中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考專題19：矩形（講義）

專題十九矩形（講義）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考合集考情分析命題點(diǎn)命題形式命題熱度命題特點(diǎn)矩形矩形的有關(guān)證明與計(jì)算☆☆☆本專題主要從矩形的性質(zhì)、判定方面命題，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題常見(jiàn)題型為矩形的有關(guān)證明與計(jì)算，要求學(xué)生熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng).講解一：矩形一、矩形的定義及其性質(zhì)1.矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.【注意】（1）矩形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.（2）矩形必須具備兩個(gè)條件：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.這兩個(gè)條件缺一不可.（3）矩形的定義可以作為判定一個(gè)四邊形是矩形的方法.2.矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自身獨(dú)特的性質(zhì)（見(jiàn)下表）：性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形角矩形的四個(gè)角都是直角四邊形是矩形，對(duì)角線矩形的對(duì)角線相等四邊形是矩形，對(duì)稱性矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸【注意】（1）矩形的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面.①邊：矩形的對(duì)邊平行且相等，鄰邊互相垂直.②角：矩形的四個(gè)角都是直角.③對(duì)角線：矩形的對(duì)角線互相平分且相等.（2）矩形的兩條對(duì)稱軸分別是兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線，對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn).（3）矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，這四個(gè)三角形的面積相等.二、矩形的判定判定方法數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形角有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（定義）在中，，是矩形.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形在四邊形中，，四邊形是矩形.對(duì)角線對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形在中，，是矩形命題精練命題形式1矩形的有關(guān)證明與計(jì)算1.（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，，則的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C解析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，解得．故選C．2．（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片中，，點(diǎn)E、F分別在邊上，將紙片沿折疊，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在邊上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的最小值為，CF的最大值為．【答案】6解析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于H，則四邊形是矩形，∴，∵，∴的最小值為6，由折疊的性質(zhì)可得，∴的最小值為6；如圖所示，連接，由折疊的性質(zhì)可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，即最大時(shí)，最大，∴當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，最大，設(shè)此時(shí)，則，∴，解得，∴的最大值為故答案為：，．3.（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長(zhǎng)．解析：（1）證明：∵，D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．∴，，，∵D是的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．4.（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊上，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析解析：證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．5.（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點(diǎn)，．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見(jiàn)解析．證明：∵是邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．6.（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，有下列條件：①，②．(1)請(qǐng)從以上①②中任選1個(gè)作為條件，求證：四邊形是矩形；(2)在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)解析：證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；選擇②，證明：∵，，∴是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（2）∵，∴，∴矩形的面積為．7.（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)點(diǎn)E在邊上，滿足．若，，求的長(zhǎng)及的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，解析