新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題06 導(dǎo)數(shù) 解答題題型分類提升講與練（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題06導(dǎo)數(shù)（解答題）考法一含參單調(diào)性的分類討論【例1-1】（2023·海南海口·農(nóng)墾中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得,由，得，故此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，(i)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(ii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(iii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，．綜上所述，．【變式】1．（2023秋·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；極小值答案見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋畡t，令，可得，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.（2）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)可得令，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，)所以函數(shù)在單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，考法二討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預(yù)測）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由見解析【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，，故，令，故，與在區(qū)間上的情況如下：0+極小值所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)．（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由如下：（1）當(dāng)時(shí)，．由于，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，故，令，得，，故，因此恒有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【變式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）設(shè)函數(shù)，，其中，曲線在處的切線方程為(1)若的圖象恒在圖象的上方，求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)．【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1），則，則,又因?yàn)?，解得，，所以；由題意得，對一切恒成立，分離參數(shù)得，對一切恒成立，令，則，令，則，，所以函數(shù)過點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又易知與同號，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，故的取值范圍為；（2）由題意，原方程等價(jià)于分離參數(shù)后的方程，令，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的大致圖象如圖.觀察圖象可知：

當(dāng)時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為．考法三已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)【例3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.(2)(3)【解析】（1）解：若，則，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，所以，即，所以在遞減，即的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.（2）解：由函數(shù)，可得，由題意可得有兩個(gè)不等的正根，設(shè)，若，則在遞增，不符合題意；若，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等的正根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）解：由，可得，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，時(shí)，，因?yàn)榍∮?個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式】1．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【解析】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以且，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.考法四恒成立與能成立問題【例4】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)椋?，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，大致圖象如下圖所示，

則當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)變號零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有且僅有一個(gè)變號零點(diǎn)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).（2）由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又恒成立，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）若對任意恒成立，可得，即對任意恒成立，令，，，令，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，可得.2．（2023秋·江西·高三臨川一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得或，當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，或時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；或時(shí)，，在上單調(diào)遞增．綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由題可得，所以，由（1）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，時(shí)，，滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由時(shí)，恒成立，則，即，因?yàn)椋?，所以，綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍為．考法五不等式的證明【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【解析】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，所以的極大值為，無極小值；（2）設(shè)，則，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，即為最小值，故，設(shè)，因?yàn)椋啥魏瘮?shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以當(dāng)時(shí)，，即．【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.考法六三角函數(shù)型【例6】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【變式】1．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的極大值和極小值分別為，，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）依題意，，根據(jù)題意知，在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，令，，則，則時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而，，，故，，當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞減，故，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）令，則，設(shè)，分別為函數(shù)在上的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，所以，，則，且．所以，由，得，其中，，故．設(shè)，，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，故．考法七切線問題【例7】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3；(2)【解析】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)椋实娜≈捣秶鸀?【變式】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【解析】（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，顯然成立，解得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過原點(diǎn)，則，所以．整理得，即：，得：．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）的定義域?yàn)榱睿?，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故的取值范圍是.（2）設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.聯(lián)立，得，必有，記函數(shù)，由題，故當(dāng)時(shí)，.記，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由，得，代入并整理得：同理，記，由（1）知為增函數(shù)，，，又，當(dāng)時(shí)，，有三個(gè)零點(diǎn)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.考法八極值點(diǎn)偏移【例8】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)；(2)證明見的解析【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)椋瑒t令,得，當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即，所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：，令，則即令，則，故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增，即,所以令，所以在單調(diào)遞減，即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對數(shù)得：，即又因?yàn)椋?，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減，故，即得證【變式】1．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù).(1)若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）解：由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單增，，此時(shí)對恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，故存在使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設(shè)，，則，整理得.于是，即.專題06導(dǎo)數(shù)（解答題）鞏固提升練習(xí)1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1）由已知，則，當(dāng)時(shí)，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.2.(2022·廣東廣州檢測)已知a≥1，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】(1)若a＝1，則f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋2(x－1)．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，因?yàn)閒(1)＝0，且f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)a＞1時(shí)，f′(x)＝1＋lnx－a＋2a(x－1)＝1＋lnx＋2ax－3a，令g(x)＝1＋lnx＋2ax－3a，因?yàn)閍＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1＋lneq\f(3,2)＞0，所以存在實(shí)數(shù)x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，使得g(x0)＝0．在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)．所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0滿足f′(x0)＝0，即1＋lnx0＋2ax0－3a＝0．所以f(x0)＝x0lnx0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，因?yàn)閤0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x0)＜0，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(a,9)＋1－eq\f(ln3,3)＞0，f(3)＝3ln3＋a＋1＞0，所以f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.4．（2023秋·四川遂寧·高三四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，；(2)答案見解析；(3)【解析】（1）的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，∴，∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，；（2）由題：，1°當(dāng)時(shí)：，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；2°當(dāng)時(shí)：∵，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；3°當(dāng)時(shí)：①若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，②若即，，則在單調(diào)遞增；③若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；（3）欲使恒成立，只需，根據(jù)(2)的結(jié)論，1°，當(dāng)時(shí)：時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，∴令，得，此時(shí)，；2°當(dāng)時(shí)：①若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；②若即，時(shí)，，單調(diào)遞增；③若即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；不論上述哪種情況，均有時(shí)，因此，不可能有恒成立，舍去.綜上：的取值范圍為.5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范