電路方程的矩陣形式課件

電路方程的矩陣形式1.網(wǎng)絡(luò)圖論

圖論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支，是富有趣味和應(yīng)用極為廣泛的一門學(xué)科。下頁(yè)上頁(yè)

電路的圖返回2.電路的圖R4R1R3R2R6uS+_iR5拋開元件性質(zhì)一個(gè)元件作為一條支路元件的串聯(lián)及并聯(lián)組合作為一條支路543216有向圖下頁(yè)上頁(yè)65432178返回R4R1R3R2R6uS+_iR5圖的定義(Graph)G={支路，結(jié)點(diǎn)}

電路的圖是用以表示電路幾何結(jié)構(gòu)的圖形，圖中的支路和結(jié)點(diǎn)與電路的支路和結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。圖中的結(jié)點(diǎn)和支路各自是一個(gè)整體。移去圖中的支路，與它所聯(lián)接的結(jié)點(diǎn)依然存在，因此允許有孤立結(jié)點(diǎn)存在。如把結(jié)點(diǎn)移去，則應(yīng)把與它聯(lián)接的全部支路同時(shí)移去。下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回從圖G的一個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的支路構(gòu)成路徑。(2)路徑(3)連通圖圖G的任意兩結(jié)點(diǎn)間至少有一條路徑時(shí)稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個(gè)分離部分。下頁(yè)上頁(yè)返回(4)子圖若圖G1中所有支路和結(jié)點(diǎn)都是圖G中的支路和結(jié)點(diǎn)，則稱G1是G的子圖。樹(Tree)T是連通圖的一個(gè)子圖且滿足下列條件：連通包含所有結(jié)點(diǎn)不含閉合路徑下頁(yè)上頁(yè)返回樹支：構(gòu)成樹的支路連支：屬于G而不屬于T的支路樹支的數(shù)目是一定的連支數(shù)：不是樹樹對(duì)應(yīng)一個(gè)圖有很多的樹下頁(yè)上頁(yè)明確返回回路(Loop)L是連通圖的一個(gè)子圖，構(gòu)成一條閉合路徑，并滿足：(1)連通，(2)每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)2條支路。12345678253124578不是回路回路2）基本回路的數(shù)目是一定的，為連支數(shù)；1）對(duì)應(yīng)一個(gè)圖有很多的回路；3）對(duì)于平面電路，網(wǎng)孔數(shù)等于基本回路數(shù)。下頁(yè)上頁(yè)明確返回基本回路(單連支回路)12345651231236支路數(shù)＝樹支數(shù)＋連支數(shù)＝結(jié)點(diǎn)數(shù)－1＋基本回路數(shù)結(jié)點(diǎn)、支路和基本回路關(guān)系基本回路具有獨(dú)占的一條連支下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回例87654321圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對(duì)應(yīng)的基本回路。876586438243下頁(yè)上頁(yè)注意網(wǎng)孔為基本回路。返回15.1割集下頁(yè)上頁(yè)割集Q

連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：把Q中全部支路移去，圖分成二個(gè)分離部分。任意放回Q

中一條支路，仍構(gòu)成連通圖。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集嗎？問題返回基本割集只含有一個(gè)樹枝的割集。割集數(shù)＝n-1

連支集合不能構(gòu)成割集。下頁(yè)上頁(yè)注意876543219屬于同一割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。當(dāng)一個(gè)割集的所有支路都連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，則割集的KCL方程變?yōu)榻Y(jié)點(diǎn)上的KCL方程。返回下頁(yè)上頁(yè)注意對(duì)應(yīng)一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集稱為獨(dú)立割集，基本割集是獨(dú)立割集，但獨(dú)立割集不一定是單樹支割集。返回15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：下頁(yè)上頁(yè)1.圖的矩陣表示結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣返回下頁(yè)上頁(yè)2.關(guān)聯(lián)矩陣A

用矩陣形式描述結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。n個(gè)結(jié)點(diǎn)b條支路的圖用nb的矩陣描述：Aa=n

b支路b結(jié)點(diǎn)

n每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣Aa的每一個(gè)元素定義為：注意ajkajk=1

支路k與結(jié)點(diǎn)j

關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點(diǎn)；ajk=-1

支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點(diǎn)；ajk

=0

支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)。返回下頁(yè)上頁(yè)例1２３６５４①②④③特點(diǎn)每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，Aa的每一列元素之和為零。Aa=1234123456支結(jié)-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。返回下頁(yè)上頁(yè)Aa=1234123456支結(jié)-1-1100000-1-1011001100100-1-1降階關(guān)聯(lián)矩陣A特點(diǎn)A的某些列只具有一個(gè)+1或一個(gè)－1，這樣的列對(duì)應(yīng)與劃去結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。Aa=(n-1)

b支路b結(jié)點(diǎn)n-1返回下頁(yè)上頁(yè)關(guān)聯(lián)矩陣A的作用用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程；設(shè):以結(jié)點(diǎn)④為參考結(jié)點(diǎn)[A][i]=-1-1100000-1-101100110n-1個(gè)獨(dú)立方程矩陣形式的KCL:

[A][i]=0返回下頁(yè)上頁(yè)用矩陣[A]T表示矩陣形式的KVL方程。設(shè):返回下頁(yè)上頁(yè)2.回路矩陣B獨(dú)立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。[B]=l

b支路b獨(dú)立回路

l注意每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣B的每一個(gè)元素定義為：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回下頁(yè)上頁(yè)例1２３６５４①②④③123取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，順時(shí)針方向

給定B可以畫出對(duì)應(yīng)的有向圖。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意基本回路矩陣Bf

獨(dú)立回路對(duì)應(yīng)一個(gè)樹的單連枝回路得基本回路矩陣[Bf]返回支路排列順序?yàn)橄冗B支后樹支，回路順序與連支順序一致。下頁(yè)上頁(yè)

連支電流方向?yàn)榛芈冯娏鞣较?；?guī)定例選2、5、6為樹，連支順序?yàn)?、3、

4

。1２３６５４①②④③231123[B]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回下頁(yè)上頁(yè)回路矩陣[B]的作用用回路矩陣[B]表示矩陣形式的KVL方程；設(shè)ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l個(gè)獨(dú)立KVL方程矩陣形式的KVL：[B][u]=0返回[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-

Btut設(shè)：連支電壓可以用樹支電壓表示。用回路矩陣[B]T表示矩陣形式的KCL方程下頁(yè)上頁(yè)注意獨(dú)立回路電流返回下頁(yè)上頁(yè)1２３６５４①②④③231矩陣形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意樹支電流可以用連支電流表出。返回下頁(yè)上頁(yè)3.基本割集矩陣[Qf]

割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。[Q]=(n-1)

b支路b割集數(shù)注意每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)基本割集,每一列對(duì)應(yīng)一條支路.矩陣Q的每一個(gè)元素定義為：qij1

支路j

在割集i中，且與割集方向一致；-1

支路j

在割集

i中，且與割集方向相反；0

支路j

不在割集

i中。返回下頁(yè)上頁(yè)規(guī)定割集方向?yàn)闃渲Х较?；支路排列順序先樹支后連支；割集順序與樹支次序一致。基本割集矩陣[Qf]例1２３６５４①②④③選1、2、3支路為樹Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回QlQt下頁(yè)上頁(yè)[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③基本割集矩陣[Qf]的作用用基本割集矩陣[Qf]表示矩陣形式的KCL方程。設(shè)返回矩陣形式的KCL：[Qf

][i]=0下頁(yè)上頁(yè)[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1個(gè)獨(dú)立KCL方程返回設(shè)樹枝電壓（或基本割集電壓）：ut=[u1u2u3]T用[Qf]T表示矩陣形式的KVL方程矩陣形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下頁(yè)上頁(yè)返回連支電壓可以用樹支電壓表示。下頁(yè)上頁(yè)注意小結(jié)QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il

]

=[i]ul=-

Btut[B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回15.4回路電流方程的矩陣形式

反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。

1.復(fù)合支路下頁(yè)上頁(yè)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)支路Zk

(Yk)+-+-返回下頁(yè)上頁(yè)復(fù)合支路特點(diǎn)支路的獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源的方向與支路電壓、電流的方向相反；

支路電壓與支路電流的方向關(guān)聯(lián)；

支路的阻抗（或?qū)Ъ{）只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。Zk

(Yk)+-+-返回

復(fù)合支路定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。下頁(yè)上頁(yè)注意(ZkYk）(ZkYk）+-返回下頁(yè)上頁(yè)Zk

(Yk)=0+-Zk

(Yk)+-Zk

(Yk)=0Zk

(Yk)=0返回2.支路阻抗矩陣形式

電路中電感之間無耦合下頁(yè)上頁(yè)如有b條支路，則有：Zk

(Yk)+-+-返回設(shè)[Z]=diag[Z1Z2……Zb]支路電流列向量支路電壓列向量電壓源的電壓列向量電流源的電流列向量下頁(yè)上頁(yè)阻抗矩陣返回整個(gè)電路的支路電壓、電流關(guān)系矩陣：bb階對(duì)角陣下頁(yè)上頁(yè)返回3.回路電流方程的矩陣形式回路電流[il

](b-n+1)

1階下頁(yè)上頁(yè)支路方程：返回回路電壓源向量回路阻抗陣，主對(duì)角線元素為自阻抗，其余元素為互阻抗。回路矩陣方程下頁(yè)上頁(yè)返回從已知網(wǎng)絡(luò)，寫出回路分析法的步驟：求出列出回路方程求出由KCL解出根據(jù)支路方程解出下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回例下頁(yè)上頁(yè)用矩陣形式列出電路的回路電流方程。解做出有向圖，選支路1，2，5為樹枝。15243121234512

+R11/j

C5j

L4R2

-j

L3返回下頁(yè)上頁(yè)

把上式各矩陣代入回路電流方程的矩陣形式返回1.支路導(dǎo)納矩陣形式下頁(yè)上頁(yè)15.5結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式電路中不含互感和受控源Zk

(Yk)+-+-返回下頁(yè)上頁(yè)返回bb階對(duì)角陣下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)電路中電感之間有耦合M*+-+-*+-+-返回下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)電路中有受控電源Zk

(Yk)+-+-返回下頁(yè)上頁(yè)Zk

(Yk)+-+-返回考慮b個(gè)支路時(shí)：下頁(yè)上頁(yè)若：kjkjg返回下頁(yè)上頁(yè)若：kjjkjYb返回