二次函數(shù)的存在性問題（15種題型+9種解題方法）-2025年中考數(shù)學一輪復習（解析版）

第三章函數(shù)

重難點04二次函數(shù)存在性問題

（15種題型匯總+專題訓I練+9種解題方法）

【題型匯總】

題型01二次函數(shù)角度存在性問題

角度存在性問題的解題步驟

已知特殊角度求解已知角度關系求解

第一步讀題、畫圖、理解題意

第二步分析動點、定點，找不變特征

第三步確定分類特征，進行分類討論

第四步已知特殊角度，構造一線三垂直、一線三等將角度進行轉化:利用銳角三角函數(shù)、相似三角

角、直角三角形，再利用直角三角形、相似形或等腰三角形的性質、外角的性質等轉化為

三角形邊的比例關系去計算求解.常見的類型，再利用直角三角形、相似三角形

邊的比例關系去計算求解.

【溫馨提示】

1)角相等：若無明顯條件，首選利用銳角三角函數(shù)值構造相等角(先求已知角)；

2)角度和差：可通過外角的性質、相似三角形的性質轉化為相等角；

3)倍角：可通過外角的性質、等腰三角形的性質轉化為相等角：

1)己知特殊角求解

1.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線y=-凳2+6%+4與％軸交于4(—3,0),B兩點，與y軸交于點

(1)求拋物線解析式及B,C兩點坐標；

(2)以4B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點。坐標；

(3)該拋物線對稱軸上是否存在點E,使得N4CE=45。，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴拋物線解析式為？=一］2一聲+%S(l,0),C(0,4)

⑵。(-2,-4)或。(一4,4)或。(4,4)

(3)E(-l,y)

【分析】(1)將點2(-3,0)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進而分別令x,y=0,即可求得兩

點的坐標；

(2)分三種情況討論，當AB,4C,8c為對角線時，根據(jù)中點坐標即可求解；

(3)根據(jù)題意，作出圖形，作AGLCE交于點G,F為力C的中點，連接GO,GF,則4。,。,G在OF上，根據(jù)

等弧所對的圓周角相等，得出6在)/=-x上，進而勾股定理，根據(jù)尸6=日建立方程，求得點G的坐標，進而

得出CG的解析式，即可求解.

【詳解】(1)解：；拋物線)/=一(/+加:+4與\軸交于4(—3,0),

：x(-3)2-3b+4=0

解得：b=~l，

拋物線解析式為y=-|x2-|x+4,

當x=0時，y=4,

AC(0,4),

當y=0時，0=—1%+4

解得：%i=-3,x2=L

.,.5(1,0)

(2)V71(-3,0),S(l,0),C(0,4),

設。(nt,n),

?..以4,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形

當AB為對角線時，等-3+14+n0+0

222

解得：m=-2,n=-4

當AC為對角線時，驀吧=等4+0_0+n

2-2

解得：m=-4,n=4

AD(-4,4)

當BC為對角線時，三產(chǎn)=等0+4_0+n

2-2

解得：m=4,n=4

；.D(4,4)

綜上所述，以力，B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，D(—2,—4)或D(—4,4)或。(4,4)

(3)解：如圖所示，作4G1CE交于點G,尸為AC的中點，連接GO,GF,

...△力GC是等腰直角三角形，

：.A,0,C,G在OF上，

?；4(一3,0),C(0,4),

：.F(--,2],AC=V71O2+CO2=5,GF^-AC=-

\2J22

V￡.AOG=/LACG=45°,

?"在丫=一不上，

設G(t,—力，貝。GF2=(t+|)2+(_t-2)2=(1)2

=

解得：G=-/t20(舍去)

二點G(-99

設直線CG的解析式為y=/ex+4

.77.,.

，?一二——々+4

22

解得：fc=i

二直線CG的解析式y(tǒng)=+4

V4(-3,0),B(l,0),

，拋物線對稱軸為直線x=等=-1,

當久=—1時,|x(-l)+4=-

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質，圓周角角定理，勾

股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

2.(2024?山東臨沂?二模)如圖，已知拋物線y=a久2一:。萬一百的圖象經(jīng)過點。，OE=<3OC,C是ED的

中點，尸是拋物線上的一個動點，連接PD,設點P的橫坐標為加

(1)求拋物線的表達式；

(2)若點尸在x軸上方的拋物線上運動，連接OP,當四邊形OCDP面積最大時，求”的值；

(3)如圖，若點Q在坐標軸上，是否存在點。，使NEDQ=75。，若存在，直接寫出所有符合條件的點。的

坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-V3x2+平x-V3

(2)n=j

(3)存在,(2(4V3-3,0)^(0,-2V3-3)

【分析】(1)根據(jù)OF=V3OC,求出E(-3,0).再根據(jù)C是ED的中點，求出。(3,-2百)，用待

定系數(shù)法求解即可；

(2)過P作x軸垂線交DE于F,求出設直線DE解析式，由P(n,—y/3n2+第zi-次)，得尸(n,-Rn-次)，

表示出PF,再根據(jù)S四邊形=S^cp+SMCD表示出四邊形面積，根據(jù)二次函數(shù)最值求解即可;

(3)分為①當點。在y軸上時，使NEDQ=75。，根據(jù)。E=WOC,求出NOEC=30。，過點。作DH||x軸

交y軸于點H,根據(jù)平行線性質得出NCDH=30°,再根據(jù)NEDQ=75°,得出NHDQ=45°,得出HQ=HD,

根據(jù)。(3,—2百)，求出HQ=3,OQ=28+3,即可求出點。的坐標；

②當點。在x軸上時，使NEOQ，=75°,延長Q。交x軸于點F,過點。作OE1x軸交無軸于點G,證明GF=

GD=2V3,求出FD,再根據(jù)NEDF=NFQ'O,證明△-△FOE,根據(jù)相似三角形的性質求出FQ',從

而求出0Q',即可求出點。的坐標，即可求解.

【詳解】(1)解：:y=aM一-百,

.,.C(0,-V3),

"：OE=V3OC,

???E(-3,0).

???C是EO的中點，

???。(3,-2圾.

在y=ax2—1ax—百的圖象上,

*'?-2=9a—8a—,

得。=—V3,

???y=—yj3x2+券％—V3.

(2)過P作x軸垂線交DE于F,

設直線=kx—V3,即0=3k—V3,

解得：卜=-持,

故解析式為：y=-弓x-陋,

2

由P(n,—y/3n+苧幾—JW),得F(nt-^-n—g),

.?.PF=-V3n2+3V3n,

四邊形=2

SS&OCP+S“CD=5XV3n+-PFx3=-n+5y/3nf

5

當四邊形。COP面積最大時,

3

(3)解：①當點。在y軸上時，使NEOQ=75。,

VOE=V3OC,

BPtanzOCE=—=V3,

:?乙OCE=60°,

：.^OEC=30°,

過點D作軸交y軸于點H,

貝此CDH=乙OEC=30°,

■:乙EDQ=75°,

:.乙HDQ=75°-30°=45°,

:.乙HQD=45°,

：.HQ=HD,

根據(jù)（1）得。（3,-2①

：.HQ=HD=3,OQ=OH+HQ=2V3+3,

.?.點。的坐標為（0,—2b—3）；

②當點。在x軸上時，使NEDQ'=75。，

延長QD交x軸于點F,過點D作DG1x軸交x軸于點G,

貝此EDG=180°-30°-90°=60°,

貝此GDQ'=乙EDQ'-乙EDG=15°,^Q'DF=180°-75°x2=30°,

:.乙GDF=Z.GDQ'+乙FDQ'=45°,

???4GFD=45°,

???GF=GD=2V3,

FD=V2GD=2倔

???4EDF=Z.EDQ'+乙Q'DF=105°,Z.FQ'D=180°-“'FD-乙Q'DF=105°,

.-.Z.EDF=乙FQ'D,

???△FQrDFDE,

.FQr_DF

,,—,

FDEF

EF=OE+OG+GF=2V3+6,

即FQ，_2Vg

2V6-273+6（

FQ'=6-2V3,

OQ'=OF-Q'F=（3+2V3）-（6-2V3）=4百-3,

.?.點Q'的坐標為（4次一3,0）,

綜上,Q（4V3-3,0）或（0,-28-3）.

【點睛】該題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式求解，

相似三角形的性質和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質和判定等知識點，解題的關鍵是正確理

解題意，數(shù)形結合.

3.（2024.山西大同.一模）綜合與探究

如圖，拋物線y=[/—2%—6與x軸交于點A和3,點A在點B的左側，交y軸于點C,作直線BC.

圖1備用圖

（1）求點B的坐標及直線8c的表達式；

（2）當點。在直線BC下方的拋物線上運動時，連接。D交BC于點E,若器=*求點。的坐標；

（3）拋物線上是否存在點?使得N8CF=15。?若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）點8的坐標是（6,0）,直線BC的表達式是y=%-6；

（2）點D的坐標是（1,—或（5,-孑）；

（3）存在，點F的坐標是（4+2舊,4百）或（生產(chǎn),空裂）?

【分析】（1）令y=0和x=0,解方程即可求得點8和點C的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）作軸，垂足為H,交直線于點G,證明△DGEOCE,禾U用相似三角形的性質求解即可;

（3）分兩種情況討論，利用待定系數(shù)法和解方程組即可求解.

【詳解】（1）解：令y=0,解方程一2%-6=0得％=-2或久=6,

?,?點3的坐標為（6,0）；

令久=0,則y=-6,

???點。的坐標為（0,-6）；

設直線的表達式為y=kx—6,貝!JO=6k—6,

解得k=1,

，直線的表達式為y=x—6；

（2）解：作久軸，垂足為“，交直線BC于點G,

：.DG\\0Cf

???點。的坐標為（0,-6）,

：.0C=6,

設點。的坐標為（m,|m2-2m-6^,則點G的坐標為（TH,m-6）,

/.GD=m—6——mz+2m+6=——mz+3m,

22

?「OGIIOC,

△DGEOCE,

,DGDE

??—，

OCOE

12

m+3m

A2^_*整理得/—67n+5=0,

解得TH=5或zn=1,

???點。的坐標為（1,一另或（5,-1）;

（3）解：：點8的坐標為（6,0）,點C的坐標為（0,-6）,

：.OB=OC=6,

...△OBC是等腰直角三角形，

：.AOCB=45°,

■:乙BCF=15°,

J./-OCF=60°或NOCF=30°,

當乙。6=60。時，以。C為邊作等邊AOCM,直線CM交拋物線于點F,此時NBCF=15。，如圖,

作MN軸于點N,

：.MN=70Mz-。。2=3A/3,

（_V3,

,、_、y=—x—6

???點M的坐標為（38，-3）,同理，求得直線MC的表達式為y=弓％-6,聯(lián)立〈3

y=-x2—2x—6

V2

...點尸的坐標是（工磬，年I

當NOCF=30。時，設CF交x軸于點K,此時乙8。尸=15。，如圖,

在RtAOCK中，0c=6,NOCK=30。，

：.0K=OC-tan30°=2百，

.??點K的坐標為（2次，0）,

同理，求得直線CK的表達式為y=V5x-6,

y=V3x—6

聯(lián)立'127.，

y=-x—2%—6

V2

解得fu;普咪二（舍去）,

.??點F的坐標是（4+2g,4b）；

綜上，點尸的坐標是（4+2日,4次）或（受遺，史產(chǎn)）.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)表達式的確定，函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象和性質，解一元二

次方程，相似三角形的判定和性質，勾股定理，分類討論思想等，屬于中考壓軸題，解題關鍵是熟練掌握

待定系數(shù)法，運用方程思想和分類討論思想.

2）已知角度關系求解

4.（2024?四川資陽沖考真題）已知平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=-）2+bx+c與％軸交

于A,2兩點，與y軸的正半軸交于C點，＞B（4,0）,BC=4魚.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸是拋物線在第一象限內(nèi)的一點,連接PB,PC,過點P作PD1x軸于點D,交BC于點K.記小PBC,

△BDK的面積分別為￡,Sz，求S1-S2的最大值；

(3)如圖2,連接4C,點E為線段4C的中點，過點E作EF14C交x軸于點F.拋物線上是否存在點。，使

乙QFE=2乙OCA?若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】(l)y=-|x2+x+4

⑶存在，Q1(三，下)或Q2(失”—空)

【分析】(1)先求C點坐標，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)求出BC的解析式，設「(小,一(機2+巾+4),則：燈加,_小+4),。0,0),將Si-52轉化為二次函數(shù)

求最值即可；

(3)易得FE垂直平分2C,設。F=a,勾股定理求出F點坐標，三線合一結合同角的余角相等，推出乙4FE=

乙OCA=ACFE,分別作點E關于x軸和直線CF的對稱點外,第，直線尸場，尸段與拋物線的交點即為所求，進

行求解即可.

【詳解】(1)解：：B(4,0),

：.0B=4,

:乙BOC=90。,BC=4V2,

OC=V5C2-OB2=4,

AC(0,4),

把B(4,0),C(0,4),代入函數(shù)解析式得：

42+4b+c=0,解得：｛：=：；

Ay=——1x7+x+4；

J2

(2)V5(4,0),C(0,4),

，設直線BC的解析式為：y=/ex+4(/cH0),把8(4,0),代入，得：k=—1,

.*.y=—%+4,

設P(m,—^m2+m+4^,貝!J：K(m,—m+4),D(m,0),

1o1o

；?PK=——mz+m+4+m—4=——mz+2m,DK=—m+4,DB=4—m,

22

22

二?Si=：PK-OB=-m+4m,S2=”K?DB=1(-m+4)(4-m)=1(4-m),

22

二?Si—S2=—m+4m—1(4—m)

37n2

=---------I-8m—8

當m=軻,Si—S2的最大值為會

(3)存在：

.1o

令y=—5乂"+久+4=0,

解得：%i=-2,%2=4,

.?.4(—2,0),

：C(0,4),點E為AC的中點，

?,.￡1(-1,2),

■:FE1AC,AE=CE=7(-1+2)2+22=V5,

：.AF=CF,

：.AAFE=乙CFE,

設。尸=a,則：CF=AF=a+2,

在RtZkCOF中，由勾股定理，得：a?+42=(a+2)2,

??CL=3,

???F(3,0),CF=5,

TFElAC,^AOC=90°,

：.^AFE=/.OCA=90°-

：.^AFE=Z.OCA=乙CFE,

①取點E關于x軸的對稱點連接FEi，交拋物線與點Qi，貝U：NQ/E=2NE凡4=2N0C4,^（-1,-2）,

設FEi的解析式為：y=hx+b,

i

則:l2

-k+b--2,解得：.3

b=—

2

?13

,.y=-X——

z22

133-75+11-3V5

y=-%——X=--------X=---

聯(lián)立《22,解得：，J§（舍去）或

123V5—5—5—3Vs

Jy=——x+%+4

274）二^-

,?Qi

②取E關于CF的對稱點第，連接EE?交前7于點G，連接F%交拋物線于點Q2,

貝1|：乙QzFE=2乙CFE=2乙OCA,EG1CF,

VCE=V5,CF=5,

：.EF=y/CF2-CE2=2V5,

?ShCEF-CF-EG=-CE-EF,

22

5EG=2V5xV5,

：.EG=2,

：.FG=>JEF2-EG2=4,

416312

過點G作GH_Lx軸，貝!］：GH^FG-sinzCFO-4Xg=《，F(xiàn)H=FG-cosNCF°=4Xg=g

3

：.OH=OF-FH=g

皿建），

W代），

7

設直線E2/的解析式為：y-k2x+blt

11

3k2+bi=0

2

則:,2+瓦=告，解得:

733

兒=——

12

?11.33

..y=-----Xd——,

z22

11,33V69+1313-V69

y=----xd——X=----------X=---

聯(lián)立《J22,解得：?2（舍去）或

1?-11V69-77-77+11V69'

y=——%+%+4

2=——y=-i—

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質，等積法求

線段的長，坐標與軸對稱，勾股定理，解直角三角形，等知識點，綜合性強，難度大，計算量大，屬于中

考壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關鍵.

5.(2023?遼寧營口?中考真題)如圖，拋物線y=a/+6x—l(a大0)與無軸交于點4(1,0)和點B,與y軸交于

點C,拋物線的對稱軸交式軸于點。(3,0),過點B作直線/lx軸，過點。作DE1CD,交直線/于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接CE和BP交于點Q,當黑=，時.求點P的坐標；

⑶在(2)的條件下，連接力C,在直線BP上是否存在點F,使得NDEF=N4CD+NBED?若存在，請直接

寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-|x2+|x-1

⑵p(-D

(3)F'-理或F(10,4).

【分析】(1)根據(jù)拋物線過點4(1,0),對稱軸為直線x=3,待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)題意求得B(5,0),tanzCDO=tanzDEB,求得BE=6,則E(5,—6),進而求得直線EC的解析式為

y=—x—1,過點P作PT1x軸，交EC于點7,證明△PTQ八BEQ,根據(jù)已知條件得出PT=號設T(t,—t一1),

則P(t,T—9，將點P代入y=—#+*—1,即可求解.

(3)根據(jù)題意可得NDEF=45。，以DE為對角線作正方形DMEN,則ADEM=ADEN=45。，進而求得M,N

的坐標，待定系數(shù)法求得EM,EN的解析式，聯(lián)立BP解析式，即可求解.

【詳解】(1)解：：拋物線y=ax2+bx-l(a中0)與x軸交于點4(1,0),拋物線的對稱軸交x軸于點D(3,0),

則對稱軸為直線x=3,

fa+b-1=0

???[一2=3，

【2a

fG=_l

5

解得：6

b=-

l5

???拋物線解析式為y=

(2)解：由y=-i,當y=0時，一—i=o,

解得：%=1,%2=5,

.*.5(5,0),

當％=0時，y=-l,則C(0,—l),

9：DE1CD,乙COD=乙EBD=ACDE=90°

：.Z.CDO=90°一乙EDB=乙DEB,

二?tan"。。=tanZ-DEB,

目口OCDB

即布=南

.1_2

.?—―,

3BE

：.BE=6,則E(5,-6),

設直線EC的解析式為y=々％—1,則—6=5々—1,解得：k=—1,

，直線EC的解析式為y=-x-1,

如圖所示，過點P作PT1%軸，交EC于點T,

V^EIIPT,

A△PTQFBEQ

..BQ__5

?PQ-7

??.里=絲=9，貝IJPT="

PTPQ75

設T(t,T-1),則尸^t,-t—1—日)即P(t,T—9),

將點尸(七,一七一合)代入y=-|%2+|x-1

BR—t——=--12+-1—1

555

解得：t=-3或1=14(舍去)

當”一3時，一"*=一學

(3)VA(1,O),C(O,-1),

則。2=0C=1,△40c是等腰直角三角形，

：.z.0AC=45°,由(2)可得=

Z.DEF=/.ACD+乙BED

：.^DEF=^ACD+/.ADC=Z.0AC=45°,

由(2)可得2(-3,

設直線B尸的解析式為y=e%+/,則

5e+/=0

32

—3e+f=——

5

r_4

解得：5

lf=—4

，直線BP的解析式為y=—4

如圖所示，以DE為對角線作正方形OMEN,貝Ij/DEM=ADEN=45。,

?:DB=2,BE=6,貝IJDE=2V10,則OM=￥z)E=2倔￡(5,-6),

(m—3)2+n2=(2A/5)2

設M(zn,n),2

(m—5)2+(n+6)2=(2V5)

解得：（m=1m=7

n=-4n=—2

則M(l,-4),N(7,-2),

設直線EM的解析式為y=s%+3直線EN的解析式為y=srx+

則｛T二46,償曹u

'___1

解得：f--f,fs=2

t=—It=-16

I2

設直線EM的解析式為y=直線EN的解析式為y=2x-16,

解得:則尸舟Y），

y=2x—16

｛；%則尸（10,4），

y-|x-4解得:

綜上所述，F(xiàn)信,-葭）或“10,4）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

6.（2024?重慶?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+b久+3與％軸交于點4（-1,0）,點

5（3,0）,與y軸交于點C.

(2)如圖1,點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作y軸的平行線PE交直線BC于點E,過點P作x軸的

平行線PF交直線BC于點F,求小PEF面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,連接4C,BC,拋物線上是否存在點Q,使NCBQ+乙4co=45°?若存在，請直接寫出點Q的坐標；

若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-x2+2%+3；

(2)APEF面積的最大值為P(|A);

⑶(2,3)或甘).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)y=-/+2%+3可得C(0,3),求出直線BC的解析式為y=-久+3,又可得N0BC=N0CB=45。，進

而得△PEF為等腰直角三角形，得到SAPEF=\PE2,設P(p,-p2+2p+3),則E(p,-p+3),可得PE=-p2+

2p+3—(—P+3)=—(P—|Y+：,得到當p=|時，即P(|，?)，PE取最大值：，此時APEF的面積最大,

據(jù)此即可求解；

(3)分點Q在BC上方和點Q在BC下方兩種情況，畫出圖形解答即可求解；

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的幾何問題，掌

握二次函數(shù)的性質并運用分類討論思想解答是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：把/(一1,0)、8(3,0)代入y=Q/++3得，

rCL-b+3=0

(9a+3Z?+3=0'

解得｛2=二，

(-0=2

.??拋物線的解析式為y=—/+2x+3；

(2)解：由y=—/+2x+3可得,C(0,3),

設直線BC的解析式為y=kx+n,

把3(3,0)、C(0,3)代入得,

r0=3fc+n

I3=n'

解得『=,

l71=3

?,?直線BC的解析式為y=-第+3,

???B(3,0),C(0,3),

：.0C=。8=3,

:,(OBC=(OCB=45°,

TPEIIy軸,P尸11%軸,

:?乙PEF=乙PFE=45°,PE1PF,

???△PEF為等腰直角三角形，

:。SXPEF~，

設P(p,—p2+2p+3),則E(p,—p+3),

PE=—p2+2p+3-(—p+3)=-(p-1)+京

當p=|時，即P??}PE取最大值京此時△PEF的面積最大，

C_1_81

、APEF最大值=》X=露

(3)解：存在.

當點Q在BC上方時，作點4(—1,0)關于y軸的對稱點4(1,0),過點B作8714C交拋物線于點Q,

??F與A關于y軸對稱,

：.LAC0=/.A!CO,

X'：BT\\A'C,

:.乙QBC=ABCA',

'：Z.A'CO+^BCA'=45°,

：.^ACO+^OBC=45°,

：C(0,3),4(1,0),

同理可得直線C4’解析式為y=-3%+3,

設直線BT解析式為y=-3x+t,將B(3,0)代入得，0=-9+3

：.t=9,

Ay=—3x+9,

僅=-x2+2%+3

田(y=-3x+9'

解得｛濟嘯片,

?,?<2(2,3)；

當點Q在BC下方時，作點。(0,1)，直線BD與拋物線交于點。，

同理可得直線BD解析式為y=+

(AO=OD=1

\LCOA=乙BOD=90°,

(OC=OB=3

△CYM三△BOO(SAS),

I/.ACO=Z.DBO9

"CBQ'+乙4C。=45°,

(y=—x2+2%+3

H11

y=——%+1

2

解得「，—鏟{;屋，

“(-|,廿

綜上，點Q的坐標為(2,3)或(一|,甘).

7.(2024?四川達州?二模)已知拋物線y=a/+匕久一4與龍軸相交于點A(-l,0),B(-4,0)),與y軸相交于點

C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,點尸是拋物線的對稱軸/上的一個動點，當APAC的周長最小時，求沁的值；

S^PAC

(3)如圖2,取線段。C的中點。，在拋物線上是否存在點Q,{JtanzQDB=|?若存在，直接寫出0點坐標.

【答案】(l)y=-x2-5x-4

⑵2

(3)(2(三絲一2)或Q(三竺一2)一或Q(—3,2)或Q

【分析】(1)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)△2人的周長等于以+「。+4。,以及"為定長，得到當P4+PC的值最小時，APyiC的周長最

小，根據(jù)拋物線的對稱性，得到4B關于對稱軸對稱，貝IJ：。4+2。=。3+。。2%,得到當。,8,。三點共

線時,P4+PC=8C,進而求出P點坐標，即可得解；

(3)求出。點坐標為(0,2),進而得到tanNOBD=|,得到“DB=乙OBD,分點Q在D點上方和下方，兩種情況

進行討論求解即可.

【詳解】(1);拋物線y=a/+6尢-4與x軸相交于點2(-1，0),8(-4,0),

(a—b—4=0

??116a-46-4=0'

???拋物線解析式為y=—必—5%—4；

(2)在y=—%2—5%—4,當x=0時，y=—4,

?"(0,4),

:拋物線解析式為y=-X2-5%-4,

拋物線的對稱軸為直線久=-1

?.?APAC^J^^^-PA+PC+AC,AC為定長，

...當PA+PC的值最小時，APaC的周長最小，

VX,8關于對稱軸對稱，

BA=PB,

PA+PC=PB+PC>BC,

???當BBC三點共線時，PA+PC的值最小，為BC的長，此時點P為直線BC與對稱軸的交點,

設直線BC的解析式為：y=mx+n,

.f—4m+ri=0

tn=—4'

解得:《口

直線BC的解析式為y=—x—4,

當x=—|時,y=—x—4=|-4=一|,

=^xlx4=2,

cI/3.5Iy，13,5?、15

S^PAC=2XQ+4^X2-2X1X4_2X2XQ_1^=T，

.S&OAC_2_8

??-------"Tq----；

v15

S^PAC4

(3)當Q點在。點下方時:

過點。作DQIIOB.交拋物線于點Q,則“DB=NOBD,此時Q點縱坐標為一2,

設Q點橫坐標為t,

則：一/—5t—4=-2,解得：t=帶上，

.??（2（竽，—2）或。（與，—2）；

②當點Q在。點上方時：設0Q與x軸交于點E,

DE=BE,

設E(p,0),

222

???DE=OE+OD=p2+4,BE2=(_4_「)2,

p2+4=(-4—pY，

解得：P=-|，

..?E(—1，0),

同理可得DE的解析式為y=

聯(lián)立［y=一/x—2,

ly=%2—5%+4

，_2

解得：?二了或：二5

V9

???Q(-3.2)或Q

綜上：Q(若竺，一2)或Q(三竺一2)一或Q(—3,2)或Q(―|，一

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合，分類討論的思想進

行求解，是解題的關鍵.本題的綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題.

題型02二次函數(shù)與三角形存在性問題

1)等腰三角形存在性問題

解題方法：

幾何法：1)“兩圓一線”作出點；

2)利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長；

3)分類討論，求出點P的坐標.

代數(shù)法：1)表示出三個點坐標A、B、P；

2)由點坐標表示出三條線段：AB、AP、BP；

3)根據(jù)題意要求(看題目有沒有指定腰)，?、貯B=AP、②AB=BP、③AP=BP；

4)列出方程求解.

①兩定一動

8.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點2(-3,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當點D在第二象限內(nèi)，且△力CD的面積為3時，求點。的坐標；

(3)在直線8C上是否存在點P,使AOPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標;

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-x2-2%+3

(2)。的坐標為(—1,4)或(—2,3)

⑶P的坐標為(0,3)或(1,三更)或(誓,士警)或得

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解;

(2)過D作DK||y軸交AC于K,求出直線AC解析式，根據(jù)“女。=1DK-\xA-xc\=3列式求解;

(3)先求出點A,8坐標，再求出直線8C解析式，過P作PN_Ly軸于N,過。作。M_Ly軸于M,分以下情

況分別討論即可：①P與C重合，D與4重合時；②當P在第一象限，。在第四象限時；③當P在第四象限，。在

第三象限時；④當P在第四象限，。在第一象限時.

【詳解】(1)解：把4(一3,0),C(0,3)代入y=-/+bx+c得：

(—9-3b+c=0

tc=3

解得,

???拋物線的解析式為y=-%2-2%+3；

(2)解：過。作OK||y軸交AC于K,如圖：

由4(一3,0),C(0,3)得直線AC解析式為y=尤+3,

設D(t,-t2-2t+3),則K(t,t+3),

DK=—/—2t+3—(t+3)——產(chǎn)—3t,

???△4CD的面積為3,

2

???^DK■\xA-xc\=3,Bp|(-t-3t)x3=3,

解得t=-1或t=-2,

。的坐標為(一1,4)或(一2,3)；

(3)解：在直線BC上存在點P,使AOPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，理由如下:

在y=—x2—2x+3中，令y=0得0=—%2—2x+3,

解得x=-3或尤=1,

???4(—3,0),8(1,0),

由C(0,3)得直線BC解析式為y=-3x+3,

設P(m,—3m+3),D(n,—n2—2n+3),

過P作PN1y軸于N,過。作DM1y軸于M,

①：OA=OC=3,

???當P與C重合，。與4重合時，AOPD是等腰直角三角形，如圖:

此時P（0,3）；

②當P在第一象限，。在第四象限時,

OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形,

.--0D=0P,乙POD=90°,

???4DOM=90°-"ON=乙OPN,

■：/.DMO=90°=4PNO,

DOM=△OPNQAAS),

???DM=ON,OM=PN,

(n=-3m+3

tn2+2n—3=m

25+V19325-V193

m=

18（71小于0,舍去）或，18

n=

66

.。、,25-V193.-7+V193

???-3Qm+o3=-3x------------FQ3=--------

186

??.p的坐標為（至鏟，三強）;

③當P在第四象限，。在第三象限時，如圖:

???OD=OP,乙POD=90°,

:.4DOM=90°-乙PON=乙OPN,

v乙DMO=90°=乙PNO,

/.△DOMOPN(AAS)f

???PN=OM,ON=DM,

同理可得［血="+2幾一3,

l3m—3=—n

(25+V193i(25-V193

解得:m=---------

1葭(大于0,舍去),

-7+V193

n=----------

「16

???OD=OP,Z,POD=90°,

???乙DOM=90°-乙PON=4。PN,

vZ-DMO=90°=乙PNO,

.*.△DOM三△OPN(AAS),

???PN=OM,ON=DM,

=—n2—2九+3

r3m—3=n

'_li

解得［巾=;(舍去)或|小一，

⑺=-3n=-

k3

112

**?-3T?I+3=-3X—F3=—,

93

...P的坐標為(費,_|);

綜上所述，P的坐標為(0,3)或(至評，三逐)或(土,上等)或得

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計算、特殊三

角形存在性問題、等腰直角三角形的性質等，難度較大，熟練運用數(shù)形結合及分類討論思想是解題的關鍵.

9.(2024?云南怒江.一模)己知拋物線y=—/+4%+5與x軸交于A、8兩點(點A在點B左側)，與y軸

交于點C.

(1)求A、B、C三點的坐標；

(2)點。是直線8C上方拋物線上的點，連接CD,求4BCD的最大值；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得ABCP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴4(-1,0),8(5,0),C(0,5)

(2)最大值為苧

(3)存在，(2,俯)或(2,-何)或(2,5+聞)或(2,5-聞)或(2,2)

【分析】(1)分別令y=0、x=0計算即可得解；

(2)求出直線BC的解析式為:y=-x+5,過點D作DE||y軸，交BC于點E,設點。的坐標為(加,一小2+4巾+

5),則E(m,-m+5),求出DE=-m2+5m,再由SABCD=SABDE+SACDE并結合二次函數(shù)的性質即可得解；

(3)設P(2,n),貝UBp2=n2+9,CP2=(n-5)2+4,=25+25=50,再分三種情況：當BC=BP

時，當BC=CP時，當BP=CP時，分別求解即可.

【詳解】(1)解：令y=—/+4x+5=0,

解得：X]=-1,x2=5,

???點4在點B左側，

???4(—1,0),8(5,0),

當x=0時，y=5,

??.C(0,5)；

(2)解：設直線BC的解析式為y=kx+b,

???S(5,0),C(0,5),

.(5k+b=0

"tb=5'

解得：,J]，

???直線BC的解析式為：y=-%+5,

過點。作DE||y軸，交BC于點E,

設點。的坐標為(zn,-TH?+4m+5),則E(?n,-zn+5),

???DE=-m2+4m+5—(—m+5)=—m2+5m,

22

???SABCD=SABDE+SXCDE=1X(-m+5m)x5=-|m+ym=-j(m-1)+等,

ZZZZ\Z/o

當加=?時，△BCD的面積最大，最大值為當；

28

(3)解：???點P在拋物線對稱軸上，且對稱軸為：x=-2=2,