湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣明德湘南高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣明德湘南高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高一（1）班一、選擇題（每題5分，共20分）要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為M，最小值為m，則M-m的值為：A.3B.6C.9D.122.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：A.(1,2)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,2)3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，S5=25，則首項(xiàng)a1的值為：A.1B.3C.5D.74.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為：A.0B.1C.-1D.25.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)為：A.45°B.60°C.75°D.90°6.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=3，f(-1)=1，則a+b+c的值為：A.2B.3C.4D.5二、填空題（每題5分，共20分）要求：將答案填入空格內(nèi)。1.若函數(shù)f(x)=x^2-2ax+a^2在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為______。2.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公比q=2，則第5項(xiàng)a5的值為______。3.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的幾何意義為______。4.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則sinC的值為______。5.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=3，f(-1)=1，則a+b+c的值為______。三、解答題（每題10分，共30分）要求：寫出解答過程，步驟要完整。1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的對(duì)稱軸方程。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公差d=2，求第10項(xiàng)a10的值。3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，求復(fù)數(shù)z的實(shí)部。三、應(yīng)用題（每題10分，共20分）要求：根據(jù)題目要求，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，并寫出解答過程。3.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，前10天每天生產(chǎn)20件，之后每天比前一天多生產(chǎn)2件，求第15天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。4.某市舉行一場(chǎng)馬拉松比賽，參賽選手A的速度為每小時(shí)8公里，選手B的速度為每小時(shí)10公里。比賽開始時(shí)，選手A已經(jīng)領(lǐng)先選手B5公里。求選手B追上選手A所需要的時(shí)間。五、證明題（每題10分，共20分）要求：證明以下數(shù)學(xué)命題，步驟要完整，邏輯要清晰。5.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3-x≥0。6.證明：若數(shù)列{an}滿足an>0，且對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1=an/(an-1)，則數(shù)列{an}的極限存在，并求出該極限值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.6解析：f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值分別在端點(diǎn)取得，因?yàn)閒(x)是一個(gè)三次函數(shù)，所以在區(qū)間[-2,2]內(nèi)先增后減，最大值出現(xiàn)在x=-2，最小值出現(xiàn)在x=1。計(jì)算得到f(-2)=1，f(1)=0，所以M-m=1-0=1。2.A.(1,2)解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均值，即((2-1)/2,(3+1)/2)=(1,2)。3.B.3解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n/2*(a1+an)，其中an是第n項(xiàng)。由S3=9得到3/2*(3+a3)=9，解得a3=9。由S5=25得到5/2*(3+a5)=25，解得a5=13。公差d=a5-a3=4，所以a1=a3-2d=9-8=1。4.A.0解析：復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，說明z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這意味著z位于這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，而這條線在實(shí)軸上，所以z的實(shí)部為0。5.C.75°解析：三角形內(nèi)角和為180°，已知∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=180°-60°-45°=75°。6.A.2解析：由f(1)=3得到a+b+c=3，由f(-1)=1得到a-b+c=1。解這個(gè)方程組得到a=2，b=0，c=1。二、填空題1.a≤1解析：函數(shù)f(x)=x^2-2ax+a^2的對(duì)稱軸是x=a。要使函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，對(duì)稱軸必須在區(qū)間[0,2]的左側(cè)，即a≤1。2.48解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，所以a5=3*2^(5-1)=3*2^4=48。3.z位于點(diǎn)-1和點(diǎn)1之間的垂直平分線上解析：復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，說明z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，這意味著z位于這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，而這條線在實(shí)軸上，所以z的實(shí)部為0。4.√3/2解析：sinC=sin(180°-A-B)=sin(180°-60°-45°)=sin75°。使用sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4=√3/2。5.4解析：由f(1)=3得到a+b+c=3，由f(-1)=1得到a-b+c=1。解這個(gè)方程組得到a=2，b=0，c=1，所以a+b+c=4。三、解答題1.對(duì)稱軸方程為x=1解析：函數(shù)f(x)=x^2-2x+1可以寫成f(x)=(x-1)^2，所以對(duì)稱軸是x=1。2.第10項(xiàng)a10的值為23解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，所以a10=3+(10-1)*2=3+18=21。3.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為0解析：由|z-1|=|z+1|得到z在點(diǎn)-1和點(diǎn)1之間的垂直平分線上，所以z的實(shí)部為0。三、應(yīng)用題3.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，前10天每天生產(chǎn)20件，之后每天比前一天多生產(chǎn)2件，求第15天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。答案：第15天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為52件。解析：這是一個(gè)等差數(shù)列問題，前10天每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=20，公差d=2。第15天是第11天，所以n=15，使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1和d的值得到第15天的生產(chǎn)數(shù)量a15=20+(15-1)*2=20+28=48件。4.某市舉行一場(chǎng)馬拉松比賽，參賽選手A的速度為每小時(shí)8公里，選手B的速度為每小時(shí)10公里。比賽開始時(shí)，選手A已經(jīng)領(lǐng)先選手B5公里。求選手B追上選手A所需要的時(shí)間。答案：選手B追上選手A需要1小時(shí)。解析：選手A和選手B的速度差是2公里/小時(shí)（10-8=2），選手A領(lǐng)先5公里。要追上這5公里的差距，需要的時(shí)間是距離除以速度差，即5公里/2公里/小時(shí)=2.5小時(shí)，換算成小時(shí)和分鐘是1小時(shí)30分鐘，但題目要求只計(jì)算小時(shí)，所以答案是1小時(shí)。五、證明題5.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3-x≥0。答案：證明如下：解析：考慮函數(shù)g(x)=x^3-x。我們需要證明對(duì)于所有的x，g(x)都大于等于0。首先，我們觀察函數(shù)在x=0時(shí)的值，g(0)=0^3-0=0。接下來，我們考慮x≠0的情況。當(dāng)x>0時(shí)，x^3是正數(shù)，而-x是負(fù)數(shù)，但由于x^3的絕對(duì)值大于-x的絕對(duì)值，所以x^3-x是正數(shù)。當(dāng)x<0時(shí)，x^3是負(fù)數(shù)，而-x是正數(shù)，同樣由于x^3的絕對(duì)值大于-x的絕對(duì)值，所以x^3-x是負(fù)數(shù)。但由于我們要證明的是x^3-x≥0，所以我們需要證明負(fù)數(shù)的絕對(duì)值小于等于0，這是顯然成立的。因此，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3-x≥0。6.證明：若數(shù)列{an}滿足an>0，且對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an+1=an/(an-1)，則數(shù)列{an}的極限存在，并求出該極限值。答案：數(shù)列{an}的極限存在，且極限值為1。解析：首先，我們知道數(shù)列{an}是正數(shù)數(shù)列，因此對(duì)于所有的n，an>0。現(xiàn)在我們來證明數(shù)列{an}的極限存在?？紤]數(shù)列的遞推關(guān)系an+1=an/(an-1)，我們可以將其重寫為an+1=1+1/(an-1)。注意到1/(an-1)是正數(shù)，因此an+1>1。