2024-2025學年同步試題 數(shù)學 必修第二冊二　向量的加法運算

二向量的加法運算(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,+=()A. B. C. D.【解析】選B.由題意得,+=.2.(5分)(2024·天津高一檢測)化簡:++=()A. B. C. D.【解析】選C.++=++=+=.3.(5分)設|a|=2,e為單位向量,則|a+e|的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.因為|a+e|≤|a|+|e|,|a|=2,e為單位向量,所以|a+e|≤3.當且僅當a,e同向時,取到等號.4.(5分)(2024·榆林高一檢測)若向量a表示“向東航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,則向量a+b表示()A.向東北方向航行2kmB.向北偏東30°方向航行2kmC.向正北方向航行(1+3)kmD.向正東方向航行(1+3)km【分析】根據(jù)向量的方向,畫出圖形,利用向量的加法運算,計算結(jié)果.【解析】選B.如圖,易知tanα=13=3所以α=30°,故a+b的方向是北偏東30°,|a+b|=2.5.(5分)如圖,在正六邊形ABCDEF中,++等于()A.0 B. C. D.【解析】選D.++=++=+=.6.(5分)(多選)(2024·莆田高一檢測)已知a∥b,|a|=2|b|=8,則|a+b|的值可能為()A.4 B.8 C.10 D.12【分析】根據(jù)a∥b,可得a,b方向相同或相反,分a,b同向和反向兩種情況討論即可得解.【解析】選AD.因為|a|=2|b|=8,所以|b|=4,因為a∥b,所以a,b方向相同或相反,當a,b同向時,|a+b|=|a|+|b|=12,當a,b反向時,|a+b|=||a|-|b||=4.7.(5分)(2024·濟南高一檢測)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,則|+|=__________.

【解析】如圖所示,設菱形對角線交點為O,+=+=,因為∠ABC=120°,所以∠BAD=60°,所以△ABD為等邊三角形,又AC⊥BD,AB=2,所以OB=1,在Rt△AOB中,||==3,所以|+|=||=2||=23.答案:238.(5分)(2024·紹興高一檢測)向量++++=________.

【解析】++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.答案:9.(5分)某人在靜水中游泳的速度為3m/s,河水自西向東的流速為1m/s,此人朝正南方向游去,那么他的實際前進方向與水流方向的夾角為________.

【解析】如圖,表示河水自西向東的流速,表示某人在靜水中游泳的速度,則表示他的實際前進方向,由題意可知||=1,||=3,則在Rt△OAC中,tan∠AOC==3,故∠AOC=60°,即他的實際前進方向與水流方向的夾角為60°.答案:60°10.(10分)如圖所示各組向量a,b,求作a+b.【解析】如圖所示:【綜合應用練】11.(5分)(2024·呂梁高一檢測)在矩形ABCD中,||=2,設=a,=b,=c,則|a+b+c|的值為()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)題意,得a+b+c=++=+,延長BC至E,使CE=BC,連接DE,證出四邊形ACED是平行四邊形,從而+=+=,最后得出|a+b+c|=||=2||=2||,即可得出結(jié)果.【解析】選C.a+b+c=++=+,延長BC至E,使CE=BC,連接DE,由于==,所以CE∥AD,CE=AD,所以四邊形ACED是平行四邊形,所以=,所以+=+=,所以|a+b+c|=||=2||=2||=4.【補償訓練】當a,b滿足條件__________時,a+b所在直線平分a,b所在直線的夾角.

【分析】作出圖形,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和三角形中等角對等邊可得結(jié)論.【解析】如圖所示:令=a,=b,=a+b,則四邊形ABDC為平行四邊形,又因為a+b所在直線平分a,b所在直線的夾角,則AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC,又因為∠BAD=∠ADC,所以∠DAC=∠ADC,所以||=||=||,即|a|=|b|.答案:|a|=|b|12.(5分)(多選)下列結(jié)論中不正確的是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同B.在△ABC中,必有++=0C.若++=0,則A,B,C為一個三角形的三個頂點D.若a,b均為非零向量,則a+b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等【解析】選ACD.對于A:當a與b為相反向量時,a+b=0,方向任意,故A錯誤;對于B:在△ABC中,++=0,故B正確;對于C:當A,B,C三點共線時,滿足++=0,但不能構(gòu)成三角形,故C錯誤;對于D:若a,b均為非零向量,則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a與b同向時等號成立,故D錯誤.13.(5分)(2024·咸陽高一檢測)在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風向是北偏東30°,風速是30km/h;水的流向是正東方向,流速是30km/h,若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東__________,大小是__________km/h.

【解析】如圖,風速是30km/h,即||=30,水的流速是30km/h,即||=30,則救生艇的速度大小即為||,由題可知:四邊形OACB為菱形且∠AOB=60°,所以||=2×30×32=303,且∠AOC=30°,所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東60°,大小為303km/h.答案:60°30314.(10分)三個力F1,F2,F3大小相等,作用于同一點O.要使它們的合力為零,應滿足什么條件?【解析】如圖所示:利用三角形法則作=F1,=F2,=F3,要使F1+F2+F3=0,則F1+F2+F3=++=0.又++=,所以=0,即點C與點O重合.因此,分別代表力F1,F2,F3的有向線段,,構(gòu)成了等邊△ABC.由圖可知,力F1與F3之間、F1與F2之間、F2與F3之間的夾角都恰好是等邊△ABC的一個外角,都等于120°,