于③，令y=/(x)—6=0即/(x)=6,結合函數(shù)圖象不妨設玉<O<X2<I<X3，

則3+1=-In%=In￡=b,

bb

所以％］二----,x2=e~,x3=e,所以%“3==1，

a

b-1

令再=----二-1即6=—。+1,

a

當。<0時，Z?=—a+l>l,y=/(x)—b=0存在三個零點，且芯工2%3=-1，符合題意；

當0<a<l時，0<6=一。+1<1,y=/(%)-6=0存在三個零點，且為%2%3=-1，符合題

忌；

故③正確.

故②③.

本題考查了分段函數(shù)單調性、最值及函數(shù)零點的問題，考查了運算求解能力與數(shù)形結合思想，

合理使用函數(shù)的圖象是解題的關鍵，屬于中檔題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四邊形45CD中，ABHCD,AB=2A，CD=?cosZ="，

3

cosZADB=—.

3

(1)求cosNBDC；

(2)求BC的長.

【正確答案】(1)回⑵VTT.

【分析】(1)計算出sin/、sinZADB,利用兩角和的余弦公式可求得

cosZBDC=cosNABD的值；

⑵在AABD中，利用正弦定理可求出BD的長，然后在△5CD中利用余弦定理可求得8C

的長.

【詳解】(1)因為cosZ=Y5，cosZADB=-,則A、NND8均為銳角，

33

所以，sinZ=A/1-COS2A=，sinZADB=yI1-cos2ZADB=2血，

33

cos/ABD=cos(TT-A-ZADB)=一cos(4+ZADB)=sin/sinZADB-cosAcosZ.ADB

_2A/2V6

―3ri-v,

QAB//CD,則ZBDC=ZABD,因此，cosZBDC=cosZABD=—

9

4BBD

(2)在△Z8D中，由正弦定理可得二-----

sinZADBsinA

ABsinA2顯

可得AD二

sinZADB~2后

3

在△BCD中，由余弦定理可得

BC2=BD2+CD2-2BDCDcosZBDC=9+6-23"—=11，

9

因此，BC=4H-

方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或

余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

(2)若式子中含有。、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；

(6)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時，要用到三角形的內角和定理.

17.已知函數(shù)/(x)=Zsinxcosx+acos?x,且/

(1)求°的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；

(3)若對于任意的xe[O,加]，總有/(x)2/(O),直接寫出他的最大值.

【正確答案】(1)?=2V3；

1至s

(2)函數(shù)/(x)的最小正周期為萬，單調遞增區(qū)間為jg-丘+A，左eZ；

TT

(3)m的最大值為；.

6

【分析】(1)由條件列方程求。，(2)由輔助角公式化簡函數(shù)表達式，結合正弦函數(shù)的性質求函

數(shù)/(X)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(3)解不等式求比的范圍，由此確定機的最大值.

【小問1詳解】

因為/(x)=2sinxcosx+acos2x,=所以2sinqcos?+a(cos1^=6,

【小問2詳解】

由(1)/(x)=2sinxcosx+26cos2%，化簡得/(x)=sin2x+G(cos2x+1),

所以/(x)=sin2x+gcos2x+6=2sin2x+—+,

27r

所以函數(shù)/(X)的最小正周期T=g="，

jijiJ(5'，［ji

由2E-上￡2x+上￡2左加+上，keZ,得hr-kn+keZ,

2321212

i至S

所以函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間為:$一A，keZ；

【小問3詳解】

由/(x)?/(O),可得2sin[2x+(J+6226,所以sin[2x+?J2券，所以

')I'1/2：)/.7/

2k兀+—<2x+—<2kji+——,kGZ,化簡可得左乃VxV左乃+—

3336

由對于任意的xe[O,/w],總有/⑼可得加的最大值為二.

6

18.已知函數(shù)/(x)=eX(x—a—l).

(1)當a=0時，求曲線產<(x)在(OJ(O))處的切線方程；

(2)求/(x)的單調性；

(3)求函數(shù)/(x)在[0』上的最小值.

【正確答案】(1)y=-l.

(2)當xe(-oo,a)時，/(x)單調遞減；當xe(a,+co)時，/(x)單調遞增.

(3)答案見解析.

【分析】(1)當a=0時，求出/(0),/'(0)的值，利用導數(shù)的幾何意義求解即可;

(2)求導得/'(x)=e'(x-a),利用導數(shù)的正負即可得到單調性；

(3)按a的取值情況，再借助單調性討論求解即可.

【小問1詳解】

當a=0時，f(x)=eA(x-1),則/'(x)=e*(x—l)+e*=xd,

所以/(O)=—1,r(o)=o,

所以曲線產<(x)在(OJ(O))處的切線方程為y=-1.

【小問2詳解】

由題意得/'(x)=e%x—a),因為息>0恒成立，

所以當xe(—g,a)時，f'(x)<0,/(x)單調遞減，

當xe(a,+oo)時,/'(x)>0,/(x)單調遞增.

【小問3詳解】

由(2)得，①當〃>1時，/(x)在［0/上單調遞減,源(%)=八1)=-吟

a

②當0<aVl時,/(x)在［0,。)單調遞減,在單調遞增，fmm(x)=/(?)=-e;

③當a<0時，/(x)在［0』上單調遞增，7min(x)=/(O)=—"L

19.在V/8C中，已知力+人2—缶6=02.

(1)求角C的大??；

(2)若°=2后，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使得V48C

存在且唯一確定，求V/8C的面積.

4

條件①：sinZ=《；

條件②：2acos/=ccosB+6cosC；

條件③：V48c的周長是2遙+2后.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

TT

【正確答案】(1)c=-

4

⑵3+V3

【分析】(1)利用余弦定理邊化角即可結果；

(2)利用正弦定理可得。=4sinZ/=4sin8.若選條件①：根據(jù)題意可得sin5<sin/<1,

進而分析其唯一性即可；若選條件②：利用余弦定理可得2=；,a=2出,進而求sinC,

進而可得面積；若選條件③：根據(jù)周長可得6=2指-a，利用余弦定理并分析其唯一性.

【小問1詳解】

因為a2+b?-6ab=c。,即。?+/一/=也"，

可得cosC=片+'i=也驗=旦,

2ab2ab2

且。€(0,兀)，所以C=:.

【小問2詳解】

abc2V2,

7Ct-----------------------------------------------------/|

因為C=7，c=2亞,由正弦定理可得sin/sin5sinCJ2

2

可得Q=4sin4b=4sinB.

JT4

若選條件①：因為。二一，sinA=—,即sinC<sinZ<1,

45

ITL7TII713IT1

可得Ze1，5U5,了，可知滿足條件的角N有兩個，不唯一，不合題意;

若選條件②：因為2acos/=ccos5+6cosC,

由正弦定理可得2sin4cos/=sinCcos5+sinScosC=sin（5+C）=sin/,

且/e（0,7i）,則sin/wO,可得cosZ=g,

則N="I"，a=4sinZ=2^3，

因為兩角和兩邊均已確定，根據(jù)三角形全等可知三角形存在且唯一，

又因為sinB=sin(71+C)=sin^4cosC+cosAsinC=GO

4~

所以VABC的面積S,?r=-acsin5=-x2^/3x2A/2x"+'=3+6；

“BC224

若選條件③：因為丫48。的周長是2#+2收，

則a+b+c=a+b+2亞=2布+2收，即6=2指—。，

由余弦定理可得c?=/+〃-2a6cosC，即8=/+（2—a）—2ag8—a）義^，

整理可得――2后+8（2-忘）=0,MA=24-4xlx8（2-V2）=8（4^-5）>0,

可知方程a-146a+8（2—應）=0有2個不相等的實根%,出，

ax+%=276>0「（

且4\廠\,可知方程力-2J6a+82-j2=0有2個不相等的正實根,

的2=8（2-夜）>0\'

即邊a不唯一，不合題意.

綜上，只有選條件②符合題意.

20.圖象識別是人工智能領域的一個重要研究方向.某中學人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)

人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了200張不同的人臉照片

作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：

結果

男女無法識別

真實性別

男902010

女106010

假設用頻率估計概率，且該程序對每張照片的識別都是獨立的.

（1）從這200張照片中隨機抽取一張，已知這張照片的識別結果為女性，求識別正確的概率;

（2）在新一輪測試中，小組同學對3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次,

當首次出現(xiàn)識別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設X表示測試的次數(shù)，估計X的

分布列和數(shù)學期望EX；

（3）為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：

方案一*將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%,判定為女

性的概率為50%）.

現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性、女性照片的數(shù)量之比為1:1）中隨機抽取一張，分別

用方案一、方案二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為Pi，P2，P3.試比較

P1，夕2，23的大小.（結論不要求證明）

3

【正確答案】（1）-

4

（2）分布列見解析；E（X）=1j

（3）Pi>p3>p2

【分析】（1）利用用頻率估計概率計算即可

（2）由題意知X的所有可能取值為1,2,3,分別求出相應的概率，然后根據(jù)期望公式求出即

可

(3)分別求出方案一、方案二、方案三進行識別正確的概率，然后比較大小可得

【小問1詳解】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有20+60=80張照片被識別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以

該照片確為女性的概率為襄=?.

804

【小問2詳解】

設事件A:輸入男性照片且識別正確.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，「(4)可估計為言=：.

由題意知X的所有可能取值為1,2,3.

P（X=l）=，P（X=2）=，H，P（X=3）=：x：='

所以X的分布列為

X123

331

P

41616

33121

所以E（X）=lx—+2x—+3x—=

V74161616

【小問3詳解】

由題可知，調查的200張照片中,其中女生共有80個，男生共有120個,

903201

程序將男生識別正確的頻率為——=-,識別為女生的頻率為——=—，無法識別的頻率為

12041206

101

120~12

程序將女生識別正確的頻率為黑=：,識別為男生的頻率為w=,，無法識別的頻率為

804808

10_1

80-8,

由頻率估計概率得

131311八11,3113

p.=—X—H--X—H——x——x0H——x—x1=--1----=—,

124242122841616

131311113119

p,=—x—HX_■I——x—xId——x—x