二次函數(shù)與一元二次方程（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6個(gè)考點(diǎn)）解析版

第11講二次函數(shù)與一元二次方程(4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6個(gè)考點(diǎn))

T模塊導(dǎo)航A一*素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過探索，理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)系.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.能運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象確定方程和不等式的解或

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)解集.

3.根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定未知字母的值

或取值范圍.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

次

二

拋物線y=ar2+

函

hx+c(aK0)與數(shù)

與

工軸的交點(diǎn)的橫一兩個(gè)y4ac>&不相等的-

元

坐標(biāo)即為方程二交點(diǎn)實(shí)數(shù)根

次

2方一兀二次

有

個(gè)

ar++c=0兩

程

的

的

相等方程吐+

的兩個(gè)2

(a#0)二次函數(shù)一

關(guān)

系

根

數(shù)

實(shí)

點(diǎn)機(jī)

交r+c=O

個(gè)根y=ax2+bx

(30)的

+c的圖象根的情況

據(jù)與z軸的交

無62-4ac<0

求點(diǎn)情況

象交點(diǎn)、..、無實(shí)數(shù)根

方

數(shù)形結(jié)合P次

根

的應(yīng)用似

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)y=ax?+Z?x+c(aWO)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y=0,求ax?+6x+c=0中x

的值的問題.此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：

判別式一元二次方程

二次函數(shù)^=ax2+bx+c(aw0)

2

△=b1-4acax+bx+c=0(aw0)

圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況

一元二次方程

拋物線y=af+w0)與x

a>0

△>0ax2+bx+c=0(a豐0)

軸交于(西,0)，(x,0)(Xj<x)兩

22有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

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2

y上口-b±yJb-4ac-b±slb2-4QC

點(diǎn)，M,—,

a<0°\1,22a%=2a

此時(shí)稱拋物線與X軸相交

a>0一元二次方程

拋物線歹二ax2+Z?x+c(aw0)與x

0ax2+bx+c=0(。豐0)

△=0軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

a<0\b

拋物線與X軸相切X1=X2=~~

/V2a

a>0一元二次方程

V2

拋物線y=ax+bx+c(aw0)與xax1+bx+c=0(。牛0)

△<0

，了軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與X軸相離在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解(或稱

a<0c無實(shí)數(shù)根)

要點(diǎn)歸納：

二次函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由y_的值來確定的.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，也=6'-4函＞0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，&=/-4何=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，△=川-4。＜11，方程沒有實(shí)根.

2.拋物線與直線的交點(diǎn)問題

拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題.我們把它延伸到求拋物線

y=ax2+bx+c(aWO)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)y=自+4(左W0)的交點(diǎn)問題.

拋物線y="2+bx+c(aWO)與y軸的交點(diǎn)是(0,c).

,[y=kx+b.,

拋物線y=a/+6x+c(aWO)與一次函數(shù)y=Ax+2(kWO)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組,的

y=ax-+bx+c

解的個(gè)數(shù)決定.

當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)=兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)。兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)方程組無解時(shí)=兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn).

總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題.

要點(diǎn)歸納：

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求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方

程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題.

知識(shí)點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程a?+bx+c=0(<2W0)的步驟：

1.作二次函數(shù))，=口:+的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)；

2.確定一元二次方程以'=。(〃w。)的根的取值范圍.即確定拋物線y=ax'w

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表

格的形式求出相應(yīng)的y值.

4.確定一元二次方程a/+6x+c=口(百工0)的近似根.在(3)中最接近。的y值所對(duì)應(yīng)的x值即是一元二

次方a/+bx+c=0(a#0)的近似根.

要點(diǎn)歸納：

求一元二次方程ax；'+bx+c=x0)的近似解的方法(圖象法)：

(1)直接作出函數(shù)y=°爐+bx+c的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程+&工+c=0的根；

(2)先將方程變?yōu)閍/+bx=再在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線廠二口1+6K和直線>二一。圖象交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為x'+2不+1￡=o,移項(xiàng)后得，=-,設(shè)>=/和,=-2丁一在同一坐標(biāo)系

aaaaaa

中畫出拋物線尸=/和直線)，=芻x-E的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程+壇+c=o的根.

aa

知識(shí)點(diǎn)三、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式

當(dāng)△>()時(shí)，設(shè)拋物線V+樂+。與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(X］,0),B(x2,0),則X］、工2是一元

bc

二次方程a—+bx+c=o的兩個(gè)根.由根與系數(shù)的關(guān)系得玉+x2=——，xxx2=—.

aa

2222

|AB|=|x2—|=-^(x2—XI)=-^(Xj+x2)—4XJX2=J1一］~-4x—b-4ac_y/b-4ac

a2IaI

即\AB\=^(A>0)

l?l

要點(diǎn)四、拋物線與不等式的關(guān)系

二次函數(shù)^=ax2+Z?x+c(aW0)與一元二次不等式a/+/)%+c>0(aW0)及ax?+/)%+c<0(aWO)

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之間的關(guān)系如下(%[<X,):

a>0

判別式拋物線y=ax2++c與不等式ax?+/?x+c<0的解

不等式分+&C+C〉0的解集

x軸的交點(diǎn)集

Av

L/

△>0X<X］或X>%2玉<X<

O|XN/X2X

有兩個(gè)交點(diǎn)

J上

△=0耳XW'i（或XW%2）無解

Xi(X2)X

有一一個(gè)交點(diǎn)

△<0--------全體實(shí)數(shù)無解

無交點(diǎn)

注：a<0的情況請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

要點(diǎn)歸納：

拋物線y="2+bx+c在X軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的X的所有值就是不等式

辦2+bx+C〉0的解集；在X軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的X的所有值就是不等式

"2+6x+c<0的解集.不等式中如果帶有等號(hào)，其解集也相應(yīng)帶有等號(hào).

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)1：二次函數(shù)圖象與X軸交點(diǎn)情況判斷

【例1】下列函數(shù)的圖象與X只有一個(gè)交點(diǎn)的是()

A.y—x3B.y=/+2x+3C.y—x-2,x+3D.y=*—2x+l

解析：選項(xiàng)A中^—4ac=22—4XlX(—3)=16>0,選項(xiàng)B中9-4ac=22—4X1X3=—8<0,選項(xiàng)C中

Z?2-4ac=(-2)2-4XlX3=-8<0,選項(xiàng)D中l(wèi)f~4ac=(-2)2-4X1X1=0,所以選項(xiàng)D的函數(shù)圖象與x

軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故選D.

【變式1-1](2023?郴州)已知拋物線y=x2-6x+”與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則加=.

【解答】解：???拋物線y=--6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

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方程x2-6x+m=0有唯一解.

即A=b2-4ac=36-4m—0,

解得：m—9.

故答案為：9.

【變式1-2］（2023秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線了=f-6x+機(jī)-1,當(dāng)用時(shí)，拋物線與x軸有

兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，拋物線與x軸沒有公共點(diǎn).

【答案】<10=10>10

【詳解】?.?拋物線丁=/一6無+〃2-1,

.,.當(dāng)A=b2-4ac=（-6『-4xlx（m-1）=-4m+40>0,即加<10時(shí),

拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)公=^用+40=0,即小=10時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)八=^^+40<0,即機(jī)>10時(shí)，拋物線與x軸沒有公共點(diǎn).

故答案為：<10,=10,>10.

【變式1-3］（2023春?浙江嘉興?九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)'-（加+2）X+7"（%為常數(shù)）

⑴若該二次函數(shù)圖像經(jīng)過（2,1）,求二次函數(shù)解析式；

（2）求證：不論7"取何值，該二次函數(shù)圖像與X軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

⑶當(dāng)-14尤43時(shí)，y的最小值為-3,求加的值.

【答案】（1）了=》2-》-1：

（2）見解析；

⑶〃z=±2^/2

【詳解】（1）解：將（2,1）代入解析式了=x2-（m+2）x+機(jī)可得4-2（加+2）+%=1

解得m=-1,

貝?。輞—x2-x-1

（2）證明：將y=0代入解析式了=x?-（加+2）尤+加可得x2-（m+2）x+"7=0

判別式△=-4m=-2）~>0

一元二次方程f-（m+2）x+機(jī)=0始終有兩個(gè)解，

即二次函數(shù)圖像與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）解：二次函數(shù)一（加+2）x+機(jī)的對(duì)稱軸為工=二1^

m+2

當(dāng)----<-1時(shí)，HPm<-4,此時(shí)-1VXV3在對(duì)稱軸的右側(cè)，

2

又：1>0,開口向上

.?.當(dāng)-14x43時(shí)，，隨x的增大而增大，

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當(dāng)x=-l時(shí)，J7最小，即1+（加+2）+加=一3,

解得加=—3,不符合題意，舍去；

m+7

當(dāng)一1?-------（3時(shí)，即一4?加工4,止匕時(shí)對(duì)稱軸在一IV3中間

2

當(dāng)x=等時(shí)，y最小，即（?。?一（加+2）（竺曰+根=一3

解得加=±2及，符合題意，

當(dāng)3＜二三時(shí)，即機(jī)＞4,此時(shí)對(duì)稱軸在TWxV3的右邊

2

當(dāng)x=3時(shí)，了最小，即加=3,

解得加=3,不符合題意，舍去；

綜上,m=+25/2

考點(diǎn)2：利用二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)確定拋物線的對(duì)稱軸

【例2】如圖，對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1,0）,（3,0）兩點(diǎn)，則它的對(duì)稱軸為

解析：：點(diǎn)（1,0）與（3,0）是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，其對(duì)稱中心是（2,0）,...對(duì)稱軸的方程是x=2.

方法總結(jié)：解答二次函數(shù)問題，若能利用拋物線的對(duì)稱性，則可以簡化計(jì)算過程.

【變式2-1］（2023?廣東惠州?二模）已知拋物線y=x2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（-3,0）,則該拋物線的對(duì)稱

軸為（）

A.y軸B.直線x=-lC.直線x=-2D.直線x=2

【答案】B

【分析】根據(jù)N、8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知43兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此即可求出答案.

【詳解】解：：拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（-3,0）,

???拋物線對(duì)稱軸為直線-看一,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求解函數(shù)的對(duì)稱軸是解題的關(guān)

鍵.

【變式2-2】二次函數(shù)了="2+法+。的圖象與x軸相交于（-1,0）和（5,0）兩點(diǎn)，則該拋物線的對(duì)稱軸

是.

【分析】根據(jù)拋物線的與橫軸的交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等，可知其對(duì)稱軸為與橫軸兩交點(diǎn)的和的一半.

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【解答】解：,??二次函數(shù)y="2+bx+。的圖象與％軸相交于（_i,o）和（5,0）兩點(diǎn)，

二.其對(duì)稱軸為：%=1+5=2.

2

故答案為：x=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與、軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是知道關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.

【變式2-3】如圖，拋物線y=+（6-+冽-3與x軸交于4（石，0）、B（X2,0）兩點(diǎn)（再<%2），

父y軸于C點(diǎn)，且X]+超=0.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸方程.

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸使AP5C二AO5C?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）根據(jù)玉+馬=0,可得出拋物線的對(duì)稱軸為〉軸即、=0，由此可求出加的值.進(jìn)而可求出拋

物線的解析式.根據(jù)拋物線的解析式即可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程.

（2）如果AP5C3AO5C,由于AO5C是等腰直角三角形，那么尸有兩種可能：①尸，。重合；②尸與0

關(guān)于直線5c對(duì)稱，而這兩種尸點(diǎn)均不在拋物線上，因此不存在這樣的尸點(diǎn).

【解答】解：（1）???玉+/=0

/.6-=0

/.加=±6,

???拋物線與>軸交于正半軸上，

:.m=6.

拋物線解析式了=-；/+3,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)C（0,3）-拋物線對(duì)稱軸方程x=0.

（2）3點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.

假設(shè)存在一點(diǎn)P使NPBC=\OBC.

因?yàn)锳O3C是等腰直角三角形，3c是公共邊，

故尸點(diǎn)與。點(diǎn)必關(guān)于8C所在直線對(duì)稱.點(diǎn)P坐標(biāo)是（3,3）.

當(dāng)x=3時(shí)，y/3,即點(diǎn)P不在拋物線上，

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所以不存在這樣的點(diǎn)尸，使AP5C=AO5C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn).

考點(diǎn)3:利用函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)情況確定字母取值范圍

【例3】若函數(shù)曠=勿*+（勿+2）入+,必+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么"的值為（）

2

A.0B.0或2C.2或一2D.0,2或一2

解析：若勿W0,二次函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則可根據(jù)一元二次方程的根的判別式為零來求解；若皿=0,

原函數(shù)是一次函數(shù)，圖象與x軸也有一個(gè)交點(diǎn).由（勿+2）2—4m（1必+1）=0,解得勿=2或一2,當(dāng)勿=0時(shí)原

2

函數(shù)是一次函數(shù)，圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)勿=0,2或一2時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

方法總結(jié)：二次函數(shù)yuaf+bx+c,當(dāng)4ac>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)—4ac=0時(shí)，圖象

與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)52—4ac<0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

【變式3-1】函數(shù)歹+（加+2）x+g冽+1的圖象與1軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則加的值為（）

A.0B.0或2C.0或2或一2D.2或一2

【分析】根據(jù)函數(shù)y=?ix2+（僅+2）x+gm+l的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，利用分類討論的方法可以求得他

的值，本題得以解決.

【解答】解：?.■函數(shù)y=加工2+（加+2）x+；m+l的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

二.當(dāng)加=0時(shí)，y=2x+l,此時(shí)y=0時(shí)，x=-0.5,該函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)〃―0時(shí)，函數(shù)y=mx2+（m+2）x+:機(jī)+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=（加+2）2+1）=0,

解得，%=2,m2=—2,

由上可得，加的值為0或2或-2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

【變式3-2］若函數(shù)了=以/+（加+2）x+機(jī)+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么加的值為（）

A.0B.0或2或-2C.2或-2D.0或也或-逋

33

【分析】分為兩種情況：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，求出即可.

【解答】解：分為兩種情況：

①當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，

,/函數(shù)y=妙2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

△=（m+2）2-4m（m+1）=0且加w0,

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解得：m=±---；

3

②當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，機(jī)=0,

此時(shí)函數(shù)解析式是y=2x+l,和X軸只有一個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確利用根的判別式和分類討論是解題關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023春?福建福州?九年級(jí)校考期中）已知二次函數(shù)、=/+辦+6的圖象與x軸交于/,8兩

點(diǎn)，若CM+03VI,則6的取值范圍是.

-11

【答案】V;

44

【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)/+辦+6=0的兩個(gè)根為加、"，

則加+〃=-a,mn=b.

*/|m|+1w|<1,

/.（|m|+1w|）2=m2+/+2\mn|=（m+nf-2mn+2\mn\=a2-2b+2\b\<.

①當(dāng)620時(shí)，a2-2b+2b<1,

a2<1.

又一+。％+6=0的判別式△=/—4b>0，

,a21

b<—<一.

44

0W6<一.

4

②當(dāng)6<0時(shí)，a2-2b-2b<\,

0<a2<4b+1.

/.~—<b<0.

4

綜上，<].

44

故答案為：<].

44

考點(diǎn)4：利用拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)確定一元二次方程的解

【例4】小蘭畫了一個(gè)函數(shù)y=*+ax+6的圖象如圖，則關(guān)于x的方程*+ax+力=0的解是（）

A.無解B.x=lC.x=-4D.x=—l或x=4

第9頁共28頁

解析：二,二次函數(shù)y=*+ax+6的圖象與x軸交于(-1,0)和(4,0),即當(dāng)x=-1或4時(shí)，x+ax+b=Q,

.,.關(guān)于x的方程*+@入+6=0的解為Xi=—1,4=4,故選D.

方法總結(jié)：本題容易出錯(cuò)的地方是不知道二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的解的關(guān)系導(dǎo)致無法求解.

【變式4-1]若二次函數(shù)了=/+區(qū)的圖象的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且平行于夕軸的直線，則關(guān)于X的方程

f+6x=5的解為()

A?%]—-0,X]~4B?%—1,%?=5C?國=1,x2=-5D?石——1,x2=5

【分析】根據(jù)對(duì)稱軸方程一2=2,得6=—4,解f一4x=5即可.

2

【解答】解：???對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且平行于》軸的直線，

2

解得：b=-4,

二.關(guān)于x的方程為4X=5,

解得再=一1,%=5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，難度不大.

【變式4-2】已知二次函數(shù)'二分+所+C的部分圖象如圖，則關(guān)于x的一元二次方程辦2+&+°=0的解為

A.Xj——49%2=2B.Xj——3,%2=-1C.——4，x?——2D.石=—2，x?—2

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求解.

【解答】解：因?yàn)閽佄锞€與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,

貝!|x+2=2x(-l),

解得：x=-4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?四川綿陽?統(tǒng)考二模)二次函數(shù)y=a/+6x+c的部分對(duì)應(yīng)值如列表所示：則一元二次方

第10頁共28頁

程a(2x-l)2+b(2x_l)+c=7的解為

X-30135

y7-8-9-57

【答案】再=一1,x2=3

【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到一元二次方程62+區(qū)+°=7的解為為=-3,%=5,再把方程

磯2廠1）2+〃2》-1）+0=7看作關(guān)于（2工-1）的一元二次方程，則2》-1=-3或2尤-1=5,然后解兩個(gè)一次方

程即可.

【詳解】解：由表值值數(shù)據(jù)得x=-3或x=5時(shí)，y=7,

，一兀二次方程ax?+bx+c—l的解為占=-3,x2=5,

把方程0（2》-1）2+〃2X-1）+。=7看作關(guān)于（2工-1）的一元二次方程，

2x-1--32x-1=5,

解得玉=T，%=3,

即一元二次方程。（2x-Ip+6（2x-l）+c=7的解為玉=-1,x2=3.

故答案為：占=-1,x2=3.

考點(diǎn)5：利用拋物線解一元二次不等式

解析：觀察圖象，可知當(dāng)一3VxVl時(shí)，拋物線在x軸上方，此時(shí)y>0,即a*+Z?x+c>0,.,.關(guān)于x的不

等式af+Ar+c>。的解集是一3Vx<1.故選C.

方法總結(jié)：拋物線_7=@/+族+。在x軸上方部分的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是一元二次

不等式af+^x+c>。的解集；在x軸下方部分的點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是一元二次不

等式ax+fe+c<0的解集.

【變式5-1］（2023秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)>="2+法+。的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式

a*+6x+c>0的解集是（）

第11頁共28頁

A.x<—1B.x>3C.-l<x<3D.x<—l或x〉3

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求解即可.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=a，+6x+c與x軸交于點(diǎn)（-1,0）,（3,0）

二次函數(shù)開口向上，

二關(guān)于x的不等式ax?+bx+c>0的解集是苫<-1或x>3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次不等式之間的聯(lián)系：根據(jù)當(dāng)>>0時(shí)，利用圖象得出不等式解

集是解題關(guān)鍵.

【變式5-2]（2024?任城區(qū)校級(jí)四模）已知一次函數(shù)必=6+6（后40）和二次函數(shù)%=依2+6x+c（aW0）的

部分自變量和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值如表：

12345

必01234

%0-1038

則關(guān)于x的不等式辦2+（6-左）x+c<6的解集是（）

A.2<x<5B.1<x<4C.x<l或x>4D.不能確定

【分析】先利用描點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，然后寫出一次函數(shù)圖象在拋物線上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.

一次函數(shù)必=履+6（左片0）和二次函數(shù)%=亦2+云+°370）的圖象相交于點(diǎn)（1,0）,（4,3）,

當(dāng)l<x<4時(shí)，即foc+6>ax2+bx+c，

所以關(guān)于x的不等式辦2+（b-k）x+c<b的解集為1<x<4.

第12頁共28頁

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系比較函數(shù)

的大小，則相應(yīng)自變量的取值范圍為對(duì)應(yīng)的不等式的解集.

【變式5-3］（2023?官渡區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線（a>0）和直線

0）交于點(diǎn)。和點(diǎn)則不等式ax1+bx<kx的解集為.

【解答】解：：拋物線>=亦2+云（a>0）和直線（左>0）交于點(diǎn)。和點(diǎn)/,

，0<x<3時(shí)，直線在拋物線的上方，

...不等式ax2+bx<kx的解集為：0Vx<3.

故答案為：0<x<3.

考點(diǎn)6：確定拋物線相應(yīng)位置的自變量的取值范圍

【例6】二次函數(shù)y=a*+Z?x+c（aW0）的圖象如圖所示，則函數(shù)值y>0時(shí)，x的取值范圍是（）

C.-1<^<3D.x<—1或x>3

解析：根據(jù)圖象可知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（一1,0）且其對(duì)稱軸為x=l,則拋物線與x軸的另一個(gè)交

點(diǎn)為（3,0）.當(dāng)y>0時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸的上方，由左邊一段圖象可知x<—1,由右邊一段圖象可知x

>3.因此，xV—1或x>3.故選D.

方法總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合思想來求解，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵

【變式6-1］（2023秋?雷州市期末）二次函數(shù)了="2+樂+0（040）的圖象如圖所示，則函數(shù)值y>0時(shí)，x

的取值范圍是（）

A.%<—1B.x>3C.-1<x<3D.x<-l或x>3

【分析】根據(jù)圖象，寫出函數(shù)圖象在X軸上方部分的X的取值范圍即可.

【解答】解：由圖可知，XC-1或x>3時(shí)，y>0.

第13頁共28頁

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡便.

【變式6-2].(2024?織金縣一模)二次函數(shù)了=辦2+3"+〃(.>0)的圖象過點(diǎn)(；,0),則使函數(shù)值y>0成

立的x的取值范圍是()

A7Tl71「fl1

A.x—x>一B.—<x<—C.x<0x〉一D.0<x<一

222222

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)解答即可.

a

【解答】解：二次函數(shù))二辦?+3辦+〃，。>0開口向上，對(duì)稱軸為直線、=-5，

,?,圖象過點(diǎn)。,0),

7

圖象過(一3，0),

71

.,.使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是：x<-]或

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵.

【變式6-3].(2023秋?豐臺(tái)區(qū)期末)已知二次函數(shù)>=亦2+笈+°(。40)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐

標(biāo)〉的對(duì)應(yīng)值如下表所示：

X-10124

y830-13

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直接寫出當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍.

【分析】(1)依據(jù)題意，觀察表格數(shù)據(jù)，先求出對(duì)稱軸是直線x=^=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,T),從而可設(shè)

二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2-1,又圖象過(1,0),計(jì)算進(jìn)而可以得解；

(2)依據(jù)題意，令y=f-4x+3=0,得x=l或x=3,又拋物線開口向上，從而>>0時(shí)，x的取值范圍

是函數(shù)圖象是x軸上方的部分對(duì)應(yīng)的自變量，進(jìn)而可以判斷得解.

【解答】解：(1)由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3=2,

2

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).

二.可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(尤-2)2-1.

又圖象過(1,0),

u—1=0.

第14頁共28頁

.*.<7=1.

.,.二次函數(shù)的解析式為了=（工一2）2-1=/-4尤+3.

（2）由題意，令y=x2-4x+3=0,

x=1或x=3.

又拋物線開口向上，

，>>0時(shí)，x的取值范圍是函數(shù)圖象是x軸上方的部分對(duì)應(yīng)的自變量.

，x<l或x>3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

一.選擇題

1.（23-24九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期中）已知二次函數(shù)y=af+6x+c的圖象在x軸的下方，則〃，b,c滿足

的條件是（）

A.a>0,b2-4ac>0B.a>0,b2-4ac<0

C.a<0,b2—4ac<0D.a<0,b2-4ac>0

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的

圖像在x軸的下方，可得拋物線開口向下，「與x軸無交點(diǎn)，即可判斷.

【詳解】解：；二次函教>="2+加+°的圖象在》軸的下方，

拋物線開口向下，與x軸無交點(diǎn)，

即a<0,b2-4ac<0,

故選：C.

2.（2023?四川綿陽一模）二次函數(shù)必=ax?+6x+c與一次函數(shù)%=M+C的圖像如圖所示，則滿足

ax?+6無<的x的取值范圍為（）

A.-3<x<0B.x<-3或x>0C.x<-3或x>lD.0<x<3

【答案】C

【分析】

本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖象可得"2+法<MX中X的取值范圍就是二次函數(shù)圖象在一次函

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數(shù)圖象下方部分的X的取值范圍即可.

【詳解】解：由圖像可得，當(dāng)》<-3或x>l時(shí)，二次函數(shù)的圖像在一次函數(shù)圖像的下方，

即必<%，

...當(dāng)x<-3或無>1時(shí)，ax1+bx+c<mx+c，

.,.當(dāng)x<-3或x>1時(shí)，ax2+bx<mx，

故選：C.

3.（23-24九年級(jí)上?吉林?階段練習(xí)）將拋物線^=-X2+4向下平移2個(gè)單位長度得到的拋物線必定經(jīng)過（）

A.（-2,4）B.（-1,1）C.（0,4）D.（1,-3）

【答案】B

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.直接將原函數(shù)寫成頂

點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)平移規(guī)律：左加右減，上加下減，進(jìn)而得出平移后解析式，再把各選項(xiàng)的點(diǎn)代入判

斷即可.

【詳解】解：將拋物線>=-，+4向下平移2個(gè)單位長度得到的拋物線解析式為：>=-/+2,

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-（-2）2+2=-2,故（-2,4）不在此拋物線上，故A選項(xiàng)不合題意；

當(dāng)尸-1時(shí)，^=-（-1）2+2=1,故（T1）在此拋物線上，故B選項(xiàng)符合題意；

2

當(dāng)x=0時(shí)，y=-0+2=2,故（0,4）不在此拋物線上，故C選項(xiàng)不合題意；

當(dāng)x=l時(shí)，y=-f+2=l,故（1,-3）不在此拋物線上，故D選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

4.（23-24九年級(jí)上?山東濰坊?期中）已知二次函數(shù)y=/-5x-6,當(dāng)y=0時(shí)，x的值是（）

A.2或-3B.-1或6C.-6或1D.-3或-2

【答案】B

【分析】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，列出關(guān)于x的方程是解本題的關(guān)鍵.令y=0得到關(guān)于x的一元二

次方程，求出方程的解即可得到x的值.

【詳解】解：令y=。，得到，-5》-6=0,

即（x-6）（x+1）=0,

解得：x=T或6.

故選：B

5.（23-24九年級(jí)上?山東泰安?期中）已知二次函數(shù)>=爾+云+。的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)/（不⑼，

點(diǎn)5（%,0）,與歹的正半軸交于點(diǎn)。（0,必）且苞=%，/=2再，那么6的值為（）

33-22

A.-B.——C.-D.——

2233

【答案】B

第16頁共28頁

【分析】此題主要考查了拋物線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，由于二次函數(shù)y=尤+C的圖象

與x軸的正半軸交于點(diǎn)/(玉,0),點(diǎn)5伍,0),與歹的正半軸交于點(diǎn)C(O/J且芯="，4=2再,由此得到

c=玉,,接著把點(diǎn)”(再,0),點(diǎn)3(%,0)代入解析式即可得到方程組，解方程組即可求解，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)滿

足函數(shù)關(guān)系式得到關(guān)于待定字母的方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：..?二次函數(shù)y=62+bx+c的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)/(占,0),點(diǎn)8&,0),與了的正半軸

交于點(diǎn)C(O，M)且再=必，x2=2xj,

c=xlf

.[O=QX；+bx1+再

[0=4ax；+2bxi+

b=一3咐,

。代入第一個(gè)方程得：b=3

3國2

故選：B.

6.(2024?觀山湖區(qū)二模)拋物線％="2+云+&0W0)的部分圖象如圖所示,其與苫軸時(shí)的一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),

對(duì)稱軸為直線x=-l,將拋物線乃沿著x軸的正方向平移2個(gè)單位長度得到新的拋物線%,則當(dāng)%<0時(shí)，

x的取值范圍是()

A.—3<%<—1B.—l<x〈lC.—l<x<3D.l<x<3

【分析】依據(jù)題意，由弘與X軸時(shí)的一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),對(duì)稱軸為直線x=-l,從而與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

(-1+2,0),即(1,0),又拋物線必="2+法+或。20)的開口向上，故當(dāng)必<0時(shí)，進(jìn)而當(dāng)將拋

物線乃沿著x軸的正方向平移2個(gè)單位長度得到新的拋物線力，則拋物線力與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),(3,0),

進(jìn)而可以判斷得解.

【解答】解：由題意，?.?必與x軸時(shí)的一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),對(duì)稱軸為直線x=-l,

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-1+2,0),即(1,0).

拋物線必+bx+c(aW0)的開口向上，

.,.當(dāng)“<0時(shí)，-3cx<1.

將拋物線乂沿著x軸的正方向