2025年高考數(shù)學總復習《新定義壓軸解答題》專項測試卷帶答案

第第頁2025年高考數(shù)學總復習《新定義壓軸解答題》專項測試卷帶答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________01集合新定義1．（2024·北京·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）已知元正整數(shù)集合滿足：，且對任意，都有(1)若，寫出所有滿足條件的集合；(2)若恰有個正約數(shù)，求證：；(3)求證：對任意的，都有.2．（2024·北京·高三北京交通大學附屬中學?？茧A段練習）設(shè)集合，其中.若集合滿足對于任意的兩個非空集合，都有集合的所有元素之和與集合的元素之和不相等，則稱集合具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，求證：；(3)若集合具有性質(zhì)，求的最大值.3．（2024·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知集合.若對于集合M的任意k元子集A，A中必有4個元素的和為，則稱這樣的正整數(shù)k為“好數(shù)”，所有“好數(shù)”的最小值記作.(1)當，即集合.（i）寫出M的一個子集B，且B中存在4個元素的和為；（ii）寫出M的一個5元子集C，使得C中任意4個元素的和大于；(2)證明：；(3)證明：.02函數(shù)與導數(shù)新定義4．（2024·上海黃浦·高三格致中學?？奸_學考試）對于函數(shù)的導函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)和，使得成立，則稱是“躍點”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“躍點”.(1)若函數(shù)是“躍點”函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)是定義在上的“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“1躍點”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學校考開學考試）俄國數(shù)學家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū).對定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)，的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”.(1)若，，求函數(shù)與的“偏差”；(2)若，，求實數(shù)，使得函數(shù)與的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.6．（2024·上海楊浦·復旦附中?？寄M預(yù)測）設(shè)是定義域為的函數(shù)，如果對任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對任意的正整數(shù).7．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學?？茧A段練習）若定義域為D的函數(shù)滿足是定義域為D的嚴格增函數(shù)，則稱是一個“T函數(shù)”.(1)分別判斷，是否為T函數(shù)，并說明理由；(2)已知常數(shù)，若定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，判斷和的大小關(guān)系，并證明；(3)已知T函數(shù)的定義域為R，不等式的解集為．證明：在R上嚴格增.03立體幾何新定義8．（2024·江蘇·高三專題練習）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個棱錐的側(cè)棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請你設(shè)計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最?。?．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校?？级＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝唬鐖D1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值.10．（2024·北京·高三統(tǒng)考期末）用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.由平行光線形成的投影叫做平行投影，由點光源發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的平行投影叫做正投影，投影線不垂直于投影而產(chǎn)生的平行投影叫做斜投影.物體投影的形狀?大小與它相對于投影面的位置和角度有關(guān).如圖所示，已知平行四邊形在平面內(nèi)的平行投影是四邊形.圖圖圖(1)若平行四邊形平行于投影面（如圖），求證：四邊形是平行四邊形；(2)在圖中作出平面與平面的交線（保留作圖痕跡，不需要寫出過程）；(3)如圖，已知四邊形和平行四邊形的面積分別為，平面與平面的交線是直線，且這個平行投影是正投影.設(shè)二面角的平面角為（為銳角），猜想并寫出角的余弦值（用表示），再給出證明.11．（2024·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內(nèi)四個點經(jīng)過中心投影之后的投影點分別為．對于四個有序點，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作．

(1)證明：；(2)已知，點為線段的中點，，求．04三角函數(shù)新定義12．如果對于三個數(shù)a、b、c能構(gòu)成三角形的三邊，則稱這三個數(shù)為“三角形數(shù)”，對于“三角形數(shù)”a、b、c，如果函數(shù)使得三個數(shù)、、仍為“三角形數(shù)”，則稱為“保三角形函數(shù)”．對于“三角形數(shù)”、、，其中，若，判斷函數(shù)是否是“保三角形函數(shù)”，并說明理由；對于“三角形數(shù)”、、，其中，若，判斷函數(shù)是否是“保三角形函數(shù)”，并說明理由．13．數(shù)學家發(fā)現(xiàn)：，其中n!利用該公式可以得到：當時，證明：當時，設(shè)，當?shù)亩x域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”．當時，是否存在“和諧區(qū)間”?若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．14．已知函數(shù)，若存在實數(shù)m、，使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對．若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對；若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，求的取值范圍．05平面向量與解三角形新定義15．古希臘數(shù)學家托勒密對凸四邊形凸四邊形是指沒有角度大于的四邊形進行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立．且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問題：如圖，在凸四邊形ABCD中，若圖，求線段BD長度的最大值；若圖，求四邊形ABCD面積取得最大值時角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值．16．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對任意兩個向量，，作：，當，不共線時，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為；當，共線時，規(guī)定Ⅰ分別根據(jù)下列已知條件求：①，；②，；Ⅱ若向量，求證：；Ⅲ若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點，記，，ⅰ當時，求的最大值；ⅱ寫出的最大值．只需寫出結(jié)果17．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義：一個幾何體的表面積與體積之比稱為幾何體的相對表面積.（1）若一個直三棱柱高為，底面三角形的內(nèi)切圓半徑為，相對表面積為，求證：；（2）如圖，一塊直三棱柱形狀的蛋糕，底面三邊長分別為3，4，5，若蛋糕的最外層包裹著薄薄的一層巧克力（厚度忽略不計），用刀垂直于底面將蛋糕切開，使之成為兩塊直棱柱狀的小蛋糕，要求兩塊小蛋糕的相對表面積相等，且包裹的巧克力面積相等，有幾種切法.06數(shù)列新定義18．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考三模）對于數(shù)列，記．(1)若數(shù)列通項公式為：，求；(2)若數(shù)列滿足：，，且，求證：的充分必要條件是；(3)已知，若，．求的最大值．19．（2024·上海松江·高三上海市松江二中?？奸_學考試）若實數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列.(1)請寫出一個5項的數(shù)列，滿足，且各項和大于零；(2)如果一個數(shù)列滿足：存在正整數(shù)使得組成首項為1，公比為的等比數(shù)列，求的最小值；(3)已知為數(shù)列，求證：為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.20．（2024·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M數(shù)列中各項互不相同．令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；(3)已知M數(shù)列是且個連續(xù)正整數(shù)的一個排列．若，求的所有取值．21．（2024·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）記實數(shù)，中的較大者為，例如，，對于無窮數(shù)列，記，若對于任意的，均有，則稱數(shù)列為“趨勢遞減數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項公式分別為，，判斷數(shù)列是否為“趨勢遞減數(shù)列”，并說明理由；(2)已知首項為公比為的等比數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”，求的取值范圍；(3)若數(shù)列滿足，為正實數(shù)，且，求證：為“趨勢遞減數(shù)列”的充要條件為的項中沒有.22．（2024·北京海淀·統(tǒng)考）已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得，對任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）①；②（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列的充分必要條件；（3）已知數(shù)列中，且．若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項公式．07圓錐曲線新定義23．已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.24．橢圓曲線加密算法運用于區(qū)塊鏈．橢圓曲線．關(guān)于x軸的對稱點記為．C在點處的切線是指曲線在點P處的切線．定義“”運算滿足：①若，且直線PQ與C有第三個交點R，則；②若，且PQ為C的切線，切點為P，則；③若，規(guī)定，且．(1)當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；(2)已知“”運算滿足交換律、結(jié)合律，若，且PQ為C的切線，切點為P，證明：；(3)已知，且直線PQ與C有第三個交點，求的坐標．參考公式：25．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.26．（2024·上海虹口·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.(1)設(shè)，若的焦距為2，l過點，求l的方程；(2)設(shè)，若是上的一點，且，l與交于不同的兩點A、B，Q為的上頂點，求面積的最大值；(3)設(shè)是l的一個法向量，M是l上一點，對于坐標平面內(nèi)的定點N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關(guān)系，提出一個關(guān)于l與位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.08概率與統(tǒng)計新定義27．（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知隨機變量的取值為不大于的非負整數(shù)值，它的分布列為：012n其中（）滿足：，且．定義由生成的函數(shù)，令．（I）若由生成的函數(shù)，求的值；（II）求證：隨機變量的數(shù)學期望，的方差；（）（Ⅲ）現(xiàn)投擲一枚骰子兩次，隨機變量表示兩次擲出的點數(shù)之和，此時由生成的函數(shù)記為，求的值．28．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．（已知對于正態(tài)分布，P隨X變化關(guān)系可表示為）09高等數(shù)學背景下新定義29．（2024·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數(shù)學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個非負隨機變量，其數(shù)學期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學期望間的關(guān)系．當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信．30．（2024·湖北·高三黃岡中學校聯(lián)考階段練習）隨機變量的概念是俄國數(shù)學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機變量，則，其中為任意大于0的實數(shù).切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量的分布未知的情況下，對事件的概率作出估計.(1)證明離散型切比雪夫不等式；(2)應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù).在一次抽獎游戲中，有個不透明的箱子依次編號為，編號為的箱子中裝有編號為的個大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為的箱子中抽取的小球號碼為，并記.對任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.附：可能用到的公式（數(shù)學期望的線性性質(zhì)）：對于離散型隨機變量滿足，則有.31．（2024·北京西城·統(tǒng)考二模）給定奇數(shù)，設(shè)是的數(shù)陣．表示數(shù)陣第行第列的數(shù)，且．定義變換為“將數(shù)陣中第行和第列的數(shù)都乘以”，其中．設(shè)．將經(jīng)過變換得到，經(jīng)過變換得到，，經(jīng)過變換得到．記數(shù)陣中的個數(shù)為．(1)當時，設(shè)，，寫出，并求；(2)當時，對給定的數(shù)陣，證明：是的倍數(shù)；(3)證明：對給定的數(shù)陣，總存在，使得．32．（2024·上海寶山·統(tǒng)考一模）若數(shù)列滿足：從第二項起的每一項不小于它的前一項的（）倍，則稱該數(shù)列具有性質(zhì).（1）已知數(shù)列，，具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；（2）刪除數(shù)列，，，，中的第3項，第6項，，第項，，余下的項按原來順序組成一個新數(shù)列，且數(shù)列的前項和為，若數(shù)列具有性質(zhì)，試求實數(shù)的最大值；（3）記（），如果（），證明：“”的充要條件是“存在數(shù)列具有性質(zhì)，且同時滿足以下三個條件：（Ⅰ）數(shù)列的各項均為正數(shù)，且互異；（Ⅱ）存在常數(shù)，使得數(shù)列收斂于；（Ⅲ）（，這里）”.參考答案01集合新定義1．（2024·北京·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）已知元正整數(shù)集合滿足：，且對任意，都有(1)若，寫出所有滿足條件的集合；(2)若恰有個正約數(shù)，求證：；(3)求證：對任意的，都有.【解析】（1）或或．根據(jù)題意可知，若，則，滿足題意；若，則，滿足題意；顯然易知當時，，所以或；當,時，又滿足，所以可得滿足題意；因此可得所有滿足條件的集合為或或.（2）證明：由題分別令，，可知即這個小于的數(shù)均為的正約數(shù)．因為的正約數(shù)的個數(shù)恰為個(其中最大的是，最小的是1)，而所以，可得（3）證明：由題可知且所以將最后一個不等式整理得，即；又，所以，所以.2．（2024·北京·高三北京交通大學附屬中學校考階段練習）設(shè)集合，其中.若集合滿足對于任意的兩個非空集合，都有集合的所有元素之和與集合的元素之和不相等，則稱集合具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，求證：；(3)若集合具有性質(zhì)，求的最大值.【解析】（1）對于集合，因為，故集合的元素和相等，故不具有性質(zhì).對于，其共有15個非空子集：，，各集合的和分別為：，它們彼此相異，故具有性質(zhì).（2）因為具有性質(zhì)，故對于任意的，也具有性質(zhì)，否則有兩個非空子集，它們的元素和相等，而也是的子集，故不具有性質(zhì)，矛盾.注意到共有個非空子集，每個子集的元素和相異，且子集的和最大為，最小為，故.（3）假設(shè)集合具有性質(zhì)，不妨設(shè)，設(shè)，則，由（2）可得，且.而，故，當且僅當時等號成立，即此時任意的正整數(shù)，即，故此時時等號成立，故的最大值為.則當時，即對集合具有性質(zhì)，則的最大值為.3．（2024·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知集合.若對于集合M的任意k元子集A，A中必有4個元素的和為，則稱這樣的正整數(shù)k為“好數(shù)”，所有“好數(shù)”的最小值記作.(1)當，即集合.（i）寫出M的一個子集B，且B中存在4個元素的和為；（ii）寫出M的一個5元子集C，使得C中任意4個元素的和大于；(2)證明：；(3)證明：.【解析】（1）取，則，滿足條件；取，則；；；；；滿足條件.（2）若，，，從大到小取個元素，，，或，，則中任意4個元素之和，不成立，故.（3）當時，把集合的元素按和為分組，得：，易得，中至少有2個二元子集滿足．若把集合的元素按和為分組，得：．易得，中至少有3個二元子集滿足．而集合兩兩互不相交，與中每一個至多有一個公共元素，所以，中必有一個與沒有公共元素，不妨設(shè)，則的4個元素就是的4個互異元素，而這4個元素的和為．又，所以．02函數(shù)與導數(shù)新定義4．（2024·上海黃浦·高三格致中學?？奸_學考試）對于函數(shù)的導函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)和，使得成立，則稱是“躍點”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“躍點”.(1)若函數(shù)是“躍點”函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)是定義在上的“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“1躍點”，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的導函數(shù)為，因為函數(shù)，是“躍點”函數(shù)，則方程有解，即有解，而，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）函數(shù)的導函數(shù)為，依題意，方程，即在上有兩個不等實根，令，因此函數(shù)在上有兩個不同零點，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）函數(shù)的導函數(shù)為，因為函數(shù)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，則方程，顯然，所以在上恰有一個實數(shù)根，令，求導得，由，得；由，得且，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，恒成立，函數(shù)的取值集合是，在上單調(diào)遞減，函數(shù)的取值集合是，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的取值集合是，函數(shù)的圖象，如圖，當時，直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點，即方程恰有一個實數(shù)根，從而，所以b的取值范圍為.5．（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學校考開學考試）俄國數(shù)學家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū).對定義在非空集合上的函數(shù)，以及函數(shù)，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)，的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”.(1)若，，求函數(shù)與的“偏差”；(2)若，，求實數(shù)，使得函數(shù)與的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.【解析】（1），因為，所以，則，所以函數(shù)與的“偏差”為.（2）令，，因為，所以，，當，即時，此時，則的“偏差”為，此時，當，即時，此時，則“偏差”為，此時，無最小值，當，，且，即時，則“偏差”為，此時，無最小值，當，，且，即時，則的“偏差”為，此時，無最小值，當，，且，即時，則的“偏差”為，此時，當，，即時，則的“偏差”為，此時，無最小值，當，，即時，則的“偏差”為，此時，綜上，時，函數(shù)與的“偏差”取得最小值為.6．（2024·上海楊浦·復旦附中校考模擬預(yù)測）設(shè)是定義域為的函數(shù)，如果對任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對任意的正整數(shù).【解析】（1）對于函數(shù)，由對任意的、，，可知函數(shù)是上的“平緩函數(shù)”.對于函數(shù)，由對任意的、，，因此函數(shù)也是上的“平緩函數(shù)”；（2）由已知可得，由于函數(shù)是周期函數(shù)，故不妨設(shè)、.當時，由為上的“平緩函數(shù)”得；當時，不妨設(shè)，，此時由為上的“平緩函數(shù)”得綜上所述，命題得證；（3）由為上的“平緩函數(shù)”，且得，則對任意的，，因此7．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學?？茧A段練習）若定義域為D的函數(shù)滿足是定義域為D的嚴格增函數(shù)，則稱是一個“T函數(shù)”.(1)分別判斷，是否為T函數(shù)，并說明理由；(2)已知常數(shù)，若定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，判斷和的大小關(guān)系，并證明；(3)已知T函數(shù)的定義域為R，不等式的解集為．證明：在R上嚴格增.【解析】（1），定義域為R，是R上的嚴格增函數(shù)，故是“T函數(shù)”；，定義域為R，不是R上的嚴格增函數(shù)，故不是“T函數(shù)”.（2），證明如下因為定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，則在上嚴格遞增，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，即.（3）T函數(shù)的定義域為R，故在R上嚴格增，，設(shè)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，當時，恒成立，則恒成立，故，若存在，使，則當時，，這與，矛盾，故不存在使，，恒成立，故在R上嚴格增.03立體幾何新定義8．（2024·江蘇·高三專題練習）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個棱錐的側(cè)棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請你設(shè)計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最小．【解析】（1）在直角三角形OAO1中，，，由，所以，所以θ的范圍是，其中，．從而有，所以，（，）．（2）令，所以，令，則，則．當時，；當時，．函數(shù)的單調(diào)性與關(guān)系列表如下：0+極小值所以當，其中時取得最小值，即y最?。十斀菨M足（）時，金屬條總長y最?。?．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值.【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個菱形的內(nèi)角和，再減去6個直角梯形中的兩個非直角內(nèi)角和，即蜂房曲頂空間的彎曲度為.（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點在平面的射影為O，則，則，菱形SAHC的面積為，側(cè)面積，所以蜂房的表面積為.（ii），令得到，所以在遞增；在遞增.所以在處取得極小值，也即是最小值.此時，在中，令，由余弦定理得，又頂點的曲率為，.10．（2024·北京·高三統(tǒng)考期末）用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.由平行光線形成的投影叫做平行投影，由點光源發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的平行投影叫做正投影，投影線不垂直于投影而產(chǎn)生的平行投影叫做斜投影.物體投影的形狀?大小與它相對于投影面的位置和角度有關(guān).如圖所示，已知平行四邊形在平面內(nèi)的平行投影是四邊形.圖圖圖(1)若平行四邊形平行于投影面（如圖），求證：四邊形是平行四邊形；(2)在圖中作出平面與平面的交線（保留作圖痕跡，不需要寫出過程）；(3)如圖，已知四邊形和平行四邊形的面積分別為，平面與平面的交線是直線，且這個平行投影是正投影.設(shè)二面角的平面角為（為銳角），猜想并寫出角的余弦值（用表示），再給出證明.【解析】（1）依題意，，故共面.面面，面面，面面，，同理.又平行四邊形，則，，同理，四邊形是平行四邊形.（2）如圖，直線為平面與平面的交線.（3）猜想：.不妨將平行四邊形平移，使與重合，如圖所示.則面與面的交線即為.過作于，連接，過作于，連接.由正投影，則面，又面，故.又，面，則面，而面，故，又，是二面角的平面角，同理是二面角的平面角.，且，，，即.11．（2024·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內(nèi)四個點經(jīng)過中心投影之后的投影點分別為．對于四個有序點，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作．

(1)證明：；(2)已知，點為線段的中點，，求．【解析】（1）在、、、中，，所以，又在、、、中，，所以，又，，，所以，所以.（2）由題意可得，所以，即，所以，又點為線段的中點，即，所以，又，則，，設(shè)，且，由，所以，即，解得①，在中，由正弦定理可得②，在中，由正弦定理可得③，且，②③得，即④由①④解得，（負值舍去），即，所以.04三角函數(shù)新定義12．如果對于三個數(shù)a、b、c能構(gòu)成三角形的三邊，則稱這三個數(shù)為“三角形數(shù)”，對于“三角形數(shù)”a、b、c，如果函數(shù)使得三個數(shù)、、仍為“三角形數(shù)”，則稱為“保三角形函數(shù)”．對于“三角形數(shù)”、、，其中，若，判斷函數(shù)是否是“保三角形函數(shù)”，并說明理由；對于“三角形數(shù)”、、，其中，若，判斷函數(shù)是否是“保三角形函數(shù)”，并說明理由．【解析】函數(shù)不是“保三角形函數(shù)”，理由如下，設(shè)，，則，，，，，則，且，，故，，不能構(gòu)成三角形，不是“保三角形函數(shù)”；函數(shù)是“保三角形函數(shù)”，理由如下，，，當時，最大，且，，當時，最大，，綜上所述，，，能構(gòu)成三角形，所以是“保三角形函數(shù)”．13．數(shù)學家發(fā)現(xiàn)：，其中n!利用該公式可以得到：當時，證明：當時，設(shè)，當?shù)亩x域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”．當時，是否存在“和諧區(qū)間”?若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．【解析】證明：由已知當時，，得，所以當時，時，假設(shè)存在，則由知若，則由知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時的定義域為，值域為，符合題意．若，當時，同理可得，舍去，當時，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由知當時，，因為所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”14．已知函數(shù)，若存在實數(shù)m、，使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對．若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對；若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，求的取值范圍．【解析】根據(jù)題意可知，對于任意實數(shù)

x

，

，即

對于任意實數(shù)

x

恒成立，只有

，

，故函數(shù)

的“平衡”數(shù)對為

；若

，則

，

，要使得

為“可平衡”函數(shù)，需使

對于任意實數(shù)

x

均成立，只有

，此時

，

，故

k

存在使得

是“可平衡”函數(shù)．假設(shè)存在實數(shù)

m、

，對于定義域內(nèi)的任意

x

均有

成立則

，，

均為函數(shù)

的“平衡”數(shù)對，，，設(shè)

，函數(shù)單調(diào)遞增，

即

，所以的取范圍為

05平面向量與解三角形新定義15．古希臘數(shù)學家托勒密對凸四邊形凸四邊形是指沒有角度大于的四邊形進行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立．且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問題：如圖，在凸四邊形ABCD中，若圖，求線段BD長度的最大值；若圖，求四邊形ABCD面積取得最大值時角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值．【解析】設(shè)

，則

，由材料可知，

，即

，解得

，所以線段

BD

長度的最大值為

．由材料可知，當

A、B、C、

四點共圓時，四邊形

ABCD

的面積達到最大．連接

BD

，在

中，由余弦定理，得，①在

中，由余弦定理，得，②

因為

A、B、C、

四點共圓，所以

，從而

，③由①②③，解得

，因為

，所以

．從而

，，所以

．16．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對任意兩個向量，，作：，當，不共線時，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為；當，共線時，規(guī)定Ⅰ分別根據(jù)下列已知條件求：①，；②，；Ⅱ若向量，求證：；Ⅲ若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點，記，，ⅰ當時，求的最大值；ⅱ寫出的最大值．只需寫出結(jié)果【解析】Ⅰ因為，且，所以；又，是；Ⅱ因為向量，且向量，則，所以，同理所以；Ⅲ設(shè)，因為，所以，所以，當，即時，取得最大值；的最大值為

17．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義：一個幾何體的表面積與體積之比稱為幾何體的相對表面積.（1）若一個直三棱柱高為，底面三角形的內(nèi)切圓半徑為，相對表面積為，求證：；（2）如圖，一塊直三棱柱形狀的蛋糕，底面三邊長分別為3，4，5，若蛋糕的最外層包裹著薄薄的一層巧克力（厚度忽略不計），用刀垂直于底面將蛋糕切開，使之成為兩塊直棱柱狀的小蛋糕，要求兩塊小蛋糕的相對表面積相等，且包裹的巧克力面積相等，有幾種切法.【解析】（1）設(shè)直三棱柱的底面三角形的面積為，周長為，則，所以直三棱柱的表面積為，體積為，所以相對表面積.（2）用刀垂直于底面將蛋糕切開時，兩塊小蛋糕的高相等.又由兩塊小蛋糕外層包裹的巧克力面積相等，可知兩塊小蛋糕的表面積相同.因為兩塊小蛋糕的相對表面積相等，所以兩塊小蛋糕的體積相等，從而底面積也相等，由兩塊小蛋糕的表面積相同可知兩塊小蛋糕的側(cè)面積也相等，故而其底面周長也相等，故可將問題轉(zhuǎn)化為一條直線將三邊長分別為3，4，5的三角形分成兩個圖形，這兩個圖形的周長和面積都相等.如圖1，當直線與邊，分別交于，時，設(shè)，，則，，即，解得：，由，可知，所以此時無解；如圖2，當直線與邊，分別交于，時，設(shè)，，則，，即，所以此時無解；如圖3，當直線與邊，分別交于，時，設(shè)，，，即，解得，由，可知，所以，綜上所述：只有一種切法滿足題意，當直線與邊，分別交于，且.06數(shù)列新定義18．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考三模）對于數(shù)列，記．(1)若數(shù)列通項公式為：，求；(2)若數(shù)列滿足：，，且，求證：的充分必要條件是；(3)已知，若，．求的最大值．【解析】（1）由通項公式得：.所以（2）充分性:若數(shù)列的前n項單調(diào)不增,即.此時有：.必要性：用反證法.若數(shù)列不滿足,則存在k(),使得,那么由于,所以.與已知矛盾所以,假設(shè)不成立,必要性得證.綜上所述：的充分必要條件是（3）由，令，則.所以所以.（因為）當且僅當時,取得最大值2021.19．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考開學考試）若實數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列.(1)請寫出一個5項的數(shù)列，滿足，且各項和大于零；(2)如果一個數(shù)列滿足：存在正整數(shù)使得組成首項為1，公比為的等比數(shù)列，求的最小值；(3)已知為數(shù)列，求證：為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.【解析】（1）由題設(shè)，，又，所以，存在滿足條件，又，則，綜上，滿足題設(shè)的數(shù)列有.（2）由題設(shè)，為，所以數(shù)列從開始依次往后各項可能出現(xiàn)的數(shù)字如下：，，，，，，，，…，要使的最小即正整數(shù)且間的間隔盡量小，又，則，綜上，的最小值為.（3）由為數(shù)列，則，由為數(shù)列，則，又為數(shù)列，即，若不是單調(diào)數(shù)列，則存在，即，顯然與矛盾；或存在，即，顯然與矛盾；綜上，是單調(diào)數(shù)列，充分性得證；由是單調(diào)數(shù)列且為數(shù)列，所以，則，則，即，所以、均為數(shù)列，必要性得證；綜上，為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.20．（2024·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M數(shù)列中各項互不相同．令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；(3)已知M數(shù)列是且個連續(xù)正整數(shù)的一個排列．若，求的所有取值．【解析】（1）①因為，所以該數(shù)列不是M數(shù)列；②因為，所以該數(shù)列是M數(shù)列．（2）必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則．所以數(shù)列是常數(shù)列．充分性：若數(shù)列是常數(shù)列，則，即．所以或．因為數(shù)列的各項互不相同，所以．所以數(shù)列是等差數(shù)列．（3）當時，因為，所以，不符合題意；當時，數(shù)列為．此時，符合題意；當時，數(shù)列為．此時，符合題意；下證當時，不存在滿足題意．令，則，且，所以有以下三種可能：①；②；③．當時，因為，由（2）知：是公差為1（或?1）的等差數(shù)列．當公差為1時，由得或，所以或，與已知矛盾．當公差為?1時，同理得出與已知矛盾．所以當時，不存在滿足題意．其它情況同理可得．綜上可知，的所有取值為4或5．21．（2024·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）記實數(shù)，中的較大者為，例如，，對于無窮數(shù)列，記，若對于任意的，均有，則稱數(shù)列為“趨勢遞減數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項公式分別為，，判斷數(shù)列是否為“趨勢遞減數(shù)列”，并說明理由；(2)已知首項為公比為的等比數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”，求的取值范圍；(3)若數(shù)列滿足，為正實數(shù)，且，求證：為“趨勢遞減數(shù)列”的充要條件為的項中沒有.【解析】（1）數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.由通項公式知：公差為，故是單調(diào)遞減數(shù)列，∴，且，故數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.由為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，∴，且，故數(shù)列是“趨勢遞減數(shù)列”.（2）當時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，此時，且不滿足題意；當時，數(shù)列為常數(shù)列，不滿足題意；當時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時，且，滿足題意；當時，此時，且，滿足題意；當時，此時，且，不滿足題意；綜上，的取值范圍為.（3）先證必要性：假設(shè)存在正整數(shù)≥使得，令.因為，為正實數(shù)，且，∴≥，故≥，則數(shù)列從開始以后的各項為，當≥時，，與為“趨勢遞減數(shù)列”矛盾，故假設(shè)不成立，的項中沒有.再證明充分性：得：，由的項中沒有，故對于任意正整數(shù)，，∴，即.當時，，當時，，∴為“趨勢遞減數(shù)列”.綜上：為“趨勢遞減數(shù)列”的充要條件為的項中沒有.22．（2024·北京海淀·統(tǒng)考）已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得，對任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）①；②（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列的充分必要條件；（3）已知數(shù)列中，且．若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）①，對于，，所以數(shù)列具有“性質(zhì)”；②，對于，，，故，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”．（2）證明：先證“充分性”：當數(shù)列具有“性質(zhì)”時，有，又因為，所以，進而有結(jié)合有，即“數(shù)列為常數(shù)列”；再證“必要性”：若“數(shù)列為常數(shù)列”，則有，即“數(shù)列具有“性質(zhì)”．（3）首先證明：．因為具有“性質(zhì)”，所以．當時，有．又因為，且，所以有，，進而有，所以，結(jié)合可得：．然后利用反證法證明：．假設(shè)數(shù)列中存在相鄰的兩項之差大于3，即存在滿足：或，進而有．又因為，所以依此類推可得：，矛盾，所以有．綜上有：，結(jié)合可得，經(jīng)驗證，該通項公式滿足，所以．07圓錐曲線新定義23．已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.【解析】（1）依題意，，由橢圓的定義知，交點的軌跡是以點為左右焦點的橢圓，且長軸長，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點在x軸上，而曲線經(jīng)過點，，因此曲線的長半軸長，半焦距，短半軸長有，于是曲線的方程為，設(shè)，當切線的斜率不存在時，的方程為，代入得，此時、與曲線都相切，為的中點，為的中點，則；當切線的斜率不存在時，同理有；當切線和的斜率都存在時，設(shè)切線的方程為，分別代入和，化簡得①，②，依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，方程②有兩個不相等的實數(shù)根，于是，即，則，此時為的中點.同理可證，為的中點，因此，所以.24．橢圓曲線加密算法運用于區(qū)塊鏈．橢圓曲線．關(guān)于x軸的對稱點記為．C在點處的切線是指曲線在點P處的切線．定義“”運算滿足：①若，且直線PQ與C有第三個交點R，則；②若，且PQ為C的切線，切點為P，則；③若，規(guī)定，且．(1)當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；(2)已知“”運算滿足交換律、結(jié)合律，若，且PQ為C的切線，切點為P，證明：；(3)已知，且直線PQ與C有第三個交點，求的坐標．參考公式：【解析】（1）由題設(shè)可知，有，若，則，則，此時僅有一個零點；若，令，解得．當或時，，當時，，故在，上為單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.因為，若，則，此時，而故此時有2個零點；若，則，此時，而故此時有2個零點；綜上，當，所以有2個零點．當，所以有2個零點．當，有，則有1個零點．（2）因為為C在點P處的切線，且，所以，故，故，因為“”運算滿足交換律、結(jié)合律，故，故.（3）直線的斜率，設(shè)與C的第三個交點為，則，代入得，而，故，整理得到：，故即，同理可得，兩式相減得：，故，所以，故，故，所以，因此的坐標為：．25．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓過點P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點P對應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點Q的坐標為(,)，因為點Q在直線上運動，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓，與點Q(,)對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因為定點T的坐標與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.當時，T是線段MN的中點，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當時，直線MN的方程為，即.26．（2024·上海虹口·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.(1)設(shè)，若的焦距為2，l過點，求l的方程；(2)設(shè)，若是上的一點，且，l與交于不同的兩點A、B，Q為的上頂點，求面積的最大值；(3)設(shè)是l的一個法向量，M是l上一點，對于坐標平面內(nèi)的定點N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關(guān)系，提出一個關(guān)于l與位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點的坐標為，則橢圓的右焦點的坐標為，因為的焦距為2，所以，故，所以左焦點的坐標為，因為l過點，直線l的斜率為，所以直線l的方程為；（2）因為是上的一點，所以，化簡可得，因為，所以，所以，，所以的方程為，因為直線l的斜率為k，在y軸上的截距，所以直線l的方程為，設(shè)，由對稱性可得，因為的面積，為坐標原點，所以，又，所以，此時直線l的斜率為0，所以面積的最大值為2；（3）因為直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m，所以直線l的方程為，則向量為直線l的一個法向量，取，因為M是l上一點，故設(shè)，設(shè)橢圓的左焦點的坐標為，則橢圓的右焦點的坐標為，則，，由已知，，所以，提出如下命題：橢圓的左、右焦點分別為，直線l的方程為，若，則直線與橢圓相切，證明如下：聯(lián)立方程，化簡可得，所以，方程的判別式，因為，，所以，所以，所以，所以方程組只有一組解，所以直線與橢圓只有一個交點，所以直線與橢圓相切.08概率與統(tǒng)計新定義27．（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知隨機變量的取值為不大于的非負整數(shù)值，它的分布列為：012n其中（）滿足：，且．定義由生成的函數(shù)，令．（I）若由生成的函數(shù)，求的值；（II）求證：隨機變量的數(shù)學期望，的方差；（）（Ⅲ）現(xiàn)投擲一枚骰子兩次，隨機變量表示兩次擲出的點數(shù)之和，此時由生成的函數(shù)記為，求的值．【解析】（I）．（II）由于，，所以．由的方差定義可知由于，所以有，這樣，所以有．（III）方法1．投擲一枚骰子一次，隨機變量的生成的函數(shù)為：．投擲骰子兩次次對應(yīng)的生成函數(shù)為:．所以．方法2：的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．

則的分布列為23456789101112．則．28．（2024·四川成都·高三成都七中校考開學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．（已知對于正態(tài)分布，P隨X變化關(guān)系可表示為）【解析】（1）對于n維坐標有兩種選擇（）．故共有種選擇，即個頂點（2）①對于的隨機變量，在坐標與中有k個坐標值不同，即，剩下個坐標值滿足．此時所對應(yīng)情況數(shù)為種．即故