第2章 有理數(shù)知識歸納與題型突破（14類題型清單）（解析版）

第2章有理數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

正數(shù)：大于。的數(shù)叫做正數(shù)

正數(shù)和負(fù)數(shù)

負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)

按定義分類

有理數(shù)

按性質(zhì)分類

數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線

相反數(shù)只有居不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)

一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的

有理數(shù)絕對值

絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0

有理數(shù)的加減法

有理數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)的乘除法

有理數(shù)的乘方

（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0,。大于

有理數(shù)的大小比較負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。唬?）

作差比較法.（4）作商b匕較法；（5）倒數(shù)比較法

科學(xué)記數(shù)法

02知識速記

一、正數(shù)和負(fù)數(shù)

（1）概念正數(shù)：大于o的數(shù)叫做正數(shù).負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù).

注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù).

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（不是帶“一”號的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“一"的數(shù).）

（2）意義：在同一個(gè)問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

二、有理數(shù)

1.有理數(shù)的分類:

（1）按定義分類:（2）按性質(zhì)分類:

正整數(shù)

非負(fù)整數(shù)自然匏

零V

非正整數(shù)

有理數(shù)〈負(fù)整數(shù)-

非正數(shù)分?jǐn)?shù)《正分?jǐn)?shù)

1負(fù)分?jǐn)?shù)

2.數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線.

詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如乃.

（2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)大.

3.相反數(shù)：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

詮釋：⑴一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.

（2）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“-”號即可.

（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“-”號的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為負(fù).

4.絕對值:

（1）代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.數(shù)a的絕

對值記作同.

（2）幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

三、有理數(shù)的運(yùn)算

1、法則：

（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取

絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

（2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+（-b）.

（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.②任何數(shù)同0相乘，都得0.

（4）除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即a+b=a-L（b￥0）.

（5）乘方運(yùn)算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；②正數(shù)的任何次幕都是正數(shù),

0的任何非零次募都是0.

（6）有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

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③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.

詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：

（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“一”號的個(gè)數(shù)，例如：-[-（-3）]=-3,-[+（-3）]=3.

（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：

（—3）x（-2）x（-6）=—36,而（一3）x（-2）*6=36.

（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則幕為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則幕為

正，例如：（—3）2=9,（—3）3=—27.

2.運(yùn)算律：

（1）交換律：①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；

（2）結(jié)合律：①加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）

（3）分配律：a（b+c）=ab+ac

四、有理數(shù)的大小比較

比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。唬?）作差比較法.（4）作商比較法；（5）倒數(shù)比較法.

五、科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)表示成ax10"的形式（其中1〈同＜10,“是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法.例

如：200000=2xlO3.

03題型歸納

題型一相反意義的量

例1.（2024?湖北宜昌?模擬預(yù)測）若長江水位升高1m時(shí)水位變化記作+hn,那么水位下降0.5m時(shí)水位變化

記作（）

A.0mB.0.5mC.-0.5mD.-Im

【答案】c

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，根據(jù)水位升高記為正，則水位下降記為負(fù)即可得出答

案.

【詳解】解：若長江水位升高1m時(shí)水位變化記作+lm,那么水位下降0.5m時(shí)水位變化記作-0.5m,

故選：C.

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鞏固訓(xùn)練

1.（2024?陜西榆林?三模）兩千多年前，中國人就開始使用負(fù)數(shù).若某倉庫運(yùn)進(jìn)小麥3噸，記為+3噸，那么

倉庫運(yùn)出小麥2噸應(yīng)記為（）

A.+1噸B.-1噸C.-2噸D.-5噸

【答案】C

【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵.運(yùn)進(jìn)小麥3噸，記為+3噸,

可得運(yùn)進(jìn)為正，運(yùn)出為負(fù)，直接得出結(jié)論即可.

【詳解】解：???運(yùn)進(jìn)小麥3噸，記為+3噸，

/.運(yùn)出小麥2噸應(yīng)記為-2噸.

故選C.

2.（23-24九年級下?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）我國部分地區(qū)的日溫差較大，“早穿棉襖午穿紗”這句諦

語描繪的就是某地這種奇妙的氣溫變化現(xiàn)象.若某市某日上午溫度上升15（記作+15℃,那么傍晚溫度下

降9℃記作（）

A.9℃B.-9℃C.-15℃D.+15℃

【答案】B

【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵.正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的

量，據(jù)此即可求得答案.

【詳解】解:溫度上升15℃記作+15℃,那么傍晚溫度下降9℃記作-9.C,

故選：B.

3.（2024?湖北荊州?模擬預(yù)測）某地冬季里某一天的氣溫為-3℃,那么“-3C”的含義是（）

A.零下3攝氏度B.零上3攝氏度

C.降低3攝氏度D.升高3攝氏度

【答案】A

【分析】本題考查了相反意義的量，生活中習(xí)慣上用正數(shù)表示零上溫度，用負(fù)數(shù)表示零下溫度，掌握“正

數(shù)和負(fù)數(shù)是一對具有相反意義的量”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】“-3℃”的含義是零下3攝氏度.

故選：A.

題型二求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、絕對值

例2.（2024?四川達(dá)州?中考真題）有理數(shù)2024的相反數(shù)是（）

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【答案】B

【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0,據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：有理數(shù)2024的相反數(shù)是-2024,

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級上?浙江金華?期中）-3的絕對值是,-g的相反數(shù)是.

【答案】3y

【分析】本題主要考查絕對值與相反數(shù)的定義，熟練掌握絕對值與相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)絕對

值與相反數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】解：-3的絕對值是3,的相反數(shù)是

故答案為：3,y.

2.（23-24七年級上?廣東惠州?階段練習(xí)）-3.5的相反數(shù)為；-5的絕對值是；絕對值

是2的數(shù)是.

【答案】3.55±2

【分析】本題主要考查了絕對值和相反數(shù).根據(jù)相反數(shù)的定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號不同，數(shù)字相同，那

么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0；絕對值的定義：正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對數(shù)是它的相

反數(shù)，0的絕對值是0,進(jìn)行求解即可

【詳解】解：-3.5的相反數(shù)為3.5；-5的絕對值是5；絕對值是2的數(shù)是±2.

故答案為：3.5；5,±2.

3.（23-24七年級上?廣東廣州?期中）（1）卜3.7|=；（2）|0|=；（3）-卜3.3卜；

（4）-|+0,751=.

【答案】3.70-3.3-0.75

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義、絕對值的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】|-3.7|=3.7,

|0|=0,

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-|-3.3|=-3.3,

-|+0.75|=-0.75,

故答案為：3.7；0；-3.3；-0.75；

【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的定義，正數(shù)的絕對值是是正數(shù)，負(fù)數(shù)

的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零.

題型三化簡多重符號

例3.（23-24六年級下?全國?假期作業(yè)），的相反數(shù)是.

【答案】-j

6

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，熟知只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反

數(shù)是0是解題的關(guān)鍵.先化簡數(shù)字，根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：?.?+1]=?!，

二。的相反數(shù)是-3，

66

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級上?湖北孝感?期末）化簡-（-5）的結(jié)果是.

【答案】5

【分析】本題考查的是相反數(shù)的含義，直接根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：-（-5）=5,

故答案為：5

2.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）化簡-.

【答案】一/-0.25

4

【分析】本題考查相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是切記求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)只需這個(gè)數(shù)前面加上一個(gè)負(fù)號就可以了,

若原數(shù)帶有符號（不論正負(fù)），則應(yīng)先添括號,根據(jù)相反數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解]解：一卜卜：=一切=一：；

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故答案為：

4

3.（23-24七年級上?四川眉山?階段練習(xí)）若-。的相反數(shù)為,若。-3與。+1互

為相反數(shù)，則a為

【答案】T1

【分析】本題考查了相反數(shù)及化簡多重符號，先根據(jù)化簡多重符合得。=1,則可得。的相反數(shù)，根據(jù)相反

數(shù)的性質(zhì)得3+。+1=0,進(jìn)而可得。=1,熟練掌握相反數(shù)的定義及化簡多重符合的運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：若一則—Cl=-1,即：4=1,

，。的相反數(shù)為：-1,

若。-3與a+1互為相反數(shù)，則。-3+a+l=0,即：a=1,

故答案為：-1；1.

題型四絕對值的非負(fù)性

例4.（23-24六年級下?全國?假期作業(yè)）若|3-a|+|b-l|=0,則。=,b=.

【答案】31

【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性；根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得3-。=0,b-l=0,即可求解.

【詳解】因?yàn)閨3-a|+|6-l|=0,M|3-a|>0,|Z>-l|>0,

所以3—a=0,6—1=0,所以“=3,b=}.

故答案為：3,1.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知6、c滿足l|+c-g=0,則6+c的值是.

31

【答案】-/1-/1.5

22

【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì)，根據(jù)|6-1|+。-；=0,得到方=l,c=g,

代入計(jì)算即可.

【詳解】???|6-l|+c-g=0,

??b—1,c—,

2

.入113

22

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_31

故答案為：5或5或3

2.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期中）已知。為有理數(shù)，則卜-2|+4的最小值為.

【答案】4

【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相

反數(shù)，0的絕對值是0.根據(jù)絕對值的非負(fù)性即可解答.

【詳解】解：：|。一2上0,

—2|+4>4,

???|。-2|+4的最小值為4,

故答案為：4.

3.（23-24七年級上?山東青島?階段練習(xí)）a是最大的負(fù)整數(shù)，且a、b、c滿足|“+可+卜-5|=0.那么。=,

b=,c=.

【答案】-115

【分析】本題考查了絕對值非負(fù)性的應(yīng)用，先根據(jù)已知條件得到。的值，然后根據(jù)絕對值的非負(fù)性得到從

c的值，掌握絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：是最大的負(fù)整數(shù)，

??d——1,

V|（2+/J|+|C-5|=0,

|a+/）|=0,|c-5|=0,

a+b=0,。-5=0,

?**—1+6=0,c—5—0,

解得：6=l,c=5,

a=—1,b=1,c=5,

故答案為：-1,1,5.

題型五有理數(shù)大小的比較

例5.（2024六年級下?上海?專題練習(xí)）比較大小：|-1：|_一（一0.2）（填“>”或“〈”或“=”）.

【答案】>

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【分析】利用絕對值性質(zhì)及相反數(shù)定義將兩數(shù)計(jì)算后進(jìn)行比較即可.本題考查絕對值性質(zhì)，相反數(shù)的定義

及有理數(shù)的大小比較，此為基礎(chǔ)且重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握.

【詳解】解：??卜1%=?，-(-0.2)=0.2,11>0,2,

4

故答案為：＞.

鞏固訓(xùn)練

73

1.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期中）比較大?。篲________--（填“＞”或

84

【答案】＜

【分析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值越大

其值越小進(jìn)行求解即可.

77336

【詳解】解：：—二一、..————

88448

._Z<_3

84

故答案為：＜.

（六年級下?黑龍江哈爾濱?期中）比較大小--：2

2.23-24-—（填“或“=”）

0

【答案】＜

【分析】本題考查的是兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小比較，先比較兩數(shù)的絕對值，再根據(jù)絕對值大的反而小即可得到答

案.

5_52_2_4

【詳解】

6"6'-3-6

?2/

"66'

52

:.----<--

63

故答案為：＜.

3.（23-24六年級下?上海楊浦?期中）比較大小：一2；-2；］（請用“＜”、"＞”或“="填空）.

【答案】＜

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的大小比較方法;

先化簡，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可.

【詳解】__2：=_2：

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故答案為：<.

題型六數(shù)軸的三要素及其畫法

例6.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）下列數(shù)軸畫得正確的是（）

A.1~J~>B.~―>

rill〉n___I_____I_____I______>

J-101u-10-1

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸的畫法，根據(jù)數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線，逐項(xiàng)分析判斷，即

可求解.

【詳解】A,沒有原點(diǎn)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B,單位長度不統(tǒng)一，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C,正確，故該選項(xiàng)符合題意；

D,單位標(biāo)記不正確，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級上?天津?期中）如圖所示的圖形為四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

.......................................>__I_________1111_______

A-12345B--10123

.....................................111A

c--2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的知識，熟練掌握數(shù)軸的基本要素是解題關(guān)鍵.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和規(guī)定

長度的直線叫數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可，據(jù)此分析判斷即可.

【詳解】解：A.沒有原點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.單位長度不統(tǒng)一，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.沒有正方向，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.符合數(shù)軸的概念，故此選項(xiàng)正確，符合題意.

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故選：D.

2.（23-24七年級上?四川瀘州?階段練習(xí)）下列圖形是數(shù)軸的是（）

____I____I____I_IIIII?IIIII?___I__I___I___III______

A.-101B.-2-1012C,01234D.-2-1o12

【答案】B

【分析】本題主要考查的是數(shù)軸的定義，數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線；根據(jù)上述定義，

逐一判斷各選項(xiàng)，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A.沒有規(guī)定正方向，不是數(shù)軸，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.有了原點(diǎn)，正方向和單位長度，是數(shù)軸，故本選項(xiàng)符合題意；

C.沒有負(fù)半軸，且不是直線，故不是數(shù)軸，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.單位長度不均勻，不是數(shù)軸，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3.（23-24七年級上?四川涼山?階段練習(xí)）下面是四名同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

1??1A?1?11A

A--1-2012B.-2-1123

]___________I___________I___________I___________I___IIIII>

C.-2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本題考查數(shù)軸，熟知規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.據(jù)此對各選

項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【詳解】解：A.數(shù)軸上的點(diǎn)應(yīng)該越向右越大，-2與-1位置顛倒，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.沒有原點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.沒有正方向，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.數(shù)軸畫法正確，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

題型七用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

例7.（2024六年級下?上海?專題練習(xí)）（1）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用小于號連接下列各數(shù).

-3,+1,2—1—1.5

2

（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：.

________1111111A

-3-2-10123

第11頁共31頁

【答案】(1)見解析；-3<-1.5<+1<2|；(2)負(fù)有理數(shù)

【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，比較數(shù)的大小，掌握數(shù)軸上的

點(diǎn)表示數(shù)是解題的關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)，然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的

數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“〈”號連接起來即可；

(2)根據(jù)數(shù)軸的特征，在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示負(fù)有理數(shù).

【詳解】解：(1)數(shù)軸表示如下：

-3-1.5+122

——i——------1——A——~?-

-3-2-10123

-3<-1.5<+l<2-.

2

(2)在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：負(fù)有理數(shù).

故答案為：負(fù)有理數(shù).

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24七年級上?河南周口?階段練習(xí))給出下面六個(gè)數(shù)：

一..3

2.5，1j—2，—2.5，0,—.

2

(1)先畫出數(shù)軸，再把表示上面各數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示出來.

(2)用將上面的各數(shù)連接起來.

【答案】(1)見解析

_3_

(2)-2.5<-2—<0<1<2.5

【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，求一個(gè)數(shù)的絕對值和化簡多重

符號：

(1)在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可；

(2)根據(jù)(1)所畫數(shù)軸結(jié)合數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用小于號將各數(shù)連接起來即可.

【詳解】(1)解：數(shù)軸表示如下所示：

OZ5

-2.5-2-2IIII>

—J-----1-----1~~??4一._J4O-2345

-5-4-3-2-1

第12頁共31頁

3

(2)解：由(1)得一2.5<—2<—一<0<1<2.5.

2

2.(23-24七年級上?山西臨汾?階段練習(xí))如圖，數(shù)軸上點(diǎn)4表示的數(shù)是-3,點(diǎn)5表示的數(shù)是4.

AB

(1)在數(shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)O.

(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并按從小到大的順序用“〈”連接起來.

2.5,-4,|-1,5|,_(+Tj

【答案】(1)見解析

(2)見解析，-4<一(+<]<]一1.5|<2.5

[分析】本題主要考查在數(shù)軸上表示有理數(shù)以及有理數(shù)的大小比較:

(1)根據(jù)點(diǎn)/表示的數(shù)是-3,點(diǎn)3表示的數(shù)是4找出原點(diǎn)即可；

(2)把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，從左到右用“〈”連接起來即可.

【詳解】(1)解：原點(diǎn)。如圖，

A

3

(2)解：卜1.5|=1.5,

2

各點(diǎn)在數(shù)軸上表示為:

-4-(+當(dāng)|-1.5|2.5

A-2O123B

故-4<<|-1-5|<2.5.

3.(23-24七年級上?廣東佛山?階段練習(xí))如圖，數(shù)軸的單位長度為1,點(diǎn)3表示的數(shù)是4.

(1)在數(shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是.

(2)在數(shù)軸上表示出下列各數(shù)：-5,-2；,卜3|,并將這些數(shù)及點(diǎn)A,8表示的數(shù)用號連接起來.

【答案】(1)數(shù)軸見解析，-3

(2)數(shù)軸見解析，-5<-3<-23<卜3]<4

第13頁共31頁

【分析】

此題考查了有理數(shù)的比較大小，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，關(guān)鍵是正確在數(shù)軸上確定表示各數(shù)的點(diǎn)的位置.

（1）根據(jù)點(diǎn)8表示的數(shù)是4即可得原點(diǎn)位置，進(jìn)一步得到點(diǎn)Z所表示的數(shù)；

（2）首先在數(shù)軸上確定表示各數(shù)的點(diǎn)的位置，再根據(jù)在數(shù)軸上表示的有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大用

，，<，，號把這些數(shù)連接起來即可.

【詳解】（1）如圖，。為原點(diǎn)，點(diǎn)/所表示的數(shù)是-3,

I141Ijl1Ijl

A0B

故答案為：-3；

（2）

如圖所示：

1,,

-5-2y|-3|

-4——?————?——?——?——?——ii——?——

AOB

由數(shù)軸可知：-5<-3<-21<|-3|<4.

題型八數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離

例8.（23-24七年級下?上海?階段練習(xí)）數(shù)軸上，點(diǎn)42所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是2和-3,則42兩點(diǎn)的距離

AB=.

【答案】5

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式是解題關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸

上兩點(diǎn)間距離的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：：在數(shù)軸上，點(diǎn)43所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是2和-3,

二48兩點(diǎn)的距離=|2-（一3）卜5.

故答案為：5.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?江蘇徐州?二模）如圖，數(shù)軸上/、5兩點(diǎn)之間的距離為.

-103

【答案】4

【分析】本題考查了數(shù)軸間的距離，根據(jù)/、3兩點(diǎn)分別表示為-1,3,再求出/、3兩點(diǎn)之間的距離，即可

作答.

第14頁共31頁

【詳解】解：依題意，由數(shù)軸得出4、5兩點(diǎn)分別表示為-1,3,

則3-(-1)=4,

數(shù)軸上/、8兩點(diǎn)之間的距離為4,

故答案為：4

2.(2024?陜西西安?三模)如圖，點(diǎn)/是數(shù)軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)8在數(shù)軸上點(diǎn)/的左邊，且48=4,則點(diǎn)3表

示的數(shù)是.

4

?t?

1O2

X1

【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可.

【詳解】解：由數(shù)軸，點(diǎn)/表示的數(shù)為1,又點(diǎn)2在數(shù)軸上點(diǎn)/的左邊，且48=4,

，點(diǎn)B表示的數(shù)是1-4=-3,

故答案為：-3.

3.(22-23七年級上?江西宜春?期中)在數(shù)軸上有尸，M,N三點(diǎn)，點(diǎn)尸在點(diǎn)河左側(cè)，M,N兩點(diǎn)所表示的數(shù)

分別是1,-8,點(diǎn)P到與點(diǎn)N其中一點(diǎn)距離等于點(diǎn)尸到另一點(diǎn)距離的2倍，則滿足條件的點(diǎn)尸所表示

的數(shù)是.

【答案】-2,-5或-17

【分析】本題主要考查數(shù)軸的知識，解題的關(guān)鍵是利用掌握分類討論思想，以及兩點(diǎn)間的距離表示方法.

利用分類討論思想，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)且=2尸N時(shí)，設(shè)點(diǎn)尸表示的數(shù)為乙用代數(shù)式表示出尸

的長度，即可求出點(diǎn)尸所表示的數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)且PN=2尸M時(shí)，用代數(shù)式表示出尸的長

度，即可求出點(diǎn)P所表示的數(shù)；當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的左邊時(shí)，那只有府=2小，用代數(shù)式表示出尸尸N

的長度，即可求出點(diǎn)?所表示的數(shù).

【詳解】設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為乙當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)且PM=2尸N時(shí)，如圖所示，

NPM

--1----1--------J--->

=8t1

,:M,N兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是1、-8,

PN=t—(—8)=Z+8,PM=l—tj

PM=2PN,

.，.，+8=2(1—%),

解得：，=-2；

第15頁共31頁

當(dāng)點(diǎn)尸在線段跖V上時(shí)且尸N=2尸M時(shí)，如圖所示,

NPM

IJ_______I_____=2(/+8),

-8

解得：才=-5；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的左邊時(shí)，那只有尸M=2尸N,如圖所示,

PNM

--------------J----------1--------1----------???/—二2(-8-0,

解得：/=-17；

故點(diǎn)尸表示的數(shù)為-2,-5或-17.

故答案為：-2,-5或-17.

題型九有理數(shù)的加減中的簡便運(yùn)算

例9.(2023?江蘇?七年級假期作業(yè))計(jì)算:

⑴-9.2-(-7.4)+9；+f-6)+卜3|；

【答案】(1)0

(2)-16

【分析】(1)先把減法統(tǒng)一為省略加號的和的形式，再結(jié)合加法的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)先把減法統(tǒng)一為省略加號的和的形式，再結(jié)合加法的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可;

(3)先把減法統(tǒng)一為省略加號的和的形式，再結(jié)合加法的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：-9.2-(-7.4)+91+p|^+(^4)+^3|=-9.2+7.4+91-61-4+3=-1,8+2.8-1=0；

(2)-14-+11--I-12-1-14+1-11^L-14-+12-+11--11--14=-2-14--16；

3513)15)3355

(3)+=1--=-.

3813八338822

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的加減運(yùn)算，先把減法統(tǒng)一成加法，省略加號后，運(yùn)用加法運(yùn)算律，簡化運(yùn)

算，求出結(jié)果.其中互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)合；能湊成整數(shù)的各數(shù)先結(jié)合.另外，同號各數(shù)先結(jié)合；同分

第16頁共31頁

母或易通分的各數(shù)先結(jié)合.方法總結(jié)：(1)為使運(yùn)算簡便，可適當(dāng)運(yùn)用加法的結(jié)合律與交換律.在交換加

數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號一起交換.(2)注意同分母分?jǐn)?shù)相加，互為相反數(shù)相加，湊成整數(shù)的數(shù)相

加，這樣計(jì)算簡便.(3)當(dāng)一個(gè)算式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，

要看哪一種計(jì)算簡便.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023?浙江?七年級假期作業(yè))計(jì)算下列各式：

⑴(-1.25)+(+5.25)(2)(-3^-)+(+7^-)-8

⑶0.36+(-7.4)+0.5+0.24+(-0.6)(4)31+(-0.5)+(-3.2)+5p

【答案】⑴4

(2)-^

(3)-6.9

⑷5

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算，即可解答；

(2)根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算，即可解答；

(3)利用加法的結(jié)合律和交換律，即可解答；

(4)利用加法的結(jié)合律和交換律，即可解答.

【詳解】(1)原式=5.25-1.25=4；

(2)原式=(-3)+什7)-8+(-1)+!=_4_」=_§；

2366

(3)原式=0.36+0.24+(-0.6)+0.5+(-7.4)=0.5+(-7.4)=-6.9；

(4)原式=3.2+(-3.2)+(-0.5)+5.5=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法，解決本題的關(guān)鍵是利用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡算.

2.(2023?全國?七年級假期作業(yè))計(jì)算題：

(1)8+(-11)-|-5|；⑵12+(-8)_g；

⑶0.125+3/+5225；(?5#-臼-W+6..

【答案】⑴-8

⑵17

(3)8|

第17頁共31頁

⑷10

【分析】(1)先去括號、化簡絕對值，再計(jì)算有理數(shù)的減法即可得；

(2)先去括號，再利用有理數(shù)加減法的交換律與結(jié)合律計(jì)算即可得；

(3)先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用有理數(shù)加減法的交換律與結(jié)合律計(jì)算即可得；

(4)先去括號，再利用有理數(shù)加減法的交換律與結(jié)合律計(jì)算即可得.

【詳解】(1)解：原式=8-11-5=-3-5=-8.

(2)解：原式=]2—<+8—g=(12+8)—[萬+^)=20—3=17.

,、⑼11121<1L1<2八。2o2

(3)解：原式=—+3-------F5-------=Z-77+——0+3+5—=8—.

84834(88八4333

1443rl4、(43、

(4)解：原式=—5—+12—3—1-6———5—■F3—+12—F6—=—9+19=10.

5757(55八77)

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減法，熟練掌握有理數(shù)加減法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.

3.(2023?浙江?七年級假期作業(yè))計(jì)算：

7

⑴卜7|+-9—

(3)(+4.85)+(—3.25)(4)(-7)+(+10)+(-1)+(-2)

(5)(-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5犬-2.?

7

【答案】⑴16石

23

⑵一彳

(3)1.6

(4)0

(5)-4.5

(6)5

【分析】(1)先去絕對值，再按照有理數(shù)的加法運(yùn)算順序計(jì)算.

(2)先去括號,再按照有理數(shù)的加法運(yùn)算順序計(jì)算.

(3)先去括號，再按照有理數(shù)的加法運(yùn)算順序計(jì)算.

(4)先去括號，再按照有理數(shù)的加法運(yùn)算順序計(jì)算.

(5)先去括號，再按照有理數(shù)的加法運(yùn)算順序計(jì)算.

(6)先去小括號，后去中括號，再按照有理數(shù)的加法運(yùn)算順序計(jì)算.

第18頁共31頁

777

【詳解】(1)解：|-7|+-9-=y+9-L=16^

(3)解：(+4.85)+(-3.25)=4.85-3.25=1.6

(4)解：(-7)+(+10)+(―1)+(―2)=—7+10—1—2=0

(5)解：(-2.6)+(—3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.$=—2.6—3.4+2.3+1.5—2.3=—4.5

+總+(-3.36)+(+7.36)+[T[]=1+/+(-3.36)+(+7.36)+1+

(6)解:

=(+總+(+3)+(-3.36)+(+7.36)=1+4=5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后

算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算.是解答此題的關(guān)

鍵.

題型十有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

例10.(2023?江蘇?七年級假期作業(yè))計(jì)算:

⑵(-32)+4x；；⑶24+(-2)—一11

【答案】⑴;

⑵-2

⑶10

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)乘法法則：同號兩數(shù)相乘得正，異號兩數(shù)相乘得負(fù)，并把絕對值相乘；據(jù)此計(jì)算

即可;

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則，先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，再算乘法，進(jìn)行計(jì)算即可;

(3)先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：卜;卜卜=

(2)解：(-32)^4xl=(-32)x-xl=-32x-xl=-2；

44444

(3)解：24+(—2)+(Tg]=24x(-g]x]-*]=24x：xg=10.

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘除法運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

第19頁共31頁

鞏固訓(xùn)練

1.(2023?全國?七年級假期作業(yè))計(jì)算：

(1)(-8)X(-6)X(-1.25)X|；⑵(-81)+12￡|x2+(-8).

【答案】⑴-20

⑵-2

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)I?：(-8)x(-6)x(-!.25)x-=-8xl.25x6x-=-10x2=-20；

(2)解：+(-8)=(-81)x[4)4(1)O1441

9J9<8J998

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘除運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

2.(2023?全國?九年級專題練習(xí))計(jì)算

(1)-20+(-5)-(-18)(2)49--X|^--J-(-16

⑶(信11一7十3二五13、卜/(叫Q(4)^-1…992-4jx、5，

【答案】(1)-7

(2)1

(3)2

4

(4)-999y

【詳解】(1)解：-20+(—5)—(-18)=—20—5+18=—7；

(2)解:49+彳*[_：)_(_16)=49x：x1_g]+(T6)=28x1_g)+

(-16)=(-16)-(-16)=1；

⑶解:-48)

117313

=—x(-48)--x(-48)+—x(-48)--x(-48)=-44+56-36+26);

4

(4)解：I-199—x5=|--200lx5=—x5-200x5=--1000:=-999-.

(25J125J2555

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算、有理數(shù)的乘法運(yùn)算律、兩個(gè)有理數(shù)的

乘法運(yùn)算.掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3.(2023?全國?七年級假期作業(yè))計(jì)算：

(1)(-3)+(T*0.75+H(-6)；

第20頁共31頁

【答案】⑴18

(2)-5

(3)54

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計(jì)算即可得到答案.

【詳解】(1)解：(一3)+1—l：］x0.75+1—T］x(—6)=3xgxjx：x6=18；

(2)解：［一］］義(一0.1)+*、(一10)二—25x10］=-5；

kJJN/J\JJL\JJ

(3)解:

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵.

題型十一含乘方的有理數(shù)四則混合運(yùn)算

例11.計(jì)算：-23+|5-11|+15X^-1^

【答案】-5

【分析】按照先計(jì)算乘方和絕對值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減法的運(yùn)算順序求解即可.

【詳解】解:-23+5-11+15X^-^=-8+6-3=-5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023秋?陜西渭南?七年級統(tǒng)考期末)計(jì)算：-12。22+(_5)\(_$一卜1一5|.

【答案】-22

【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可.

［詳解］原式=—1+25x(―y)—6=—1—15—6=-22.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序.

2.(2023?全國?七年級假期作業(yè))計(jì)算：

+(T2)；⑵-呼+(-5)x［(-2)3+2］-(-4)2+

第21頁共31頁

(3)4+(-2『x2-(-36)+4；(4)-14+(-2)3^4X[5-(-3)2].

【答案】(1)1

(2)61

(3)21

(4)7

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算，加減法運(yùn)算，乘法分配律即可求解；

(2)根據(jù)含有乘方的有理數(shù)運(yùn)算法則即可求解；

(3)根據(jù)含有乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解；

(4)根據(jù)含有乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】(1)解：Q+1-^X(-12)

=；x(-12)+1x(-12)-￡x(-12)

=-3-2+6

=1.

(2)解：-I2022+(-5)x[(-2)3+2]-(-4)2

=-1+(-5)x(-8+2)-16x(-2)

=—1+30+32

=61.

(3)解：4+(—2『x2—(一36)+4

=4+8-(-9)

=21.

(4)解：一「+(—2)，4x[5—(―3月

=-1+(-8)x—x(-4)

=-1+8

=7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握乘方的運(yùn)算法則，有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

題型十二有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯(cuò)題復(fù)原問題

第22頁共31頁

例12.(2023秋?山東東營?六年級統(tǒng)考期末)課代表發(fā)下作業(yè)本之后，小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)題做錯(cuò)了，檢查

了多遍也沒有找出錯(cuò)誤的原因，你能幫他糾錯(cuò)嗎？

原題是:計(jì)算：

這是小剛的計(jì)算過程：

W：原式=-24x；+(_24)x(_gj_4+1；_g]第——步

=-6+8-4+；+(-4)+[-；]第二步

=2-8+12第三步

=6.第四步

觀察小剛的計(jì)算過程回答下列問題：

(1)小剛在進(jìn)行計(jì)算第一步時(shí)運(yùn)用了律；

(2)他在計(jì)算中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，你認(rèn)為他在第步出錯(cuò)了？

(3)請你給出正確的解答過程.

【答案】(1)乘法分配

⑵二

(3)見解析

【分析】(1)觀察運(yùn)算過程可知第一步運(yùn)用了乘法分配律；

(2)觀察運(yùn)算過程可知第二步運(yùn)用了除法分配律，而除法沒有分配律，由此即可得到答案；

(3)根據(jù)有理數(shù)四則混合計(jì)算法則求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，小剛在進(jìn)行計(jì)算第一步時(shí)運(yùn)用了乘法分配律，

故答案為：乘法分配；

(2)解：由題意得，在第二步的時(shí)候，運(yùn)用了除法的分配律，而除法沒有分配律，從而導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤,

故答案為：二；

(3)解：

“24x；+(一24卜卜:_4—"]

=_6+8_4+『|]

=-6+8-4」

6

=-6+8-24

第23頁共31頁

=-22.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)四則混合計(jì)算，有理數(shù)乘法分配律，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵，注

意除法沒有分配律.

鞏固訓(xùn)練

1.在計(jì)算(-5)-(-5)xA+\x(-5)時(shí)，小明的解法如下：

解：原式二節(jié)一卜1+-.(第一步)

=-5-1(第二步)

=-4(第三步)

回答：

(1)小明的解法是錯(cuò)誤的，主要錯(cuò)在第步，錯(cuò)因是;

(2)請?jiān)谙旅娼o出正確的解答過程.

【答案】(1)一，同級運(yùn)算沒有按照從左到右的順序依次進(jìn)行運(yùn)算

(2)見解析

【分析】(1)觀察小明的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)，第一步?jīng)]有按照運(yùn)算順序計(jì)算，所以錯(cuò)誤；

(2)按照有理數(shù)混合運(yùn)算順序和法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：通過觀察小明的計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)，第一步在計(jì)算乘除的同級運(yùn)算時(shí)，沒有按照從左到右的

順序依次計(jì)算導(dǎo)致錯(cuò)誤，

故答案為：一，同級運(yùn)算沒有按照從左到右的順序依次進(jìn)行運(yùn)算；

(2)解：(-5)-(-5)X^^X(-5)

=-5-1-；JxlOx(-5)

=-5-(-5)x(-5)

=-30.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和法則是解題的關(guān)鍵..

2.閱讀下列解題過程：(-15)^Q-l1-3jx6

解：原式=(-15))x6(第一步)

=(-15)^(-25)(第二步)

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3

=-1（第三步）

解答問題：

（1）上面解答過程有兩個(gè)錯(cuò)誤，第一處是第