河北省邯鄲市2025屆高三第三次調(diào)研監(jiān)測（一模）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

HD市2025屆高三年級第三次調(diào)研監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如儒改動(dòng)，用皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.24.已知拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，則直線的方程為（）A. B. C. D.5.在中，，，點(diǎn)在的內(nèi)部，的延長線與交于點(diǎn)，若，則的面積是（）A.1 B. C.2 D.6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過點(diǎn)，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)對任意的都有，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.不等式的解集是11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.若在上的最小值為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.13.設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個(gè)三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為_______________.14.已知某圓臺的體積為，球剛好和該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，若該圓臺下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點(diǎn)，是棱的中點(diǎn).（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對3道或4道，則通過初賽，否則進(jìn)行第二輪答題，第二輪答題的數(shù)量為第一輪答錯(cuò)的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學(xué)參加了這次詩詞大賽，且甲同學(xué)每道題答對的概率均為.假設(shè)甲同學(xué)回答每道題相互獨(dú)立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學(xué)答對1道題的概率.（2）記甲同學(xué)的答題個(gè)數(shù)為，求的最大值.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.19.對于給定的橢圓，與之對應(yīng)的另一個(gè)橢圓（，且），則稱與互為共軛橢圓.已知橢圓與橢圓互為共軛橢圓，是橢圓的右頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為.①證明：且直線過定點(diǎn)②試問在軸上是否存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得直線，的斜率之積也為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.

HD市2025屆高三年級第三次調(diào)研監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如儒改動(dòng)，用皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別確定集合，，再求其交集即可.【詳解】由，所以；由，所以.所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，并確定對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】由，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第位數(shù)和第位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：D.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)寫出拋物線方程，再求出坐標(biāo)，進(jìn)而得直線方程.【詳解】由題設(shè)，得，則，故拋物線，將代入，得，得，∴∴,所以直線的方程為，即.故選：B.5.在中，，，點(diǎn)在的內(nèi)部，的延長線與交于點(diǎn)，若，則的面積是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由，，可得，然后由，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】，因，則，，得.又，則，過A，M做BC垂線，垂足為G，F(xiàn)，則，，又底邊相同，則.故選：C6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出異面直線與所成角的余弦值是的充要條件，再進(jìn)行判斷.【詳解】如圖：設(shè).以為基底，則，，，.因?yàn)?，，所?由可得，解得或，即或.即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.故選：A7.已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，只需有一個(gè)實(shí)數(shù)根，反解參數(shù)，研究其單調(diào)性，得出的取值范圍.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即有一根，即與一個(gè)交點(diǎn)，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當(dāng)，時(shí)都有2-xex與一個(gè)交點(diǎn)，有兩根當(dāng)時(shí)，與一個(gè)交點(diǎn)，有一根，綜上所述，的取值范圍是故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義可得，又，可得，又當(dāng)軸時(shí)最小，可得，即，可得，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由已知，設(shè)，則，兩式相加得，又，所以，又，所以，當(dāng)軸時(shí)最小，此時(shí)，所以，又，則，整理的，又，兩邊除以得，解得，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是當(dāng)軸時(shí)最小為，再建立關(guān)于的不等式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過點(diǎn)，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，再按直線的斜率是否存在分類，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求解.【詳解】圓的圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，點(diǎn)到直線的距離為1，不符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC10.已知函數(shù)對任意的都有，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法，求出，判斷A；利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；利用賦值法判斷C；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證得為上的增函數(shù)，利用單調(diào)性求得不等式的解集.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，令，則，所以，令，則，則，令，則，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，令，則，即，所以是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，則，又，所以，所以，故C正確；對于D，令，則，設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則，所以，則函數(shù)在是增函數(shù)，又由，，則不等式，即為，則，解得或，即不等式的解集是，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.若在上的最小值為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性的結(jié)論判斷A；求出函數(shù)其中的2個(gè)零點(diǎn)，可知在上只有一解，從而求得a的范圍，判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可判斷C；將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解，即可判斷D.【詳解】由題意知，對于A，，即的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；對于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結(jié)合在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知需在上只有一解，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，令，，，則在上單調(diào)遞減，而圖象對稱軸為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，令，，，則化為，該函數(shù)圖象對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于D的判斷，解答時(shí)將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，分類討論進(jìn)行求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后分別求得以及，結(jié)合向量的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，又，為非零向量，且向量，的夾角為，則，即，又，，所以，所以.故答案為：13.設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個(gè)三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為_______________.【答案】30【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用“峰型三位數(shù)”是否含有數(shù)字0分類，結(jié)合排列、組合計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算即得.【詳解】當(dāng)“峰型三位數(shù)”含有數(shù)字0時(shí)，0必為個(gè)位，再從余下5個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，大的數(shù)字為十位，有種方法；當(dāng)“峰型三位數(shù)”沒有數(shù)字0時(shí)，從除0外的5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，最大數(shù)字作十位，有種方法，所以“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：3014.已知某圓臺的體積為，球剛好和該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，若該圓臺下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.【答案】【解析】【分析】畫出截面示意圖，由圓臺的體積公式結(jié)合梯形的面積相等以及勾股定理和球的體積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖，畫出截面示意圖，設(shè)圓臺的上下底面半徑分別為，球的半徑為，圓臺的母線長為，由圓臺的體積公式可得，①由梯形面積可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的體積是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)球與圓臺的結(jié)構(gòu)畫出平面圖形，再由面積分割和勾股定理以及圓臺的體積公式求解球的半徑.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）.（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合條件計(jì)算等差數(shù)列的公差、等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此可得結(jié)果.（2）由題目條件得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.（3）根據(jù)（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.【小問2詳解】∵，∴，令，由函數(shù)和在上為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，∵，∴【小問3詳解】由（1）得，，∴.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點(diǎn)，是棱的中點(diǎn).（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而證明平面，即可得到結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可計(jì)算結(jié)果.【小問1詳解】∵四邊形是正方形，，∴.∵是棱的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則,令，則，故.由題意得，平面的法向量為，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對3道或4道，則通過初賽，否則進(jìn)行第二輪答題，第二輪答題數(shù)量為第一輪答錯(cuò)的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學(xué)參加了這次詩詞大賽，且甲同學(xué)每道題答對的概率均為.假設(shè)甲同學(xué)回答每道題相互獨(dú)立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學(xué)答對1道題的概率.（2）記甲同學(xué)的答題個(gè)數(shù)為，求的最大值.【答案】（1）①；②；（2）.【解析】【分析】（1）①②應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件加法求對應(yīng)概率即可；（2）根據(jù)題意有并求出對應(yīng)概率，應(yīng)用期望的求法求，再由導(dǎo)數(shù)求期望的最大值.【小問1詳解】①由題意，甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率為；②甲同學(xué)答對1題的情況如下，第一輪答對1題，第二輪答對0題，則概率為；第一輪答對0題，第二輪答對1題，則概率為；所以甲同學(xué)答對1道題的概率為；【小問2詳解】由題意，，且，，，，所以，又，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；又，，則在上，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以，故最大為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入，求出函數(shù)解析式，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，求出橫縱截距即可求解.（2）化為，構(gòu)造函數(shù)，求出，得到函數(shù)的單調(diào)性，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到不等式并反解，構(gòu)造函數(shù)，利用求出即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，切線的斜率，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.【小問2詳解】因