不等式高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題不等式不等式知識關(guān)系表不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)⑴(對稱性或反身性);⑵(傳遞性);⑶(可加性),此法則又稱為移項(xiàng)法則;(同向可相加)⑷(可乘性).(正數(shù)同向可相乘)⑸(乘方法則)⑹(開方法則)⑺(倒數(shù)法則) 掌握不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意：條件與結(jié)論間的對應(yīng)關(guān)系，是“”符號還是“”符號；運(yùn)用不等式性質(zhì)的關(guān)鍵是不等號方向的把握，條件與不等號方向是緊密相連的。運(yùn)用不等式的性質(zhì)可以對不等式進(jìn)行各種變形,雖然這些變形都很簡單,但卻是我們今后研究和認(rèn)識不等式的基本手段.例1.“a+b>2c”(A)a>c或b>c(B)a>c且b<c(C)a>c且b>c(D)a>c或b<c例2.若a>b,下列式子中①;②a3>b3;③;④,正確的有()(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個例3.的大小關(guān)系為.例4.設(shè),且則與的大小關(guān)系是.例5.已知滿足,試求的取值范圍.重要不等式1.定理1：如果a,b∈{x|x是正實(shí)數(shù)}，那么≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）.注:該不等式可推出:當(dāng)a、b為正數(shù)時,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）即:平方平均數(shù)≥算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)2.含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：⑴⑵由可推出(,);⑶如果a,b,c∈{x|x是正實(shí)數(shù)}，那么.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）3.絕對值不等式：注：均值不等式可以用來求最值(積定和小，和定積大),但特別要注意條件的滿足：一正、二定、三相等.例6.“a>0且b>0”是“≥”的()(A)充分而非必要條件(B)必要而非充要條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件例7.若,A,G,H，其中R+，則A，G，H的大小關(guān)系是()（A）A≤G≤H（B）A≤H≤G（C）H≤G≤A（D）G≤H≤A例8.若,且，那么有最小值（）(A)6(B)9(C)4(D)3例9.不等式的最大值是（）(A) (B)(C)(D)例10.若a+b+c=3，且a、b、c∈R+，則的最小值為.不等式解法解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、無理不等式、指數(shù)和對數(shù)不等式、絕對值不等式、含有字母系數(shù)的不等式等，一般都轉(zhuǎn)化為一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來解。 解不等式時，要注意不等式的同解原理和變形過程的等價性的正確運(yùn)用，對各類不等式要掌握它的特點(diǎn)，變形過程的程序性和特殊性，注意歸納解各類不等式的思路和方法。 （1）高次不等式若可以分解成幾個含x的一次因式，可用列表法或數(shù)軸標(biāo)根法來解。（2）分式不等式要正確運(yùn)用以下同解原理。 （3）無理不等式:將無理不等式變形為與它同解的不等式組。①不等式的同解不等式組是②不等式的同解不等式組是 （4）指數(shù)、對數(shù)不等式①指數(shù)不等式的同解不等式：當(dāng)時，為；當(dāng)時，為.例11.若關(guān)于的不等式的解集是,則等于()例12.不等式的解集是()例13.不等式≥的解集是（）≤≤≤≤≤≤例14.不等式的解集是()(A)(B)或(C)(D)或不等式解法②對數(shù)不等式的同解不等式：當(dāng)時，為;當(dāng)時，為 因此，在解指數(shù)、對數(shù)不等式時，首先要注意利用對數(shù)的性質(zhì)化為同底不等式. （5）絕對值不等式 解絕對值不等式關(guān)鍵是化為等價的不含絕對值符號的不等式（組），主要方法： 對含有幾個絕對值符號的不等式，用分區(qū)間的方法化為等價的不含絕對值的不等式組。注:絕對值的幾何意義:表示數(shù)軸上的數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.表示數(shù)軸上的數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的距離. （6）含字母系數(shù)的不等式 對上述各類不等式，都可能涉及到不等式中的字母系數(shù)，解不等式時，對字母的取值要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，分類時要不重、不漏，然后根據(jù)分類進(jìn)行求解。注:解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。例15.不等式的解集是____________.例16.解不等式例17.解關(guān)于x的不等式不等式的證明不等式的證明1.證明不等式的基本依據(jù)： （1）實(shí)數(shù)大小的比較原則； （2）不等式的性質(zhì)； （3）幾個重要不等式，特別是算術(shù)——幾何平均值不等式 （4）已知函數(shù)的增減性； （5）實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的判別式.例18.已知x∈R，求證：－2≤<2.不等式的證明2.證明不等式的常用的方法:⑴比較法：①作差比較，要點(diǎn)是：作差——變形——判斷。這種比較法是普遍適用的，是無條件的。根據(jù)a－b>0a>b，欲證a>b只需證a－b②作商比較，要點(diǎn)是：作商——變形——判斷。這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。當(dāng)b>0時，a>b>1。比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設(shè)可轉(zhuǎn)化為等價問題的比較（如冪、方根等）。⑵分析法：就是不斷尋找并簡化欲證不等式成立的充分條件，到一個明顯或易證其成立的充分條件為止。對于思路不明顯，感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑。這種方法的實(shí)質(zhì)是“充分條件”的化簡。分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：.分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因⑶綜合法：就是從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形（恒等變形或不等變形）推導(dǎo)出要求證明的不等式。用綜合法證明不等式的關(guān)鍵是適當(dāng)選擇一個已知的不等式，從此出發(fā)推出所證結(jié)果，怎樣選擇已知的不等式就適當(dāng)呢？一般有兩條途徑。（1）從分析法找思路，（2）從“重要不等式”，特別是平均值不等式找思路。用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：.綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч确趴s法若證明“A≥B”，我們先證明“A≥C”，然后再證明“C≥B”，則“A≥B”。例19.若求證:.例20.設(shè),且,求證:例21.設(shè)用放縮法證明:.不等式的證明⑸用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式: 有關(guān)自然數(shù)的命題，（當(dāng)然這里是不等式）可用數(shù)學(xué)歸納法證明。 有關(guān)自然數(shù)的命題成立的條件有二：一是它必需具備特殊性，二是它必需具備遞推性。 數(shù)學(xué)歸納法就是證明有關(guān)自然數(shù)的命題具有上述兩條性質(zhì)，從而確定其正確性。 用代數(shù)方法證明不等式是考查思維能力的重要內(nèi)容，但隨著對思維能力考查的力度的增加，運(yùn)用多種方法證明不等式和綜合代數(shù)、三角等的有關(guān)內(nèi)容而產(chǎn)生的有關(guān)不等式證明的綜合問題應(yīng)充分重視。熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本不等式，靈活運(yùn)用常用的證明方法（比較法、分析法、綜合性、反證法、數(shù)學(xué)歸納法），以及運(yùn)用放縮、增量、構(gòu)造（函數(shù)或不等式）、判別式等方法。例22.已知△ABC的三邊長是a，b，c，且m為正數(shù)，求證:.不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用 不等式是研究方程、函數(shù)的重要工具，在歷年高考題中，多次用到不等式解決函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值，函數(shù)的單調(diào)性以及用不等式討論方程中根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用不等式去解決有關(guān)應(yīng)用問題。例23.建造一個容積為18m3,深為2m的長方形無蓋水池,如果池底和池壁每m2的造價分別是200元和150元,那么池的最低造價為_______元例24.甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時間以速度行走,另一半時間以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走.如果,甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第六章不等式)答案例1.C例2.B例3.例4.n3+1>n2+n例5.提示:把“”、“”看成一個整體.解:∵=又∵,∴,∴的取值范圍是例6.A例7.A例8.B例9.B例10.例11.B例12.D例13.C例14.D例15.例16.解：原不等式等價于情形1當(dāng)x>0時，上述不等式組變成解得：情形2當(dāng)x<0時，上述不等式組變成解得所以原不等式解集為例17.解:原不等式等價于由于恒成立，∴當(dāng)a>0時，；當(dāng)a=0時，；當(dāng)a<0時，.例18.證明:令y=，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當(dāng)y≠2時，要方程有實(shí)數(shù)解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;⑵當(dāng)y=2時,代入(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0中,得3=0，矛盾.∴綜上所述,－2≤y<2得證.例19.綜合法提示:另外本題還可用幾何法.證明:對于，可想到直角三角形的斜邊，先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時可構(gòu)造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個正方形，如圖，則，.顯然，即.當(dāng)a、b、c中有負(fù)數(shù)或零時，顯然不等式成立.例20.答案見高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第27頁例1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證例21.提示:利用例22.高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第17頁習(xí)題9法一:構(gòu)造函數(shù)法證明：∵f(x)=EQ\F(x,x+m)(m>0)=1－EQ\F(m,x+m)在(0,+)上單調(diào)遞增，且在△ABC中有a+b>c>0，∴f(a+b)>f(c)，即EQ\F(a+b,a+b+m)>EQ\F(c,c+m)。又∵a，bR*，∴EQ\F(a,a+b+m)+EQ\F(b,a+b+m)=EQ\F(a+b,a+b+m)，∴.法二:分析法證明:要證，只要證a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)－c(a+m)(b+m)>0，即