二次函數(shù)知識歸納與題型突破（16類題型清單）原卷版-2024-2025學(xué)年蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊

二次函數(shù)知識歸納與題型突破（16類題型）

01思維導(dǎo)圖

二次函數(shù)的概念

開口方向、對稱軸、頂點、增減性

二次函數(shù)的圖象

圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)

二次函數(shù)的圖象與幾何變換

與X軸交點

二次函數(shù)與一元二次方程

與y軸交點

二次函數(shù)與實際問題

02知識速記

一、二次函數(shù)的概念

1.形如y+bx+c（其中。，“C是常數(shù)，。片0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，稱。為二次項系數(shù)，b為一

次項系數(shù)，。為常數(shù)項.

注意：二次項系數(shù)而b,C可以為零.二次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù).

2.二次函數(shù)尸辦2+6x+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，尤的最高次數(shù)是2.

⑵a,6,c是常數(shù)，。是二次項系數(shù)，6是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

二、二次函數(shù)的圖象

1.二次函數(shù)y（awO）的圖象是一條拋物線，它關(guān)于歹軸對稱，頂點是坐標(biāo)原點.當(dāng)a〉0時,拋物

線開口向上，頂點是拋物線的量低點；當(dāng)。＜0時，拋物線開口向下,頂點是拋物線的最高點.

2.二次函數(shù)y=a(x-機y(awO)的圖象的頂點坐標(biāo)是(加，0),對稱軸是直線x=/.圖象的開口

方向：當(dāng)。〉0時，開口向上；當(dāng)。＜0時，拋物線開口向下.

3.二次函數(shù)y=a(x-機I+左(＜70)的圖象的頂點坐標(biāo)是(m,k),對稱軸是直線x=加.圖象的開

口方向：當(dāng)。〉0時，開口向上；當(dāng)。＜0時，拋物線開口向下.

4.二次函數(shù)y+―+。(。00)的圖象是一條拋物線,它一對稱軸是直線x=-2,頂點坐標(biāo)

2a

是1b,當(dāng)。〉0時，拋物線開口向上,頂點是拋物線上的最低點;當(dāng)。＜0時，拋物線開口包

120'^a)

工，頂點是拋物線上的最高點.

三、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)y+8+。(awo)的系數(shù)與圖象的關(guān)系

(1)。的符號由拋物線y=ax?+bx+c的開口方向決定：開口向上=。〉0,開口向上=。〉0；

(2)b的符號由拋物線＞=辦2+反+。的對稱軸的位置及。的符號共同決定：對稱軸在y軸左側(cè))

同號，對稱軸在y軸右側(cè)o。力異號；

(3)c的符號由拋物線y=ax?+Zzx+c與y軸的交點的位置決定：與y軸正半軸相交=c〉0,與y軸

正半軸相交=c＜0

四、二次函數(shù)的圖象與幾何變換

I.二次函數(shù)的平移

(1)平移步驟：

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式＞=。?-獷+左，確定其頂點坐標(biāo)僅，左)；

②保持拋物線＞=A?的形狀不變，將其頂點平移到僅，外處，具體平移方法如下:

(2)平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“分值正右移，負左移；左值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減，上加下

減”.

2.二次函數(shù)圖象的對稱

(1)關(guān)于無軸對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c

y=a(^x-h)2+k關(guān)于x軸對稱后，得至U的解析式是y-k；

(2)關(guān)于y軸對稱

y=ax2+歷:+<?關(guān)于了軸對稱后，得到的解析式是〉=ax?-6x+c；

y=a(^x-h)2+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+/?)2+k；

(3)關(guān)于原點對稱

y=ax2+b無+c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=-辦?+bx-c-,

y=a(x-h)2+k關(guān)于原點對稱后，得至U的解析式是y=-a(x+/7『-k；

4.關(guān)于頂點對稱

y=ax2+6x+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax?-6x+c-2~；

2a

y=a\x-hf+k關(guān)于頂點對稱后，得至！J的解析式是y=-a(x-/zy+k.

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此時永遠不變.求拋物

線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物

線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后

再寫出其對稱拋物線的表達式.

五、二次函數(shù)的解析式

1.二次函數(shù)解析式的表示方法

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a*0)；

(2)頂點式：y=a(x-h~)2+k(a,h,左為常數(shù)，axO)；

(3)兩根式：y=a(x-%1)(x-x2)(aH0,再，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)).

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只

有拋物線與x軸有交點，即/-4℃20時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的

這三種形式可以互化.

2.二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.

一般來說，有如下幾種情況：

(1)已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；

(2)已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點式；

(3)已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

(4)已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式.

六、二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點

函數(shù)y=ax2+Z7x+c(a〉0)y=ax2+Z7x+c(tz<0)

圖象的開口方向向上向工

直線x=-2

對稱軸直線x=―-—

2a2a

(b4ac-/](b4ac-]

頂點坐標(biāo)

12/4aJ12/4QJ

七、二次函數(shù)的增減性

函數(shù)y=ax2+Z7x+c(q〉0)y=ax2+Z7x+c(q<0)

當(dāng)X<_二時，y隨X的增大而減小；當(dāng)x<-3時，y隨x的增大而增大;

2a2a

增減性

當(dāng)時，V隨X的增大而增大；當(dāng)時，V隨X的增大而減?。?/p>

2a2a

二次函數(shù)的最值

函數(shù)y=ax2+Zzx+c(q〉0)y=ax2++c(tz<0)

當(dāng)一￡時一有最小值4"/,當(dāng)戶一j時,y有最大值片/,

最值

無最大值；無最小值.

八、二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)y=ax2+6x+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)

1.拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程a^+bx+c^的解.

2.若已知二次函數(shù)yuaN+bx+c的函數(shù)值為S,求自變量X的值，就是解一元二次方程辦2+云+°=5.

九、二次函數(shù)與x軸交點情況

對于二次函數(shù)y=^2+6x+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)△=〃-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：

①△=廬-4℃>0時，拋物線與無軸有2個交點；

②△=y-4碇=0時，拋物線與x軸有1個交點；

③△=廬-4℃<0時，拋物線與x軸沒有交點.

03題型歸納

題型一二次函數(shù)的識別

例題：(23-24九年級下?江蘇連云港?階段練習(xí))下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()

①了=3-瓜2；②"烹；③y=x(3-5x)；(4)=(1+2x)(1-2x)+4x2

A.1個B.2個C.3個D.4個

鞏固訓(xùn)練

1.(2024九年級上?全國?專題練習(xí))下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是()

A.y=(a+2)x2+1B.y=^+lC.y=(x+2)(x+l)-/D.y=2x2+3x

2.(2024九年級下?江蘇?專題練習(xí))下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的個數(shù)有()

(1)-1)2+1；(2)尸1—;(3)S=3-2〃；(4)y^x4+2x2-l；(5)y=3x(2-x)+3x2；(6)

x-x

y=mx2+8.

/.1個氏2個C.3個D4個

3.(23-24九年級上?山東青島?階段練習(xí))下列各式：(1)歹=22-3x；(2)y=3—2x+5/；(3)

y=J+2x-3；(4)y=ax2+bx+c；(5)>=(2x-3)(3%-2)-6/；(6)

y=(m2+l)x2+3x-4；(7)y=m2x2+4x-3.是二次函數(shù)的有()

4?1個5.2個C.3個4個

4.（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）在函數(shù)①了3+云+%（2）y=（x-1）2-x2,③>=5/_?，④

y=-/+2中，〉關(guān)于x的二次函數(shù)是.（填寫序號）

題型二利用二次函數(shù)的定義求參數(shù)

例題：（23-24八年級下?云南?期末）若函數(shù)y=（〃-2）xm2r"+x-l是關(guān)于X的二次函數(shù).則常數(shù)根的值是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=（m+l）/%+2x,當(dāng)機=時，它是二次函數(shù).

2.（23-24九年級上?四川涼山?階段練習(xí)）若y=（機-2）尤阿+2x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則用的值是.

3.（23-24九年級上?四川綿陽?期末）已知函數(shù)y=（療一3時一一2小的圖象是拋物線，則機=.

4.（23-24九年級上?全國?單元測試）若函數(shù)夕=（左-l）/a+4+2x_l是二次函數(shù).

（1）求上的值.

（2）當(dāng)x=0.5時，求了的值.

題型三二次函數(shù)中各項的系數(shù)

例題：（23-24九年級下?全國?課后作業(yè)）若二次函數(shù)了=-/7的二次項系數(shù)為內(nèi)一次項系數(shù)為6,常數(shù)項

為C,貝,b=,C=.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?安徽蕪湖?階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)了=（10-”（尤+1）,下列說法中正確的是（）

A.二次項系數(shù)是18.一次項系數(shù)是9C.常數(shù)項是-10D.了是關(guān)于x的一次函數(shù)

2.（23-24九年級上?四川南充?階段練習(xí)）二次函數(shù)了=/-3x+5的二次項是,一次項系數(shù)是,

常數(shù)項是______.

3.（23-24九年級上?浙江紹興?階段練習(xí)）已知二次函數(shù)了=1-5》+3-,則二次項系數(shù)4=—,一次項系數(shù)

b=

題型四把y=ax1+bx+c化成頂點式

例題：（23-24九年級上?浙江溫州?期末）將二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=/-6x化成y=。（工+加/+上的形式為.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?黑龍江綏化?期末）將二次函數(shù)>=2?—12x+3轉(zhuǎn)化為y=a（x-為了+左的形式

為.

2.（23-24九年級上?湖北孝感?階段練習(xí)）用配方法把二次函數(shù)y=-2--4x+l寫成y="Xi）?+后的形式

為.

3.（23-24九年級上?北京東城?期末）用配方法將二次函數(shù)y=%--2x-4化為>=。卜一〃『+左的形式

為.

題型五已知二次函數(shù)上一點，求字母或代數(shù)式的值

例題：（2023?四川南充?一模）點網(wǎng)出9）在函數(shù)y=4f_3的圖象上，則代數(shù)式（2“+3乂2”3）的值等于.

鞏固訓(xùn)練

1.拋物線y=ax?+6x-3過點（2,4）,則代數(shù)式8a+4b的值為（）

A.14B.2C.-2D.-14

2.若拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點（一2,3）,貝12c-4b-7的值是（）

A.6B.7C.8D.20

3.二次函數(shù)7="2+法-3（"0）的圖象經(jīng)過點（2,-2）,則代數(shù)式2a+b的值為—.

題型六二次函數(shù)j^H+bx+c的圖象和性質(zhì)

例題：（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）關(guān)于二次函數(shù)v=/-2x+3的性質(zhì)說法正確的是（）

A.對稱軸為x=2B.函數(shù)最小值為2

C.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大D.當(dāng)x<2時，7隨x的增大而減小

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?浙江紹興?期中）對拋物線y=-/+4x-3而言，下列結(jié)論正確的是（）

A.開口向上B.與y軸的交點坐標(biāo)是（0,3）

C.與兩坐標(biāo)軸有兩個交點D.當(dāng)x=2時，有最大值1

2.（2024?河南周口?模擬預(yù)測）如圖，拋物線了=江+加+。交x軸于（1,0）,（3,0）,則下列判斷錯誤的是

A.拋物線的對稱軸是直線x=2

B.當(dāng)x>2時，了隨x的增大而減小

C.一元二次方程依2+加+°=0的兩個根分別是1和3

D.當(dāng)夕<0時，x<1

3.（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）已知一個二次函數(shù)>="2+云+。的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如

下表:

X-4-2035

y-24-80-3-15

則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而減小

C.圖象經(jīng)過第二、三、四象限

D.圖象的對稱軸是直線x=l

4.（2024?河北?模擬預(yù)測）若二次函數(shù)了=辦2-2"+。-3是不為0的常數(shù)）的圖象與x軸交于4,5兩

點.下列結(jié)論：

①a>0；

②當(dāng)x>-l時，7隨x的增大而增大；

③無論a取任何不為0的數(shù)，該函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點。,-3）；

④若線段45上有且只有5個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，則a的取值范圍是;<。<；.其中正確的結(jié)論是（）

①②B.②④C.①③D.③④

題型七畫二次函數(shù)y=M+〃x+c的圖象

例題：(23-24九年級下?廣東深圳?階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=-x2+4x+5,完成下列各題:

(1)將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y=a(x+〃)2+左的形式，并寫出它的頂點坐標(biāo)、對稱軸.

(2)求出它的圖象與x軸的交點坐標(biāo).

(3)在直角坐標(biāo)系中，畫出它的圖象.

(4)當(dāng)為x何值時，函數(shù)y隨著x的增大而增大？

(5)根據(jù)圖象說明：當(dāng)x為何值時，y>o.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級上?福建廈門?期中)已知二次函數(shù)了=X2-2尤一3.

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-\O-\2345x

(1)求它的圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸；

(2)畫出它的圖象.并結(jié)合圖象，當(dāng)x>0時，則歹的取值范圍是.

2.(23-24九年級下?四川達州?階段練習(xí))已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)》的對應(yīng)值

如表所示：

X-3-2-101

y0-3-4-30

（1）這個二次函數(shù)的解析式是;

（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；

⑶當(dāng)-3<xW3時，y的取值范圍為.

3.（23-24九年級上?安徽安慶?階段練習(xí)）如圖，函數(shù)>=-苫2+阮+。的圖象經(jīng)過點/,B,C.

⑴求6,c的值；

（2）畫出這個函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)0Mx43時，y的取值范圍為.

題型八利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較大小

例題：（24-25九年級上?廣西南寧?階段練習(xí)）已知/（-1,乂）、8（3,%）、C（4,%）是拋物線y=1-4x+l上

的三點，則%、%、%的大小關(guān)系是.（用符號連接）

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知點（-1,%），（-3.5,%）,（0.5,%）在函數(shù)了=3尤2+6尤+12的圖

象上，則必，力，%的大小關(guān)系為（用號連接）

2.（24-25九年級上?重慶巴南?階段練習(xí)）已知/（T%）,5（2,外），C（4,%）三點在二次函數(shù)y=xz-4x+l

圖象上，則將必，％,為按照從小到大的順序排列為.

3.（24-25九年級上?山東濱州?階段練習(xí)）已知拋物線y=a（x-2）2+4（。＞0,人為常數(shù)），

8（3,%）,。（4,%）是拋物線上三點，則為由小到大依次排列為.

題型九已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸

例題：（23-24九年級上?湖南湘西?期末）某二次函數(shù)的圖象過點（0,-8）,（-3,7）利（5,7）,則此二次函數(shù)的圖

象的對稱軸為.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）若二次函數(shù)了="2+樂+，的圖象經(jīng)過/（1,0）、3（3,0）兩點，則這

個函數(shù)圖象的對稱軸為.

2.（23-24九年級上?山西臨汾?期末）已知二次函數(shù)y=a/+6x+c的x/的部分對應(yīng)值如下表：

X12345

y-3-5-5-31

則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線.

3.（2024?內(nèi)蒙古烏蘭察布?二模）如圖，拋物線y=a/+6x+c與x軸相交于點A、8（加+2,0）與V軸相交于

點C,點。在該拋物線上，點。的坐標(biāo)為（加,。），則點A的橫坐標(biāo)是.

題型十根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值

例題：（2024?廣西?三模）已知二次函數(shù)y=x2-2x+3,當(dāng)-3Wx40時，此時函數(shù)的最小值是

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?山東泰安?二模）已知二次函數(shù)＞=/-4》-7,當(dāng)-24xW3時，函數(shù)的最大值為.

2.（22-23九年級上?浙江衢州?期末）已知二次函數(shù)y=Mx-I）?-左（左/0）,當(dāng)-14xV4時，y的最大值為4,

則k的值為.

3.（2023九年級?安徽?專題練習(xí)）（1）將二次函數(shù)y=x?-6x+2配方后變成了=,對稱軸是直線.

（2）將二次函數(shù)了=-/+5工-10配方后變成了=,頂點坐標(biāo)是.當(dāng)0VxW2時，函數(shù)的最大

值為，最小值為;當(dāng)1VXV3時，函數(shù)的取值范圍是.

（3）二次函數(shù)夕=5/-20》+12的對稱軸是直線,頂點坐標(biāo)是.當(dāng)-34xv3時，函數(shù)的最大

值為，最小值為.

（4）將二次函數(shù)了=辦2+加+＜?配方后變成＞=,對稱軸是直線,頂點坐標(biāo)是_____當(dāng)。0

時，二次函數(shù)有最小值，最小值為.

4.（2024?安徽淮南?三模）已知二次函數(shù)了=G2-2辦-3a（a*0）.

（1）若。=-1,則函數(shù)了的最大值為.

（2）若當(dāng)-14x44時，V的最大值為5,則。的值為.

題型十一二次函數(shù)的平移

例題：（23-24九年級上?山東濟南?期末）要將函數(shù)丫=〃2+法的圖象向右平移3個單位長度.再向上平

移2個單位長度得到的二次函數(shù)為丁=2/-4x+3,那么a+6+c=.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?廣東東莞?期中）把拋物線＞=3/向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得的拋物

線的解析式是.

2.（23-24九年級下?北京順義?階段練習(xí)）將二次函數(shù)了=》2-4x+5向左平移2個單位，再向下平移1個單

位，得到的函數(shù)表達式是.

3.（24-25九年級上?全國?假期作業(yè)）拋物線＞=2/-4x+3是由拋物線y=2/+&c+c先向右平移2個單位,

再向上平移3個單位得到的，求b、c的值為—.

題型十二求二次函數(shù)與龍軸、j軸的交點坐標(biāo)

例題：（23-24九年級上?海南?？?期中）拋物線.y=Y-3x+2與y軸的交點坐標(biāo)是，與x軸的交點

坐標(biāo)是和.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?福建廈門?期末）二次函數(shù)y=（x-2）2-l圖像與了軸交點坐標(biāo)為.

2.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）拋物線V=2（x-l）（x-2）與x軸的交點坐標(biāo)是.

3.（23-24九年級上?河南駐馬店?期中）己知y=f+3x+機的圖象與x軸的一個交點為（-1,0）,則另一個交

點為?

題型十三圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集

例題1：（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x2+2x-4中x和〉的值如下表所示，根據(jù)表格

估計一元二次方程f+2x-4=6的一個解的范圍是（）

X-10123

+2x—4-5-4-1411

A.-l<x<0B.0<x<lC.1<x<2D.2<x<3

例題2：（23-24九年級上?廣東東莞?期末）如圖是二次函數(shù)必="2+瓜+。和一次函數(shù)為=必+〃的圖象,

觀察圖象，當(dāng)%>外時，x的取值范圍是（）

A.-2<x<lB.%<-2或%>1C.x>-2D.x<l

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?全國?單元測試）下表給出了二次函數(shù)歹二爐+2%-5中了,歹的一些對應(yīng)值，則一元二

次方程2犬=10-4x的一個近似解（精確到0.1）為（）

X1.21.31.41.51.6

y-1.16-0.71-0.240.250.76

A.1.3B.1.4C.1.5D.1.6

2.（23-24八年級下?福建福州?期末）已知拋物線歹="2+反+。上的某些點的橫坐標(biāo)、與縱坐標(biāo)3；的對應(yīng)

值如下表:

X-7.21-7.20-7.19-7.18-7.17

y-0.04-0.030.010.020.03

則該函數(shù)與x軸的其中一個交點的橫坐標(biāo)的范圍是（）

A.—7.21<x<—7.20B.—7.20<x<—7.19

C.—7.19<x<—7.18D.—7.18<x<—7.17

3.（23-24九年級上?新疆塔城?期中）如圖是二次函數(shù)＞="2+6x+c的部分圖象，由圖象可知不等式

a/+bx+c＞0的解集是（

4.-1<x<5B.x>5

C.%<—1且x〉5D.%<-1或x>5

4.（2024?四川成都?三模）如圖是二次函數(shù)〉="2+區(qū)+°的部分圖象，由圖象可知下列說法錯誤的是（

A.Q<0,b>0B.不等式a/+bx+c>o的解集是0<xv5

1

C.b—4ac>0D.方程ax?+6x+c=0的解是再=5,x2=-1

題型十四求二次函數(shù)的表達式

例題：（23-24九年級上?上海?階段練習(xí)）二次函數(shù)＞=6+bx+c的變量％與變量y的部分對應(yīng)值如下表:

X-3-2-1015

70-5-8-97

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)寫出拋物線頂點坐標(biāo)和對稱軸.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級上?浙江衢州?期末)已知二次函數(shù)y=-/+6x+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點4(0,-4),

5(6,-4).

(1)求函數(shù)表達式.

(2)判斷點C(2,5)是否在這個二次函數(shù)圖象上，并說明理由.

2.(23-24九年級上?上海?階段練習(xí))二次函數(shù)y=a/+6x+c的變量x與變量y的部分對應(yīng)值如下表：

X-3-2-1015

y70-5-8-97

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)寫出拋物線頂點坐標(biāo)和對稱軸.

3.(2024?浙江嘉興?二模)已知二次函數(shù)了=/-2次-3(a為常數(shù)).

(1)若該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,-3)；

①求。的值.

②自變量x在什么范圍內(nèi)時，了隨x的增大而增大？

⑵若點/(加,0),3(",0),。(刃+1,0),。(力+1，4)均在該二次函數(shù)的圖象上,求證:p+q=2.

4.(2023?青海海東?統(tǒng)考二模)拋物線與x軸交于/、B兩點,與y軸交于點C,其中點/的坐標(biāo)為(-3,0),

點C的坐標(biāo)為(0,-3),對稱軸為直線x=-l.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)若點尸在拋物線上，且/詠=4S讖.，求點尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點。是線段4C上的動點，作8〃V軸交拋物線于點。，求線段。。長度的最大值.

題型十五二次函數(shù)與x軸的截線長

例題：(23-24九年級上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期中)已知二次函數(shù)v=--2法+4的圖象與x軸只有一個交點.

(1)若6>0,請求出函數(shù)解析式;

（2）設(shè)直線y=7與該拋物線的交點為4B,求的長.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)j=Y-x-2的圖象與x軸交于A,8兩點（點A

⑴若尸（-2,加）為二次函數(shù)j=/-x-2的圖象上一點，求加的值；

（2）求48的長.

2.（23-24九年級上?河南安陽?階段練習(xí)）如圖，已知拋物線-bx+c過點/與8（2,0）,與了軸交于點

。（0,-3），點。在拋物線上，且直線CD〃x軸.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標(biāo)；

⑵求CO的長.

3.（2023?安徽宿州?三模）已知點（。，1）在二次函數(shù)了=/+b