《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第4講　基本不等式及其應(yīng)用

第4講基本不等式及其應(yīng)用集合與常用邏輯用語、不等式第一章

(本講對(duì)應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P13)課標(biāo)要求考情概覽1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.3.理解基本不等式在生活實(shí)際問題中的應(yīng)用考向預(yù)測(cè)：主要考查利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的范圍、求解實(shí)際問題等，常與函數(shù)結(jié)合命題.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏1

a＞0，b＞0

a＝b

2ab3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為

，幾何平均數(shù)為

.基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則有(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，x＋y有最小值是_____

(簡(jiǎn)記：積定和最小)；

(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，xy有最大值是_____

(簡(jiǎn)記：和定積最大).

x＝y(tǒng)

x＝y(tǒng)

【特別提醒】1.求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件.2.運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧.

D

D3.(2023年泰安模擬)在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個(gè)不等臂的天平稱取藥品.實(shí)驗(yàn)一：小明將5克的砝碼放在左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)驗(yàn)二：小芳將20克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在左盤中使天平平衡.在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中，小明和小芳共稱得的藥品(

)A.大于20克 B.小于20克C.大于或等于20克 D.小于或等于20克C

AC

3.巧用“拆”“拼”“湊”：在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.4.注意基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，若a＜0，b＜0，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為－a＞0，－b＞0，再運(yùn)用基本不等式求解.重難突破能力提升2利用基本不等式求最值

示通法利用基本不等式求最值時(shí)，如果項(xiàng)是負(fù)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為正數(shù)后解決，當(dāng)和(或積)不是定值時(shí)，需要對(duì)項(xiàng)進(jìn)行添加、分拆或變系數(shù)，將和(或積)化為定值.

4

考向3消元法求最值

已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為

.

6

【解題技巧】1.利用拼湊法、基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)：拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.2.常數(shù)代換法求解最值的基本步驟：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和為定值或積為定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值.3.利用消元法、基本不等式求最值的策略：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值.

A

AC

基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是

元.

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【解題技巧】利用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)注意點(diǎn)：(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.要注意在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.(3)在運(yùn)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【變式精練】2.(1)［變條件］若本例中容器底面長(zhǎng)不小于2.5m，則該容器的最低總造價(jià)是

元.

(2)［變條件］若本例中容器底面長(zhǎng)不大于1.5m，則該容器的最低總造價(jià)是

元.(精確到十分位)

162

163.3

基本不等式的綜合應(yīng)用

B

【解題技巧】利用基本不等式解題的策略：(1)利用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得出參數(shù)的值或范圍.

{a|0＜a≤4}

素養(yǎng)微專直擊高考3素養(yǎng)提升——邏輯推理：基本不等式的應(yīng)用策略

利用基本不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，運(yùn)用該公式時(shí)需要滿足“一正、二定、三相等”.在運(yùn)用基本不等式時(shí)，常常遇到不能直接套用公式的情況，這時(shí)需要對(duì)題中的關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)?/p>