《分析力學(xué)》試卷

《分析力學(xué)》試卷一、選擇題（每題5分，共20分）A.拉格朗日方程的顯式形式B.拉格朗日方程的隱式形式C.拉格朗日方程的歐拉拉格朗日形式D.哈密頓方程A.動(dòng)能B.勢(shì)能C.哈密頓量D.角動(dòng)量A.虛功原理B.達(dá)朗貝爾原理C.哈密頓原理D.牛頓第二定律A.位置坐標(biāo)B.速度坐標(biāo)C.加速度坐標(biāo)D.力坐標(biāo)二、填空題（每題5分，共20分）1.在分析力學(xué)中，拉格朗日方程的基本形式是__________。2.在哈密頓力學(xué)中，哈密頓量是系統(tǒng)的__________。3.在分析力學(xué)中，廣義坐標(biāo)是系統(tǒng)的__________。4.在拉格朗日力學(xué)中，拉格朗日量是系統(tǒng)的__________。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共20分）1.簡(jiǎn)述拉格朗日力學(xué)的基本原理。2.簡(jiǎn)述哈密頓力學(xué)的基本原理。四、計(jì)算題（每題20分，共40分）1.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其拉格朗日量為L(zhǎng)=1/2m(x^2+y^2)1/2k(xy)^2，其中m是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，k是彈性系數(shù)，x和y是質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。2.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在三維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其哈密頓量為H=1/2m(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+U(x,y,z)，其中m是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，p_x、p_y和p_z是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，U(x,y,z)是勢(shì)能。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。五、證明題（每題20分，共40分）1.證明拉格朗日方程和牛頓第二定律是等價(jià)的。2.證明哈密頓方程和拉格朗日方程是等價(jià)的。六、論述題（每題20分，共40分）1.論述分析力學(xué)在物理學(xué)中的地位和作用。2.論述拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系。一、選擇題1.D2.B3.D4.C二、填空題1.拉格朗日方程的基本形式是：d/dt(?L/?q˙i)?L/?qi=0，其中L是拉格朗日量，qi是廣義坐標(biāo)，q˙i是廣義速度。2.哈密頓量是系統(tǒng)的能量函數(shù)，表示為H=piq˙iL，其中pi是廣義動(dòng)量，L是拉格朗日量。3.廣義坐標(biāo)是系統(tǒng)狀態(tài)的獨(dú)立變量，可以是位置坐標(biāo)、角度坐標(biāo)等。4.拉格朗日量是系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能的差，表示為L(zhǎng)=TV，其中T是動(dòng)能，V是勢(shì)能。三、簡(jiǎn)答題1.拉格朗日力學(xué)的基本原理是：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是使作用量S=∫Ldt取極值的軌跡，其中L是拉格朗日量，t是時(shí)間。2.哈密頓力學(xué)的基本原理是：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是使作用量S=∫Hdt取極值的軌跡，其中H是哈密頓量，t是時(shí)間。四、計(jì)算題1.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：d2x/dt2+k/m(xy)=0，d2y/dt2+k/m(yx)=0。2.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：dpx/dt=?U/?x，dpy/dt=?U/?y，dpz/dt=?U/?z。五、證明題1.拉格朗日方程和牛頓第二定律是等價(jià)的，證明如下：由拉格朗日方程d/dt(?L/?q˙i)?L/?qi=0，可得qi=?L/?q˙i，代入牛頓第二定律F=ma，可得F=d/dt(?L/?q˙i)，即拉格朗日方程和牛頓第二定律等價(jià)。2.哈密頓方程和拉格朗日方程是等價(jià)的，證明如下：由哈密頓方程dp/dt=?H/?q，dq/dt=?H/?p，可得q˙=?H/?p，p˙=?H/?q，代入拉格朗日方程d/dt(?L/?q˙)?L/?q=0，可得d/dt(?H/?p)?H/?q=0，即哈密頓方程和拉格朗日方程等價(jià)。六、論述題1.分析力學(xué)在物理學(xué)中的地位和作用：分析力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)重要分支，它以拉格朗日量和哈密頓量為基本變量，采用變分原理和極值原理來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。分析力學(xué)在解決復(fù)雜力學(xué)問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，如在天體力學(xué)、量子力學(xué)、相對(duì)論等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。2.拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系：拉格朗日力學(xué)以拉格朗日量為基本變量，采用拉格朗日方程來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；哈密