廣東省廣州市某校2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）

廣東省廣州市某校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知直線a,b與平面a,B，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若aua,bua,I1a,I1b,貝！H_La

B.若a_La,6_L0,a_L￡,則a_Lb

C.若可/a,b//p,a//p,則a〃b

D.若直線a上存在兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則a〃a

2.已知等差數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為晚,且+a4=11,S6+S7=75,則Sg=（）

A.52B.54C.56D.58

3.到直線3x-4y-ll=0的距離為1的直線方程為（）

A.3x—4y—1=0B.3x—4y—6=0或3x—4y-16=0

C.3x-4y+1=0或3尤—4y-1=0D.3%-4y+16=0或3久-4y—3=0

4.雙曲線C：=1（￡1>0,匕>0）的漸近線與圓萬2+3—4）2=4相切，則雙曲線C的離心率為（）

2A/~34

A.詈B.2C.D.4

21

5.已知直線zn：ax+y+3=0與直線ri：3x+（2b-l）y-1=0,（a,b>0）,且?n_Ln,則公+3的最小值

為（）

A.12B.8+4AA3C.15D.10+2<3

6.在空間中，“經(jīng)過點(diǎn)P（%o，yo，Zo），法向量為3=（45C）的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)Q,y,z）滿

足的關(guān)系）是：A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0”,如果給出平面a的方程是x-y+z=1,平面￡的方

程是，-楙-?=1,則由這兩平面所成的二面角的正弦值是（）

"B.苧C.苧D.|

7.某家庭打算為子女儲(chǔ)備“教育基金”，計(jì)劃從2021年開始，每年年初存入一筆專用存款，使這筆款到2027

年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算（復(fù)利是一種計(jì)算利息

的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息），則每年應(yīng)該存入約（）萬元.（

參考數(shù)據(jù)：1.027?1.149,1.028?1.172）

A.5.3B.4.6C.7.8D.6

8.已知圓C：（X+1）2+y2=2,點(diǎn)P在直線Z：x-y-3=0上運(yùn)動(dòng)，直線P4PB與圓C相切，切點(diǎn)為A,B,

則下列說法正確的是（）

第1頁，共10頁

A.|P川的最小值為2

B.|P4|最小時(shí)，弦4B長為VH

C.|P4|最小時(shí)，弦2B所在直線的斜率為-1

D.四邊形P4CB的面積最小值為門

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.如圖，在平行六面體4BCD-&B1C1A中，以頂點(diǎn)4為端點(diǎn)的三條棱長2g

都是2,且它們彼此的夾角都是60。，P為與AD1的交點(diǎn)，若方=益，4/4__________/

AD=b，AA±=c>則下列正確的是（）

A.CP=-a—―/7+—c

B.4cl=a+b—c

C.cosS?,宿）=苧

D.BDi的長為2c

10.已知直線l的方程為ax-y+1=0,aeR,則下列說法正確的是（）

A.2與直線x+ay+1=0有唯一的交點(diǎn)

B」與橢圓］+y2=1一定有兩個(gè)交點(diǎn)

C.I與圓（久-I）2+y2=4一定有兩個(gè)交點(diǎn)

2

D.滿足與雙曲線^v-y2=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/有2條

11.某市為了改善城市中心環(huán)境，計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)

一個(gè)高塔，施工單位在某平臺(tái)。的北偏東45。方向40，1巾處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)4在平臺(tái)。的正fC

西方向240機(jī)處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B,已知經(jīng)過。，A,B三點(diǎn)的圓為圓C,規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)\

域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系,經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在平臺(tái)。的正南方向200nl的P處，有一輛小汽車沿北偏西45。方向行駛，貝1］（）

A.觀測(cè)點(diǎn)4,B之間的距離是2807n

B.圓C的方程為/+V+240%-320y=0

C.小汽車行駛路線所在直線的方程為y=—x—200

D.小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)

12.已知橢圓9+*1（0<b<3）的左、右焦點(diǎn)分別為F2,過點(diǎn)FI的直線1交橢圓于4,B兩點(diǎn)，若網(wǎng)

的最小值為4,貝）

第2頁，共10頁

A.橢圓的短軸長為，石

B.\AF2\+IBF2I最大值為8

C.禺心率為?

D.橢圓上不存在點(diǎn)尸，使得N&PF2=90°

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.石城永寧橋，省級(jí)文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式

拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面1.6m時(shí)，水面寬6.4加，當(dāng)水面下降0.96時(shí)，水面的寬度為m；

該石拱橋?qū)?yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為m.

14.經(jīng)過點(diǎn)P(0,-1)作直線/,若直線I與連接4(1,-2),2)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線1的傾斜角a

的取值范圍是

15.已知點(diǎn)M是圓/+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓(X-5)2+(y—2)2=16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x+y+5=

0上運(yùn)動(dòng)，則|PM|+|PN|的最小值為

16.如圖，在長方體48C。一4遇16。1中，AB=3,BC=CQ=2,M,N分

別為8C,CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形BCC/1內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包括邊界)，若&P〃平面

AMN,則41P取最小值時(shí)，三棱錐P—M&B的體積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

已知△ABC的頂點(diǎn)4(3,2),邊2B上的中線所在直線方程為x-3y+8=0,邊4C上的高所在直線方程為2x-

y—9=0.

(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線BC的方程.

18.(本小題12分)

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：=l(a>0,匕>0)的離心率為，且過點(diǎn)(2,2).

第3頁，共10頁

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)圓/+y2=4的切線/與雙曲線C相交于4,B兩點(diǎn).

⑴證明：Q410B；

(五)求404B面積的最小值.

19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—ABC。中，BD1PC,乙BAD=120°,四邊形2BCD是菱形，PB=yTlAB=譏PA,E是

棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，且匠=2萬.

(1)證明：P2_L平面4BCD.

(2)是否存在實(shí)數(shù)人使得平面P4B與平面4CE所成銳二面角的余弦值是穿？若存在，求出2的值；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

20.(本小題12分)

已知數(shù)列｛即｝是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列｛.｝是等比數(shù)列，且的=3,%-La2-1、。3+1成等比數(shù)列，瓦=1,

。5—2^2=%?

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式;

(2)若d=b+log工，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和土.

n2an+l

21.(本小題12分)

假設(shè)某市2023年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中、低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每

年新建住房面積平均比上年增長8%.另外，每年新建住房中，中、低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米

,求：

(1)截至到2032年底，該市所建中、低價(jià)房的面積累計(jì)(以2023年為累計(jì)的第一年)為多少萬平方米？

(2)哪一年底，當(dāng)年建造的中、低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

22.(本小題12分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在/+必=4上，過M作無軸的垂線，垂足為N,若H為中點(diǎn).

第4頁，共10頁

(1)求點(diǎn)”的軌跡方程；

(2)過4(0,，)作直線/交H的軌跡于P、Q兩點(diǎn)，并且交x軸于B點(diǎn).若用=2而，QA=nQB,求證：,+工為定

ZA/Z

值.

第5頁，共10頁

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】AC

11.【答案】BCD

12.【答案】BCD

13.【答案】83.2

14.【答案】[0,加尊兀)

15.【答案】7149-5

16.【答案】I

17.【答案】解：(1)因?yàn)檫?C上的高所在直線方程為2x—y—9=0,設(shè)直線AC的方程為x+2y+a=0,

又因?yàn)橹本€AC過點(diǎn)4(3,2),貝必=一7,

得到直線AC的方程為x+2y-7=0,

聯(lián)立解得C的坐標(biāo)為(1,3)；

1人r乙y—/一u

(2)設(shè)B(a,b),因?yàn)檫?B上的中線所在直線方程為x-3y+8=0,

邊AC上的高所在直線方程為2x-y-9=0,

可得2a—b—9=0且竽—3?竽+8=0,解得即B的坐標(biāo)為(8,7).

則直線BC的方程為4x-7y+17=0.

18.【答案】解：(1)由題意得3=，豆，將(2,2)代入雙曲線中得2—g=1,

U.U.[j

又。2=。2+房，解得q2=2,爐=4,

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；

24

第6頁，共10頁

(2)證明：(i)當(dāng)切線I的斜率為0時(shí)，方程為y=±2,

22

不妨設(shè)y=2,此時(shí)二一n二=1，解得*=±2,不妨設(shè)4(—2,2),5(2,2),

24

則a?0B=(-2,2)-(2,2)=-4+4=0,所以。A1OB；

當(dāng)切線斜率不為0時(shí)，設(shè)為％=my+t,

由圓心到直線距離可得=2,故［2=4+4巾2,

V1+m2

聯(lián)立％=my+t與貯一優(yōu)=1得，(2m2—l)y2+47nty+2t2—4=0,

24

叱T16京？-4(2/_4)(2源-1)>0年/=4+4m2,

解得THW土苧，

設(shè)4(%1，丫1)，8(%2，、2)，則%+丫2=5M：，%、2=22：，

故％i%2=(jnyi+0(W2+t)=血2yly2+mt(y1+y2)+/，

22

故瓦？?~OB=xrx2+yry2=(1+rn)y1y2+mt(%+y2)+t

八,2、2t2-44m212,―212-4+2m212-4m2-4m212+2m212-12

=(1+*而口-赤口+/=------------而=------------

t2—4—4m2八

=2m2-l=0>

故。aiOB；

⑷當(dāng)切線/的斜率為0時(shí)，△04B的面積為^|。4||0旬=3X2，IX2，E=4,當(dāng)切線斜率不為0時(shí),

,-------,------------------,-------2/2.t2+4m2-4

222

|AB|=V1+mV(yi+y2)-4yiy2=Vl+m—旨12T-'

因?yàn)閲?yán)=4+4m2,點(diǎn)。到切線2B的距離為2,

242

故SAOAB=1X2|XB|=Vl+m22AA2A/8m_87m+m

|2m2-1||2m2-1|

第7頁，共10頁

當(dāng)27n2—1>0時(shí)，令27n2—1=t>0,則

故”=嚓IP=3=4符*=4所不

因?yàn)閠>0,所以Sw=小(9+|)2v>4j3x(|)2_g=4，

同理，當(dāng)t>0時(shí)，SA0AB>4,

綜上，△。48面積的最小值為4.

19.【答案】解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑危訠D14C,

因?yàn)锽D1PC,AC,PCu平面P&C,且4CnPC=C,

所以8。1平面PAC,

因?yàn)镻Au平面P4C,所以BD1PA,

因?yàn)镻B==/IP4所以PB2=AB2+PA2,即43J,p&,

因?yàn)?B,BDu平面4BCD,S.ABQBD=B,

所以P41平面ABC。.

(2)取棱CD的中點(diǎn)F,連接4F,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，^BAD=120°,

所以△ACO為等邊三角形，故

又PA1平面ABCD,AB,AFu平面ABCD,

所以P4_L4B,PA1AF,故AB,AF,AP兩兩垂直，

故以4為原點(diǎn)，分別以荏，AF,標(biāo)的方向?yàn)榫?，y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)4B=2,貝IJ2(O,O,O),C(l,73,0),￡)(-1,73,0),P(0,0,2),

故就=(l,C,0),PD=(-1,><3,-2),AP=(0,0,2),

所以於=加+而=衣+2麗=(-2,<32,2-2A),

設(shè)平面4CE的法向量為元=(%,y,z),

則少政則s至=“+6二。，

m1AE(n-AE=—Ax++(2—2A)z=0

令％=y/~3f得元=(y/~3,—

第8頁，共10頁

平面P4B的一個(gè)法向量為萬=(0,1,0),

設(shè)面P4B與面4CE所成的銳二面角為。，

.,一一、?\n-m\12<19

r“cos8Q=cos<n,m>=?=——

則\n\\m\J4+A2-32#A+l19,

整理得3萬+22-1=0,

解得4=g或2=-1(舍去)，

故存在實(shí)數(shù)4=g,使得面P2B與面"E所成銳二面角的余弦值是需.

013+

20.【答案】解：(1)由的=3,%—1、a2-l,1成等比數(shù)列，設(shè)公差為d,

2

可得(a2-I)=(&-l)(a3+1),即(3+d—1)2=(3—1)(3+2d+1),解得d=±2,

｛a九｝遞增，???d=2,an=2n+1；

???瓦=1,a5-2b2=a3,設(shè)公比為q,可得ll-2q=7,解得q=2,

??n-1

.bn=2；

n71

(2)cn=bn+log2=2t+log2=2T+[log2(2n+X)-log2(2n+3)],

n—02(202(2

Sn=(2。+2，+2〉+…+2+(log2^—log2$)+(，。。25—，。比,)+…]。九+1)—，。九+3)]

1—2”

=~ry+logz3—log(2n+3),

1—z2

n

.-.Sn=2-l+log2^.

21.【答案】解：(1)假設(shè)某市2023年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中、低價(jià)房，

預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%,

另外，每年新建住房中，中、低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米，

設(shè)中、低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列｛%J,由題意可知｛a“｝是等差數(shù)列，

其中的=250,d=50,則0=250n+吧px50=25聲+225幾，所以Sio=475O,

所以截止2032年底，預(yù)計(jì)該市所建中、低價(jià)房的累計(jì)面積為4750萬平方米；

(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列｛.｝，

由題意可知｛%｝是等比數(shù)列,其中瓦=400,q=1.08,則%=400X(1.08-,

n-1

由題意可知>0.85bn,所以250+(n-1)x50>400x(1.08)x