2025年高考數(shù)學必刷題分類：第1講、集合（教師版）

第1講集合

知識梳理

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的關系：屬于或不屬于，數(shù)學符號分別記為：和.

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（venn圖）.

（4）常見數(shù)集和數(shù)學符號

數(shù)集自然數(shù)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)實數(shù)集

集集

符號NN或ZQR

N

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何

一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合A{1,2,3,4,5}，可知1A,在該集合中，

6A,不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出

現(xiàn)的.

集合A{a,b,c}應滿足abc.

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A{1,2,3,4,5}和B{1,3,5,2,4}是同

一個集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關系

（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都

是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作

AB（或BA），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱

集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）.讀作“A真包含于B”或“B真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（AB，且集合B是集合A的子集（BA），

此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作AB.

（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的

子集，是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本運算

（1）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B

的交集，記作AB，即AB{x|xA,且xB}．

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B

的并集，記作AB，即AB{x|xA,或xB}．

（3）補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即且．

AUACUACUA{x|xU,xA}

4、集合的運算性質

（1）AAA，A，ABBA．

（2）AAA，AA，ABBA．

（），，．

3ACUAACUAUCUCUAA

【解題方法總結】

（1）若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n1個，非空子集有

2n1個，非空真子集有2n2個．

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

（）．

3ABABAABBCUBCUA

（）．

4CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)

必考題型全歸納

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

例1．（2024·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知集合A1,0,1，Bm|m21A,m1A，則

集合B中所有元素之和為（）

A．0B．1C．－1D．2

【答案】C

【解析】根據條件分別令m211,0,1，解得m0,1,2，

又m1A，所以m1,2，B1,2,2，

所以集合B中所有元素之和是1，

故選：C．

例2．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）對于兩個非空實數(shù)集合A和B，我們把集合

x∣xab,aA,bB記作AB.若集合A0,1,B0,1，則AB中元素的個數(shù)為

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】A0,1,B0,1，則AB0,1,1，則AB中元素的個數(shù)為3

故選：C

例3．（2024·全國·高三專題練習）定義集合ABxyxA且yB.已知集合

A2,4,6，B1,1，則AB中元素的個數(shù)為（）

A．6B．5C．4D．7

【答案】C

【解析】根據題意，因為A2,4,6，B1,1，

所以AB1,3,5,7.

故選：C.

【解題總結】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

題型二：集合元素的三大特征

例4．（2024·北京海淀·?？寄M預測）設集合M2m1,m3，若3M，則實數(shù)

m=（）

A．0B．1C．0或1D．0或1

【答案】C

【解析】設集合M2m1,m3，若3M，

3M，2m13或m33，

當2m13時，m1，此時M3,4；

當m33時，m0，此時M3,1；

所以m1或0.

故選：C

例5．（2024·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預測）已知集合A1,a,b，Ba2,a,ab，若AB，

則a2023b2022（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】A

a21a2b

【解析】由題意AB可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據集

abbab1

a1a1

合互異性，可知a1，解得a1(舍)，和(舍)，所以a1，b0，則

b0b1

a2023b2022(1)2023020221，

故選：A

例6．（2024·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合Axx220，且aA，則a可以為（）

3

A．－2B．－1C．D．2

2

【答案】B

【解析】∵x220，∴2x2，∴Ax|2x2，

3

可知2A,A,2A，故A、C、D錯誤；1A，故B正確.

2

故選：B

【解題方法總結】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的

關系。

題型三：元素與集合間的關系

例7．（2024·河南·開封高中?？寄M預測）已知Ax∣x2ax10，若2A，且3A，

則a的取值范圍是（）

．5．510．510．10

A,B,C,D,

223233

【答案】B

【解析】由題意，222a10且323a10，

510

解得a，

23

故選：B

例8．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合A=xax2-3x+2=0的元素只有一個，則實數(shù)

a的值為（）

99

A．B．0C．或0D．無解

88

【答案】C

【解析】集合A有一個元素，即方程ax23x20有一解，

2

當a=0時，A=xax23x+2=0=x3x+2=0=，符合題意，

3

當a0時，ax23x20有一解，

9

則98a0，解得：a，

8

9

綜上可得：a=0或a，

8

故選：C.

x2y2

例9．（2024·全國·高三專題練習）已知集合Ax,y1,xZ,yZ，則A中

42

元素的個數(shù)為（）

A．9B．10C．11D．12

【答案】C

【解析】由橢圓的性質得2x2,2y2，

又xZ,yZ,

所以集合A=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1

共有11個元素.

故選：C

【解題方法總結】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別．

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù)，是還是．

題型四：集合與集合之間的關系

例10．（多選題）（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合M,N,P滿足：

MNN,MPP，則（）

A．PMB．MPM

．．e

CNPPDMpN

【答案】BC

【解析】由MNN可得：NM，由MPP，可得MP，則推不出PM，

故選項A錯誤；

由MP可得MPM，故選項B正確；

因為NM且MP，所以NP，則NPP，故選項C正確；

由可得：e不一定為空集，故選項錯誤；

NMMpND

故選：BC.

k1

例11．（2024·江蘇·統(tǒng)考一模）設Mxx,kZ，Nxxk,kZ，則（）

22

A．MNB．NMC．MND．MN

【答案】B

11

【解析】因為xk2k1，因為kZ，

22

所以集合N是由所有奇數(shù)的一半組成，

而集合M是由所有整數(shù)的一半組成，故NM.

故選：B

例12．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知集合Ax|x2x120，

Bx|x23mx2m2m10}，若“xA”是“xB”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取

值范圍為（）

．．．5．5

A3,2B1,3C1,D2,

22

【答案】C

【解析】由題意集合Ax|x2x120[3,4]，

Bx|x23mx2m2m10}{x|(xm1)(x2m1)0}，

若m>2，則2m1m1，此時B(m1,2m1)，

因為“xA”是“xB”的必要不充分條件，故BA,

2m14

5

故m13,2m；

2

m2

若m2，則2m1m1，此時B(2m1,m1)，

因為“xA”是“xB”的必要不充分條件，故BA,

m14

故2m13,1m2；

m2

若m2，則2m1m1，此時B，滿足BA,

綜合以上可得5，

m1,

2

故選：C

例13．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合Axx1，Bx2xa0，若AB，

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．2,B．2,C．,2D．,2

【答案】A

a

【解析】集合Axx1x1x1，Bxx.

2

a

要使AB，只需1，解得：a2.

2

故選：A

【解題方法總結】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關系的兩大技巧：

（1）定義法進行判斷

（2）數(shù)形結合法進行判斷

題型五：集合的交、并、補運算

例14．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知集合Axx3n2,nN，B6,7,10,11，

則集合AB的元素個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】因為Axx3n2,nN，B6,7,10,11，則AB7,10，

故集合AB的元素個數(shù)為2.

故選：B.

1

例15．（2024·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合Ax|x24x0，Bx|0，

3x

則（）

痧RARB

A．2,3B．3,4C．,23,D．,34,

【答案】C

1

【解析】Ax|x24x0x|2x4，Bx|0x|x3，

3x

即A2,4，B,3，

所以，e，e，

RA,24,RB3,

所以，

痧RARB,23,.

故選：C.

例16．（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合M{x∣xx20},N{x∣x10}，則下列

Venn圖中陰影部分可以表示集合{x∣1x2}的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】xx200x2,x10x1，

選項A中Venn圖中陰影部分表示MN0,1，不符合題意；

選項中圖中陰影部分表示e，符合題意；

BVennMMN[1,2)

選項中圖中陰影部分表示e，不符合題意；

CVennNMN(,0]

選項D中Venn圖中陰影部分表示MN,2，不符合題意，

故選：B

例17．（2024·全國·高三專題練習）2021年是中國共產黨成立100周年，電影頻道推出“經

典頻傳：看電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來

精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀

看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有

26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開

國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了

的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.

【答案】3

【解析】把大學社團50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開

國大典》三

支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有

214638(人)，

因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有234739(人)，

因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有2667310(人)，

因此，至少看了一支短視頻的有3467891047(人)，

所以沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為50473.

故答案為：3

【解題方法總結】

1、注意交集與并集之間的關系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

題型六：集合與排列組合的密切結合

例．（·全國·高三專題練習）設集合，定義：集合

182024Xa1,a2,a3,a4N

*，集合，集合

Yaiajai,ajX,i,jN,ijSxyx,yY,xy

x

Tx,yY,xy，分別用|S|，|T|表示集合S，T中元素的個數(shù)，則下列結論可能成

y

立的是（）

A．|S|6B．|S|16C．|T|9D．|T|16

【答案】D

【解析】不妨設，則的值為

1a1a2a3a4aiaj

，

a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4

顯然，，所以集合中至少有以上個元素，

a1a2a1a3a1a4a2a4a3a4Y5

不妨設，

x1a1a2,x2a1a3,x3a1a4,x4a2a4,x5a3a4

則顯然，則集合中至少有個元素，

x1x2x1x3x1x4x1x5x2x5x3x5x4x5S7

所以|S|6不可能，故排除A選項；

其次，若，則集合Y中至多有6個元素，則2，故排

a1a4a2a3|S|maxC61516

除B項；

對于集合T，取X{1,3,5,7}，則Y{4,6,8,10,12}，此時

12123344555563

T,,,,,,,,2,,,,,,,3，|T|16，故D項正確；

35235453643252

xxx

對于選項而言，，則i與j一定成對出現(xiàn)，xij，所

Cij,xixj110

x

jxixjxi

以|T|一定是偶數(shù)，故C項錯誤.

故選：D.

例19．（2024·全國·模擬預測）已知集合A，B滿足AB1,2,3，若AB，且A&B，

B&A表示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為（）

A．9B．4C．27D．8

【答案】C

【解析】當A時，集合B可以為{1,2,3}；

當A{1}時，集合B可以為{2,3},{1,2,3}；

當A{2}時，集合B可以為{1,3},{1,2,3}；

當A{3}時，集合B可以為{1,2},{1,2,3}；

當A{1,2}時，集合B可以為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

當A{1,3}時，集合B可以為{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；

當A{2,3}時，集合B可以為{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；

當A{1,2,3}時，集合B可以為,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為27.

故選：C

例20．（2024·北京·中央民族大學附屬中學?？寄M預測）已知集合A滿足：①AN，

②x,yA,xy，必有xy2，③集合A中所有元素之和為100，則集合A中元素個數(shù)

最多為（）

A．11B．10C．9D．8

【答案】B

【解析】對于條件①AN，②x,yA,xy，必有xy2，

若集合中所有的元素是由公差為2的等差數(shù)列構成，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，

集合中有11個元素，

又

02468101214161820110100,02468101214161890100

則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合A中元素個數(shù)最多不能超過

10個，

故若要集合A滿足：①AN，②x,yA,xy，必有xy2，③集合A中所有元

素之和為100，最多有10個元素，

例如A0,2,4,6,8,10,12,15,18,25.

故選：B.

【解題方法總結】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運用分析與轉化的思

想方法

題型七：集合的創(chuàng)新定義

例21．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）對于集合A,B，定義ABxxA，且xB．若

A{x|x2k1,kN}，B{x|x3k1,kN}，將集合AB中的元素從小到大排列得

到數(shù)列，則（）

ana7a30

A．55B．76C．110D．113

【答案】C

【解析】因為A1,3,5,7,9,11,,B1,4,7,10,13,16,19,22,25,，

所以，所以．相當于集合中除去

AB3,5,9,11,15,a721ABA

*形式的數(shù)，其前項包含了個這樣的數(shù)，所以．

x6n5nN4515a3089

則，

a7a30110

故選：C.

例22．（多選題）（2024·河南安陽·安陽一中校考模擬預測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一

直延續(xù)到19世紀.直到1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”

來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理

數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機.所謂戴德金分

割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足MNQ，MN，

M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱M,N為戴德金分割.試判斷下列選項

中，可能成立的是（）

A．Mxx0,Nxx0是一個戴德金分割

B．M沒有最大元素，N有一個最小元素

C．M有一個最大元素，N有一個最小元素

D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素

【答案】BD

【解析】對于A，因為Mxx0,Nxx0，MN{x|x0}Q，故A錯誤；

對于B，若MxQ|x0,N{xQ|x0}，則滿足戴德金分割，

此時M沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；

對于C，若M有一個最大元素，設為a，N有一個最小元素，設為b，則ab，

則MxQ|xa,NxQxb，而(a,b)內也有有理數(shù)，

則MNQ，故C錯誤；

對于D，若MxQ|x2，N{xQ|x2|，

則滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，

故選：BD

例23．（2024·湖北·統(tǒng)考二模）已知X為包含v個元素的集合（vN*，v3）．設A為

由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元

素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱X,A組成一個v階的Steiner三元系．若

X,A為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數(shù)為_____________．

【答案】7

【解析】由題設，令集合X{a,b,c,d,e,f,g}，共有7個元素，

所以X的三元子集，如下共有35個：