第2章 相交線與平行線（基礎(chǔ)篇）北師大版

第2章相交線與平行線（基礎(chǔ)篇）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，N1與N2是直線A3和CD被直線AE所截形成的（）

A,同位角B.內(nèi)錯角C.同旁內(nèi)角D.不能確定

2.如圖，直線AB與C。相交于點。，若/1+/2=80。，則/I等于（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

3.己知NA=70。，則NA的補角的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.110°D.130°

4.如圖，在AABC中，D、E、F分別在AB、BC、AC上，且跖〃A3,要使。尸〃3C,

只需再有下列條件中的（）即可.

A.Z1=Z2B.Z1=ZDFEC.Z1=ZAFDD.Z2=ZAFD

5.如圖，DEHBC,BE平分/ABC,若Nl=70,則NCBE的度數(shù)為（）

A.20B.35C.55D.70

6.如圖，若AB〃CD,CD〃EF,那么NBCE=()

A.Z1+Z2B.Z2-Z1

C.18O°-Z1+Z2D.18O°-Z2+Z1

7.如圖，將長方形紙片ABC。折疊，使點。與點5重合，點。落在點。處，折痕為ER

若NA8E=25。，則NWC的度數(shù)為（）

C.135°D.140°

8.如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的NA=120。，第二次拐的

N5=150。，第三次拐的NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則NC是

A.120°B.130°C.140°D.150°

9.將一直角三角尺與兩邊平行的紙條按如圖所示放置，下列結(jié)論:

①N1=N2；②N3=N4;③N2+N4=90。；④N4+N5=180。.正確的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

10.已知直線用//〃，將一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖方式放置（NABC=3O。），B

A.25°B,30°C.35°D.55°

二、填空題（本大題共9小題，每小題4分，共36分）

11.如圖，Zl=120°,Z2=45°,若使b〃c,則可將直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度.

12.如圖，己知“4,直線/分別與44相交于C,。兩點，現(xiàn)把一塊含30°角的直角三角中尺

按如圖所示的位置擺放.若4=130。，貝"2=

13.如圖，已知/1=/2,/B=35。，則N3='

14.如圖，直線a"b,Zl=65°,Z2=140°,則N3的度數(shù)是度

15.如圖，直線AB〃CD,BC平分乙血），4=54。，則N2的大小是

16.一把直尺和一塊三角板A8C（含30。、60。角）擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板

的兩直角邊分別交于點。和點E,另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點尸和點4若NCDE

=40°,則/A4尸的大小為.

17.如圖，OA//CB,OC//AB.若Nl=50°,則N2的大小為___度.

18.將等腰直角三角形紙片和矩形紙片按如圖所示的方式疊放在一起，若Nl=30。，則N2

的大小為.

19.如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=5,8c=12,AB=13.點P是線段AB上的一

個動點，則CP的最小值為

三、解答題（本大題共9小題，共84分）

20.（8分）如圖，平面上有三個點A、B、C.

??

AB

（1）根據(jù)下列語句按要求畫圖.

①畫射線A3,用圓規(guī)在線段的延長線上截取（保留作圖痕跡）；

②連接CA、CD、CB-

③過點C畫CELAD,垂足為點E；

④過點D畫DF//AC,交CB的延長線于點F.

（2）①在線段CA、CE、C。中，線段最短，依據(jù)是.

②用刻度尺或圓規(guī)檢驗OF與AC的大小關(guān)系為.

21.（8分）如圖，已知AB〃CD,BE平分ZABC,CE平分/BCD,求證Nl+N2=90。.

證明：；的平分/A5c（已知），

N2=（），

同理N1=,

/.Z1+Z2--,

2

又（已知）

ZABC+NBCD=（),

Zl+Z2=90°.

B

22.(8分)如圖，點。在直線A3上，0c平分/BOD,0EL0C.

(1)已知NDOC=26。，求NAOE的大??；

(2)若NBOC=a,請通過計算判斷0E是否平分ZAOD.

23.（8分）已知：如圖，AB//CD,Zfi+Z￡）=180°.求證：BF//ED.

BF

24.（10分）在五邊形ABCDE中，ZA=135°,AE_LED,AB〃CD,ZB=ZD,試求NC

的度數(shù).

25.(10分)直線EF、GH之間有一個直角三角形ABC,其中/BAC=90。，ZABC=a.

(1)如圖1,點A在直線EF上，B、C在直線GH上，若/。=60。，ZFAC=30°.求證:

EF//GH;

(2)將三角形ABC如圖2放置，直線EF〃GH,點C、B分別在直線EF、GH上，且BC

平分NABH,直線CD平分NFCA交直線GH于D.在儀取不同數(shù)值時，/BCD的大小是

否發(fā)生變化？若不變求其值，若變化指出其變化范圍.

26.(10分)如圖，已知NAOB=140。，/COE與/EOD互余,1平分NAOZX

(1)若/COE=40。，求/。和N8O。；

(2)設(shè)NCOE=a,/BOD=B，試探究a與尸之間的數(shù)量關(guān)系.

27.(10分)學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們

解決許多問題.

(1)小明遇到了下面的問題：如圖44，點P在4、4內(nèi)部，探究NA,ZAPB,NB的

關(guān)系.小明過點尸作《的平行線，可得到NAPfi,NA,4之間的數(shù)量關(guān)系是：ZAPB=

(2)如圖2,若AC〃9，點尸在AC、8。外部，ZA,NB,NAPB的數(shù)量關(guān)系如何？

為此，小明進(jìn)行了下面不完整的推理證明.請將這個證明過程補充完整，并在括號內(nèi)填上依

據(jù).過點P作尸EZMC.

/.ZA=ZAPE()

,?AC//BD,

BD//PE()

ZB=ZBPE,

,/ZAPB=ZBPE-ZAPE,

/.ZAPB=.()

(3)隨著以后的學(xué)習(xí)你還會發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途.如圖3,在小學(xué)中我們已知道，三角

形4BC中，NA+ZB+NC=180°.試構(gòu)造平行線說明理由.

圖1圖2圖3

28.（12分）探究：如圖1直線A3、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C,點￡＞在

線段AB上過點。作DE//3C交AC于點E,過點E作EF//交BC于點F.若ZABC=50。，

求/。跖的度數(shù).

請將下面的解答過程補充完整，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）

解：DE//BC,

:.ZDEF=.（）

EF//AB,

=ZABC.（）

:.ZDEF=ZABC.（等量代換）

ZABC=50°,

ZDEF=.

應(yīng)用：如圖2,直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C,點。在線段AB的延

長線上，過點。作。E〃臺C交AC于點E,過點E作所//AB交8C于點E若ZABC=65。，

求NDEF的度數(shù)并說明理由

圖1圖2

參考答案

1.C

【分析】

兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的內(nèi)部,并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角.

【詳解】

解：如圖，

Z1與Z2是直線AB和CD被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角.

故選：C.

【點撥】本題主要考查了同旁內(nèi)角的概念，同位角的邊構(gòu)成“尸'形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z'形,

同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“?！?

2.A

【分析】

根據(jù)對頂角的性質(zhì)，可得N1的度數(shù).

【詳解】

解：由對頂角相等，得

Z1=Z2,又Nl+N2=80°,

.,.Zl=40°.

故選：A.

【點撥】本題考查的是對頂角，掌握對頂角相等這一性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵.

3.C

【分析】

兩個角的和為180。，則這兩個角互補，利用補角的含義直接列式計算即可.

【詳解】

解：ZA=70°,

NA的補角180?70?110?,

故選C

【點撥】本題考查的是互為補角的含義，掌握“兩個角的和為180。，則這兩個角互補”是解本

題的關(guān)鍵.

4.B

【詳解】

：EF〃AB,.\Z1=Z2（兩直線平行，同位角相等）.?；N1=NDFE,

.-.Z2=ZDFE（等量代換），，DF〃:BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以只需滿足下列條件中的/1=/DFE.故選B.

5.B

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/l=ZABC=70,再根據(jù)角平分線的定義可得答案.

【詳解】

??DE//BC,

Zl=ZABC=70,

BE平分ZAfiC,

/.ZCBE=-ZABC^35,

2

故選B.

【點撥】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)

錯角相等.

6.D

【分析】

先根據(jù)AB〃CD得出NBCD=/1,再由CD〃EF得出NDCE=18（F-N2,再把兩式相加即可

得出結(jié)論.

【詳解】

解：：AB〃CD,

.?.NBCD=N1,

：CD〃EF,

ZDCE=180°-Z2,

/.ZBCE=ZBCD+ZDCE=18O°-Z2+Z1.

故選D.

【點撥】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)

角互補.

7.A

【分析】

由折疊的性質(zhì)知：NEBC、/BC下都是直角，因此那么/ER7和/BEP互補，

欲求/EFC的度數(shù)，需先求出N3跖的度數(shù)；根據(jù)折疊的性質(zhì)知所=/￡>￡/,而/AEB

的度數(shù)可在RtAABE中求得，由此可求出N8E尸的度數(shù)，即可得解.

【詳解】

解:RtAABE中,ZABE=25°,

：.ZAEB=90°-ZABE=90°-25°=65°；

由折疊的性質(zhì)知：ZBEF=ZDEF；

而NBED=180°-ZAEB=115°,

：.ZBEF=-ZBED=57.5°；

2

,：ZEBC=/D=NBCF=/C=90°,

：.BE//C'F,

:./BEF+NEFC'=180。

：.ZEFC'=180°-ZBEF=122.5°.

故選：A.

【點撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

過點2作直線8。與第一次拐彎的道路平行，由題意可得NA=NASD=120。，進(jìn)而可得

ZDBC=30°,然后問題可求解.

【詳解】

解：過點8作直線8。與第一次拐彎的道路平行，如圖所示：

D,

A

/出

//,?

，f/

z

..?第三次拐的NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，

直線3。與第三次拐彎的道路也平行，

,/ZA=120。，

?.ZA=ZABD=120°,ZDSC+ZC=180°,

ZB=150°,

/.ZDBC=30°,

，ZC=150°；

故選D.

【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】

根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補，及直角三角板的特殊性解答.

【詳解】

解：???紙條的兩邊平行，

.?.①N1=N2（兩直線平行，同位角相等）；②N3=N4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；④N4

+/5=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）；

又：直角三角板的直角為90°,

.*.③/2+/4=90。，

故選：D.

【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正

確答題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】

作直線?！ㄐ?，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到/4的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得

到結(jié)論.

【詳解】

解：作直線?！ㄏ?，

B

:直線m//n,

?■?直線a//m//n,

；./3=/2,Z4=Z1=25°,

又；三角板中，ZABC^30°,

則ZACB=60°,

.?.N2=N3=60°-25°=35°,

故選：C.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.15

【分析】

先根據(jù)鄰補角的定義得到（如下圖）N3=60。，根據(jù)平行線的判定當(dāng)b與a的夾角為45。時,

b〃c,由此得到直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。-45。=15。.

【詳解】

解：如圖：

n

，/3=60°,

：N2=45°,

.?.當(dāng)N3=N2=45°時，b//c,

，直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°-45°=15°.

故答案為：15.

【點撥】本題考查的是平行線的判定定理，熟知同位角相等，兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵.

12.20°

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NBDC的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差即可得.

【詳解】

如圖，?.?/1=130。4〃/2，

ZCZ)B=50°,

ZADB=30°,

：.Z2=NCDB-ZADB=50°-30°=20°.

故答案為200

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差，屬于基礎(chǔ)題型，熟記各定義與性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

13.35

【詳解】

分析：

根據(jù)“平行線的判定和性質(zhì)”結(jié)合“已知條件”分析解答即可.

詳解：

VZ1=Z2,

；.AB〃CE,

.?.Z3=ZB=35°.

故答案為35.

點睛：熟記“平行線的判定方法和性質(zhì)”是解答本題的關(guān)鍵.

14.105

【分析】

首先過點A作AB〃a,由2〃＞可得AB〃a〃b,然后利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補與

兩直線平行，同位角相等，即可求得答案.

【詳解】

解：過點A作AB〃a,

：a〃b,

；.AB〃a〃b,

.1.Z2+Z4=180°,

,.,Z2=140°,

.-.Z4=40°,

VZ1=65°,

/3=/1+/4=65。+40。=105。（兩直線平行同位角相等）.

【點撥】此題考查了平行線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補與兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用.

15.72°

【分析】

由AB//CD可得=ZCDB+ZDBA=180°,由平分NASD,Nl=54?？汕蟮?/p>

NAB。，根據(jù)對頂角相等即可求得N2.

【詳解】

ABIICD

Zl=NCBA=54°,NCDB+/DBA=180°,

BC平分NAB。，

ZABD=2ZCBA=108°,

NCDB=180°-108°=72°,

.-.Z2=ZCDB=72O,

故答案為：72。

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對頂角相等，掌握以上知識點是解題

的關(guān)鍵.

16.10°

【分析】

先根據(jù)NCZ)E=40。，得出NCEO=50。，再根據(jù)即可得到NC4F=50。，最后根據(jù)

ZBAC=60°,即可得出NBAP的大小.

【詳解】

由圖可得，ZCDE=40°,ZC=90°,

：.ZCED^50°,

5L'：DE//AF,

：.ZCAF=50°,

'：ZBAC=60°,

：.ZBAF=6Q°-50°=10°,

故答案為：10°.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì).

17.130

【分析】

根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NO=50°，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得/2的

度數(shù).

【詳解】

解：'：OC//AB,Zl=50°,

.?.Z6>=50°,

'：OA//CB,

：.Z2=130°.

故答案為：130.

【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.15°

【分析】

由題意得2〃＞則N3=/1=3O。，再由等腰直角三角形可得/4=45。，最后運用角的和差

即可解答.

【詳解】

解：如圖：

由題意得：a〃b

.?.N3=N1=3O°

丁等腰直角三角形

N4=45°

.?.Z2=Z4-Z3=15°

故答案為15°.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及角的和差等知識點，其靈活

運用平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

60

19.—

13

【分析】

當(dāng)時，CP的值最小，利用面積法求解即可.

【詳解】

解：在尺公ABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,AB=13,

當(dāng)CPLAB時，CP的值最小，

此時：△ABC的面積

.,.13CP=5xl2,

???.叱

13

故答案為：2?

【點撥】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求

高.

20.（1）見解析；（2）①CE；垂線段最短；②相等

【分析】

（1）根據(jù)題意作圖即可；

（2）根據(jù)垂線段最短以及圓規(guī)進(jìn)行檢驗即可.

【詳解】

（1）如圖所示，即為所求；

（2）①根據(jù)垂線段最短可知，在線段C4、CE、中，線段“最短；

②用圓規(guī)檢驗

【點撥】本題主要考查了畫平行線，畫垂線，畫線段，垂線段最短等等，熟知相關(guān)知識是解

題的關(guān)鍵.

21.|ZABC；角平分線的定義；；/BCD；（ZABC+ZBCD）；180°；兩直線平行，同旁內(nèi)

角互補

【分析】

由平行線的性質(zhì)可得到NBAC+/ACD=180。，再結(jié)合角平分線的定義可求得Nl+N2=90。，

可得出結(jié)論，據(jù)此填空即可.

【詳解】

證明：平分NABC（已知），

：.Z2=^ZABC（角平分線的定義），

同理

2

：.Z1+Z2=^（ZABC+ZBCD）,

又（已知）

...NABC+NBC￡>=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

.,.Zl+Z2=90°.

故答案為：!ZABC；角平分線的定義；|ZBCD；(ZABC+ZBCD)；180°；兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(1)64°；(2)OE平分ZAOD

【分析】

(1)根據(jù)0c平分N80D,可以得到N3OC=/￡>OC=26。，根據(jù)OE1_OC,可以得到

ZEOC=90°,再根據(jù)NEOC+N8OC+NAOE=180。，即可求解；

(2)根據(jù)OC平分/2?！?,可以得到/BOC=NDOC=a,根據(jù)OE_LOC,可以得到/EOC=90。,

從而得到/AOE=90"a,ZAOD=180°-2a,即可判斷求解.

【詳解】

解：(1)?.?。。平分/2。。，ZDOC=26°,

：.ZBOC=ZDOC=26°,

\'OE±OC,

ZEOC=90°,

又；ZEOC+ZBOC+ZAO￡=180°,

ZAOE=180°-ZEOC-ZBOC=64°；

(2)OE平分ZAOD,理由如下：

：OC平分NBOO,ZBOC=a,

：.ZBOD=2ZBOC=2a

：.ZA(9D=180o-ZB(9D=180o-2a,

\'OE±OC,

：.ZEOC=90°,

又：ZEOC+ZBOC+ZAOE=180°,

NAOE=180O-/EOC-/BOC=9(r-a；

ZAOD=2ZAOE,

：.OE平分N4OD.

【點撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌

握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

23.證明見解析.

【分析】

根據(jù)A3〃C。可以得到NB+/CGB=180。，再根據(jù)4+/。=180?？傻肗CG2=/D,最后根

據(jù)平行線的判定定理即可證明BF//ED.

【詳解】

證明：'JABHCD（已知），

...NB+NCGB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

VZfi+Z￡>=180°（已知），

：.ZCGB=ZD（同角的補角相等）.

C.BFIIED（同位角相等，兩直線平行）.

【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和判定定理，熟練掌握以上知識點是解題關(guān)鍵.

24.45°

【詳解】

延長BA、DE相交于點F

VAEXED

ZAEF=90°

VZBAE=ZF+ZAEF

ZBAE=135°

ZF=45°

VAB//CD

ZF+ZD=18O°,ZB+ZC=18O°

ZD=180o-ZF=180°-45o=135°

,/ZB=ZD

.".ZB=135°

VZB+ZC=180°

ZC=45°

25.（1）證明見解析；（2）不變，45°.

【分析】

Cl）要想求得兩條直線平行，我們先要確定題中的內(nèi)錯角相等，即證明NEAB=NABC,

由題知/ABC=60°,ZFAC=30°,所以ZEAB=ZABC=180°-ZBAC-ZFAC=180o-90°-30o=60°,

所以EF〃GH.

(2)過點A作AM平行EF和GH,本題利用平行線間的同旁內(nèi)角互補，ZA=90°,求得

ZFCA+ZABH=270°,在利用已知條件中的兩個角平分線，得到NFCD+NCBH=135。，再利

用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知/CBH=/ECB,即NFCD+/ECB=135。，所以可以求得

ZBCD的度數(shù).

【詳解】

解：(1)先要確定題中的內(nèi)錯角相等，即證明NEAB=NABC,

VZEAB=180°-ZBAC-ZFAC,ZBAC=90°,NFAC=30°

...NEAB=60°,

又ABC=60。，

AZEAB=ZABC,

，EF〃GH；

(2)經(jīng)過點A作AM〃GH,又EF〃GH,

；.AM〃EF〃GH,

.?.ZFCA+ZCAM=180°,ZMAB+ZABH=180°,ZCBH=ZECB,

又：ZCAM+ZMAB=ZBAC=90°,

ZFCA+ZABH=270°,

又；BC平分/ABH,CD平分NFCA,

AZFCD+ZCBH=135°,又NCBH=NECB,即NFCD+/ECB=135°,

.?.ZBCD=180°-(ZFCD+ZECB)=180°-135°=45°.

考點：1.平角定義；2.平行線性質(zhì)與平行公理推論的應(yīng)用.

26.(1)NEOD=50。,ZBOD=40°；(2)/?=2?-40°.

【分析】

(1)根據(jù)互余的性質(zhì)求出4EOD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NAOD,結(jié)合圖形計算即可;

(2)根據(jù)互余的性質(zhì)用。表示NEOD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出乙4OD,結(jié)合圖形列式計

算即可.

【詳解】

解：

(1);NCOE與NEOD互余,ZCOE=40°,

，ZEOD=90°-40°=50°,

平分ZAO￡>,

ZAOD=2NEOD=100°,

：.ZBOD=ZAOB-ZAOD=140°—100°=40°,

ZEOD=50°,NBOD=40。；

(2)VZCOE=a,且/COE與NEOD互余,

，ZEOD=90°-a,

平分ZAOD,

ZAOD=2(90。-(z),

.”+2(90。-