導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類知識(shí)清單（15題型提分練） 原卷版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類知識(shí)清單（15題型提分練）

更盤點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一：不等式證明1：無(wú)參基礎(chǔ)思維型.........................................................1

題型二：不等式證明2：有參數(shù)型基礎(chǔ)證明.......................................................2

題型三：極值點(diǎn)偏移：和型......................................................................2

題型四：極值點(diǎn)偏移：積型......................................................................3

題型五：極值點(diǎn)偏移：含參型....................................................................3

題型六：極值點(diǎn)偏移：平方型....................................................................4

題型七：極值點(diǎn)偏移：非對(duì)稱型..................................................................5

題型八：比值代換型證明.........................................................................5

題型九：三零點(diǎn)型不等式證明....................................................................6

題型十：三角函數(shù)型不等式證明..................................................................7

題型十一：零點(diǎn)與求參..........................................................................7

題型十二：三個(gè)零點(diǎn)型求參......................................................................8

題型十三：恒成立求參：三角函數(shù)型..............................................................8

題型十四：恒成立求參：整數(shù)解型................................................................9

題型十五：能成立求參：雙變量型...............................................................10

良突圍?檐;住蝗分

題型一：不等式證明1：無(wú)參基礎(chǔ)思維型

L——一—_—__一一_一_―_一_一一一—一一一一一一一一________一___________一一一__________________________

"旨I點(diǎn)I迷I津

證明不等式基礎(chǔ)思維：

：L移項(xiàng)到一側(cè)，證明函數(shù)的最值大于0（小于0）證明法

2.恒等變形，再證明新恒等式法。

1.(四川省金太陽(yáng)普通高中高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué))已知函數(shù)7'(x)=ax2_(l+2a)x+lnx.

(1)討論/(x)的單調(diào)性.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：—>—-X2-2/(X).

x10')

2.已知函數(shù)y(x)=3"叱.

X

(1)討論函數(shù)/(X)在［1,2］上的單調(diào)性；

(2)若。=-1,求證：〃x)>-3x-2在(0,+與上恒成立.

3.(2022?河南南陽(yáng)?南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ae―4x,aeR.

(1)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)°=1時(shí)，求證：/(x)+x2+1>0.

題型二：不等式證明2：有參數(shù)型基礎(chǔ)證明

;指I點(diǎn)I迷I津

有參數(shù)型不等式證明：

通過(guò)參教范圍，確定由教的單調(diào)性，然后利用最值裁縮證明不等式

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=e*-alnx.

⑴當(dāng)。=1,求/(x)在點(diǎn)(Le)處的切線方程;

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，f(x)>2a-a\na■

2.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。<2時(shí)，證明：當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<ei恒成立.

3.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=lnx+ax+l,aeR.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。42時(shí)，證明：<e2x.

X

題型三：極值點(diǎn)偏移：和型

指I點(diǎn)I迷I津

處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于玉+工2>4的問(wèn)題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定f(x)的單調(diào)性，得到的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/(a-x),求導(dǎo)后可得尸(X)恒正或恒負(fù)；

③得到/(網(wǎng))與/-再)的大小關(guān)系后，將〃占)置換為/(3)；

④根據(jù)巧與a-玉所處的范圍，結(jié)合/(無(wú))的單調(diào)性，可得到乙與。-無(wú)1的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

1.(22-23高三廣東深圳?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=:("0).

e

①若對(duì)任意的xeR,都有/(x)4L恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

e

⑵設(shè)加，〃是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且加="e"f.求證：加+〃>2.

2.(22-23高三?陜西安康)已知函數(shù)

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求曲線V=〃x)在點(diǎn)(-lj(-l))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同零點(diǎn)三,吃,求。的取值范圍，并證明玉+々>0.

3.(2023?河南平頂山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e*-xlnx-辦-l(aeR)有兩個(gè)零點(diǎn).

⑴求。的取值范圍；

(2)設(shè)為,三是/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：X1+x2>2.

題型四：極值點(diǎn)偏移：積型

:指I點(diǎn)I迷I津

處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于再馬<a(/(xj=7@2))的問(wèn)題的基本步驟如下：

；①求導(dǎo)確定/(X)的單調(diào)性，得到冷超的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸(X)=/(X)-H1,求導(dǎo)可得F3恒正或恒負(fù)；

③得到/(再)與/-的大小關(guān)系后，將/(再)置換為/(z);

④根據(jù)巧與/的范圍，結(jié)合/(X)的單調(diào)性，可得巧與/的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

1.(22-23高三上?北京房山?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx-x

⑴求函數(shù)/(x)單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+a,若占,尤2e(O,e］是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn),

①求。的取值范圍；

②求證：XjX2<1.

2.(2024?廣東湛江?一模)已知函數(shù)〃x)=(l+lnx)e哈?

(1)討論/'(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(力=1有兩個(gè)根不，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：^>1.

3.(23-24高三?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/■(x)=gax2-(2a+l)x+21nxmeR).

⑴若/(x)有唯一極值，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)aVO時(shí)，若/(網(wǎng))=/(%)，%彳了2，求證：x\xi<4'

題型五：極值點(diǎn)偏移：含參型

1指I點(diǎn)I迷I津

含參型極值點(diǎn)偏移：

1.消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；

2.以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).

1.(23-24高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+干,aeR.若函數(shù)/'(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)%,馬.

⑴求a的取值范圍；

(2)證明：xx+x2>Aa.

2.(22-23高按?四川瀘州)已知函數(shù)g(x)=e'-2a(x-l),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若函數(shù)g(x)在(1,+s)上有零點(diǎn)，求”的取值范圍；

(2)當(dāng)。>0,再片小，且g(xJ=g(X2)，求證：X1+x2<21n(2a).

3.(21-22高三?河南鄭州?)已知函數(shù)”x)=(lnx-"l)x(左eR).

(1)當(dāng)x>l時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

2k

(2)若網(wǎng)力馬，且/(占)=/(%),證明：XjX2<e

題型六：極值點(diǎn)偏移：平方型

指I點(diǎn)I迷I津

對(duì)于平方型，可以應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式卮<“一：<九芥證明極值點(diǎn)偏移:

In再-lnx22

①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；

②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到*一：；

i?nX]in

③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.

1.(2024?吉林?二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，RbO/B的直角頂點(diǎn)A在X軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)B在函數(shù)

〃x)=￥圖象上

⑴當(dāng)頂點(diǎn)8在x軸上方時(shí)，求RbCMB以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊4B和邊08旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體

的體積的最大值；

(2)已知函數(shù)g(x)=e“、ex+ax2—l,關(guān)于x的方程〃x)=g(x)有兩個(gè)不等實(shí)根“x2(Xl<x2).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2

(ii)證明：x；+工；>—.

2.(22-23高三?遼寧?模擬)已知函數(shù)/(x)=1n葉1.

ax

(1)討論;'(X)的單調(diào)性；

(2)若(exj%=(%廣(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，且%>0,x2>0,再W%，證明：x；+x：>2.

3.(2023?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=lnx-辦2.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)若再,三是方程/(x)=0的兩不等實(shí)根，求證：x；+x；>2e；

題型七：極值點(diǎn)偏移：非對(duì)稱型

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=l-Inx-f(aeR).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵右f(無(wú))有兩個(gè)零點(diǎn)X1，X2,且X；<%2>求證：xfx2<e-a.

2.(22-23高三?福建福州)已知函數(shù)/(力=111丫-。(％-2)(aeR).

⑴試討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

3

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)X],X?(西〈尤2),求證：XJ+3X2>--67+2.

3.(21-22高三?浙江?模擬)已知函數(shù)〃x)=lnx-x.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象與3=加(加eR)的圖象交于/(再,為),8(%,%),(為<9)兩點(diǎn)，證明:

2x1+x2>4-2In2.

題型八：比值代換型證明

指I點(diǎn)I迷I津

應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式XL：<土產(chǎn)證明極值點(diǎn)偏移:

In玉-lnx22

①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；

②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到I；

in*X]一in:

③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.

構(gòu)造對(duì)數(shù)不等式時(shí)，比值代換是常見經(jīng)驗(yàn)思維：

1.一般當(dāng)有對(duì)數(shù)差時(shí)，可以運(yùn)算得到對(duì)數(shù)真數(shù)商，這是常見的比值代換形式

2.兩個(gè)極值點(diǎn)(或者零點(diǎn))，可代入得到兩個(gè)“對(duì)稱”方程

3.適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危蓸?gòu)造出“比值”型整體變量。

1.(2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模)已知函數(shù)/(x)=X?+2cosxJ'(x)為函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)g(x)=7'(x)-5x+5aln無(wú)，存在g(xj=8(超)(再Wx?),證明：xl+xi>2a.

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+/0!x2-(a+i)x,(qeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，判斷函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程/(無(wú)有兩個(gè)不同實(shí)根玉,馬，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明x「X2>e2.

3.(21-22高三?重慶?模擬)已知函數(shù)〃x)=lnx-a無(wú)+6(a,6eR)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉,2.

⑴求了(x)的最值；

(2)證明：x,x<―.

2a

題型九：三零點(diǎn)型不等式證明

指I點(diǎn)I迷I津

三個(gè)零點(diǎn)型不等式證明常見思維，關(guān)鍵是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.證明不等式問(wèn)題第一步轉(zhuǎn)化是消元，把三個(gè)根用一

個(gè)變量加表示，第二步構(gòu)造新函數(shù)g(〃?)，證明g(M的最小值g(町))>0,第三步由導(dǎo)數(shù)求得極小值點(diǎn)明的

范圍，并對(duì)g(叫))變形，第四步換元好/加),最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的多項(xiàng)式不等式，問(wèn)題易于解決.

1.(廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中2021屆高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

無(wú)2

/(x)=--a(x-1)+(a-1)Inx,a>2

已知函數(shù)

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/⑴且證明：Vxe(l,m),(a-l)lnx>尤-1；

丫2I—

(3)記方程5~-4x+31nx=-4的三個(gè)實(shí)根為再，x,,x3,若改<乙<X3，證明：x3-x2<2^/3.

2.(浙江省舟山中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

f(x)=(x+1)lux+a^x-1),aGR

(1)求函數(shù)y=/'(x)的最小值;

(2)若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)看,無(wú)2，尤3,

①求。的取值范圍；

1113

②求證:------1-------1------<一

hiX]+alnx2+alnx3+aa

犬+2x—1x<0

3.已知:一，關(guān)于x的方程/a)="?的不同實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為k.

Inx,x>0

(1)求k分別為1,2,3時(shí)，m的相應(yīng)取值范圍；

35

(2)若方程/(%)=加的二個(gè)不同的根從小到大依次為國(guó)，求證：x1+x3>x2——m――.

題型十：三角函數(shù)型不等式證明

;指I點(diǎn)I迷I津

對(duì)于含有三角困教型不等式證明:

:1.證明思路和普通不等式一樣。

2.充分利用正余弦的有界性

(x_sinx+cosx-1

1.(河南省開封市杞縣高中2023屆高三文科數(shù)學(xué)第一次摸底試題)已知函數(shù),為一產(chǎn)

⑴求函數(shù)/'(x)在(0,萬(wàn))內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)xe[0,+oo)時(shí),求證:/(x)<x.

/(x)=Inx+—

2.(云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三高考押題卷二數(shù)學(xué)(理)試題)己知函數(shù)x,

g(x)=e、'+sinx,其中.eR.

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若。=1,證明：〃x)<3.

X

3.已知函數(shù)/(x)=e-+bsinx-l的圖象在原點(diǎn)處的切線方程為了=2x.

⑴求函數(shù)V=/(x)的解析式；

(2)證明:f[x}>2x.

題型十一：零點(diǎn)與求參

:指I點(diǎn)I迷I津

i函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[?；厣鲜沁B續(xù)不斷的曲線，且〃a)〃6)<0,還必須結(jié)合函

；數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的

i值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

1.(23-24高三廣東清遠(yuǎn)?模擬)己知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)〃x)=gx2+2辦，g(x)=3/lnx+b.

⑴設(shè)兩曲線V=/(x),V=g(x)有公共點(diǎn)為尸，且在點(diǎn)P處的切線相同，若。>0,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(2)在(1)的條件下,求證：/(x)>g(x)；

(3)若Z)=0,以幻=!/(乃+冬?-9/,函數(shù)以x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉應(yīng)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

23a4

2.(23-24高三上?西藏林芝?期末)已知函數(shù)〃力=砂+辦-1(。€陽(yáng).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)在x=l處取得極值，不等式/(x)26x-l對(duì)Vxe(O,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍;

⑶若函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.(22-23高三上?福建福州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+ax(aeR).

⑴當(dāng)a=-l時(shí)，求“X)在點(diǎn)口/6))處的切線方程；

(2)若/(x)在(03)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型十二：三個(gè)零點(diǎn)型求參

4

1.(23-24高三?湖北省直轄縣級(jí)單位?模擬)若函數(shù)〃x)=ax3-6x+4,當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/⑴有極值-

⑴求函數(shù)的極值；

(2)若關(guān)于X的方程“無(wú))=k有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

2.(23-24高三?云南玉溪?模擬)設(shè)/(力=g-5產(chǎn)+61吟曲線尸〃力在點(diǎn)。，/⑴)處的切線與y軸相交

于點(diǎn)(0,6).

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)v=/(x)+6有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

4

3.(2022高三?河南南陽(yáng)?專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=a(x-l)3-6(x-1)+4,當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)/⑶有極值-鼠

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若關(guān)于尤的方程=k有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

題型十三：恒成立求參：三角函數(shù)型

;指I點(diǎn)I迷I津

不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,6],y=g{x),x^\c,d]

⑴若“c[4例,也小,引，總有/(xj<g(x2)成立，故/(x)1nl?<g(z)1nhi；

；⑵若“目2"，Bx2e[c,d],有/(xj<g(9)成立，故/(力2<gHL；

(3)若叫e[a,6],3x,e[c,d],有〃再)<g(9)成立，故/(力1nhi<g(%)1n^,；

(4)若修?則,3X2e[c,d],有/(xj=g(xj,則/(x)的值域是g(x)值域的子集.

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e*+acosx.

⑴若函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)當(dāng)xe05時(shí)，“X”辦恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.(2023?河南洛陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=，-,xe

COSX

⑴求/(X)的最值;

(2)當(dāng)xe時(shí)，/(“。。立-x(l+cosx)+a20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.(2023上?福建莆田,高三莆田第十中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x)=e-l-asinx.

⑴若曲線N=在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程為k0,判斷當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)。=2時(shí)，"022<3-5(<；€2)在工€[0,兀]恒成立，求。的最大值.

題型十四：恒成立求參：整數(shù)解型

;指I點(diǎn)I迷I津

解決不等式恒成立問(wèn)題，常用方法有：

：(1)將原不等式變形整理，分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題解決；

：(2)直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于(或小于等于)

0,解不等式即可.

1.(2023?山東?山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)-x+lnx),其導(dǎo)函數(shù)為

⑴若/(x)在(1，+8)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)若/(x)20在(1,+s)恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小整數(shù)值.1227.39)

2.(2023下?天津?yàn)I海新?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=lnx-mx2+(1-2加)x+l,(meR).

⑴若/⑴=T,求心的值及函數(shù)〃x)的極值；

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性：

⑶若對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有/(x)V0恒成立，求整數(shù)加的最小值.

3.(2023下?遼寧朝陽(yáng)?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=ae-ln(x+2)(aeR),

⑴若。=-