對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【12類題型】（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)題型重難點(diǎn)專項(xiàng)突破

熱點(diǎn)專題2-5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年II卷第8題，5分從近四年的高考情況來看，對

2024年北京卷第7題，4分?jǐn)?shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)是高考的一

個重點(diǎn)也是一個難點(diǎn)，常與二

2024年天津卷第5題，5分

次函數(shù)、稱函數(shù)、相數(shù)函數(shù)、

2023年北京卷第11題，5分(1)對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)

三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小(2)對數(shù)函數(shù)的圖象

2023年I卷第10題，5分

的比較和函數(shù)方程問題.在利(3)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2022年I卷I卷第7題，5分用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用

上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)

2022年浙江卷第7題，5分

算素養(yǎng).

模塊一熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1］指數(shù)對數(shù)混合運(yùn)算

【題型2】換底公式的應(yīng)用

【題型3】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【題型4】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題

【題型5］指對幕比較大小

【題型6】解對數(shù)方程或不等式

【題型7】對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

【題型8】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題

【題型9】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問題

【題型10］對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題

【題型11］反函數(shù)問題

【題型12］對數(shù)函數(shù)的綜合問題

模塊二核心題型?舉一反三

【題型1］指數(shù)對數(shù)混合運(yùn)算

基礎(chǔ)知識

1,對數(shù)計(jì)算公式

M

⑴同底對數(shù)加減運(yùn)算：log“M+log“N=loga(A/N)；logaM-logaN=logfl—

(2)底數(shù)和真數(shù)是乘方數(shù)時：logb"=—\ogb

ama

(3)對數(shù)恒等式：出唬*=%

,,1

(4)倒數(shù)式：log?^=------

log/

2、對數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)在對數(shù)運(yùn)算中，先利用賽的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)森的形式，使賽的底數(shù)最

簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.

(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真

數(shù)的積、商、森再運(yùn)算.

(3)指對互化：。&=^^06=1080"3>0,且存1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中

應(yīng)注意互化.

1.化簡下列各式：

⑴41g2+31g5-lgg；

log53

(2)21og32-log3^-+log38-5.

【解析】⑴原式=恒=^=恒(27)=館(2、5)4=4.

5

(2)原式二210g32-(51og32-2)+31og32-3

=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.

2logs2

【鞏固練習(xí)1】ftm(log62)+log62.log63+2log63-6()

A.-log62B.-log63C.log63D.-1

【答案】A

【解析】(Iog62)2+log62」og63+2k)g63—6砥2=iog62(k>g62+log63)+21og63—2

=log62+2log63-2=2(log62+log63)-log62-2

=2-log62-2=-log62

【鞏固練習(xí)2］求值

⑴log6432-log2^--log31log5，

ZJOy

7

(2)Igl4-21g-+lg7-lgl8

3

(3)log2(log232+logj-+log436)

24

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

【答案】⑴-10；；(2)0；；(3)3；；(4)13

【解析】⑴原式=10g262510g25-210g32-310g53-2

=|x(-2)log95x(-3)log32x(-2)log53=-10x^x^|x^|=-10；

6lg2lg3lg5

(2)原式=lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3限2)=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7―21g3—lg2=0；

33

⑶原式=log?(5+log?-z+log??6?)=log2(5-log2-+log,6)=log,(5+log28)=log28=3;

(4)原式=^31og25+log25+|log25^(31ogs2)=y-31og5210g25=13.

【題型2】換底公式的應(yīng)用

基礎(chǔ)知識］

,.,log)

換底公式：=；(a>0,且aWl;c>0,且cWl;b>0).

log4

2.已知3°=2,3"=5,貝1|值2=,(用。，6表示)

【答案】

【解答】解：因?yàn)?a=2,3"=5,

所以a=log32,b=log35,?+Z?=log310,

,入logo2a

所以/g2=-------=------.

log310a+b

故答案為：-^―

a+b

3.已知7"=3,log72=/?,貝!Jlog4948=，（用a,b表示）

____a+4b

【答案】——

2

【解析】因?yàn)?"=3,所以log73=a,

44

又log’2=6,所以log4948=log72(3X2)=1log7(3x2)

4

=1(log73+log72)

=1(log73+41og72)

=1(a+4&).

一131

4.已知則一+—+—=

xyz

【答案】3

【解析】依題意，=log26,.y=log36,z=log46,

131131

則—+—+—=++=log62+31og63+log64=log6216=3.

xyzlog26log36log46

【鞏固練習(xí)1】設(shè)lg2=a,lg3=6,

（1）用含力的式子表示logs18,形式為

（2）用含。，6的式子表示log630,形式為

a+2b/-、6+1

【答案】（1）--，⑵一-

l—aa+b

IIgl8lg(2x32)Ig2+lg32Ig2+21g3a+2b

【解析】（1）

51g5lg(10-2)lgl0-lg2lgl0-lg21-a

,”，，clg30lgio+lg3b+1

⑵log630.log518.A_.A__^?

32

【鞏固練習(xí)2】設(shè)2"=3>=72,求一+一的值.

xy

【解答】依題意有x=k)g272,y=log372,-=log722,—=log723,

一xy

32

—i—=3log2+2log,？3=log8x9=1

xy7272

【題型3】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

對數(shù)函數(shù)的圖象（底大圖低）

a>l0<a<l

y

,X=1

\y=logaX」W，o).

圖象0Kx

/^)

0

y=logoX

定義域(0,+℃)

值域R

過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1,0),即x=l時，y=0

性質(zhì)

當(dāng)0<xVl時，y<0；當(dāng)0V尤<1時，y>0；

函數(shù)值的變化

當(dāng)x>l時，y>0當(dāng)x>l時，y<0

單調(diào)性是(0,+◎上的增函數(shù)是(0,+oo)上的減函數(shù)

方法技巧：對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、

平移、對稱等變換得到，當(dāng)。>1時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當(dāng)0<。<1時，對數(shù)函數(shù)的圖

像呈下降趨勢.

5.已知函數(shù)①y=logor；②y=logbx；③y=logcx；④y=log公的大致圖象如圖所示，則下列不

等關(guān)系正確的是()

A.a-\-c<b-\-aB.a-\-d<b-\-c

C.b+c<a+dD.b+d<a+c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得6>a>l>d>c,則a+b>a+c,b+d>a+c,故A正確，D錯誤；又

a+d與b+c的大小不確定，故B,C錯誤.故選A.

6.函數(shù)/(x)=(4-Y)in|-x|的圖象是()

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)確定.

.f(4-x2)lnx,x>0

【詳解】解：/(x)=(4-/9)inH=,

1?(4-x)ln(-x),x<0

因?yàn)閒(-X)=/(X),

所以八>)是偶函數(shù)，故排除AD,

當(dāng)%>0時，令/(%)=。，得％=1或%=2,

當(dāng)Ovxvl或x>2時，<0,當(dāng)l<x<2時，/(^)>0

7.已知函數(shù)/(%)=ln(%+4)的圖象不經(jīng)過第四象限，則〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(0,1]D.[1,+co)

【答案】D

【解析】fM的圖象是由y=ln%的圖象向左平移。個單位所得.

y=lnx的圖象過(1,0)點(diǎn)，函數(shù)為增函數(shù)，因此々21.故選：D.

【鞏固練習(xí)1](多選題)(2024.河南信陽?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=log“N+l(0<a<l)的大致圖象不

可能為()

【答案】BCD

【解析】函數(shù)/(x)=log“N+l(0<a<l)的定義域?yàn)椋鸛|XN。｝,

因?yàn)?(f)=logjX+l=/(x),所以函數(shù)〃X)為偶函數(shù)，

當(dāng)x?0,+8)時,/(x)=log“x+l(0<a<l)為減函數(shù)，且過定點(diǎn)(1,1),

故函數(shù)/(x)=log“W+1(0<a<1)的大致圖象不可能為BCD選項(xiàng).

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(x)=log,(x-6)(a>0且"1,a,6為常數(shù))的圖象如圖，則下列結(jié)

論正確的是()

A.a>0,b<—lB.a>0,—1<Z?<OC.0<a<l,b<—lD.0<a<l,—1</?<0

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=log"(x-6)為減函數(shù)，所以0<〃<1

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，所以x=l+〃>0,即人>-1

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸有交點(diǎn)，所以〃<0,所以-1<6<0,故選：D

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)"x)=|lgx|,若OVQV〃且則a+2)的取值范圍為.

【答案】(3,也)

【解析】畫出/(x)=|lgx|的圖象如圖:

叫

Oa\bx

-0<a<b9且/（〃）=/伍），

.-.|lg6z|=|lgZ?|JLO<?<1,b>l,

2

：.-lga=lgb,即"=1,：.y=a+2b=a+—,ae（0,l）,

2

由圖象得y=a+,在（0,1）上為減函數(shù)，

y>1+2=3,

a+2b的取值范圍是（3,+oo）.

故答案為：（3,+oo）.

OV2

【題型4】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題

基礎(chǔ)知識

對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)(1,0),即x=l時，y=0;

函數(shù)f(x)=logfl(x-6)+c過定點(diǎn)(/?+1,c)

8.函數(shù)，=log0x+l(a>0且的圖象必經(jīng)過一個定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=log“X(a>O且恒過定點(diǎn)(L0),

所以函數(shù)y=log“x+l(。>0且4X1)的圖象必過定點(diǎn)(1,1).

9.(2024?安徽安慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=log2(ox+b)(a>0/>0)恒過定點(diǎn)(2,0),則，+，的

最小值為().

A.20+1B.272C.3D.亞+2

【答案】A

【解析】由題意可知2a+b=l,

,b1b2a+bb2alb2a,_/r-,

則n一+—=—+-----=—+—+1>2--------+1=2。2+1,

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)。z;=0一1時，

!的最小值為2忘+1

ab

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/(久)=1+loga(2久一3)(a>0,a大1)恒過定點(diǎn)(m,n),則m+n=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】令2x—3=1,即可求解/(x)恒過定點(diǎn)(2,1),進(jìn)而求解.

【解答過程】令2x-3=1,解得％=2,此時/'(2)=1+logal=1,

所以/'(x)恒過定點(diǎn)(2,1),則m=2,n=1,

所以m+n=3.

【鞏固練習(xí)2】已知直線，=始+2〃經(jīng)過函數(shù)4x)=log.(x-l)+2圖象過的定點(diǎn)(其中根，〃均大于

0),則，+■1■的最小值為()

mn

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因?yàn)?(2)=loga(2-l)+2=logal+2=0+2=2,所以函數(shù)/(x)=log“(x-l)+2圖象過的定

點(diǎn)為(2,2),

將其代入直線方程y=〃a+2”得2=2%+2〃，即陰+〃=1,

又m,n>0,

1/\(1?m兒??mft，

所以—I—=(m+n}\—I—=2d---1—>2+2J------4,

mnnJnmVnm

mn1|]

當(dāng)且僅當(dāng)即m=〃=—時，等號成立，故一+—有最小值4.

nm2mn

【鞏固練習(xí)3】函數(shù)y=log。x+ax~{+2（〃〉0且々。1）的圖象恒過定點(diǎn),若根+〃=〃一左且相>0,

n>0,則見土'的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【解析】當(dāng)x=l時，y=logql+ai+2=3,

所以，函數(shù)y=logqX+/T+2過定點(diǎn)(1,3),得Z=11=3,

所以，m+fz=3-l=2,

因?yàn)閙>0,n>0,

~9n+m911+)("+")=[10+曰+.同(10+2網(wǎng)=8,

所以，------=——+—=一

mnmn2

9nm

31

當(dāng)且僅當(dāng)n,即機(jī)=5,九=/時，等號成立,

m+n=2

所以，竺On+*的最小值為8.

mn

【題型5】指對幕比較大小

基礎(chǔ)知識

1,常規(guī)法：比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法.

2、當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)的差或倍數(shù)一樣時，可以考慮拆出一個1

例1：10^6和log48（倍數(shù)一致）

簡析：Iog36=l+log32；log48=l+log42,由圖像可知Iog32>log42

例2:log35和log46（差一致）

簡析：Iog35=l+log3：；log46=1+log4-1,由圖像可知log3m>log4(

3

10.設(shè)a=log23,b=0.3°2,。二萬，則()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

3—

［解析］c=5=log2V--log22^2<log23=a,

Z?=0.302<0.3°=l,

則b<c<a

11.設(shè)〃=1。832,6=1113,。=10823,貝1J()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】0a=log32<log33=l,b=\n3>lne=l,c=log23>log22=1,

又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)x>l時，底數(shù)越大，圖像越低，可得Iog23>ln3,

所以。>/?>〃，故選：D.

【鞏固練習(xí)1]（2024?天津?二模）設(shè)"皿力=1.3°9,0.9。=1.3,則〃也。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

333

【解析】log23>log2次=log222,

33

O<1,3O9<1.3<-,.\O<Z?<-,

22

09=1.3,/.c=log091.3<log091=0,

\c<0,:.c<b<a.

【鞏固練習(xí)2］已知4=(：)"b=(j)1,c=lo§21,則a,b

c的大小關(guān)系是（

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

c=\ogl-<log2\=G,

523

則。，b,C的大小關(guān)系為cvav6

【鞏固練習(xí)3】已知。=log62,b=log124,c=log186,則()

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

【解答】解：由對數(shù)運(yùn)算公式得，-=log6=l+log3,y=log12=l+log3,-=log18=l+log3,

a22b44c66

易知log23>log43>log63,:.c>b>a.

故選：A.

【鞏固練習(xí)4】設(shè)a=0.2°3,^^log34,c=log45,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到a<1,b>l,c>\,對6,c利用換底公式變形后作差，結(jié)合基本不等

式，得到6>c,從而得到答案.

【詳解】因?yàn)閥=02'單調(diào)遞減，所以〃=0.2°3<0.2°=1,

又y=log3X與y=log4X均單調(diào)遞增，故6=log34>log33=l,c=log45>log44=1,

“In4,=In5

其中6=1唱4=而'c=l°g45=而

ln4山5lY”地足

其中l(wèi)n3>0,ln4>0,故ln3-ln4>0,

In3In4In3-In4

其中In3-ln5<

“l(fā)n4In5In24-ln3-ln5八

故--------二-------------->0,

In3In4In3-In4

上」n4In5

所以——>——即故a<c<〃.

In3In4

【題型6】解對數(shù)方程或不等式

基礎(chǔ)知識

【方法技巧】

(1)對于形如log。/(X)=6的形式，利用。=log”6?轉(zhuǎn)化；對于形如

(logfl%『+8?log.x+C=0的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

(2)解對數(shù)不等式，也是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個

不等式即可.

12.方程log?x=g的解為

【答案】亞

【解析】方程■，化為：x=2?=0

2—

13.設(shè)log,弓則。的取值范圍是（）

A.（1,1）B.（0,1）C.（0,|）D.（0,1］

【答案】C

2222

【解析】由logq§<l,得：logfl-<logaa,因?yàn)?<avl,所以〃<§,取交集得：0<Q<§.

2

所以〃的取值范圍是（（）,§）,故選：C.

14.不等式27工+71og5（36x+l）<23的解集為

12

【答案】

3653

【解析】設(shè)函數(shù)/⑺=27,+710g5（36x+1）,

1

則應(yīng)有36x+l>0,解得x>-所以，/⑺定義域?yàn)?+8.

36

23

又了27+71og5l36x|+lj=9+7x2=23,

2

所以，由/（力<23,可得/（力</

因?yàn)閥=27‘以及y=71og5（36x+l）均在［-媒，”上單調(diào)遞增，

所以，/（x）=27"+710g5（36x+l）在［-今,+°0）上單調(diào)遞增，所以,2

x<一.

3

172（121

綜上所述,W*所以，不等式的解集為一,§.

363

【鞏固練習(xí)11方程ln（log3%）=。的解是（

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】Vln(log3x)=0,log3x=e°=1,/.x=3.

【鞏固練習(xí)2】已知題5［1幅（評）］=0,則x的值為

【答案】Tio

【解析】由1嗝［1唱（4力］=0,得log?（4力=50=1,所以正=2=2,

即22?=2,所以21gx=1,lgx=；,所以x=io；=J記.

【鞏固練習(xí)3］若實(shí)數(shù)x滿足不等式log2#-2x）>log2（x+4）,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【答案】（T,-l）u（4,y）

2

【解析】log2（x-2x）>log2（X+4）,

x2-2x>x+4

<x2-2x>0,解得了>4或Tvxv-l.

x+4>0

【鞏固練習(xí)4］已知實(shí)數(shù)。>0,且滿足不等式33-2>3但］，則不等式loga（3x+2）<log.（8-5x）的解

集為.

38

【答案】

455

3a+24a+1

【解析】因?yàn)?>3,所以3a+2>4o+l=>a<l,而a>0,則0<。<1,于是

3x+2>0

<8-5x>0

3x+2>8-5x

【題型7】對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略

（1）基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析

式，然后根據(jù)實(shí)際問題求解.

（2）求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代

入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.

15.如果光線每通過一塊玻璃其強(qiáng)度要減少10%,那么至少需要將塊這樣的玻璃重疊起

來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的0.5倍.（參考數(shù)據(jù)：坨2。0.3010,lg3。0.4771.）

【答案】7

【分析】構(gòu)造不等式。-10%）“<g,利用對數(shù)運(yùn)算法則解不等式可求得結(jié)果.

【詳解】假設(shè)需要〃塊這樣的玻璃，則。-10%y<；,”>1嗎9；=-log092,

-lg2_lg2

86?6,

lg9-lgl0-l-21g3

?..至少需要7塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的，

16.為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超

過0。9〃際/:地.據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到

03mg/mL,在停止喝酒后，血液中每小時末的酒精含量都比上一個小時末減少25%.那么此

人在開車前至少要休息（）（參考數(shù)據(jù)：Zg2?0.301,欣3。0.477）

A.4.1小時B.4.2小時C.4.3小時D.4.4小時

【解答】解：設(shè)經(jīng)過x小時，血液中的酒精含量為y,

則y=0.3x（1—25%）'=0.3x0.75*,

由0.3x0.7530.09,得0.7530.3,

則xlg0.15?lg03,

Zg0.3/g3-l_0.477-1

因?yàn)閆g0.75<0,所以工…一——=4.184?4.2

Zg0.75-Ig3-lg4~0.477-0.602125

所以開車前至少要休息4.2小時

【鞏固練習(xí)1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是e；c,空氣的溫度是4°c,經(jīng)過/

分鐘后物體的溫度0°C可由公式：6=%+?-%）""求得.其中左是一個隨著物體與空氣的接觸狀

況而定的大于0的常數(shù).現(xiàn)有100°C的物體，放在10°C的空氣中冷卻,5分鐘以后物體的溫度是40°C,

則上約等于（）（參考數(shù)據(jù)：物3。1.099）

A.0.22B.0.27C.0.36D.0.55

【解答】解：由題意可得，40=10+（100-10）-5、

?產(chǎn)=1

"3'

lne5k=歷;,Fp-5k=-1.099,

【鞏固練習(xí)2]2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%,則年

我國人口將超過20億.（1g2?0.3010,1g3?0.4771,lg7?0.8451）

【答案】2037

【分析】根據(jù)條件，列出不等式，再利用對數(shù)運(yùn)算解不等式即可.

【詳解】

由題意，列方程得：

14(1+1.25%廣的〉20

(1+1.25%廣>型=3

,10

10lgv

l-lg7

尤_2008>log—=—行a28.7

(1+125%)41g3-31g2-l

1880

【鞏固練習(xí)3】我們可以把（1+1%嚴(yán)看作每天的“進(jìn)步，，率都是1%,一年后是1.0產(chǎn)5；而把（1_1%嚴(yán)

看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用計(jì)算工具計(jì)算并回答下列問題:

（1）一年后“進(jìn)步”的是“落后”的多少倍?

（2）大約經(jīng)過多少天后“進(jìn)步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？

1.01365_/i.oiY65

【解析】（1）0.99365~1099JX1480.7.

.?.一年后“進(jìn)步'’的大約是“落后”的1480.7倍

1nix1.01

(2)由W￡_=10得=10

0.99%K99

1g101

，x=log/10=?1.0171.01?115

091g------1g------

0.990.99

.?.大約經(jīng)過115天“進(jìn)步”的是“落后”的10倍.

1.01=loox=w230

,1.0FI'~Lof

由-----100得(0.99

0.99"gO99

.?.大約經(jīng)過230天“進(jìn)步”的是“落后”的100倍.

iOF1.01

由上一二1000得=IOOOM^X=^TOTW345

0.99"0^99f8099

.?.大約經(jīng)過345天“進(jìn)步”的是“落后”的1000倍.

【題型8】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題

基礎(chǔ)知識

對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題

1,模板解決思路：判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.

2、模板解決步驟

第一步：求函數(shù)的定義域.

第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù).

第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性.

第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

17.函數(shù)/⑴旦口任―2%-8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（-00,-2）B.（-oo,-1）C.（1,+8）D.（4,+“）

【答案】D

【解析】由題知/（%）的定義域?yàn)椋═O,-2）_（4,+oo）,

令1=%2_2%_8,則y=ln，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)了?一。,一2）時，/關(guān)于1單調(diào)遞減，/（%）關(guān)于光單調(diào)遞減，

當(dāng)了?4,+。）時，/關(guān)于工單調(diào)遞增，“力關(guān)于犬單調(diào)遞增，

故了（%）的遞增區(qū)間為（4,+8）.故選：D.

18.若函數(shù)〃x）=ln（尤2-6-1）在區(qū)間。,+⑹上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】（e,0]

【解析】由函數(shù)”%）=111（彳2-改一1）在區(qū)間（1,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，

只需函數(shù)y=d-辦-1在。,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)x>l時*2-內(nèi)-1>0恒成立，

[￡<1

所以滿足J2'解得a<0.

1-4Z—1>0,

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/（x）=l°gi（f2+3x+4）的單調(diào)增區(qū)間為（

2

【答案】C

【解析】由-d+3%+4>0=>-1<%<4,

3

二次函數(shù)y=-x2+3%+4的對稱軸為：x,

所以二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為[j.],

而函數(shù)y=logi”是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知:

2

函數(shù)/（幻=1°8工（一/+3》+4）的單調(diào)增區(qū)間為（1,4],故選：c

x+l(x<0)

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃尤）=，在定義域上是增函數(shù)，則k的取值范圍是（

log3(x+^)(x>0)

A.(3,+8)B.[3,+oo)C.(l,+℃)D.(1,+s)

【答案】B

x+l（x<0）

【解析】因?yàn)椤▁）="1幅（」初工。產(chǎn)定義域上是增函數(shù)，

當(dāng)xWO時/（無）=尤+1單調(diào)遞增且『（0）=1,

當(dāng)x>0時/（尤）=log3（x+左）也單調(diào)遞增，

所以l<log3（0+左），F(xiàn)plog3k>log33,

所以％23,即Ze[3,+co）；故選：B

【鞏固練習(xí)3】（2024?重慶.模擬預(yù)測）若函數(shù)=In優(yōu)一2辦+3a）在[1,+e）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.(-oo,l]B.(-1,1]C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ln(%2-2依+3〃)在上單調(diào)遞增，

-2.<]

所以｛2",解得一1〈。<1.

1—2。+3ct>0

【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)〃x）T°g|Xl°g式詞在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

214J

【答案】[16,-HK）

【分析】換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的給定區(qū)間的單調(diào)性求解.

2

【詳解】/（X）=-log2xlog2（ar）=-log2x（log2x+log2a）=-（log?x）-log2a-log2x,

令t=log2xe[-2,"Hx>）,為增函數(shù)，

所以g（f）=-產(chǎn)—（log?a）t,所以g⑺=-〃一（log?a）r在re[-2,+co）單調(diào)遞減，

所以％=_蹩4<-2,即log2a>4,解得a>16

【題型9】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問題

基礎(chǔ)知識

對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的

問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的

構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化

歸思想的應(yīng)用.

19.函數(shù)〃x）=lg（4'-2句+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.Igll

【答案】B

【解析】設(shè)r=4*-2"i+ll,貝|y=lgr,

因?yàn)?=4*-22+11=（2）2一2-2工+11=（2*-1丫+10210,

所以y=lgt*lglO=l,所以〃同=炮（下一2用+11）的最小值為1,故選：B

20.已矢口函數(shù)/'（x）=log3（-尤2+4x+a-l）的最大值為2,貝I]a=.

【答案】6

2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃元）=log3（—x2+4x+a—1）由y=log3?,?＞。與.=-x+4x+a—1復(fù)合而成，

而y=log3f在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)/=一/+4彳+°一1取最大值時,函數(shù)y=log3r取得最大值，

由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)x=2時，fmax=a+3,此時/（x）n1ax=log3（a+3）,所以log3（a+3）=2,解

得a=6.

【鞏固練習(xí)1]已知函數(shù)〃x）=lg（x2+l）,xe[-l,3],則/（x）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,+e）B.[0,1）C.[Ig2,l]D.[0,1]

【答案】D

【解析】因?yàn)閤e[—1,3],所以d

所以〃尤）=lg（尤2+i）e[oj],故選：D

【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)〃％）=1°8/62+*+2）的最大值為0,則實(shí)數(shù)a的值為.

2

【答案】!

4

【解析】因?yàn)?（%）的最大值為0,所以/?（力="2+X+2應(yīng)有最小值1,

a＞0

因此應(yīng)有＜8〃-1、解得〃=：.

—;—=1,4

、4a

【鞏固練習(xí)3】（2024.全國.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（尤）=log/x2-依+1）在區(qū)間上有最大值或

最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

吳](1，2)：』31，4)卜(L2)

A.?2B.c.D.

【答案】B

【解析】要使函數(shù)/(x)在區(qū)間上有最大值或最小值,

由于>=爐-6?+1開口向上,

故需函數(shù)y=%2一改+1在區(qū)間上有最小值，且y>0.

a>0a>0

awl〃w1

1〃c1

該函數(shù)圖像的對稱軸為直線x="I,所以<4

—<—<2,解得?—<〃<4,

422

—2<〃<2

?-—+1>0

2

所以且awl,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為r10).

【題型10］對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題

基礎(chǔ)知識

常見指對型函數(shù)奇偶模型

y=a'_「n奇?>i.T

(1)

y=ax+a~xn偶0<aVl.J

QX—1口優(yōu)+1「ax-bx

⑵安一或門或n奇

ax+bx

ix-mx+m3

(3)y=log.------或log，-------0奇

x+mx—m

(4)y=iog.+1±

/(x)=log(tzm+l)+(—|na)是偶函數(shù)，如x+1)—gx,g(x)=log(9x+l)-x

(5)flf(x)=ln(e3

21.設(shè)函數(shù)〃x)=lg(x2+l),則使得〃3x-2)>〃x-4)成立的x的取值范圍為()

3

A.B.C.—00—D.U|,+8

2

【答案】D

【解析】方法一：/(x)=Zg(x2+l)

由〃3x_2)>/(x_4)得lg