2024-2025學(xué)年云南省曲靖市陸良縣中樞二中高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南省曲靖市陸良縣中樞二中高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且2OM=MA，N為BC的中點(diǎn)，則MN等于(

)A.12OA?23OB+122.設(shè)直線l的方程為2x?2ycosθ+3=0，則直線l的傾斜角α的范圍是(

)A.[0,π] B.[π4,π2]3.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA.55 B.3 C.64.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線2mx?y=0和過定點(diǎn)B的動直線x+2my?8m?3=0交于點(diǎn)P，點(diǎn)P不與A，B重合，則1|PA|2+A.9 B.25 C.925 5.已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的表面上運(yùn)動，O是AB的中點(diǎn)，則PAA.13 B.53 C.26.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=12A.2π B.4π C.6π D.12π7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O(0,0)，A(3,4)到直線l的距離分別是2與3，則滿足條件的直線l共有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條8.希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程mx2+y2A.3102 B.10 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線l：mx+2y?m+2=0，A(1,2)，B(3,2)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.存在實(shí)數(shù)m，使得直線l與直線AB垂直

B.存在實(shí)數(shù)m，使得直線l與直線AB平行

C.存在唯一的實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)A到直線l的距離為3

D.存在唯一的實(shí)數(shù)m，使得以線段AB為直徑的圓與直線l相切10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，當(dāng)EA.三棱錐E?A1B1D1的體積不變

B.EB1⊥AD1

C.直線11.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+yA.當(dāng)a=2b時(shí)，滿足∠F1PF2=90°的點(diǎn)P共有4個(gè)

B.△PF1F2的周長不一定小于4a

C.△P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知拋物線y=4x2與一條過焦點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為38，則|AB|=13.在一個(gè)銳二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=BD=1，CD=2，則該二面角α的大小為______．14.已知點(diǎn)A，B，M，N，P均在同一平面內(nèi)，且M(?1,2)，A(2,1)，B(4,1)，動點(diǎn)N滿足NA?NB=0，點(diǎn)P為直線x+2y+2=0上的一個(gè)動點(diǎn)，則|PM|+|PN|取最小值時(shí)，點(diǎn)P四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

對于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，定義新運(yùn)算：a⊕b=a?bb2．

(1)若向量a=(1,0,1)，b=(0,1,1)，求(2a?b)⊕b16.(本小題15分)

已知直線l：3x?4y+5=0與圓C：x2+y2?6x?2y+a+5=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)a的值以及圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線m：kx?y+2=0的距離為17.(本小題15分)

已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，且經(jīng)過點(diǎn)(2,1)．

(1)求雙曲線方程和其漸近線的方程；

(2)若存在過點(diǎn)M(1,m)的直線18.(本小題17分)

如圖1在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如圖2．

(1)求證：AD⊥平面BDM；

(2)若點(diǎn)E是線段DB上的一動點(diǎn)，且DE=tDB(0<t<1)，當(dāng)二面角E?AM?D的正弦值為255時(shí)，求t的值．19.(本小題17分)

已知拋物線D的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，其頂點(diǎn)是橢圓x24+y23=1的中心，其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于該橢圓的長半軸長．

(1)求拋物線D的準(zhǔn)線方程；

(2)過點(diǎn)P(4,0)的動直線l交拋物線D于A，B兩點(diǎn)，且A在第一象限，Q(?4,0)．

①求△AQB的面積S的最小值．

②是否存在垂直于x軸的定直線m被以參考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.C

8.A

9.BCD

10.ABD

11.AC

12.7813.π314.(?115.解：(1)由a=(1,0,1)，b=(0,1,1)，得2a?b=(2,?1,1)，

則(2a?b)?b=2×0?1×1+1×1=0，

所以(2a?b)⊕b=(2a?b)?bb2=0．

(2)由a，b是單位向量，得|a|=|b|=1，

設(shè)a，b的夾角為θ，則(3a+b)?(a?2b)=3a2?5a?b?2b2=1?5cosθ，

(a?2b)2=a2?4a?b+4b2=5?4cosθ，

因?yàn)?3a+b)⊕(a?2b)=?53，

所以1?5cosθ5?4cosθ=?53，解得cosθ=45，

所以a,b夾角的余弦值為45．

16.解：(1)將圓C：x2+y2?6x?2y+a+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

得(x?3)2+(y?1)2=5?a，故圓心C(3,1)，半徑為5?a，

因?yàn)橹本€l：3x?4y+5=0與圓C相切，

所以|3×3?4×1+5|32+42=5?a，即5?a=2，

解得a=1，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2+(y?1)2=4；

(2)設(shè)圓心C到直線m的距離為d，

由(1)可知：C(3,1)，圓C的半徑為2，

因?yàn)閳AC上恰有兩個(gè)點(diǎn)到該直線m：kx?y+2=0的距離為1，則有1<d<3，

即1<|3k+1|1+k2|3k+1|1+k2<3，解得0<k<43或k<?34，

所以k的取值范圍為(?∞,?34)∪(0,43).

17.解：(1)由已知可得ca=22a2?1b2=1c2=a2+b2，解得a=1b=1c=2，

所以雙曲線C的方程為x2?y2=1，其漸近線的方程為y=±x．

(2)若直線l⊥x軸，則l與雙曲線x2?y2=1相切，不合題意；若直線l的斜率為0，顯然不符合題意，所以直線l的斜率存在且不為0．

設(shè)l的斜率為k，點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

因?yàn)镸(1,m)是線段PQ的中點(diǎn)，則x1+x2=2，y1+y2=2m，

點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得x12?y12=1x22?y22=1，

作差可得(x1?x2)(x1+x2)=(y1?y2)(y1+y2)

即x1?x2=m(y1?y2)，即mk=1．

此時(shí)，直線PQ的方程為y?m=k(x?1)，即y=kx+m?k．19.解：(1)因?yàn)閽佄锞€D的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，其頂點(diǎn)是橢圓x24+y23=1的中心，

設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，

因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于該橢圓的長半軸長，

易知橢圓的長半軸長為2，

所以p=2，

則拋物線D的方程為y2=4x，準(zhǔn)線方程為