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文檔簡介

微專題07一元二次方程及其應用

考點精講

構建知識體系

,一元二次方程/特殊/[一的判別式及其應制

_[ft象為V學校P■”加、(根勺系數(shù)的關匐

,J直接開平方法

因式分解法*

!方

/公式捺程

配方法

,I___檢驗

小際問題的時-----方程的程x=1理TlK

_________________2g

考點梳理

1.一元二次方程的相關概念

⑴概念:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①的整式方程

⑵一般形式:ax2+Z?x+c=0(a,b,c為常數(shù),a②0)

2.一元二次方程的解法(6年4考)

解法適用情況或步驟

直接開(1)當方程缺少一次項時,即方程aP+cuOmWO,ac<0);

平方法(2)形如(%+機)2="("之0)的方程

⑴常數(shù)項為0,即方程依2+版=0(存0);

因式分

(2)一元二次方程的一邊為0,而另一邊是易于分解成兩個一次因式的乘積

解法

注:方程求解過程中,等式兩邊不能同時約去含有相同未知數(shù)的因式

適用于所有一元二次方程,求根公式為③僅2—4比>0)

步驟:(1)使用求根公式時要先把原一元二次方程化為一般形式,方程的

公式法右邊一定要化為0;

(2)判斷屬一4℃的正負:若廿―4比④0,則原方程無實數(shù)解;若

〃一4ac⑤0,則原方程有實數(shù)解

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注:將a,b,c代入公式時應注意其符號

適用于:(1)二次項系數(shù)化為1后,一次項系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程]

(2)各項的系數(shù)比較小且便于配方的情況

步驟:以2/一8%+4=0為例

(1)變形:將二次項系數(shù)化為1,得%2—4%+2=0;

酉己方法

(2)移項:將常數(shù)項移到方程的右邊,得爐一4%=—2;

(3)配方:方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方,得4%+4=—2

+4,即(%—2,=2;

(4)求解:用直接開平方法求解,得%1=2+應,%2=2—V2

3.一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系(6年2考)

⑴根的判別式:b2-4ac叫做一元二次方程

⑵一元二次方程根的情況與判別式的關系:

①左一4?c>00方程有兩個丕相等的實數(shù)根;

②82—4ac=00方程有兩企相等的實數(shù)根;

③左一4ac<0用程沒有實數(shù)根

(3)根與系數(shù)的關系:若一元二次方程依z+bx+cMog/),加―4。侖0)的兩實數(shù)根

分別為為1,%2,則%1+%2=—',X1-X2=£(2022年版課標調整為考查內容)

CLCL

4.一元二次方程的實際應用

(1)變化率=鬻*100%;

平均基礎量

變化(2)設。為原來量,當機為平均增長率,增長次數(shù)為2,。為增長后的量時,

率問則⑥-----=戾

題(3)設。為原來量,當機為平均下降率,下降次數(shù)為2,。為下降后的量時,

則⑦=b

利潤(1)利潤=售價一成本;

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問題(2)利潤率=瞿*1。。%;

(3)每每問題:單價每漲。元,少賣8件.若漲價y元,則少賣的數(shù)量為2y

面積

r-A-

問題s陰影=(。一S陰影=(〃一

S陰影=(a-%)(/7-%)

2x)(Z?-2%)x)(Jb-x)

練考點

1.若關于%的方程(左一3M2—8%—10=0是一元二次方程,則k的取值范圍

是.

2.解方程:x2—3%+2=0.

3.一元二次方程/—X+4=0的根的情況為()

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

4.關于%的一元二次方程%2—m+3=0的一個根是1,則該方程的另一個根

為.

5.為了滿足師生的閱讀需求,某校園圖書館的藏書從2022年至2024年兩年內由

5萬冊增加到7.2萬冊,則這兩年藏書的年平均增長率為.

6.某商場銷售某種冰箱,每臺進貨價為2500元.調查發(fā)現(xiàn),當銷售價為2900元

時,平均每天能售出8臺.調查發(fā)現(xiàn),若銷售價每降低50元,則平均每天能多售

出4臺.

第3頁共11.頁

⑴若銷售價降低1元,則平均每天能多售出臺;

⑵已知商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元,設每臺冰箱降價

%元,可列方程為.

高頻考點

考點1一元二次方程及其解法(6年4考)

例1(人教九上習題改編)用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)5(X—3)2=45;(2)x2+4x=12;

(3)V—4%+3=0;(4)X2+3X+1=0.

變式1(2024東莞一模改編)用配方法解一元二次方程3x2+6x-l=0時,將它

化為(%+。)2=》的形式,則a+b的值為()

A.—B.-C.2D.-

333

考點2一元二次方程根的判別式(2024.13)

例2已知關于x的一元二次方程(左一2)_?+4%—1=0,請回答下列問題:

(1)若原方程有實數(shù)根,則k的取值范圍是;

(2)若原方程有兩個相等的實數(shù)根,則上的取值范圍是;

(3)若原方程有兩個不相等的實數(shù)根,則上的取值范圍是:

(4)若原方程沒有實數(shù)根,則k的取值范圍是,

易錯警示

本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽略“一元二次方程中二次項的系數(shù)不等于0”這個條件.

變式2若方程(%—1)2=機+2無實數(shù)根,則冽的取值范圍為()

A.m<—2B.m<-2C.m>_2D.m>-2且m#0

變式3(2023廣州)已知關于%的方程(2左一2)%+R—1=0有兩個實數(shù)根,則

J(k—1)2—12—4)2的化簡結果是()

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A.-1B.1C.-l~2kD.2k~3

考點3一元二次方程的根與系數(shù)的關系(2019.9)

例3(人教九上習題改編)設為,乃是方程%2—6%+2=0的兩個實數(shù)根,則:

(2)町+好=;

(3)%1%2+%1%2=.

變式4(2024佛山二模)若一個關于%的一元二次方程的兩根互為相反數(shù),請你

寫出一個滿足條件的方程:.

考點4一元二次方程的實際應用

例4根據(jù)市場需求,某公司的業(yè)務規(guī)模快速擴大,如圖是該公司用來生產(chǎn)一種

無蓋長方體容器的矩形原料,該矩形原料的長為20cm,寬為16cm.

(1)隨著技術逐年更新,該矩形原料的成本不斷下降,前年一張矩形原料的成本是

50元,今年一張矩形原料的成本是32元,求這種矩形原料成本的年平均下降率;

例4題圖

(2)將該矩形原料的四角剪去四個相同的小正方形,然后把剩余部分(陰影部分)

沿虛線折起可做成一個無蓋長方體容器.若該無蓋長方體容器的底面積為140

cmz,求剪去的小正方形的邊長;

(3)若該無蓋長方體容器的成本是50元/個,如果以100元/個銷售,每天可以售

出200個,為盡可能大地讓利購買者,同時減少產(chǎn)品庫存積壓,公司決定降低售

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價,市場調查發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元,銷售數(shù)量就增加20個,則當該公司將

銷售單價定為多少元時,每天的銷售利潤為16000元?

真題及變式

命題點1一元二次方程及其解法(6年4考)

1.(2022廣東14題3分)若%=1是方程f一2%+。=0的根,則a=.

2.(2021廣東14題4分)若一元二次方程爐+"+c=0S,c為常數(shù))的兩根即,%2

滿足一—1,1<%2<3,則符合條件的一個方程為.

命題點2一元二次方程根的判別式(2024.13)

3.(2024廣東13題3分)若關于X的一元二次方程x2+2x+c=0有兩個相等的實

數(shù)根,則。=.

命題點3一元二次方程根與系數(shù)的關系(2019.9)

4.(2019廣東9題3分)已知%1,%2是一元二次方程%2—2%=0的兩個實數(shù)根,下

列結論苗送的是()

A.B.2xi=0C.%I+%2=2D.%:%2=2

4.1變思維——結合兩根關系求系數(shù)

(2024樂山改編)若關于x的一元二次方程r一2%+p=0兩根為xi,%2,且工+工=

X1%2

3,則尸的值為()

22

-B-

A.33

C.-6D.6

新考法

第6頁共11.頁

5」數(shù)學文化]我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題:“今有

圓田一段,中間有個方池.丈量田地待耕犁,恰好三分在記,池面至周有數(shù),每邊

三步無疑.內方圓徑若能知,堪作算中第一.”其大意為:有一塊圓形的田,中間有

一塊正方形水池,測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好72平方步,從水池邊

到圓周,每邊相距3步遠.如果你能求出正方形邊長和圓的直徑,那么你的計算水

平就是第一了.如圖,設正方形的邊長是工步,則列出的方程是.

6.[綜合與實踐]

【主題】探究日歷中的奧秘.

【素材】2024年10月1日是我國成立75周年紀念日,本月日歷如圖所示.

步驟一:在本月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)(如圖所示);

步驟二:設這四個數(shù)從小到大依次為a,b,c,C.

【觀察】小方框中的4個數(shù)a,b,c,d,總存在著某種數(shù)量關系.

【猜想與應用】(1)請用含。的式子表示。,c,d-,

⑵若圈出的4個數(shù)中,最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為128,求這個最大數(shù).

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考點精講

__-Z?±b2-4ac一

①2②W③%=-$-----@<⑤》

2a

⑥。(1+mF⑦。(1-m)2

練考點

1.厚3

2.角星:/="—4ac=(一3>一4x1x2=1,

?%=5或%=3

??A2與XjA2,

.,.x=2或%=1;

一題多解法

(x—1)(%—2)=0,

%—1=0或%—2=0,

解得%=1或x=2.

3.D【解析】,.Z=1,b=~l,c=4,?,./="—4"=(—1>—4xlx4=—15<0,

方程沒有實數(shù)根.

4.3【解析】'.'a=l,c=3,且%r%2=£,由題可知,xi=l,.,,X2=3,即另一

a

個根為3.

5.20%

6.⑴親(2)(2900—%—2500)(8+||)=5000

高頻考點

例1解:(1)等式兩邊同除以5,得(%—3>=9,

開平方,得%一3=±3,

解得%1=6,迫=0;

(2)等式兩邊同加上4,得%2+4%+4=16,

即(%+2)2=16,

第8頁共11.頁

/.x+2=±4,

?=X2=-6;

(3)原方程可變形為(%—3)(%—1)=0,

??.%—3=0或%—1=0,

?=%2=1;

(4)Va=l,b=3,c=l,

.".J=b2—4ac=32—4xlxl=5,

.-b±lb^-4ac_3±V5

??%=-------=-----,

2a2

?_—3+V5_—3—V5

??X],X2?

22

變式1B【解析】,.,3%2+6%—1=0,...3X2+6%=1,x2+2x=|,則%?+2%+1

=-+1,即(X+1)2=±,...0=1,/?=-,.,.a+b=~.

例2⑴左2且厚2【解析】由題意得,42—4x(^—2)x(—1)>0,且左一2聲0,

解得左N—2且左彳2.

(2)左=—2【解析】由題意得,42—4x(左一2)x(—1)=0,且左一2四,解得上=—

2.

(3)左>—2且^【解析】由題意得,42—4x(左一2)x(—1)>0,且左一2和,解得

左〉一2且左#2.

(4)左<—2【解析】由題意得,42—4x(左一2)x(-1)<0,且左一2加,解得左<—

2.

變式2A【解析】.方程(%—1)2=機+2無實數(shù)根,...7九+2<0,...機<—2.

變式3A【解析】,關于%的方程X2—(2左一2)%+左2—1=0有兩個實數(shù)根,

=[一(2左一2)F—4xlx(R—1巨0,整理得一8左+8N0,:.k<l,:.k~l<0,2~k>0,

—(2—k)2=—(k—l)—(2—k)=-l.

第9頁共11.頁

例3(1)3【解析】???x2—6x+2=0,.??沏+%2=—2=6,x\xi=-=2,/.—+—=

CLdX-y%2

比2+%—2

Xi%2'

⑵32【解析】由(1)得%I+%2=6,%I%2=2,.,.淄+/=(%1+%2)2—2即%2=36—4

=32.

⑶12【解析】由(1)得%l+%2=6,XlX2=2,X1X2+x\xl=X2X1(X1+%2)=2x6=

12.

變式4%2—4=0(答案不唯一)【解析】設所求方程式%2+"+c=o,?.?方程的

兩根互為相反數(shù),???一?=一匕=%1+%2=0,£=c=%r%2<0,?,?所求方程為X?+c

aa

=0(c<0),.?.滿足條件的方程可以為爐一4=0(答案不唯一).

例4解:(1)設這種矩形原料成本的年平均下降率為%,

由題意得50(1—%)2=32,

解得%i=1.8(舍去),%2=0.2=20%.

答:這種矩形原料成本的年平均下降率為20%;

(2)設剪去的小正方形的邊長是%cm,則長方體容器底面的長為(20—2%)cm,寬

為(16—2%)cm,

由題意得(20—2%)(16—2%)=140,

解得%i=3,X2=15,

?.?當%=15時,16—2%<0,,%=15不符合題意,舍去,

答:剪去的小正方形的邊長為3cm;

⑶設該公司將銷售單價定為%元,

由題意得(%—50)[200+20(100―創(chuàng)=16000,

整理,得工之一160%+6300=0,

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