山西省芮城市2025屆高三第二學(xué)期期末檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁(yè)
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山西省芮城市2025屆高三第二學(xué)期期末檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,,則的子集共有()A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.3.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為)建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.4.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.5.已知實(shí)數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.6.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或7.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.8.《周易》是我國(guó)古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成,其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻,“”表示一個(gè)陰爻).若從含有兩個(gè)及以上陽(yáng)爻的卦中任取兩卦,這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為()A. B. C. D.9.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.的展開(kāi)式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.12.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___15.的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)______(用數(shù)字作答).16.已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí),的內(nèi)心的軌跡方程為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動(dòng)了我國(guó)經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計(jì),在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為萬(wàn)人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個(gè),求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)?并說(shuō)明理由.18.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點(diǎn),△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長(zhǎng).20.(12分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.21.(12分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時(shí),集合子集的個(gè)數(shù)為,真子集個(gè)數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

畫(huà)出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.3、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除,由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng),由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng),投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對(duì)于選項(xiàng),令代入回歸直線方程得億元,故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由,,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

,,,

因?yàn)?

所以

,

,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).5、B【解析】

根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)椋ㄟ^(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.8、B【解析】

基本事件總數(shù)為個(gè),都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè),由此求出概率.【詳解】解:由圖可知,含有兩個(gè)及以上陽(yáng)爻的卦有巽、離、兌、乾四卦,取出兩卦的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(巽,乾),(離,兌),(離,乾),(兌,乾)共個(gè),其中符合條件的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(離,兌)共個(gè),所以,所求的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化,考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí),考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí),屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當(dāng)時(shí),的展開(kāi)式中的系數(shù)為.當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵.12、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)約束條件可以畫(huà)出可行域,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問(wèn)題的求解,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定過(guò)時(shí),取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時(shí),直線在軸截距最大;由直線平移可知,當(dāng)過(guò)時(shí),在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問(wèn)題,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.14、【解析】

恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)恰有三個(gè)根,然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【詳解】解:恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)恰有三個(gè)根,令,,在遞增;,遞減,遞增,時(shí),在有一個(gè)零點(diǎn),在有2個(gè)零點(diǎn);故答案為:.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn),這類題一般用分離參數(shù)的方法,中檔題.15、60【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng),即可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)?,所以,則所求項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:60【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

考查更為一般的問(wèn)題:設(shè)P為橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn),為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為△PF1F2的內(nèi)心,求點(diǎn)I的軌跡方程.解法一:如圖,設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點(diǎn)為H,半徑為r,且F1H=y,F(xiàn)2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,則.直線IF1與IF2的斜率之積:,而根據(jù)海倫公式,有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義,可得I點(diǎn)的軌跡是以F1F2為長(zhǎng)軸,離心率e滿足的橢圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二:令,則.三角形PF1F2的面積:,其中r為內(nèi)切圓的半徑,解得.另一方面,由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得:從而有.消去θ得到點(diǎn)I的軌跡方程為:.本題中:,代入上式可得軌跡方程為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)分布列見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,即可按照古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算得出;(2)依題意可知服從二項(xiàng)分布,先計(jì)算出隨機(jī)選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)可以計(jì)算滿意度均值來(lái)比較乘坐高鐵還是飛機(jī).【詳解】(1)設(shè)事件:“在樣本中任取個(gè),這個(gè)出行人恰好不是青年人”為,由表可得:樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,所以在樣本中任取個(gè),這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率.(2)由題意,的所有可能取值為:因?yàn)樵?018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,此人為老年人概率是,所以,,,所以隨機(jī)變量的分布列為:故.(3)答案不唯一,言之有理即可.如可以從滿意度的均值來(lái)分析問(wèn)題,

參考答案如下:由表可知,乘坐高鐵的人滿意度均值為:乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為:因?yàn)?,所以建議甲乘坐高鐵從市到市.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用、古典概型的概率計(jì)算、以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算,解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解,概率類型的判斷,屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,又平面的一個(gè)法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結(jié)合正弦定理,可得結(jié)果.(Ⅱ)根據(jù),可得,然后使用余弦定理,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,關(guān)鍵在于識(shí)記公式,屬中檔題.20、(1)當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2)或.【解析】

(1)求出,對(duì)分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求解,即可得出結(jié)論;(2)有解,即,令,轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),,綜上,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2),令,原方程只有一個(gè)解

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