北京市豐臺(tái)區(qū)2025年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年北京市豐臺(tái)區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合U={?3,?2,?1,0,1,2}，A={x∈Z||x|<2}，則?UA=(

)A.{?1,0,1} B.{?2,?1,0,1,2} C.{?3} D.{?3,?2,2}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,?1)，則|iz|=(

)A.5 B.5 C.3 D.3.(x?2A.160 B.60 C.?160 D.?604.已知a<b，c<d，則下列不等式恒成立的是(

)A.a?c<b?d B.ac<bd C.2a+25.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且|MF|=2，則p的值為(

)A.12 B.1 C.2 D.6.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m?α，n?β，α//β，則m//n

B.若m//n，n?α，則m//α

C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m，則n⊥α

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β7.已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，則“?n∈N?，SA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為△ABD外接圓的圓心，2DO=DA+DB，且|DOA.3 B.4 C.6 D.89.圖1是出土于陜西西安的金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯.它杯口外侈，器壁內(nèi)弧，腹部?jī)?nèi)收，圈足外撤，肩部有“6”字形把手.金杯采用復(fù)雜的金筐寶鈿工藝，器腹以如意云頭紋分割，內(nèi)焊團(tuán)花，邊緣排滿小金珠，是唐代金銀器精品.圖2是某校陶藝社團(tuán)的同學(xué)仿照金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯制作的一只團(tuán)花紋陶藝杯，其主體部分(忽略杯底部分)外輪廓可近似看作雙曲線C的一部分.經(jīng)測(cè)量，該陶藝杯主體部分上底直徑(即杯口直徑)約6.92cm，下底直徑約4.00cm，腹部最細(xì)處直徑約3.46cm，主體部分高約6.92cm，則下列各數(shù)中與雙曲線C的離心率最接近的是(

)

(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73)A.2 B.2 C.3 D.10.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A′C上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在唯一的點(diǎn)F，使得A，B′，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面；

②EF+D′F的最小值為23；

③存在點(diǎn)F，使得AF⊥D′E；

④有且僅有一個(gè)點(diǎn)F，使得平面AEF截正方體ABCD?A′B′C′D′所得截面的面積為25．

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知直線x?y+2=0與圓x2+y2=r12.已知函數(shù)f(x)=x+1,x>0,x+a,x≤0.當(dāng)a=0時(shí)，f(0)=______；若f(x)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)13.已知a1，a2，a3是公比不為1的等比數(shù)列，將a1，a2，a3調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則滿足條件的一組a114.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，其中M，N是直線y=12與曲線y=f(x)的兩個(gè)相鄰交點(diǎn).若|MN|=π15.已知函數(shù)f(x)=ex?acosx.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在區(qū)間(?π2,0)上單調(diào)遞增；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f(x)都沒有最小值；

③當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)f(x)的零點(diǎn)從大到小依次為x1，x2，x3，…，則對(duì)任意正整數(shù)i，都有xi?xi+1<π；

④對(duì)任意實(shí)數(shù)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

在△ABC中，b2?a2?c2=?117ac．

(Ⅰ)求sinB；

(Ⅱ)若△ABC的面積為1534，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求a．

條件①：C=2π3；

條件②：b=517.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為等邊三角形，AD//BC，AB=AD=12BC=2，∠ABC=60°．

(Ⅰ)求證：AC⊥平面PAB；

(Ⅱ)求直線PD與平面18.(本小題13分)

京廣高速鐵路是世界上運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高速鐵路之一，也是中國(guó)客運(yùn)量最大、運(yùn)輸最為繁忙的高速鐵路之一.某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車次情況如下表：

注：以下高鐵車次均能準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)

(Ⅰ)某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過10小時(shí)的概率；

(Ⅱ)甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時(shí)間沒有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響．

(i)記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙選取的列車中運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過10小時(shí)的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)甲、乙、丙3人中，誰選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率最大？(結(jié)論不要求證明)19.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，以E的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且面積為1．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)P(2,0)的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N.過20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax，直線l是曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))(t>0)處的切線．

(Ⅰ)當(dāng)a=0，t=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求l的方程；

(Ⅱ)若存在l經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)a=?1時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(t,f(t))(t>0)，O(0,0)，B為l與y軸的交點(diǎn)，S△AOB表示△AOB的面積.求S21.(本小題15分)

已知無窮遞增數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正整數(shù)，記數(shù)列{aan}為數(shù)列{an}的自身子數(shù)列．

(Ⅰ)若an=2n?1(n∈N?)，寫出數(shù)列{an}的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)；

(Ⅱ)證明：ak+1?ak≤aak+1?aak答案解析1.【答案】D

【解析】解：集合U={?3,?2,?1,0,1,2}，A={x∈Z||x|<2}={?1,0,1}，

則?UA={?3,?2,2}．

故選：D．

根據(jù)集合的補(bǔ)集定義求解．2.【答案】B

【解析】解：由題意，復(fù)數(shù)z=2?i，

則|iz|=|i(2?i)|=|1+2i|=1+4=5．

故選：B．

3.【答案】B

【解析】解：展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r(x)6?r(?2x)r=C6r?(?2)rx4.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)a=c，b=d時(shí)，a?c=b?d，選項(xiàng)A不成立；

對(duì)于B，當(dāng)a<b<0且c<d<0時(shí)，ac>bd，選項(xiàng)B不成立；

對(duì)于C，a<b，c<d時(shí)，2a<2b，2c<2d，所以2a+2c<2b+2d，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，當(dāng)a=c=?1且b=d=0時(shí)，a25.【答案】C

【解析】解：因?yàn)镸的橫坐標(biāo)為1，所以由拋物線的定義知，|MF|=1+p2=2，所以p=2．

故選：C．

根據(jù)拋物線的定義列出方程，求出p6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，若m?α，n?β，α//β，則m與n平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若m//n，n?α，則m//α或m?α，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若α⊥β，m⊥β，則m//α或m?α，又n⊥m，則n與α可能平行也可能相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若m⊥α，m⊥n，則n//α或n?α，又n⊥β，則α⊥β，故D正確．

故選：D．

利用線面、面面平行或垂直的判定與性質(zhì)定理即可求解．

7.【答案】A

【解析】解：等差數(shù)列{an}的公差不為0，?n∈N?，Sn≤S8，則a8≥0，充分性成立；

若a8≥0，則不能得出S8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?DO=DA+DB，所以O(shè)為AB的中點(diǎn)，

又因?yàn)镺為△ABD外接圓的圓心，所以△ABD為直角三角形，且∠ADB=90°，

因?yàn)閨DO|=|DA|=2，所以△ADO為等邊三角形，DC=AB=2AO=4，

所以∠DAB=60°，∠ODC=60°，因?yàn)镋為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，CE=λCB=λDA(0≤λ≤1)，

所以DO?DE=DO?(DC+CE)=DO?DC+DO9.【答案】B

【解析】解：設(shè)雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，

則a=3.462=1.73≈3．

由6.29≈43，設(shè)杯子上口處點(diǎn)M(23,?)，則下口處點(diǎn)N(2,??43)，

所以123?10.【答案】B

【解析】解：①取CC′中點(diǎn)為G，連接AE，EG，GB′，B′A，

因?yàn)檎襟wABCD?A′B′C′D′，E為CD的中點(diǎn)，

所以GE//C′D//B′A，

即A，B′，E，G四點(diǎn)共面，

該平面與線段A′C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故①正確；

②因?yàn)镈′F=B′F，求EF+D′F的最小值，即求EF+B′F的最小值，

因?yàn)檎襟wABCD?A′B′C′D′，所以A′，B′，E，C四點(diǎn)共面，所以EB′與A′C相交于一點(diǎn)，設(shè)為F′，

此時(shí)(EF+B′F)min=EF′+B′F′=EB′=CE2+B′C2=12+(22)2=3，

因?yàn)?<23，

所以EF+D′F的最小值不是23，故②錯(cuò)誤；

③分別取CC′，BB′的中點(diǎn)G，H，連接DG，GH，HA，

設(shè)DG交ED′于點(diǎn)P，若A′C∩平面DGHA=F，

在平面CDD′C′中，易知△GCD≌△EDD′，所以∠CGD=∠DEP，

所以∠DEP+∠PDE=∠CGD+∠PDE=π2，

所以∠EPD=π2，即DG⊥ED′，

因?yàn)锳D⊥平面CDD′C′，ED′?平面CDD′C′，所以AD⊥ED′，

又DG∩AD=D，AD?平面DGHA，DG?平面DGHA，

所以ED′⊥平面DGHA，

因?yàn)锳′C∩平面DGHA=F，AF?平面DGHA，所以ED′⊥AF，

所以存在點(diǎn)F，使得AF⊥D′E，故③正確；

④當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A′重合時(shí)，截面為矩形，截面面積為25，

當(dāng)點(diǎn)F為A′C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，取CC′中點(diǎn)G，連接AE，EG，GB′，AB′，EB′，AG，

此時(shí)四邊形EGB′A即為平面AEF截正方體ABCD?A′B′C′D′所得截面，證明如下：

已知A′C∩平面EGB′A=F，求證點(diǎn)F為A′C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

因?yàn)镋C//A′B′，所以CFFA′=ECA′B′=12，所以點(diǎn)F為A′C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，得證，

又GE//B′A，且GE=12B′A，AE=GB′=5，所以四邊形EGB′A為等腰梯形，面積為92，

所以當(dāng)點(diǎn)F為A′C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，截面面積為92；

當(dāng)點(diǎn)F趨近于點(diǎn)C時(shí)，截面面積趨近于3，

因?yàn)?2>25，3<25，點(diǎn)F從A′C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面面積的變化是連續(xù)的，

所以點(diǎn)F從A′C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)存在某點(diǎn)F，使得截面面積為25，

所以線段A′C上至少存在兩個(gè)點(diǎn)F使得截面面積為25，故11.【答案】2【解析】解：因?yàn)橹本€x?y+2=0與圓x2+y2=r2(r>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以圓心(0,0)到直線x?y+2=0的距離d=|0?0+2|12+(?112.【答案】0

(?∞,1]

【解析】解：由函數(shù)f(x)=x+1,x>0x+a,x≤0知，

當(dāng)a=0時(shí)，f(0)=0；

若f(x)在R上單調(diào)遞增，則0+a≤0+1，即a≤1；

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,1]．

故答案為：0；(?∞,1]．

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，直接求出13.【答案】1，?2，4(答案不唯一)

【解析】解：因?yàn)閍1，a2，a3是公比不為1的等比數(shù)列，

設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，

將a1，a2，a3調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，

考慮其中一種情況，比如：aq，a，aq2成等差數(shù)列，

則2a=aq+aq2，

因?yàn)閝≠1，

解得q=?2，

則符合題意的一組數(shù)據(jù)為1，?2，4(答案不唯一)．

故答案為：14.【答案】2

3【解析】解：由題意，令sinx=12，得x=π6+2k1π，x=5π6+2k2π，k1、k2∈Z；

由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象，結(jié)合|MN|=π3，得5π6?π62π=π32πω，解得ω=2；

由f(π6)=sin(2×15.【答案】②④

【解析】解：對(duì)于①，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?cosx，

則f′(x)=ex+sinx，存在x0∈(?π2,0)，使得f′(x0)=0，

所以f(x)在(?π2,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,0)上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex，則f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，x→→∞，e2→0，cosx∈[?1,1]，則f(x)在R上沒有最小值；

當(dāng)a<0時(shí)，x→→∞，e2→0，cosx∈[?1,1]，則f(x)在R上沒有最小值，故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合①②，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在(?∞,0)的零點(diǎn)，最大的①中的x0∈(?π2,0)，f(?π2)>0，

當(dāng)x∈(?3π2,?π2)時(shí)，f(x)=ex?cosx>0，

當(dāng)x1∈(?2π,?3π2)時(shí)，f(x)存在零點(diǎn)，

所以x16.【答案】(Ⅰ)5314；

(Ⅱ)選擇條件①，a=3；選擇條件②，a=3【解析】解：(Ⅰ)在△ABC中，因?yàn)閎2?a2?c2=?117ac，

所以a2+c2?b2=117ac，

由余弦定理cosB=a2+c2?b22ac，

得cosB=1114，

因?yàn)锽∈(0,π)，

所以sinB=1?cos2B=5314；

(Ⅱ)選擇條件①：

因?yàn)镃=2π3，

所以sinC=32，cosC=?12，

由題意得S=12absinC=1534，

即34ab=1534，

所以ab=15(1)．

因?yàn)閏osB=1114，sinB=5314，

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=5314×(?12)+1114×32=3314，

由正弦定理asinA=bsinB，得ab=35(2)，

由①②，解得a2=9，

所以a=3；

17.【答案】(Ⅰ)證明見解答；(Ⅱ)6【解析】解：(Ⅰ)證明：在△ABC中，因?yàn)锳B=2，BC=4，∠ABC=60°，

所以AC2=AB2+BC2?2AB×BC×cosB=4+16?2×2×4×12=12．

所以AC=23，

又因?yàn)锳C2+AB2=BC2，所以AC⊥AB．

又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，

所以AC⊥平面PAB；

(Ⅱ)分別取AB，BC中點(diǎn)O，E，連接OP，OE.所以O(shè)E/?/AC．

因?yàn)锳C⊥AB，所以O(shè)E⊥AB．

又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，所以O(shè)P⊥AB．

因?yàn)锳C⊥平面PAB，OP?平面PAB，所以AC⊥OP．

又因?yàn)镺E/?/AC，所以O(shè)E⊥OP．

所以O(shè)B，OE，OP兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A(?1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,3)，E(0,3,0)，

所以BP=(?1,0,3)，PA=(?1,0,?3)，AD=BE=(?1,3,0)，PD=PA+AD=(?2,3,?3)，

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，

則n18.【答案】(Ⅰ)47；

(Ⅱ)(i)XX0123P11334E(X)=7342；

(ii)【解析】解：(Ⅰ)上表中的7趟車次中，列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過10小時(shí)的有4趟，

所以所求概率為47；

(Ⅱ)(i)甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過10小時(shí)的概率為24=12，

乙選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過10小時(shí)的概率為23，

丙選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過10小時(shí)的概率為47

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，

P(X=0)=12×13×3X0123P11334所以E(X)=0×342+1×1342+2×1842+3×842=7342；

(ii)甲．

(Ⅰ)利用古典概型的概率公式求解；

(Ⅱ)(i)由題意可知，X的所有可能取值為0，119.【答案】(Ⅰ)x22+y2=1【解析】解：(Ⅰ)由題意可得b=c,12×2bc=1,a2=b2+c2.

解得a=2,b=1,c=1．

所以橢圓E的方程為x22+y2=1；

(Ⅱ)證明：由題意知，直線MP的斜率存在．

設(shè)直線MP的方程為y=k(x?2)，點(diǎn)M(x1,y1)f(x1,y1)，N(x2,y2)(x1≠x2)，則Q(1,y1)，

聯(lián)立方程組y=k(x?2)x22+y2=1，消去y整理得(1+2k2)x2?8k2x+8k2?2=0．

因?yàn)棣?64k4?4(1+2k2)(8k2?2)>0，所以k2<12，

且x1+x2=8k21+2k2，x20.【答案】(Ⅰ)y=1ex；

(Ⅱ)[?12,+∞)；【解析】解：(Ⅰ)當(dāng)a=0，t=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，

f(x)=lnx，f(t)=f(e)=lne=1，

f′(x)=1x，f′(t)=f′(e)=1e，

所以直線l的方程為y?1=1e(x?e)，即y=1ex；

(Ⅱ)因?yàn)閒(x)=lnx?ax，所以f(t)=lnt?at，

因?yàn)閒′(x)=1x+ax2=x+ax2，所以f′(t)=t+at2，

所以直線l的方程為y?(lnt?at)=t+at2(x?t)，

因?yàn)閘經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，

所以?(lnt?at)=t+at2(?t)，化簡(jiǎn)得tmt=t+2a．

設(shè)g(t)=tlnt?t?2a，由題意知，存在