難點02 解三角形的最值范圍與圖形類問題（八大難點+真題精煉）（解析版）-1

難點02解三角形的最值范圍與圖形類問題熱點一利用基本不等式求周長面積的最值范圍例1．在中，設(shè)角，，所對的邊長分別為，，，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【詳解】因為，由正弦定理可得，即，即，所以，又，則，又因為，，即，所以，當且僅當時取得等號，所以，即面積的最大值為，當且僅當時取得.故選：A．例2．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面積S的最小值．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）由題意可得，因為，所以．因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，可得，即．（2）由（1）知；且，由余弦定理得，整理得，解得或（當時，，故舍去），（當且僅當時取等號）．從而，即△ABC面積S的最小值為．變式1-1．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，，則周長的取值范圍為．【答案】【詳解】由，因為為三角形內(nèi)角，所以，所以，所以.由余弦定理：，即.所以，所以，所以.又，所以.故答案為：變式1-2．在中，角、、的對邊分別為、、，滿足.(1)求角的大小；(2)若的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)4【詳解】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因為是三角形內(nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為4，此時為等邊三角形．變式1-3．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足．(1)求角的大??；(2)若，求周長的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，由余弦定理得，因為，所以；（2）因為，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以周長的最小值為.利用基本不等式求最值范圍，主要結(jié)合余弦定理，可求周長及面積的題目，若要求解周長的范圍時，還需利用三角形“兩邊之和大于第三邊（任意三角形）”熱點二求角度有關(guān)的最值范圍例3．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）在中，，由正弦定理得，則，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，則，又由，得因此由，得，則，則，所以的取值范圍為.例4．在銳角三角形中，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)，結(jié)合余弦定理，得，即，由正弦定理化簡，得，其中，所以，結(jié)合、為三角形的內(nèi)角，可得，即，因為為銳角三角形，所以，即，解得，而，因為，所以，即的取值范圍為．故選：B．變式2-1．在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，所以，即．因為，所以，所以，即．因為，所以．（2）因為，所以，所以，則．因為是銳角三角形，所以解得，所以，所以，則，即的取值范圍是．變式2-2．在銳角中，內(nèi)角對邊分別為，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，因為，所以；（2）由（1）知，因為，，，，，即的取值范圍為．變式2-3．在銳角三角形中，角對應(yīng)的邊分別記為.(1)求角的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理可得：，而，所以，又，所以，那么，所以.（2）由題意可知，因為銳角三角形中，，所以，所以，所以所以取值范圍是.利用角的關(guān)系進行統(tǒng)一角，利用統(tǒng)一角的范圍求出所求的范圍熱點三轉(zhuǎn)成角的最值范圍例5．已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．3【答案】B【詳解】依題意，，則，，其中，所以當時，取得最大值為.故選：B【點睛】在求解三角函數(shù)有關(guān)題目的過程中，遇到正切時，可將其轉(zhuǎn)化為正弦和余弦來進行求解.求解三角形有關(guān)的最值或范圍問題，可利用正弦定理、余弦定理和三角恒等變換等知識進行化簡，再根據(jù)三角函數(shù)值域的知識進行求解.例6．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若的最大值為，求的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系，有，所以，整理得，即，顯然不合題設(shè)，則，所以，而，可得.（2）由，可得，，所以，由（1）知：，則，由，則，又的最大值為，所以，可得（負值舍），綜上，.變式3-1．在中，，，則的最大值為．【答案】【詳解】因為，，可得，則，且，即，所以，其中，當，即時，取得最大值.故答案為：.變式3-2．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，又因為，可得，所以，因為，可得，可得，即，又因為，可得，所以，因為，所以.（2）由（1）知，，可得，因為，由正弦定理可得，則，所以，其中，因為，可得，所以，當時，，此時取得最大值，最大值為.變式3-3．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積．(1)求；(2)若，求；(3)若，且存在最大值，求正數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由已知可得，因為，所以，所以．由余弦定理可得，所以．（2）因為，所以，又因為，所以，于是，由正弦定理得．（3）因為，且，所以，所以，其中．要使得存在最大值，則能取到，因為，所以，于是，所以，于是，解得．先利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化成角，然后利用或者題干中角的關(guān)系，可將所求式子中的角統(tǒng)一成一個角，需要注意題干中對角有沒有限制要求，利用角的范圍求出范圍熱點四多邊形問題例7．在中，，，，為邊上一點，且，則【答案】【詳解】如圖，在中，由余弦定理得，又，則，在中，由正弦定理得，所以，.故答案為：.例8．在凸四邊形中，對角線交于點，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求邊的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；（2）在中，由正弦定理得，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.變式4-1．在平面四邊形ABCD中，如圖所示.，，則四邊形ABCD面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，，中，，兩式相加得，則，兩邊平方后得，①根據(jù)余弦定理可知，，即，得，兩邊平方后，，②①式兩邊乘以4后得，③，，即，當時，的最大值為，所以四邊形的面積取得最大值為.故選：C變式4-2．如圖，在四邊形中，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，則，設(shè)，則，，在中，，，故，由正弦定理可得，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，故.故選：C.變式4-3．在中，角所對的邊分別為，，，且.(1)求;(2)已知，為邊上的一點，若，，求的長.【答案】(1);(2).【詳解】（1）因為，所以，所以，，，所以，,因為，所以.（2）因為，，，根據(jù)余弦定理得:，∴.所以，所以，所以，所以，所以.將多邊形分割成多個三角形，若有一個三角形可用正余弦定理求解六要素，則要根據(jù)所求邊或角所在的三角形合理求解邊角；若沒有一個三角形可求解六要素，則需要根據(jù)條件選擇邊角要素（要挑選有關(guān)系的邊角或者兩三角形的的公共邊或公共角）進行假設(shè)，然后利用正余弦定理構(gòu)造方程進行求解熱點五多邊形中的最值范圍例9．已知四邊形中，，，設(shè)與面積分別為，．則的最大值為．【答案】【詳解】四邊形中，，，設(shè)與面積分別為，，則，．在中，利用余弦定理：，即，在中，利用余弦定理：，即，所以．則，當，即時，最大值，最大值為，故答案為：例10．如圖，是邊長為的正三角形所在平面上一點（點、、、逆時針排列），且滿足，記.(1)若，求的長；(2)用表示的長度；(3)求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，且是邊長為的正三角形，則，且，所以在中，由余弦定理得，所以.（2）由，則，則，在中，由正弦定理有，得，（3）由三角形的面積公式得，又，且，則，所以，所以，則，故的取值范圍為.變式5-1．在中，點D在邊上（不含端點），，，，的最小值為.【答案】【詳解】法一：過點D作，交延長線于點E.令，因為，，所以，，，故，.故，當且僅當，即時，等號成立.法二：令，則，.故，當且僅當時，等號成立.故答案為：變式5-2．如圖，在中，點在邊上，．(1)若，，，求；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，即，而，解得，則，在中，，由余弦定理得.（2）在銳角中，，，且，則，由正弦定理得，顯然，即有，因此，即，所以的取值范圍是.變式5-3．已知四邊形內(nèi)接于，若，，．(1)求線段的長．(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由題知，，所以，根據(jù)余弦定理，，即，．所以，所以．所以．（2）因為所以，所以（當且僅當時取等號）又,所以．熱點六中線問題例11．（多選）已知的內(nèi)角的對邊分別為為的中點，，則（

）A． B．C．的面積為 D．【答案】ABD【詳解】因為為的中點，所以，則，A正確．由余弦定理得，則，B正確．由，得，所以，C錯誤．由，得，則，D正確．故選：ABD例12．在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，為AC邊的中點，求BD的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得，由于，故，所以，因為，所以，故，，因為，所以；（2）為AC邊的中點，故，兩邊平方得，又，，，所以，故.變式6-1．在中，，D為的中點，，的面積為，則．【答案】【詳解】由，可得，所以，，∴，所以，由平行四邊形的對角線性質(zhì)可知，，∴，由余弦定理可得，，，解可得.故答案為：.變式6-2．記的內(nèi)角，，的對邊分別，，，已知．(1)求；(2)設(shè)是邊中點，若，求．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，又，則，而，化簡得，即，而，因此，所以.（2）在中，由，得，，由正弦定理，得，由是邊中點，得，則，因此，在中，由正弦定理，得.變式6-3．已知中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角的大??；(2)若為的中點，，，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，又，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，解得，即.（2）因為為的中點，所以，兩邊平方得到，又，，所以，整理可得，解得或（舍去）所以的面積.若是的中線，則方法一：向量法；方法二：（雙余弦定理法）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因為，所以，所以①+②式即可熱點七與中線有關(guān)的最值范圍例13．在銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，點是線段的中點，則線段長的取值范圍為．【答案】【詳解】在中，由余弦定理可得．由平面向量數(shù)量積的定義可得，在銳角中，點是線段的中點，則，所以．由及正弦定理，得，，所以．因為為銳角三角形，且，則，解得，則，所以，所以，所以．所以線段的長的取值范圍為．故答案為：．例14．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)設(shè)為邊的中點，，求線段長度的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）由，得(*).因為，所以，由正弦定理，得，代入（*）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推論，得.（2）由余弦定理，得，即，所以，當且僅當時等號成立，故得.又，兩邊平方可得，，所以，即線段長度的最大值為.變式7-1．已知分別為銳角三角形三個內(nèi)角的對邊，且.(1)求;(2)若，為的中點，求中線的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為是銳角三角形的三個內(nèi)角，所以，，根據(jù)正弦定理可得，即，所以，則，整理得，即，又，所以，即.（2）因為為的中點，所以，兩邊平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，因為為銳角三角形，所以且，解得，所以，所以，所以，所以中線的取值范圍是.變式7-2．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角的大??；(2)若點是邊中點，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），即，由正弦定理，得，即，所以，因為，所以.（2）因為，即，所以，由，所以，所以，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以.即面積的最大值為.變式7-3．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，(1)求角的大小；(2)若為BC中點，，求的面積的最大值【答案】(1)(2)【詳解】（1）及，，所以.由余弦定理得：.

.（2）AD為中線，，，兩邊平方，有，（當且僅當時取等號），.所以：.熱點八角平分線問題例15．在中，已知，是上的點，平分，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如下圖所示：因為平分，由角平分線的性質(zhì)可知點到邊、的距離相等，因為，設(shè)，則，由可得，可得，在中，由余弦定理可得，故，由正弦定理可得，所以，，易知為銳角，則，所以，.故選：A.例16．的內(nèi)角的對邊分列為，已知.(1)證明：；(2)若點是邊上一點，平分，，且的面積是面積的2倍，求.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，在中，有，所以，即，所以，即，因為，，所以，或（舍去），所以.（2）平分，的面積是面積的2倍，，即，設(shè)AB邊上的高為h，又，即，，，，.以下有不同解法.解法一：，，即，.解法二：在中由余弦定理得，，即①由.則，又，，即②.由①②聯(lián)立得，.解法三：在中由正弦定理得，又，，，，又A為中較小的角，，，則，.變式8-1．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，點D是BC上的點，AD平分∠BAC.若AD＝2，則△ABC的面積為.【答案】/【詳解】在△ABC中，設(shè)、、的對邊分別為，在△ABC中，由余弦定理可得：，

①因為，所以，

②②平方得：，

③聯(lián)立①③可得：，所以.故答案為：變式8-2．的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足(1)求角C;(2)若，，CD平分交AB于點D，求CD的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以；（2）在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，，所以，解得.變式8-3．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，為邊上一點．(1)若為的中點，且，求；(2)若平分，且的面積為，求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，，因為為的中點，所以，兩邊平方得，則，解得，由余弦定理，所以.（2）因為平分，所以，又，即所以，解得，.若是的角平分線，則有：①等面積法；②1．（2022·23高一下·廣西南寧·期末）已知，，，AD平分交BC于點D，則．【答案】【詳解】因為中，，，所以，整理得，解得,（舍負）．AD平分，則，由，得，即，整理得，所以．故答案為：．2．（2025·河北保定·一模）記的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則邊上的中線長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，所以，即，則由正弦定理得，因為，所以，所以，即，又，所以，因為，所以由余弦定理得，即.由題可得，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，則，所以邊上的中線長度的最小值為.故選：C.3．（2024·25高三上·廣東湛江·期末）在中，角的對邊分別是，若，且，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】因為，由正弦定理，得．因為，所以，所以，所以.因為，所以，則．由余弦定理，得，當且僅當時，等號成立，所以，即的最小值為.故選：B.4．（2024·25高三上·江蘇淮安·階段練習）在中，．則的最大值是．【答案】1【詳解】，即，又，故，，因為，所以，故當，即時，取得最大值，最大值為1.故答案為：1三、多選題5．（2024·新疆·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，是的平分線，是邊的中線，．(1)求；(2)求的長．【答案】(1)(2),【詳解】（1）由余弦定理可得，進而可得，解得或（舍去），（2）由余弦定理可得，由于由題意知，設(shè)，則，則，如圖所示，由可得，所以,解得，由是邊上的中線，得.所以，中線長.6．（2024·25高三上·山東聊城·階段練習）記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若是的中線，且，的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∵，∴.即，∵，∴.∴，即.（2）∵由題意得，∴.∵是的中線，∴，∴，∴，，由余弦定理得，∴.∴的周長為.7．（2024·25高三下·河北滄州·階段練習）記的內(nèi)角的