




版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
微專題07一元二次方程及其應用
考點精講
構建知識體系
,一元二次方程/特殊/[一的判別式及其應制
_[ft象為V學校P■”加、(根勺系數(shù)的關匐
,J直接開平方法
因式分解法*
!方
/公式捺程
配方法
,I___檢驗
小際問題的時-----方程的程x=1理TlK
_________________2g
考點梳理
1.一元二次方程的相關概念
⑴概念:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①的整式方程
⑵一般形式:ax2+Z?x+c=0(a,b,c為常數(shù),a②0)
2.一元二次方程的解法(6年4考)
解法適用情況或步驟
直接開(1)當方程缺少一次項時,即方程aP+cuOmWO,ac<0);
平方法(2)形如(%+機)2="("之0)的方程
⑴常數(shù)項為0,即方程依2+版=0(存0);
因式分
(2)一元二次方程的一邊為0,而另一邊是易于分解成兩個一次因式的乘積
解法
注:方程求解過程中,等式兩邊不能同時約去含有相同未知數(shù)的因式
適用于所有一元二次方程,求根公式為③僅2—4比>0)
步驟:(1)使用求根公式時要先把原一元二次方程化為一般形式,方程的
公式法右邊一定要化為0;
(2)判斷屬一4℃的正負:若廿―4比④0,則原方程無實數(shù)解;若
〃一4ac⑤0,則原方程有實數(shù)解
第1頁共11.頁
注:將a,b,c代入公式時應注意其符號
適用于:(1)二次項系數(shù)化為1后,一次項系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程]
(2)各項的系數(shù)比較小且便于配方的情況
步驟:以2/一8%+4=0為例
(1)變形:將二次項系數(shù)化為1,得%2—4%+2=0;
酉己方法
(2)移項:將常數(shù)項移到方程的右邊,得爐一4%=—2;
(3)配方:方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方,得4%+4=—2
+4,即(%—2,=2;
(4)求解:用直接開平方法求解,得%1=2+應,%2=2—V2
3.一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系(6年2考)
⑴根的判別式:b2-4ac叫做一元二次方程
⑵一元二次方程根的情況與判別式的關系:
①左一4?c>00方程有兩個丕相等的實數(shù)根;
②82—4ac=00方程有兩企相等的實數(shù)根;
③左一4ac<0用程沒有實數(shù)根
(3)根與系數(shù)的關系:若一元二次方程依z+bx+cMog/),加―4。侖0)的兩實數(shù)根
分別為為1,%2,則%1+%2=—',X1-X2=£(2022年版課標調整為考查內容)
CLCL
4.一元二次方程的實際應用
(1)變化率=鬻*100%;
平均基礎量
變化(2)設。為原來量,當機為平均增長率,增長次數(shù)為2,。為增長后的量時,
率問則⑥-----=戾
題(3)設。為原來量,當機為平均下降率,下降次數(shù)為2,。為下降后的量時,
則⑦=b
利潤(1)利潤=售價一成本;
第2頁共11.頁
問題(2)利潤率=瞿*1。。%;
(3)每每問題:單價每漲。元,少賣8件.若漲價y元,則少賣的數(shù)量為2y
件
面積
r-A-
問題s陰影=(。一S陰影=(〃一
S陰影=(a-%)(/7-%)
2x)(Z?-2%)x)(Jb-x)
練考點
1.若關于%的方程(左一3M2—8%—10=0是一元二次方程,則k的取值范圍
是.
2.解方程:x2—3%+2=0.
3.一元二次方程/—X+4=0的根的情況為()
A.有兩個不相等的實數(shù)根
B.有兩個相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根
D.沒有實數(shù)根
4.關于%的一元二次方程%2—m+3=0的一個根是1,則該方程的另一個根
為.
5.為了滿足師生的閱讀需求,某校園圖書館的藏書從2022年至2024年兩年內由
5萬冊增加到7.2萬冊,則這兩年藏書的年平均增長率為.
6.某商場銷售某種冰箱,每臺進貨價為2500元.調查發(fā)現(xiàn),當銷售價為2900元
時,平均每天能售出8臺.調查發(fā)現(xiàn),若銷售價每降低50元,則平均每天能多售
出4臺.
第3頁共11.頁
⑴若銷售價降低1元,則平均每天能多售出臺;
⑵已知商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,設每臺冰箱降價
%元,可列方程為.
高頻考點
考點1一元二次方程及其解法(6年4考)
例1(人教九上習題改編)用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>
(1)5(X—3)2=45;(2)x2+4x=12;
(3)V—4%+3=0;(4)X2+3X+1=0.
變式1(2024東莞一模改編)用配方法解一元二次方程3x2+6x-l=0時,將它
化為(%+。)2=》的形式,則a+b的值為()
A.—B.-C.2D.-
333
考點2一元二次方程根的判別式(2024.13)
例2已知關于x的一元二次方程(左一2)_?+4%—1=0,請回答下列問題:
(1)若原方程有實數(shù)根,則k的取值范圍是;
(2)若原方程有兩個相等的實數(shù)根,則上的取值范圍是;
(3)若原方程有兩個不相等的實數(shù)根,則上的取值范圍是:
(4)若原方程沒有實數(shù)根,則k的取值范圍是,
易錯警示
本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽略“一元二次方程中二次項的系數(shù)不等于0”這個條件.
變式2若方程(%—1)2=機+2無實數(shù)根,則冽的取值范圍為()
A.m<—2B.m<-2C.m>_2D.m>-2且m#0
變式3(2023廣州)已知關于%的方程(2左一2)%+R—1=0有兩個實數(shù)根,則
J(k—1)2—12—4)2的化簡結果是()
第4頁共11.頁
A.-1B.1C.-l~2kD.2k~3
考點3一元二次方程的根與系數(shù)的關系(2019.9)
例3(人教九上習題改編)設為,乃是方程%2—6%+2=0的兩個實數(shù)根,則:
(2)町+好=;
(3)%1%2+%1%2=.
變式4(2024佛山二模)若一個關于%的一元二次方程的兩根互為相反數(shù),請你
寫出一個滿足條件的方程:.
考點4一元二次方程的實際應用
例4根據(jù)市場需求,某公司的業(yè)務規(guī)模快速擴大,如圖是該公司用來生產(chǎn)一種
無蓋長方體容器的矩形原料,該矩形原料的長為20cm,寬為16cm.
(1)隨著技術逐年更新,該矩形原料的成本不斷下降,前年一張矩形原料的成本是
50元,今年一張矩形原料的成本是32元,求這種矩形原料成本的年平均下降率;
例4題圖
(2)將該矩形原料的四角剪去四個相同的小正方形,然后把剩余部分(陰影部分)
沿虛線折起可做成一個無蓋長方體容器.若該無蓋長方體容器的底面積為140
cmz,求剪去的小正方形的邊長;
(3)若該無蓋長方體容器的成本是50元/個,如果以100元/個銷售,每天可以售
出200個,為盡可能大地讓利購買者,同時減少產(chǎn)品庫存積壓,公司決定降低售
第5頁共11.頁
價,市場調查發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元,銷售數(shù)量就增加20個,則當該公司將
銷售單價定為多少元時,每天的銷售利潤為16000元?
真題及變式
命題點1一元二次方程及其解法(6年4考)
1.(2022廣東14題3分)若%=1是方程f一2%+。=0的根,則a=.
2.(2021廣東14題4分)若一元二次方程爐+"+c=0S,c為常數(shù))的兩根即,%2
滿足一—1,1<%2<3,則符合條件的一個方程為.
命題點2一元二次方程根的判別式(2024.13)
3.(2024廣東13題3分)若關于X的一元二次方程x2+2x+c=0有兩個相等的實
數(shù)根,則。=.
命題點3一元二次方程根與系數(shù)的關系(2019.9)
4.(2019廣東9題3分)已知%1,%2是一元二次方程%2—2%=0的兩個實數(shù)根,下
列結論苗送的是()
A.B.2xi=0C.%I+%2=2D.%:%2=2
4.1變思維——結合兩根關系求系數(shù)
(2024樂山改編)若關于x的一元二次方程r一2%+p=0兩根為xi,%2,且工+工=
X1%2
3,則尸的值為()
22
-B-
A.33
C.-6D.6
新考法
第6頁共11.頁
5」數(shù)學文化]我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題:“今有
圓田一段,中間有個方池.丈量田地待耕犁,恰好三分在記,池面至周有數(shù),每邊
三步無疑.內方圓徑若能知,堪作算中第一.”其大意為:有一塊圓形的田,中間有
一塊正方形水池,測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好72平方步,從水池邊
到圓周,每邊相距3步遠.如果你能求出正方形邊長和圓的直徑,那么你的計算水
平就是第一了.如圖,設正方形的邊長是工步,則列出的方程是.
6.[綜合與實踐]
【主題】探究日歷中的奧秘.
【素材】2024年10月1日是我國成立75周年紀念日,本月日歷如圖所示.
步驟一:在本月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)(如圖所示);
步驟二:設這四個數(shù)從小到大依次為a,b,c,C.
【觀察】小方框中的4個數(shù)a,b,c,d,總存在著某種數(shù)量關系.
【猜想與應用】(1)請用含。的式子表示。,c,d-,
⑵若圈出的4個數(shù)中,最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為128,求這個最大數(shù).
第7頁共11.頁
考點精講
__-Z?±b2-4ac一
①2②W③%=-$-----@<⑤》
2a
⑥。(1+mF⑦。(1-m)2
練考點
1.厚3
2.角星:/="—4ac=(一3>一4x1x2=1,
?%=5或%=3
??A2與XjA2,
.,.x=2或%=1;
一題多解法
(x—1)(%—2)=0,
%—1=0或%—2=0,
解得%=1或x=2.
3.D【解析】,.Z=1,b=~l,c=4,?,./="—4"=(—1>—4xlx4=—15<0,
方程沒有實數(shù)根.
4.3【解析】'.'a=l,c=3,且%r%2=£,由題可知,xi=l,.,,X2=3,即另一
a
個根為3.
5.20%
6.⑴親(2)(2900—%—2500)(8+||)=5000
高頻考點
例1解:(1)等式兩邊同除以5,得(%—3>=9,
開平方,得%一3=±3,
解得%1=6,迫=0;
(2)等式兩邊同加上4,得%2+4%+4=16,
即(%+2)2=16,
第8頁共11.頁
/.x+2=±4,
?=X2=-6;
(3)原方程可變形為(%—3)(%—1)=0,
??.%—3=0或%—1=0,
?=%2=1;
(4)Va=l,b=3,c=l,
.".J=b2—4ac=32—4xlxl=5,
.-b±lb^-4ac_3±V5
??%=-------=-----,
2a2
?_—3+V5_—3—V5
??X],X2?
22
變式1B【解析】,.,3%2+6%—1=0,...3X2+6%=1,x2+2x=|,則%?+2%+1
=-+1,即(X+1)2=±,...0=1,/?=-,.,.a+b=~.
例2⑴左2且厚2【解析】由題意得,42—4x(^—2)x(—1)>0,且左一2聲0,
解得左N—2且左彳2.
(2)左=—2【解析】由題意得,42—4x(左一2)x(—1)=0,且左一2四,解得上=—
2.
(3)左>—2且^【解析】由題意得,42—4x(左一2)x(—1)>0,且左一2和,解得
左〉一2且左#2.
(4)左<—2【解析】由題意得,42—4x(左一2)x(-1)<0,且左一2加,解得左<—
2.
變式2A【解析】.方程(%—1)2=機+2無實數(shù)根,...7九+2<0,...機<—2.
變式3A【解析】,關于%的方程X2—(2左一2)%+左2—1=0有兩個實數(shù)根,
=[一(2左一2)F—4xlx(R—1巨0,整理得一8左+8N0,:.k<l,:.k~l<0,2~k>0,
—(2—k)2=—(k—l)—(2—k)=-l.
第9頁共11.頁
例3(1)3【解析】???x2—6x+2=0,.??沏+%2=—2=6,x\xi=-=2,/.—+—=
CLdX-y%2
比2+%—2
Xi%2'
⑵32【解析】由(1)得%I+%2=6,%I%2=2,.,.淄+/=(%1+%2)2—2即%2=36—4
=32.
⑶12【解析】由(1)得%l+%2=6,XlX2=2,X1X2+x\xl=X2X1(X1+%2)=2x6=
12.
變式4%2—4=0(答案不唯一)【解析】設所求方程式%2+"+c=o,?.?方程的
兩根互為相反數(shù),???一?=一匕=%1+%2=0,£=c=%r%2<0,?,?所求方程為X?+c
aa
=0(c<0),.?.滿足條件的方程可以為爐一4=0(答案不唯一).
例4解:(1)設這種矩形原料成本的年平均下降率為%,
由題意得50(1—%)2=32,
解得%i=1.8(舍去),%2=0.2=20%.
答:這種矩形原料成本的年平均下降率為20%;
(2)設剪去的小正方形的邊長是%cm,則長方體容器底面的長為(20—2%)cm,寬
為(16—2%)cm,
由題意得(20—2%)(16—2%)=140,
解得%i=3,X2=15,
?.?當%=15時,16—2%<0,,%=15不符合題意,舍去,
答:剪去的小正方形的邊長為3cm;
⑶設該公司將銷售單價定為%元,
由題意得(%—50)[200+20(100―創(chuàng)=16000,
整理,得工之一160%+6300=0,
解
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年漆包線項目資金籌措計劃書代可行性研究報告
- 葛洲壩集團投資管理辦法
- 虹口區(qū)倉庫庫存管理辦法
- 融資性擔保公司管理辦法
- 衡陽電動車管理辦法規(guī)定
- 街道無主小區(qū)管理辦法
- 裝配車間易耗品管理辦法
- 西安無病例小區(qū)管理辦法
- 計劃外資金審批管理辦法
- 證監(jiān)會內部信息管理辦法
- 浙江省杭州市保俶塔中學2025屆七上數(shù)學期末綜合測試試題含解析
- 【課件】空間向量運算的坐標表示(課件)數(shù)學人教A版2019選擇性必修第一冊
- (零診)成都市2023級高三高中畢業(yè)班摸底測試數(shù)學試卷(含答案)
- 廣東省佛山市2024-2025學年高一下學期6月期末考試 數(shù)學 含解析
- 2025年全國高校輔導員素質能力大賽基礎知識測試題及答案(共3套)
- 律師事務所客戶信息保密規(guī)定
- 云南楚雄州金江能源集團有限公司招聘筆試真題2024
- 2025-2030中國動力電池回收利用技術路線與經(jīng)濟性評估分析研究報告
- 7下期末家長會課件
- 酒店前廳服務流程標準化管理
- 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)產(chǎn)品經(jīng)理專業(yè)顧問聘用協(xié)議
評論
0/150
提交評論