排列組合與二項式定理（14題型+高分技法+限時提升練）-2025年天津高考數(shù)學復習專練（原卷版）

熱點14排列組合與二項式定理

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2022年，第11題，考察二項展開式第左項二項式定理問題是天津高考的熱門考點，主要考查二

2023年，第11題，考察指定項系數(shù)項展開式的通項，二項式系數(shù)，常數(shù)項，及各項系數(shù)

2024年，第11題，考察指定項系數(shù)和等問題，常以小題形式出現(xiàn)，同時排列組合問題也

是考察重點

熱點題型解讀

題型1加法計數(shù)原理和乘法計數(shù)原理綜合

1、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；

2、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計

II

算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。

i三「7近天關海褥三港5?藥而僦苗三干大蔡普提茁而?；ㄜ酢隽检糍M，訪尊苕;鬟季濟笄蔑崔年福薪■組i

織同學從推薦的課外讀物中進行選讀.活動要求甲、乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩

人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

2.（2023?天津?一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，己知：

（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A,B,C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝。，E,F;

（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G,A,C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝8,D,H-,

（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝/,C,E,則下列結(jié)論正確的是（）

A.最高處的樹枝定是GB.最低處的樹枝一定是尸

C.九根樹枝從高到低不同的順序共有33種D.九根樹枝從高到低不同的順序共有32種

3.（23-24高二下?天津北辰?期中）從0,2,4中選一個數(shù)字.從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字

的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.48B.30C.24D.6

4.（2024?重慶?模擬預測）2024年12月7日西南大學附屬中學校迎來了辦學110周年慶典，為此某班設計

了富含寓意的11個文創(chuàng)作品，已知甲同學喜歡作品A、B,乙同學喜歡作品8、C、D,丙同學除了不喜

歡E作品，其他作品都喜歡，讓甲乙丙三位同學依次從中選取一個作為禮物收藏，若這三位同學都選到了

自己喜歡的文創(chuàng)作品，則不同的選法有（）

A.50種B.48種C.45種D.40種

5.（2024?廣東佛山?一模）現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學，各自寫了一封信，然后都投到同一個郵箱里.若甲、

乙、丙3位同學分別從郵箱里隨機抽取一封信，則這3位同學抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是一

（用數(shù)字作答）.

題型2排隊問題

00?式

i

1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法

對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，

再考慮這個整體內(nèi)部各元素間的順序。

i

2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法

i

對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成空'，

i

然后將不相鄰的元素進行“插空二

I

i

3、解有特殊元素（位置）的排列問題的方法

解有特殊元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當以元

素為主或以位置為主。

I

i

1.（2024?四川內(nèi)江?模擬預測）有4名學生和2名老師站成一排拍照，若2名老師不站兩端，則不同排列

方式共有（）

A.72種B.144種C.288種D.576種

2.（2024,江西新余?二模）兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同

的站法有（）種.

A.240B.360C.420D.480

3.（23-24高三上?天津河東?階段練習）甲，乙等5人站成一排，則甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為.

4.（23-24高三上?天津和平?開學考試）將字母。、b、。、d、e、/排成一排，其中。必須在6的左邊,

則不同的安排方法有.（用數(shù)字作答）

5.（2024?陜西商洛?模擬預測）3名男生和3名女生隨機站成一排，每名女生至少與一名男生相鄰，則不同

的排法種數(shù)為.

題型3涂色問題

00混

I

（1）涂色問題涉及到顏色種類數(shù)；

（2）相鄰區(qū)域不能同色；

I

（3）常采用分類討論法，從選定兩個不相鄰區(qū)域開始，討論這兩塊區(qū)域同色和不同色。

［「72023.四川資陽.模擬預測）窠在反升地茬蕩病1芮笳窗茄海二瑛生施希置花卉，要求相鄰區(qū)域布置

的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（）

A.360種B.420種C.480種D.540種

2.（2022?天津北辰?模擬預測）用黑白兩種顏色隨機地染如圖所示表格中6個格子，每個格子染一種顏色，

則有種不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率

為.

3.（23-24高二下?天津?期中）如圖，用4種顏色標注6個地圖的區(qū)域，相鄰省顏色不同，不同的涂色方式

共有一種

4.（2024?全國?模擬預測）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種

屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體班-現(xiàn)裝修工人準備用四種不同

形狀的風鈴裝飾五脊殿EF-ABCD的六個頂點，要求E,尸處用同一種形狀的風鈴，其它每條棱的兩個頂

點掛不同形狀的風鈴，則不同的裝飾方案共有種.

7D

5.（2023?重慶?模擬預測）某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環(huán)區(qū)域進行改造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)

區(qū)域被等分為5個部分，每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進行栽植.要求相鄰區(qū)域不能

用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種.

題型4分組分配問題

（1）先分組，后分配；

（2）分組包含①平均分②部分平均分③不平均分

（3）分組后再分配

1.（23-24高二下?天津南開?期末）為豐富同學們的勞動體驗，增強勞動技能，認識到勞動最光榮、勞動最

偉大，高二年級在社會實踐期間開展“打埃作畦”"移苗定植〃“挑水澆園”“插架〃四項勞動技能比賽項目.某宿

舍8名同學積極參加，若每名同學必須參加且只能參加1個項目，且每個項目至多三人參加，則這8個人

中至多有1人參加“打埃作畦”的不同參加方法數(shù)為（）

A.2730B.10080C.20160D.40320

2.（23-24高二下?天津?期中）若將6本不同的小說全部分給3個同學，每本書只能分給一個人，每個人至

少分一本書，則不同的分法的數(shù)量為（）

A.540B.90C.10D.450

3.（2022,天津和平?二模）某公司新成立3個產(chǎn)品研發(fā)小組，公司選派了5名專家對研發(fā)工作進行指導.若

每個小組至少有一名專家且5人均要派出，若專家甲、乙需到同一個小組指導工作，則不同的專家派遣方案

總數(shù)為.（用數(shù)字作答）

4.（23-24高二下?天津?期中）為方便廣大人民群眾就醫(yī)，普及醫(yī)療健康知識，社區(qū)組織"義診下鄉(xiāng)行”活動，

某醫(yī)療隊伍有5名醫(yī)生需分配到3個志愿團隊，每個志愿隊至少分配一名醫(yī)生，甲醫(yī)生被分到A志愿隊的

方法有種.（用數(shù)字作答）

5.（23-24高二下?天津南開?期中）南開園中有很多地方沉淀著歷史的印記，值得同學們在三年的時光里駐

足留意.小南、小艾等6位即將畢業(yè)的同學在伯苓樓、范孫樓、瑞廷禮堂、翔宇樓4座標志性建筑中各選

擇一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同學拍照，每位同學都恰選擇一座建筑拍照，且小南、小艾不在

同一座建筑拍照，則不同的拍照方式共有種，（用數(shù)字作答）

題型5二項展開式第左項

nrr

對于（。+6）〃，涉及到具體項，通常使用通項公式：Tr+l=C［a-b

1.（2024?四川成都?三模）2x-I的展開式中，第5項為常數(shù)項，則正整數(shù)〃等于（）

A.8B.7C.6D.5

2.（2024,河北廊坊,模擬預測）nGN*）的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的

X

常數(shù)項為（）

A.-160B.-20C.20D.160

3.（2024?山東?二模）已知二項式（五-5x）〃的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，n=.

4.（24-25高三上?天津?階段練習）已知在1雙一擊〕的展開式中第5項為常數(shù)項，展開式中含有*2頂?shù)?/p>

系數(shù)為.

5.（23-24高三上?廣東珠海?開學考試）寫出（2x-十］的展開式的第4項的系數(shù)：.（用數(shù)字表示）

題型6求指定項的二項式系數(shù)

￡70目百

rnrr

對于（。+6）〃，涉及到具體項，通常使用通項公式：Tr+l=Cna-b

..._____...__________________________________________________...______..._________...________________i

1.（2024?北京?三模）在（x-［）4展開式中，常數(shù)項的二項式系數(shù)為（）

X

A.4B.3C.2D.1

2.（23-24高三上?天津北辰?階段練習）若卜-21展開式的二項式系數(shù)和為64,則展開式中第三項的二項

式系數(shù)為.

3.（2024?遼寧?模擬預測）二項式卜+展開式的第3項的二項式系數(shù)是.

4.（2024?遼寧沈陽?一模）的展開式中常數(shù)項的二項式系數(shù)為.

5.（2023?山東青島?三模）若［f+五］展開式的所有項的二項式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項

的二項式系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

題型7二項式系數(shù)和

|0僅70

（1）（。+力”展開式的各二項式系數(shù)和：

G+C：+…+&+…+Q=2［〃eN*）；

（2）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：

C，+C；+..?=C：+C；+..?=2"T（〃eN*）

1.（2024?天津北辰?三模）若［2/+展開式的二項式系數(shù)和為128,則展開式中『的系數(shù)為.

2.（2023?天津濱海新?三模）若，-：］的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16,則展開式中Y的系數(shù)

為.

3.（2023?四川達州?二模）若展開式的二項式系數(shù)和為64,則展開式中/系數(shù)為.

4.（2022?天津濱海新?模擬預測）已知（Y-2）”的展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式第三項的系數(shù)

是.

5.（24-25高三上,貴州貴陽,階段練習）若（五-4"的展開式的二項式系數(shù)和為32,且H的系數(shù)為80,則

X

實數(shù)a的值為.

題型8求指定項的系數(shù)

?—————————————————————————————————————————————————————————Y

I00混

II

rnrr

;對于（a+力"，涉及到具體項，通常使用通項公式：Tr+l=Cna-b

ii

二「7行容薪灌菽湎丁5嬴；二正函三質(zhì)蔗異女爵莪場三募族藪菽靛■二善一,

（x_1）〃—4+〃］（x+l）+tZ2（x+l）2+...+1）〃,貝ljq于*.

2.（2024?天津南開?二模）在］x-萬1Tl的展開式中，X-的系數(shù)為.

3.（2023?天津和平?三模）在（犬+2）。-工）6的展開式中，常數(shù)項為（請用數(shù)字作答）.

4.（24-25高三上?天津和平?期末）二項式［2x-金J的展開式中，/項的系數(shù)為.

5.（2024?上海長寧?一模）1x-jJ的二項展開式中的常數(shù)項是.

題型9有理項問題

nrr

:對于m+力”，涉及到具體項，通常使用通項公式：Tr+l=Cna-b

1.（2024,湖北武漢?模擬預測）［1+缶］展開式的7項中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）項

A.1B.2C.3D.4

2.（2024?河南?模擬預測）已知/一名（其中。＞0）的展開式中的第7項為7,則展開式中的有理項

共有（）

A.6項B.5項C.4項D.3項

3.（2024?青海西寧?模擬預測）（8-岳『展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）

A.2項B.3項C.4項D.5項

8

4.（2023?廣東?二模）在卜+4+令+―：3的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為（）

IVxxXyjx

A.84B.85C.127D.128

5.（2024?全國?模擬預測）若退+應（”eN*）的展開式中存在有理數(shù)，貝吐=（寫出

一個可能值即可）.

題型10由系數(shù)確定參數(shù)

!0屯目點

nrr

對于（a+力”，涉及到具體項，通常使用通項公式：Tr+i=C［a-b

7

1.（2024?天津?模擬預測）在（2x+a）（x+4）6的展開式中，r的系數(shù)為一胎。，則實數(shù)a為

X

5

2.（23-24高三上?天津北辰?期中）在［2x-宕J（a>0）的二項式展開式中尤2的系數(shù)為160,則。=

3.（2022,天津濱海新,模擬預測）已知（爐-與6的展開式中工3的系數(shù)是160,則k.

X

4.（2024?浙江杭州三模）若卜-￡|6展開式中的常數(shù)項為-160,則實數(shù)。=.

5.（2024?貴州遵義?模擬預測）在多項式（a+3x）（l-x）5的展開式中，V的系數(shù)為32,貝!|a=.

題型11系數(shù)和

I00◎圖

:對于（a+力"，系數(shù)和就是令x=l（如果還有y,那再令y=l）

1.（2024?天津?一模）已知（2+3%）5=。0+〃1%+42%2+〃3%3+。4%4+。5%5,貝!J

4-2a2+3%-4%+5%=.（用數(shù)字作答）

2.（2023?天津和平?二模）已知卜3十工rj的展開式中各項系數(shù)和為243,則展開式中常數(shù)項為____.

。［展開式中的所有項系數(shù)和為243,則〃=_____；該展開式中一

3.（2023?天津河西模擬預測）若+

的系數(shù)_________.

\9

4.（2022?天津河西?二模）若（1+2招（1—X+%?）=/+Cl^X+/％2+??,+%9兀19,貝jJ4+%+'''+%8=_______.

5.（2022?天津?一模）在二項式［；-瓶）的展開式中，各項系數(shù)的和為32,則展開式中l(wèi)的系數(shù)是_________

X

（用數(shù)字作答）

題理!12系數(shù)最大（?。┑捻?/p>

0。既W

T,>T

（1）設（+1項系數(shù)最大則："一

L^r+l-/r+：

T,<T

（2）設（+］項系數(shù)最小則：C.

4+1<lrV

1.（2024?安徽?二模）已知1的展開式二項式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項為（）

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

2.（2023?全國?模擬預測）已知二項式（x+a『，aeN*的展開式中第四項的系數(shù)最大，則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2023?湖北襄陽?模擬預測）已知（l+3x）"的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為79,則展開式中系數(shù)最

大的項為第（）

A.7項B.8項C.9項D.10項

4.（2023?河南安陽?二模）（2x+y『的展開式中各項系數(shù)的最大值為（）.

A.112B.448C.896D.1792

5.（2023?上海嘉定?一模）已知（1+2x）6的二項展開式中系數(shù)最大的項為.

題型13兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題

（2023?天津南開?模擬預測）的展開式中/V的系數(shù)為.（以數(shù)字作答）

2.（2022?天津河西?三模）（2x+l）（x-2）6的展開式中，，的系數(shù)是.

3.（2022,天津河東?一模）（1+2尤2）（1+%）3的展開式中彳3的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

4.（2023?浙江紹興?模擬預測）（V-l）（x+2）4的展開式中/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

5.（2022?廣東茂名?一模）+的展開式中，其中不含尤的項為

題型14三項展開式的系數(shù)問題

1.（2024?江蘇南京?模擬預測）1+1的展開式中，"的系數(shù)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

2.（2024?新疆喀什?三模）（/+x+i）5展開式中，工3的系數(shù)為（）

A.20B.30C.25D.40

3.（2024?云南昆明?模擬預測）（/+2x-的展開式中，丁產(chǎn)項的系數(shù)為（）

A.10B.-30C.60D.-60

/1\52

4.（2024?安徽?三模）-f+3+y的展開式中工的系數(shù)為________.

I77J%

5.（2024?河南?三模）（尤2一》一2丫的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2024?河北邯鄲,模擬預測）兩名運動員參加一場七局四勝制的斯諾克短賽制比賽，比賽結(jié)束時所有可

能比賽結(jié)果種數(shù)為（）

A.80B.70C.40D.35

2.（2024?湖北?一模）（2x-1），展開式中含尤2項的系數(shù)為（）

A.40B.-40C.20D.-20

3.（2024?江西新余?模擬預測）小梁同學將5個完全相同的球放入3個不同的盒子中有M種放法，小郅同

學將5個完全不同的球放入3個相同的盒子中有優(yōu)種放法.若每個盒子中至少有一個球，則|W-H=（）.

A.4B.19C.125D.144

4.（2024?湖南湘西?模擬預測）A,民C三所大學發(fā)布了面向高二學生的夏令營招生計劃，某中學有四名學

生報名參加.若每名學生只能報一所大學，每所大學都有該中學的學生報名，且A大學只有其中一名學生

報名，則不同的報名方法共有（）

A.18種B.21種C.24種D.3