實(shí)戰(zhàn)演練 抽象函數(shù)的性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)（新高考卷）解析版

實(shí)戰(zhàn)演練01抽象函數(shù)的性質(zhì)

①抽象函數(shù)求值

②抽象函數(shù)的單調(diào)性與抽象不等式

③抽象函數(shù)的奇偶性

④抽象函數(shù)的對(duì)稱性

⑤抽象函數(shù)的周期性

⑥抽象函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

⑦抽象函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

必備知識(shí)速記

一、抽象函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性：/(X+Q)==T=a；+==2a；

/(%+〃)=)T=2a；(左為常數(shù))；/(x+a)=/(x+b)=T=W-,

J\X7

2.對(duì)稱性：

對(duì)稱軸：/(。一%)=/(a+x)或者/(2Q-X)=/(x)n/(x)關(guān)于X=Q對(duì)稱；

對(duì)稱中心：/(4-%)+/(a+x)=26或者/(2Q-X)+f(x)=2b=>/(%)關(guān)于(a,b)對(duì)稱;

3.如果/(x)同時(shí)關(guān)于x=a對(duì)稱，又關(guān)于國(guó)c)對(duì)稱，則/(%)的周期T=|a—可

4.單調(diào)性與對(duì)稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問題

①/(X)在火上是奇函數(shù)，且/(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(x1)+/(x2)>0,則有

再+%>°；

/(X)在R上是奇函數(shù)，且/(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(x1)+/(x2)>0,則有

再+/<°；

②/(x)在R上是偶函數(shù)，且/(X)在(0,+00)單調(diào)遞增n若解不等式/(%))>/(x2),則有聞〉同(不

變號(hào)加絕對(duì)值)；

/(X)在&上是偶函數(shù),且/(X)在(0,+00)單調(diào)遞減n若解不等式/(西)〉/卜)，則有同<岡(變號(hào)

加絕對(duì)值)；

③/(x)關(guān)于(。力)對(duì)稱，且/(x)單調(diào)遞增=>若解不等式/(XJ+f(x2)>2b,則有

國(guó)+%2〉2。；

/(x)關(guān)于(a,6)對(duì)稱，且/(x)單調(diào)遞減=>若解不等式/(X1)+/(X2)>2/),則有

再+%2<2。；

④/(X)關(guān)于x=a對(duì)稱，且/(%)在(a,+8)單調(diào)遞增=若解不等式/(%1)>/(x2),則有忖—a|〉|x2-a\

(不變號(hào)加絕對(duì)值)；

/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，且/(x)在(a,+00)單調(diào)遞減n若解不等式/(X1)>/(x2),則有其—。|<上—《

(不變號(hào)加絕對(duì)值)；

二、抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)」(x+y)=蔣琳，則/。)=平，"⑴j⑺)均不為0]

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X士歹)=/(x)±/(y),則/(x)=/⑴X；

模型2：若/(x土y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數(shù)；

模型3：若/(》+30=/(》)+/。0+7〃，則/(》)=[/(1)+機(jī)卜一機(jī)；

模型4:若/(%一>)=/(》)一/(>)+%，則/00=[/(1)-7〃卜+機(jī)；

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(X+y)=/(X)/⑺，則/(x)="(l)r；/(x)>o

模型2：若/(x—v)=倦,則/(x)=[/(l)「；/(x)>0

模型3：若/(X+y)=/(x)/(j)m,則/(x)=[/⑴”]；

m

模型4：若/(x-y)=》,則/(X)=機(jī),⑴；

z(j)LM

【對(duì)數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x)，則/0)=/(。)唾尸(。>0且。1,》>0)

模型2：若/(初)=/(》)+/3),則/0)=/(。)1080%(。>0且。1,》/>0)

V

模型3：若/1)=/(x)-/(y),則/(x)=/(a)log〃x(a>(^wl,xj>0)

模型4：若/(xy)=/(x)+/(y)+機(jī)，則/(x)=[/(a)+相]log〃x—%(a>0且wl,x,y>0)

模型5：若/(j)=/(x)-/(y)+機(jī)，則/(x)=[/(a)—%]log.x+能(。>0且Hl,x,y>0)

【幕函數(shù)模型】

模型1：若/(町)=/(》)/⑺，則〃x)=/(。產(chǎn)、(?！?且wl)

模型2：若/9)=端，則/("=/(。產(chǎn)'(。>。且。1,尸0,73#0)

代入/(。)則可化簡(jiǎn)為募函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】

模型1：若f{x+y)+f(x-y)=(/(X)不恒為0),則f(x)=coswx

模型2：若/(x)+/(y)=2/(?)/(三馬(〃x)不恒為0),貝U〃x)=coswx

22J\/

【正切函數(shù)模型】

模型：若f(x土田=1；案霏)(/⑺/⑺#1)，則/(x)=tanwx

一2

模型3：若/(》+月+/0-了)=姑(%)/(歷(/(X)不恒為0),則/(x)=7coswx

K

名校模擬探源

I①抽象函數(shù)求值

解題技法

抽象函數(shù)求值問題常用賦值法，賦值主要從以下方面考慮：令%=???,-2,-1,0,1,2…等特殊值

求抽象函數(shù)的函數(shù)值.

一、單選題

1.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(')的定義域?yàn)镽,X/Q,6GR,均滿足

/(〃+6)=/(〃)+/(6)—仍.若/(—1)=3,則*3)二()

A.0B.-9C.-12D.-15

【答案】D

【分析】先賦值-6=0求出”0),接著賦值a=l,6=-1求出/⑴，再賦值好6=1求出〃2),最后賦

值a=l,6=2即可求解.

【詳解】令。=6=0,得/⑼=2/(0),所以"0)=0；

令。=1,b=-i,得/⑼=/■⑴+/(-1)+1=0,

又/㈠)=3,所以〃1)=一4；令-6=1,得/2)=〃1)+/⑴-1=-9；

令a=l,b=2,得/(3)=/(l)+/(2)_2=_15.

故選：D.

2.(2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)镽,且2[/(x+y)+/(x7)]=/(x)〃y),

/⑴=26則.”2025)=()

A.2A/3B.0C.4D.-26

【答案】B

【分析】令x=J=0結(jié)合"1)=2仃得"0)=4,令x=y=l得42)=2,令工=2,J=l,得〃3)=0,令

'=2,分別令x=3,5,7,9可以得到/(5)J⑺J(9)J(11),令x=0,x=3得〃x)的周期為12,所以

/(2025)=/(9)=0.

【詳解】因?yàn)?(尤+y)+〃x7)=g〃x)〃y)，令x=y=。，有2〃0)=g/2⑼，則/⑼=o或

/(0)=4.

若/(。)=0,貝!]令x=S=0,有"⑴=g〃l)〃0),得"1)=0,與已知〃1)=26矛盾，所以

/⑼=4.

令x=y=l,有〃2)+〃0)=；尸⑴，則〃2)+4=gx(26)2=6,得〃2)=2.

令x=2,y=l,有〃3)+〃1)=；〃2)〃1),得"3)=0.

令x=3,尸2,有〃5)+〃1)=；〃3)〃2),得/(5)=一2VL

令尤=5,k2,有了⑺+〃3)=g〃5)〃2),得了⑺=一2拓.

令x=7,尸2,有〃9)+〃5)=；〃7)〃2),得”9)=0.

令尤=9,k2,有/(11)+〃7)=；〃9)〃2),得〃11)=26.

令x=0,有/(y)+/(-y)=g〃O)/Cy),得/(-力=/(力，

令X=3,有/(3+力+〃3-)=；〃3)〃用=0,即/(3+m=-/(37),

所以f(6+y)=T(-力=T(y),故〃12+力―—(6+力=〃力,所以，(無(wú))的周期為12,

所以〃2025)=〃12xl68+9)=〃9)=0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：賦值法解決抽象函數(shù)問題，通過對(duì)龍/賦值，得到相應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)或

者得到待求函數(shù)值.

二、填空題

3.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)“X)滿足〃為+川=/。)+/3)+29(可eR),

"1)=2,則〃3)=,/(-3)=.

【答案】126

【分析】利用賦值法可求/(3)的值，再求出/(0)=0,從而可求/(-3)的值.

[詳解】/(I+1)=/(D+/⑴+2=6〃3)=〃2+1)=/(2)+/⑴+4=12,

而/(0+0)=〃0)+/(0)+0即/(0)=0,

故〃3-3)=〃3)+/(-3)-18=0,故〃一3)=6,

故答案為：12,6

4.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且/(x+力+/(x-了)-/(力/3=0,

/(-1)=1，貝U〃o)=

【答案】2

【分析】令》=>=0,/(0)=0或/(0)=2,再說明"0)=0不合題意.

【詳解】令x=y=0,得2〃0)-/(0)=0得/(0)=0或/(0)=2,

當(dāng)/(0)=0時(shí)，令k0得/(%)=0不合題意，故/(0)=2,

故答案為：2

5.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),滿足

f[x+y)=f[x)f[y}-f(2-x)f[2-y),且〃0)#0,/(-2)=0,則/⑵=.

【答案】0

【分析】在已知式中令x=V=l可得.

【詳解】由"X+夕)=f(x)f(y)-f(2-X)f(2^y),

令x=y=l,則〃2)=口⑴]2-卜⑴1=0

故答案為：0.

6.(2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的滿足了,；卜0,且對(duì)于任意的x/eR,有

f(x+y)+〃x)/(y)=4xy,則/⑼=,

【答案】-1

【分析】令》=>=0得/'(O)=T或/(。)=0,排除"0)=0即可.

【詳解】在〃x+y)+/(x)/3=4刈中，令x=>=0,有/⑼+[〃0甘=0,解得〃o)=_i或〃o)=o,

若/(。)=0,則在/(x+y)+〃x)〃y)=4孫中，令x=0,有/(曰=0恒成立，但這與矛盾，

所以只能/'(O)=T,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故答案為：-1.

I②抽象函數(shù)的單調(diào)性與抽象不標(biāo)

解題技法

(1)抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，關(guān)鍵是要依據(jù)單調(diào)性的定義和題目條件利用巧與冷的大小關(guān)

系構(gòu)造出一個(gè)大于(或小于)0的數(shù).

(2)在解決與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題時(shí)，可通過脫去函數(shù)符號(hào)7■”化為一般不等式求解，

但無(wú)論如何都必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行；若不等式一邊沒有“/”，而是常數(shù)，則應(yīng)將常數(shù)轉(zhuǎn)

化為函數(shù)值.

一、單選題

1.(23-24高三下?廣東佛山?開學(xué)考試)已知函數(shù)v=在定義域(-1,3)上是增函數(shù)，且

〃2"1)</(2-則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,2)B.C.(0,1)D.(1,+8)

【答案】C

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性及定義域得到關(guān)于。的不等式組，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)>=/(x)在定義域(-1,3)上是增函數(shù)，且〃2"1)</(2-a),

—1<2?！?<30<〃<2

貝!I有“一1<2—。<3,貝！]<—解得

2a—l<2—aa<\

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1).

故選：C.

2.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知奇函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且/(2)=1,則不等式〃x)+l<0的解集為

)

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-2,+8)D.(-?,-2)

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性計(jì)算即可.

【詳解】由小)+1<0,可得

因?yàn)椤▁)是奇函數(shù)，且〃2)=1,所以-2),

因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，所以x<-2,

故不等式/(x)+1<0的解集為-2).

故選:D

3.(23-24高三下?吉林通化?期中)已知函數(shù)〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)單調(diào)遞增，則

/(e=l)+/((l-e)x)<0的解集為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(O,e)D.(l,e)

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性得到砂-l<(e-l)x,畫出曲線>=e、-1與曲線y=(e-l)x的圖象，數(shù)形

結(jié)合得到答案.

【詳解】由奇函數(shù)可知，

+-e)x)<0=>/(e，--e)無(wú))=>/(e'-l)</((e-l)x),

又〃x)單調(diào)遞增，則e;l<(e7)x,

畫出曲線了=/-1與曲線y=(e-l)x的圖象，

可以看出了=e，-l與y=(e-l)尤有兩個(gè)交點(diǎn),

且x=1與x=0分別為兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

所以不等式ex-l<(e-l)x的解集為(0,1).

故選：B

二、多選題

4.(2024?廣東茂名二模)已知函數(shù)”X)為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若/(2°)+/伍-2)>0,

則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】CD

【分析】先利用函數(shù)是奇函數(shù)，將不等式/'僅4+””？）＞。轉(zhuǎn)變?yōu)椤?a）＞〃2-a）,再利用函數(shù)

〃x）在R上單調(diào)遞增，將不等式〃2a）＞〃2-a）轉(zhuǎn)變?yōu)?a＞2-%求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，

則不等式〃2a）+〃a-2）＞0,可變形為/（2a）＞-〃a-2）=/（2-a）,

因?yàn)楹瘮?shù)/（%）在R上單調(diào)遞增，

則不等式/（2a）＞42-a）成立,則2、＞2—,

2

解得1,2符合題意，

故選：CD.

三、填空題

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃X）=2-5+X3,若/（2a）+/（/）wo,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】卜2,0].

【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式判斷得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性.進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為

/（2a）＜-/（?2）=/（-?2）,即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】由題意知函數(shù)定義域?yàn)镽,且〃-x）=2-白+（-司3=-0-《+》3）=-?。?，

所以/（x）為奇函數(shù).

又函數(shù)了=2，/=X，均為R上的增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知y=-（也為R上的增函數(shù)，

所以，為R上的函數(shù).

由/（2°）+/（/）40,得以2〃）4-/（/）=/（一/）,所以2r_/,

解得-2Wa40,

故答案為：

6.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）已知偶函數(shù)＞=/（x）在區(qū)間[0,+功上是嚴(yán)格減函數(shù).若⑴,

則x的取值范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)y=/(x)在區(qū)間［0,+。)上是嚴(yán)格減函數(shù)，

所以》=/(%)在(-叫。)上單調(diào)遞增，

所以不等式〃lnx)>/⑴，即川也動(dòng)>/⑴,所以即

解得！<x<e,

e

即X的取值范圍是］,e］

故答案為：

③抽象函數(shù)的寄兩

解題技法

抽象函數(shù)中求特殊的函數(shù)值，討論函數(shù)的奇偶性及依此解關(guān)于％的不等式等問題多運(yùn)用賦值法”

進(jìn)行求值和化簡(jiǎn).

一、單選題

I.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y滿足

〃x+y)+〃x-y)=〃x)〃y),且/(1)=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(O)=2B./(x)為偶函數(shù)

C./(x)為奇函數(shù)D.〃2)=-1

【答案】C

【分析】由條件等式通過取特殊值求“0),/(2)由此判斷A,D,再取特殊值確定/(x),"-X)的關(guān)系結(jié)

合函數(shù)的奇偶性的定義判斷選項(xiàng)B,C.

【詳解】因?yàn)閒(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),

取x=l,V=0可得/(l)+/(l)=/(l)/(O),又/0)=1,所以/(O)=2；A對(duì)；

取x=0,>=x可得/(x)+/(-x)=/(O)/(x),因?yàn)椤?)=2,所以/(-x)=/(x),所以〃x)為偶函數(shù),

C錯(cuò)，B對(duì)；

取x=l,〉=1可得/(2)+〃0)=7'⑴/⑴，又"1)=1,/(0)=2;

所以/⑵=-1,D對(duì)；

故選：C.

2.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知了=〃龍+1)+1為奇函數(shù)，貝U

/(-2)+/(-l)+/(O)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=()

A.-14B.14C.-7D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義和性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)閥=〃x+l)+l為奇函數(shù)，

故/(O+l)+l=On/⑴=-1,

/(1+1)+1=-[/(-1+1)+1]^/(2)+/(0)=-2,

/(2+1)+1=-[/(-2+1)+1]=>/(3)+/(-1)=-2,

/(3+1)+1=-[/(-3+1)+1]^/(4)+/(-2)=-2,

故〃-2)+〃-l)+/(0)+“l(fā))+f(2)+〃3)+f(4)=T+3x(_2)=-7.

故選：C.

3.(23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí))定義域均為R的函數(shù)/⑺，g(x)滿足〃x)=g(x-l),且

/(x-l)?g(2-x),則()

A.〃x)是奇函數(shù)B.〃x)是偶函數(shù)

C.g(x)是奇函數(shù)D.g(x)是偶函數(shù)

【答案】D

【分析】通過函數(shù)變量間的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)對(duì)應(yīng)等量關(guān)系.利用函數(shù)平移變化，由平移后的對(duì)稱關(guān)系求得原

函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?(x-l)=g(2-x),

所以〃r+17)=g(2-(r+功，

即/(-x)=g(l+無(wú))=g(x+2-l)=/(x+2),

所以〃x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

因?yàn)椤坝?=g(x-l),

所以g(x)關(guān)于X=O對(duì)稱，即g(x)為偶函數(shù).

故選：D

4.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))函數(shù)，(x)的定義域?yàn)镽,且/⑴與〃x+l)都為奇函數(shù)，則說法不正確的

是()

A./。-1)為奇函數(shù)B./(x)為周期函數(shù)

C.〃x+3)為奇函數(shù)D./(x+2)為偶函數(shù)

【答案】D

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及題意得/(-xT)+/(x+l)=0且/(-x+l)+/(x+l)=0,因此+=

即/(xT=f(x+l),進(jìn)而得〃x)=/(x+2)且/(f-l)+/(x-l)=O即可判斷A、B；由〃x)=>(x+2)

可得/(x+l)=/(x+3),結(jié)合奇函數(shù)的定義即可判斷C、D.

【詳解】因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以-x-l)+/(x+l)=O,

又〃x+l)為奇函數(shù)，所以/(f+l)+/(x+l)=O,

.?./(-x+l)=/(*l),gp/(^-l)=/(x+l),

所以/'(x)=/(x+2),K/(-x-l)+/(x+l)=/(-x-l)+/(x-l)=O,

??J(x)是周期為2的函數(shù)，且/(x-1)是奇函數(shù)，故A、B正確；

由〃x)=/(x+2)得f(x+l)=f(x+3),

故由A、B得/(一x+3)=/(-x+l)=/(—x_l)=_/(x_l)=_/(x+l)=_/(x+3),

即/(x+3)為奇函數(shù)，故C正確；

由/(x)=〃x+2)得/(T+2)=〃T)=-/(X)=-/(X+2),

所以/(x+2)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：D.

二、多選題

5.(2024?河南?三模)定義在R上的函數(shù)，(x)滿足/(9+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,則()

A./(0)=0B./(1)=0

C.〃x+l)為奇函數(shù)D.“X)單調(diào)遞增

【答案】BCD

【分析】利用賦值法可求/(1)=0及/(x+l)=x,故可判斷各項(xiàng)的正誤，也可以由題意得

f{xy+\)=f{y}f{x}+f{x}+y,結(jié)合條件/⑸+1)=/(x)/(y)+/(y)+x推出/⑴的解析式，進(jìn)而即可求解

判斷ABCD四個(gè)選項(xiàng).

【詳解】法1：令》=尸0,貝?。?(1)=/(0)+/(0)=〃0)(/(0)+1),

令x=0/=l,則/⑴=/⑴(/(0)+1),

若/⑴=0或"0)=0,

若/⑼=0,則/(I)=/(x)/(0)+”0)+x即/(1)=/(x)/(0)+/(0)+x=x,

由x的任意性可得/(l)=x不恒成立，故"0)=0不成立，故"1)=0,

故A錯(cuò)誤，B正確.

令N=1,貝!I+1)=/(x)/(l)+f(X)+x=x,

故〃x+l)為奇函數(shù)，且〃x)=x-l,它為R上的增函數(shù)，

故CD正確.

法2：由條件/(9+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,得/(xy+l)=/O)/(x)+/(x)+y

n/(v)+x=/(x)+yn/(y)-y=/(x)-x,

由x/的任意性得/(x)=x+C,C為常數(shù)，

故代回去/(9+1)=/(x)/U)+/(y)+x得：

xy+1+C=(x+C*)(y+C)+y+C+x<=>(C+l)(x+y+C—1)=0,

所以由x,>的任意性只能C=7,即〃x)=x-l,為增函數(shù)，

所以/XO)=TJ⑴=0,〃x+l)=x為奇函數(shù)，

故A錯(cuò)，BCD對(duì).

故選：BCD.

6.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知奇函數(shù)/(x)與偶函數(shù)g(x)的定義域、值域均為R,則()

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.〃x)g(x)是奇函數(shù)D.7[g(x)]是偶函數(shù)

【答案】BCD

【分析】本題根據(jù)奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)椤═)+g(r)=-/'(x)+g(x)H-[〃x)+g(x)],所以〃x)+g(x)不是奇函數(shù)，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)椤?x)|g(-x)|=-〃x)|g(無(wú))|,所以〃x)|g(x)|是奇函數(shù)，故B正確；

對(duì)C因?yàn)?(-x)g(-x)=--(x)g(x),所以/(x)g(x)是奇函數(shù)，故C正確；

對(duì)D,因?yàn)?[g(r)]=/[g(x)],所以/[g為)]是偶函數(shù),故D正確.

故選：BCD.

三、解答題

7.(23-24高三上?福建漳州?階段練習(xí))定義在R上的單調(diào)函數(shù)〃無(wú))滿足/'⑶Tog”且對(duì)任意x,yeR

者B有/(x+y)=/(x)+/(y).

⑴判斷〃x)的奇偶性，并說明理由；

⑵若f[k-y)+f(3'-9'-2)<0對(duì)任意尤eR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析；

(2)左<-1+20

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求證，

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為32，-(1+幻.3，+2>0對(duì)任意xeR成立.即可換元利用二

次不等式的性質(zhì)求解.

【詳解】⑴/(X)是奇函數(shù)，

理由如下：

由/'(x+y)=/(x)+〃〉)(x,yeR),①

令尤=片0,代入①式，得〃o+o)=/(o)+/(o),即/⑼=0.

令y=-x,代入①式，得〃…)=〃x)+〃-x),又〃0)=0,

則有o=/(X)+/(-X).即/(-X)=_/(x)對(duì)任意XeR成立，

所以〃尤)是奇函數(shù).

(2)/(3)=log23>0,即〃3)>〃0),又〃可在R上是單調(diào)函數(shù)，

所以在R上是增函數(shù)

又由(1)/(x)是奇函數(shù)./(h3，)<-/(3<9-2)=/(-3'+9工+2),

???h3”<-y+9x+2,32工一(1+左)?3、+2>0對(duì)任意xeR成立.

令f=3'>0,問題等價(jià)于產(chǎn)一(1+左)/+2>0對(duì)任意t>0恒成立.

1+k

令"_(1+柱+2,其對(duì)稱軸x=；-.

當(dāng)號(hào)<0即左<-1時(shí)，〃0)=2>0,符合題意；

當(dāng)￥^0時(shí)，對(duì)任意/>0,/0>0恒成立O三一.

解得-IV左<-1+20.

綜上所述，當(dāng)后<-1+2拒時(shí)，/(h3')+/(3:9'2)<0對(duì)任意；^氏恒成立.

8.(23-24高三上?河北保定?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足

/M=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(0)<2,/(0)^/(1),且〃x)>0.

⑴求〃。)，/⑴,/(T)的值;

(2)判斷/(x)的奇偶性，并證明.

【答案】(1)〃0)=1,則=2,〃-1)=2

(2)偶函數(shù)，證明見解析

【分析］⑴令x=y=0,求得"0)=1,令x=y=l,求得"1)=2,令x=y=-l,求得/(T)=2,

(2)令》=-1,再結(jié)合(1)的結(jié)果和奇偶性的定義可得結(jié)論.

【詳解】⑴令x=y=o,得〃o)="(o)]2-2/(0)+2,

因?yàn)椤?)<2,所以〃0)=1.

令x=y=l,得/(1)=[〃1)了一2/⑴+2,

因?yàn)椤?)片/⑴，所以/⑴=2.

令無(wú)=了=-1,得=>2/(-1)+2,

即卜(-1)了=2〃-1),

因?yàn)椤▁)>0,所以所以/(一1)=2.

(2)〃x)為偶函數(shù).

證明如下:令y=T,^/(-x)=/(-l)/(x)-/(-l)?/(x)+2,

由(1)ft/(-x)=2/(x)-2-/(x)+2,

即/(T)=/(X),又的定義域?yàn)镽,所以〃尤)為偶函數(shù).

|④抽象函數(shù)的對(duì)稱性

解題技法

(1)若函數(shù)y=/(a%+b)為偶函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于直線久=匕對(duì)稱；若函數(shù)y=/(a%+5)為

奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(5,0)對(duì)稱.

(2)若函數(shù)/(%)在定義域上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則：①函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線

久=&對(duì)稱=導(dǎo)函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱；②函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a/(a))對(duì)稱今

|導(dǎo)函數(shù)廣㈤的圖象關(guān)于直線％=a對(duì)稱.

一、多選題

1.(23-24高三下?山東?開學(xué)考試)函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有/(%+丁)=/?+/(?)-2,且當(dāng)x>0

時(shí)，〃x)>2,則()

A./(O)=2B./(X)關(guān)于(0,2)對(duì)稱C./(-2024)+/(2024)=4D./(%)

為減函數(shù)

【答案】ABC

【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義、對(duì)稱性的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,f(x+y)=〃x)+/V)-2,

令x=y=0,則40)=/(0)+/(0)-2,即"0)=2,故A正確；

令^=一》，貝！|/(0)=/(x)+/(-x)-2,即/(x)+/(r)=4,故B正確；

令x=2024,y=-2024,貝!|/(0)=/(2024)+/(-2024)-2,

即〃2024)+/(-2024)=4,故C正確；

對(duì)于任意yeR,x>0,貝！)設(shè)2=工+'>九當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>2,

則〃z)-f(y)=/(x)-2>0,即f(z)>f(y),

所以/(x)單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

2.R024?河北?模擬預(yù)測(cè))己知定義在R上的連續(xù)函數(shù)/(x)滿足Vx/eR,/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

/(1)=0,當(dāng)xe[O,l)時(shí)，/(x)>0恒成立，則下列說法正確的是()

A./(O)=lB./(X)是偶函數(shù)

C.=6D./(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱

【答案】BCD

【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，利用賦值法一一計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閂x/eR,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),

令x=y=O可得2/⑼=尸(0),解得"0)=0或/⑼=2,

又當(dāng)xe[0,l)時(shí)，〃x)>0恒成立，所以〃0)=2,故A錯(cuò)誤；

令x=0,VyeR,則/(力+〃一力=/(0)f(力=2〃力,即/㈠)=/(力,

所以〃x)為偶函數(shù)，故B正確；

令X[，貝"⑴+=所以/[Ji,

令X=(,y=g,貝！)/[、+/(0)=尸]￡|,所以故C正確；

令x=l可得/(1+力+/(1-月=41)〃力=0,

令l-y=x,可得/(2-x)+/(x)=0,又/(—x)=/(x),

所以/(2-x)+〃-x)=0,gp/(2+x)+/(x)=0,

所以/(2-x)=/(2+x),

所以〃x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故D正確.

故選：BCD

3.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,若〃x+y+l)=〃x)+〃y)+2,且〃0)=1,

貝U()

A.=B./(X)無(wú)最小值

30

C.2/⑺=1425D./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,-5)中心對(duì)稱

Z=1

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,令x=-l/=O即可；對(duì)于BC,令k0得/'(x+l)=〃尤)+3,通過遞推計(jì)算即可；對(duì)于

D,令丁=-4-凡得〃尤)+〃-4-無(wú))=-10即可判斷函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,-5)中心對(duì)稱.

【詳解】對(duì)于A,令x=-l/=0,得/(0)=〃-1)+〃0)+2,解得〃一1)=-2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令y=0,則/(x+l)=f(x)+/(0)+2,且于0)=1,即〃x+l)=/(x)+3可知函數(shù)，(。無(wú)最小值,

故B正確；

對(duì)于C,由B知，/(x+l)=/(x)+3,

所以/⑴=/(。)+3=4+0,/(2)=/(I)+3=4+3,/(3)=/(2)+3=4+6,

〃4)=〃3)+3=4+9,…則

3030x29

X/(0=/⑴+/(2)+/⑶+…+7(30)=30x4+——X3=1425,故C正確;

/=12

對(duì)于D,令昨-4-x,則原式化為3)=/(x)+〃-4-x)+2,

令x=-3,y=3,所以/(1)=/(-3)+/(3)+2,即/(—3)=-8,

所以/(x)+/(-4-x)=/(_3)_2=T0,所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,-5)中心對(duì)稱，故D正確.

故選：BCD.

4.(23-24高二下?河北邯鄲?階段練習(xí))若定義在R上的函數(shù)滿足〃中)=〃x)〃y)+/(x)+/(y),

且值域?yàn)椋跿,+s),則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(0)=0B./(-1)=0

C.7(x)為奇函數(shù)D.7(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱

【答案】ACD

【分析】利用賦值法、函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,令x=y=0得/(0)=/(0)/(0)+/(0)+/(0),解得”0)=0或/⑼=T,

令7=0,得f(O)=〃x)f(O)+/(x)+〃O),

由的值域?yàn)椋跿+s),所以"0)=0時(shí)，〃x)=0,不合題意，

所以/(O)=T,A說法錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,令x=y=l得=++所以/⑴=0或〃1)=一1,

令了=1,得/(x)=〃x)〃l)+/(x)+/⑴，即/⑴［/(x)+l］=0,

由/'(x)的值域?yàn)椋跿,+s),所以"1)=0,

令x=y=T得/⑴++=所以/㈠)=0或=

由/(無(wú))的值域?yàn)椋跿,+s),所以/(T)=。，B說法正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,令尸一1得/(f)量/■(x)/(T)+f(x)+/(-l),

因?yàn)?(-1)=0,所以/(一力=/(尤),所以“X)為偶函數(shù)，C說法錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,若圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，貝!)〃x)+/(2-x)=0,由于定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋跿+動(dòng)，

若/伉)=2,貝！|必有〃2-/)=-2,與題設(shè)矛盾，故D說法錯(cuò)誤；

故選：ACD

5.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)的定義域?yàn)镽,=./■(x+y)=〃x)+〃y)+/(x)/(y),

則()

A.40)=7B./(-x)/(x)<0

C.尸7^為奇函數(shù)D.

【答案】BCD

【分析】利用賦值法求得了(。)即可判斷A；利用賦值可得小―/0+尸電，并且判斷出〃X)~1,

由不等式的性質(zhì)可得l+/(x)>0,即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性以及g(0)的值即可判斷C；利用等比數(shù)

列的判定可得/(")的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式可得?［等］=25-拒-5,即可判斷D.

【詳解】令尤=1,y=o,則/⑴=/(i)+/(o)+〃i)f(o),將"1)=1代入得2〃0)=0,即"0)=0,故

A錯(cuò)誤；

由"0)=0,令產(chǎn)一%可得0=/(X)+/(T)+/(X)〃T),若存在X使得/(X)=T,

則上式變?yōu)?=-1,顯然不成立，所以/(切片-1,

-1,

因?yàn)樗?/p>

將0=/(x)+/(f)+/(x)/(-x)整理為了(-幻(1+〃尤))=一/(X),

因?yàn)锽P1+/(X)>0,所以/(x)〃-x)V0,故B正確;

則—+小x)―/(X)+/I)_2(/(x)+/(-x)+/(x)/(-x))

則g(x)+g(-)-+-(/。)+2乂〃-)+2)一

且g(o)=啟1=0,所以g(x)為奇函數(shù)，故C正確；

當(dāng)〃eN*時(shí)，/(n+l)=/(?)+/(l)+/(n)/(l)=2/(H)+l,W1=2,

所以〃(x)+l｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以/(“)+1=2",

,故D正確;

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的奇偶性，等比數(shù)列的判定與證明以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)

行分析，由此即可順利得解.

二、單選題

6.(2024?河北?二模)已知函數(shù)丁=/(x-l)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=〃x)+l的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)。,1)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)對(duì)稱

【答案】C

【分析】由函數(shù)的平移變化即可求得出答案.

【詳解】函數(shù)了=為奇函數(shù)，圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

將函數(shù)y=/(X-1)向左平移一個(gè)單位可得函數(shù)y=/(X),

則函數(shù)y=/(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)7=〃x)+l的圖象關(guān)于(-1,1)對(duì)稱.

故選：C.

7.(2024?四川?三模)定義在R上的函數(shù)了=/(尤)與V=g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且函數(shù)

y=g(2x-l)+l為奇函數(shù)，則函數(shù)y=〃x)圖象的對(duì)稱中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

【答案】D

【分析】先根據(jù)條件得到g(x)的對(duì)稱中心，再根據(jù)對(duì)稱得到y(tǒng)=/(x)的對(duì)稱中心.

【詳解】因?yàn)椤?g(2x-l)+l為奇函數(shù)，所以g(-2x7)+l=-g(2x-l)-1,

BPg(-2x-l)+g(2xll)=-2,

故g(x)的對(duì)稱中心為「2X-；2XT,_",gp(-l,-l),

由于函數(shù)V=/(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

且(-1,-1)關(guān)于X=1的對(duì)稱點(diǎn)為(3,-1),

故J=/(x)的對(duì)稱中心為(3,-1).

故選：D

8.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,Ax)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，〃3x+l)為

奇函數(shù)，貝U()

A./(-1)=0B.(J。C./(4)=0D.〃2)=0

【答案】A

【分析】由/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱可得/(2+x)=/(2-x),函數(shù)/(3x+l)為奇函數(shù)，貝IJ

/(1-3X)=-/(3X+1),可得〃x)=/(x+4),計(jì)算可求得了(T).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則〃2+x)=/(2-x),可得/(x+3)=/(l-x)

因?yàn)楹瘮?shù)，(3x+l)為奇函數(shù),則/(l-3x)=-/(3x+l),所以/6x)=-/(x+l),

所以/(x+3)=-〃x+l),故〃x+2)=-/(x),即〃x+4)=/(x),

故f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)=/(3%+1)為奇函數(shù),則尸(0)=/(I)=0,

故/(-1)=/(2-3)=/(2+3)=/(5-4)=/(I)=0,

其他三個(gè)選項(xiàng)由已知條件不能確定結(jié)果是否為0.

故選：A.

I⑤抽象函數(shù)的南麗1

一、單選題

I.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足/(x+3)=/(x-l),且當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，

/(x)=log2(x+3),貝IJ/(2021)-/(2024)=()

A.1B.-1C.l-log23D.-l-log23

【答案】B

【分析】首先得到了(X)的周期性，再結(jié)合奇偶性與所給函數(shù)解析式計(jì)算可得.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)"X)滿足〃x+3)=/(x-l),則/(尤)=根尤+4),即/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

所以“2021)=/⑴，/(2024)=/(0),又由函數(shù)/⑴為定義在R上的奇函數(shù)，則/'(0)=0,=⑴,

當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，/(x)=log2(x+3),則〃-1)=log?2=1,則41)=一/(一1)=T,

所以“2021)-/(2024)=-1,

故選：B.

2.2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足/(X+2)=2/(%)，當(dāng)xe[0,2)時(shí)，/(x)=_

【答案】D

【分析】由〃x+2)=2〃x)得〃x)=g/(x+2),所以將x=-g向區(qū)間xe[0,2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求得答案.

【詳解】由〃x+2)=2〃x),得〃x)=；/(x+2),

故G尸=3?

故選：D

3.(23-24高三上?浙江寧波?期末)已知函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)镽,且

2024

/(x+y)/(x)/(y)=/(x+y)-/(x)-/(y),〃1)=百，則，/(左)=()

A.2024B.101273C.V3

【答案】D

【分析】根據(jù)表達(dá)式得出規(guī)律，即可求出左)的值.

【詳解】由題意，

在/'(x)中，定義域?yàn)镽,/(X+J)〃X)〃J)=/(X+J)-/(X)-〃力,

當(dāng)x=y=0時(shí)，/(o)/(o)/(o)=/(o)-/(o)-/(o),解得：*0)=0,

當(dāng)尸1時(shí)，/(x+l)/(x)/(l)=/(x+l)-/(x)-/(l),

BP73/(X+1)/(X)=/(X+1)-/(X)-V3

當(dāng)x=0時(shí)，V3/(l)/(O)=/(l)-/(O)-V3,解得：/(1)=V3,

當(dāng)x=l時(shí)，V3/(2)/(l)=/(2)-/(l)-V3,解得：/(2)=-V3,

當(dāng)x=2時(shí)，V3/(3)/(2)=/(3)-/(2)-V3,解得：/(3)=0,

……函數(shù)值周期性變化，周期為3,

?1?2024=675x3-1,

2024

可得：￡/W=/(l)+/(2)+/(3)+---+/(2022)+/(2023)+/(2024)

k=l

=675[/(l)+/(2)+/(3)]-/(2025)=3x(V3-V3+0)-/(3)=0-0=0,

故選：D.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，/(3x+l)為

奇函數(shù)，貝I()

A./(-1)=0B./1一\=0C./(4)=0D./(2)=0

【答案】A

【分析】由/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱可得〃2+x)=/(2-x),函數(shù)〃3x+l)為奇函數(shù)，貝！J

/(1-3X)=-/(3X+1),可得〃X)=/(X+4),計(jì)算可求得了(T).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則"2+x)=/(2-x),可得/(x+