吉林省通榆縣第一中學(xué)2025年高三下學(xué)期調(diào)研測試（二模）數(shù)學(xué)試題

吉林省通榆縣第一中學(xué)2025年高三下學(xué)期調(diào)研測試（二模）數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．2．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行3．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．4．已知平面向量，，，則實數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．5．已知隨機(jī)變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，6．已知實數(shù)滿足線性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]7．已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．310．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．11．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．12．中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中含的系數(shù)為__________．（用數(shù)字填寫答案）14．如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，將，分別沿折起，使得平面平面，平面平面，則所得幾何體的外接球的體積為__________.15．設(shè)為正實數(shù)，若則的取值范圍是__________．16．函數(shù)在區(qū)間上的值域為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).19．（12分）如圖，平面分別是上的動點(diǎn)，且.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）當(dāng)平面平面時，求平面與平面所成的二面角的余弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的值21．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若，求邊長.22．（10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：當(dāng)時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當(dāng)時，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.3、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.5、B【解析】

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機(jī)變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質(zhì)可得：，因為，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.6、B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，，，過與直線平行的直線斜率為－1，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．7、C【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)的通項公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【詳解】當(dāng)時，，顯然當(dāng)時有，，∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點(diǎn)又∵時，∴，，，…，均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴，，∴對應(yīng)極值，，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題8、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，也就是到焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準(zhǔn)線的距離，故為到焦點(diǎn)的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來求解.10、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.12、C【解析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意得，二項式展開式的通項為，令，則，所以得系數(shù)為．14、【解析】

根據(jù)題意，畫出空間幾何體，設(shè)的中點(diǎn)分別為，并連接，利用面面垂直的性質(zhì)及所給線段關(guān)系，可知幾何體的外接球的球心為，即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得，，均為等腰直角三角形，如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，.因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，易得，則幾何體的外接球的球心為，半徑，所以幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用，折疊后空間幾何體的線面位置關(guān)系應(yīng)用，空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法，屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，令，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題，16、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn)，連接，要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，即證，即可；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因為均為邊長為的等邊三角形，所以，，且因為，所以，所以，又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）因為，為等邊三角形，所以，又因為，所以，，在中，由正弦定理，得：，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個法向量為，依題意，平面的一個法向量所以故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.18、（1）（2）與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和【解析】

（1）先把曲線化成直角坐標(biāo)方程，再化簡成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為；(2)聯(lián)立可得：，與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的互化，也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）首先由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因為平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，則平面，所以，由且，又，所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則由，可得，，即，所以可得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，，，取，得所以易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法求二面角，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．20、（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設(shè)點(diǎn)、所對應(yīng)的參數(shù)分別為、，利用韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】（1）由，得，，曲線的普通方程為，由，得，直線的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，則，設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)分別為、，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）把代入已知條件，得到關(guān)于的方程，得到的值，從而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知條件，求出，再根據(jù)正弦定理求出邊長.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，即.因為，所以，因為，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)公式的運(yùn)用，正弦定