廣東省深圳市2025年中考數(shù)學(xué)模擬測試卷（含解析）

廣東省深圳市2025年中考數(shù)學(xué)模擬測試卷

滿分100分

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.簡簡單單的七巧板能拼出千變?nèi)f化的圖形.殊不知七巧板作為中國傳統(tǒng)玩具在國外也甚為流傳，被稱

為“唐圖”.下面四幅七巧板拼圖的形狀是中心對稱圖形的是（）

C.

2.實(shí)數(shù)。與6在數(shù)軸上的位置如圖所示,則它們的大小關(guān)系是（）

______g,,§.

'-10'"工

A.a>bB.a—bC.a<bD.無法確定

3.下列各式計(jì)算正確的是（）

A.3a（1-a）—3a-3tz2B.。3+。4=2。7

C.（-ab3）3=/廬D.（a+萬）2—cr+b2

4.不透明的袋子中裝有3個紅球，2個黑球,這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機(jī)摸出一個球，則

摸出紅球的概率是（）

2321

--C--

A.5B.53D.2

5.一個等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放（厚度忽略不計(jì)），若Na=20°,則N0的度

數(shù)為（）

A.45°B.40°C.25°D.20°

6.如圖，尺規(guī)作NH/G=NA8C,作圖痕跡中弧MN是（)

A.以點(diǎn)P為圓心，以BE長為半徑的弧B.以點(diǎn)尸為圓心，以。E長為半徑的弧

C.以點(diǎn)G為圓心，以8E長為半徑的弧D.以點(diǎn)G為圓心，以O(shè)E長為半徑的弧

7.地理老師介紹：長江比黃河長836千米,黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284千米.小東為了求

出長江和黃河的長度，設(shè)長江長為x千米，黃河長為y千米，可列方程組為（）

A(x-y=836(x-y=836

(6y-5x=1284(6x-5y=1284

(x+y=836(x+y=836

C(6y-5x=1284D'(5%-6y=1284

8.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量園博園“福塔”A8的高度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水

平地面142根的P點(diǎn)，測得“福塔”頂端A的俯角為37°,再將無人機(jī)面向“福塔”沿水平方向飛行

210m到達(dá)。點(diǎn)，測得“福塔”頂端A的俯角為45°,則“福塔”AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù):

334

tan37°右彳，sin37°?-cos37。右可)

A.48mB.50mC.51mD.52m

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

9.己知a是方程/+2X=3的一個根，則代數(shù)式a2+2a+2Q25的值為.

10.如圖，從一個大正方形中截去面積為15a層和24t7后的兩個小正方形后剩余部分（陰影部分）的面積

11.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊C￡）的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，OE長為半徑作弧，交于點(diǎn)凡若

BCE=2S&ABF,矩形ABC。的面積為8,則圖中扇形的面積為

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOCB為菱形，tern乙40C=$且點(diǎn)A落在反比例函數(shù)y=|上,

貝ljk=

13.在等腰AABC中,AB=AC,。是BC上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DELAD交AC延長線于點(diǎn)E,若tanZBAC=竽,

解答題（共7小題，滿分61分）

14.（5分）計(jì)算：（2-&）。++口.

3-xx2+x

15.（7分）先化簡，再求值：—其中x=W.

X2-6X+9X-3

16.（8分）為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加法律知識競賽，在相同條件下對他們的法律知識進(jìn)行

了10次測驗(yàn)，成績?nèi)缦拢海▎挝唬悍郑?/p>

甲成績76849084818788818584

乙成績82868790798193907478

(1)請?zhí)顚懴卤?

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差85分以上的頻率

甲848414.40.4

乙848434-

(2)利用以上的信息，請你對甲、乙兩名同學(xué)的成績進(jìn)行分析.

17.(8分)小明用的練習(xí)本可以到甲超市購買，也可以到乙超市購買.已知兩超市的標(biāo)價都是每本1元,

但甲超市的優(yōu)惠條件是購買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價的70%賣；乙超市的優(yōu)惠條件是每本都按

標(biāo)價的85%賣.

(1)當(dāng)小明要買20本時，到哪家超市購買較省錢？

(2)寫出在甲超市購買，總價y甲(元)與購買本數(shù)尤(本)(x>10)的關(guān)系式

(3)小明現(xiàn)有24元，最多可以買多少本練習(xí)本？

18.(9分)如圖，以等腰三角形A8C的一腰BC為直徑作。。，分別交另一腰AB和底AC于點(diǎn)N,連

接ON并延長交。。的切線CP于點(diǎn)P,連接PM.

(1)求證：OP//AB.

(2)延長尸。交于點(diǎn)。，求證：PM2^PN-PD.

19.(12分)如圖1,已知拋物線y=cz?+Zw+c與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C

(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸?！ㄡ茌S交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作PEL8C

于點(diǎn)E,當(dāng)△PDE的周長最大時，求出△P￡)￡的周長最大值及此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)△「￡)￡的周長最大時，將點(diǎn)8沿射線AC的方向平移遮個單位至點(diǎn)8,再

將線段38沿射線BC方向平移，點(diǎn)8、8的對應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)M、N.在平移過程中，點(diǎn)P、M、N是

否能構(gòu)成以PN為腰的等腰三角形，若能，直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

（圖1）（圖2）

20.(12分)【問題背景】

“綜合與實(shí)踐”課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們剪拼圖形，用發(fā)展的眼光看問題，感受圖形的變換美！

【特例感知】

(1)如圖(1),紙片42C。為矩形，且AZ)=4,AB=2,點(diǎn)、E,尸分別為邊A。，BC的中點(diǎn)，沿斯將

紙片剪成兩部分，將紙片DEFC沿紙片ABFE的對角線EB方向向上平移.

①當(dāng)紙片。EFC平移至點(diǎn)E'與質(zhì)的中點(diǎn)。重合時，兩個紙片重疊部分FGE'X的面積與原矩形紙片

ABCD的面積之比是.

1

②當(dāng)兩個紙片重疊部分FGE'H的面積與原矩形紙片ABCD的面積之比是一時，則平移距離EE'

16

為.

【類比探究】

(2)如圖(2),當(dāng)紙片KLMN為菱形,KN=aQ>2),NN=60°時，將紙片KZJWN沿其對角線KM

剪開，將紙片KLM沿方向向上平移.當(dāng)兩個紙片重疊部分K,PM的面積與紙片KZJW的面積之比

1

為一時，求平移距離KK'（用含a的式子表示）.

2

【拓展延伸】

（3）某小組將圖（2）剪下來的△山”與圖（1）中的四邊形A8FE按圖（3）的方式放在同一平面內(nèi)，

使點(diǎn)L與點(diǎn)B重合，ML與BF重合.將△MKL從如圖（3）所示的起始位置開始繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)a

（0°<a<30°）,旋轉(zhuǎn)過程中，邊KL與邊AE相交于點(diǎn)T,邊刈與邊EF相交于點(diǎn)S,連接ST.請

直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中SABFS,SAABT之間的數(shù)量關(guān)系.

圖（1）圖（2）圖（3）

廣東省深圳市2025年中考數(shù)學(xué)模擬測試卷

解析卷

一.選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.簡簡單單的七巧板能拼出千變?nèi)f化的圖形.殊不知七巧板作為中國傳統(tǒng)玩具在國外也甚為流傳，被稱

為“唐圖”.下面四幅七巧板拼圖的形狀是中心對稱圖形的是（）

A.B.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：選項(xiàng)A,C中的圖形是軸對稱圖形，選項(xiàng)B中的圖形是中心對稱圖形，選項(xiàng)。中的圖形

不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.

故選：B.

2.實(shí)數(shù)。與6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則它們的大小關(guān)系是()

_____?,,§r

*-10*%

A.a>bB.a=bC.a<bD.無法確定

【分析】結(jié)合數(shù)軸表示確定實(shí)數(shù)〃與人的符號和大小.

【解答】解：由題意得，

a<O<b,

故選：C.

3.下列各式計(jì)算正確的是()

A.3。(1-tz)=3〃-3/B.〃3+Q4=2〃7

C.(-tzZ?3)3=〃389D.(Q+Z?)2=〃2+房

【分析】根據(jù)完全平方公式、合并同類項(xiàng)、幕的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即

可.

【解答】解：A3a(1-。)=3Q-3〃2,故本選項(xiàng)符合題意；

B.〃3+〃4=2〃7不能合并同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.(-〃/)3=-故本選項(xiàng)不符合題意；

D.Ca+b')2=a2+b2+2ab,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

4.不透明的袋子中裝有3個紅球，2個黑球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機(jī)摸出一個球，則

摸出紅球的概率是（）

2321

A.—B.-C.一D.一

5532

【分析】用紅球的個數(shù)除以球的總數(shù)即可.

33

【解答】解：摸出紅球的概率為T工=

3+25

故選：B.

5.一個等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放（厚度忽略不計(jì)），若Na=20°,則N0的度

數(shù)為（）

A.45°B.40°C.25°D.20°

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出NAC3=45°,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NMC8=Na=30°,

再根據(jù)角的和差求解即可.

???AABC是等腰直角三角形，

AZABC=ZACB=45°,

■:CM〃BN,

：.ZMCB=Za=30°,

.\ZP=ZACB-ZMCB=25°,

故選：C.

6.如圖，尺規(guī)作N"/G=NA8C,作圖痕跡中弧MN是（)

A

DN

BCF

A.以點(diǎn)P為圓心,以BE長為半徑的弧

B.以點(diǎn)尸為圓心,以QE長為半徑的弧

C.以點(diǎn)G為圓心,以8E長為半徑的弧

D.以點(diǎn)G為圓心,以。E長為半徑的弧

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的作圖方法判斷即可.

【解答】解：由作圖可知，弧是以點(diǎn)G為圓心，以。E長為半徑的弧.

故選：D.

7.地理老師介紹：長江比黃河長836千米，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284千米.小東為了求

出長江和黃河的長度，設(shè)長江長為x千米，黃河長為y千米，可列方程組為（）

（x—y=836

A，（6y-5x=1284

（x—y=836

B'{6x-5y=1284

c（x+y=836

{6y-5x=1284

D（x+y=836

-6y=1284

【分析】根據(jù)“長江比黃河長836千米，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284千米”可以列出相

應(yīng)的方程組，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

（x—y=836

[6y-5x=1284，

故選：A.

8.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量園博園“福塔”A8的高度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水

平地面142m的P點(diǎn)，測得“福塔”頂端A的俯角為37。，再將無人機(jī)面向“福塔”沿水平方向飛行

210根到達(dá)0點(diǎn)，測得“福塔”頂端A的俯角為45°,則“福塔”的高度約為（）（參考數(shù)據(jù):

334

tan37°=彳，s譏37°=耳，cos37°n耳）

A.48mB.50mC.51mD.52m

【分析】延長BA交P。于點(diǎn)C,根據(jù)題意可得：BCLPQ,BC=142m,然后設(shè)PC=_r〃z,則CQ=(210

-x)m,從而分別在RtaAPC和RtaACQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，進(jìn)而列出關(guān)于

x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：延長交P。于點(diǎn)C,

由題意得：BCLPQ,8c=142加，

設(shè)PC—xm,

"：PQ=2l0m,

：.CQ=PQ-CP=(210-x)m,

在Rt/XAPC中，ZAPC=31°,

，AC=PC?tan37°噬元(加，

在RtZiACQ中，NAQC=45°,

，AC=CQ?tan45°=(210-x)m,

3

.".-x—210-x,

4

解得：尤=120,

.*.AC=210-尤=90(m),

AC=142-90=52(m),

故選：D.

填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)

9.已知a是方程/+2X=3的一個根，則代數(shù)式/+2°+2025的值為2028

【分析】將x=a代入方程，再結(jié)合整體思想即可解決問題.

【解答】解：因?yàn)閍是方程/+2x=3的一個根，

所以『+2a=3,

則J+2a+2025=3+2025=2028.

故答案為：2028.

10.如圖，從一個大正方形中截去面積為15c扇和24”?的兩個小正方形后剩余部分(陰影部分)的面積

【分析】根據(jù)題意求出陰影部分的面積進(jìn)而得出答案.

【解答】解：如圖所?。河深}意可得：AB=V24=2-\/6(cm),

BC=BE=A/T5(cm),

故兩個陰影部分面積和為：2(2V6xV15)=12710(cm2),

故答案為：12V10(cm2).

11.如圖，點(diǎn)E是矩形ABC。的邊CO的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)R若以

47r

BCE=2SAABF,矩形ABCQ的面積為8,則圖中扇形的面積為一.

-3-

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形面積得出DF=1AD,DE=由矩形面積為8可得DE2=學(xué)，再

由扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：由題意可知，DE=EC=DF=^CD=

,:S&BCE=2SAABF,即#C?BC=2X^AB-AF,而EC=%B,

：.BC=4AF=AD,

?矩形ABC。的面積為8,即而A2=2OE,DF^^AD,

3

：.2DEx^DE=8

qf

即￡>E2=學(xué)，

...圖中扇形DEF的面積S=9。糅一=萼.

36U3

47r

故答案為：—.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOCB為菱形，tGiN40C=:且點(diǎn)4落在反比例函數(shù)y=￡上,

【分析】過點(diǎn)48作x軸的垂線,垂足分別為D、E,然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值結(jié)合勾股定理求得，2),

。4=|,再求得點(diǎn)8(4,2),利用待定系數(shù)法求解即可.

【解答】解：過點(diǎn)A、8作無軸的垂線，垂足分別為。、E,

AD4

0D~3’

設(shè)AD=4〃，則。。=3〃,

點(diǎn)A（3〃，4〃），

由題意可得：3〃?4〃=3,

1Q

(負(fù)值已舍)，則點(diǎn)2),

.\AD=2,0D=2，

0A=y/OD2+AD2=I，

'：AB=OA=I，AB//CO,

???點(diǎn)B(4,2),

??,點(diǎn)B落在反比例函數(shù)y=((/c。0)上,

.*.^=4X2=8,

故答案為：8.

13.在等腰AABC中,AB=AC,D是BC上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DELAD交AC延長線于點(diǎn)E,若tanZBAC=竽,

【分析】過點(diǎn)A作APLBC于點(diǎn)P,過點(diǎn)2作①/LAC于點(diǎn)過點(diǎn)E作所，BC交BC的延長線于點(diǎn)

F,在中，根據(jù)tanN2AC=需=竽，設(shè)皮/=24a,AH=7a,利用勾股定理分別求出A8=AC

=25a,CH=lSa,BC=30a,則BP=CP=15a,再求出BD=10a,貝!]CD=20a,DP=5a,AP=20a,

Ap4FFEF4

進(jìn)而得tan/ACP=囂=全tanNECF=器，根據(jù)/ACP=NECP得法=?設(shè)EF=4k,CF=3k,則

r)pi/7/74k

CE=5k,DF=20a+3k,證明/D4P,再根據(jù)tan/D4尸=蕓=%tan/5￡>F=益=―得

/Ir4UrZU十D/C

磊/解得八罌進(jìn)而得C￡=5七喑,據(jù)此即可得出也值.

【解答】解：過點(diǎn)A作APLBC于點(diǎn)P,過點(diǎn)2作①/LAC于點(diǎn)"過點(diǎn)E作E尸，BC交BC的延長線

于點(diǎn)R如圖所示:

則AP//EF,

在RtZ\A2H中，tan/8AC=器=竽，

.?.設(shè)BH=24a,AH=1a,

由勾股定理得：AB=y/BH2+AH2=V(24cz)2+(7a)2=25a,

.\AB=AC=25af

：.CH=AC-AH=25a-7。=18m

在RtZkBCH中，由勾股定理得：BC=<BH2+CH2=7(24a)2+(18a)2=30(7,

VAPXBC,

：.BP=CP=15a,

.BD2

??=一,

AB5

：.BD=|AB=Ix25a=10a,

CD=BC-BD=30a-10a=20a,DP—BP-BD—15a-10〃=5〃，

在RtAACP中，由勾股定理得：AP='AC?—CP2=J(25a)2-(15a)2=20°,

204

ADa

--=-

/.tanZACP=宙=15a3

在RtZXC跖中，tmZECF=

,/ZACP=ZECFf

.EF4

??—―,

CF3

設(shè)EF=4k,CF=3k,

由勾股定理的：CE=VFF2+CF2=V(4/c)2+(3/c)2=5k,

：.DF=CD+CF=20a+3公

DP_5a

在RtAAPD中，tanZDAP=AP=2^a

,.,FF4k

在RtZXQEF中，皿=而=誠筋,

\9DELAD,APLBC,

：.ZEDF+ZADP=90°,ZZ)AP+ZAZ)P=90°,

：.ZEDF=ZDAP,

4k1

20a+3/c4

解得：k=鬻

100a

：.CE=5k=

13'

AC25a13

TGZE=-i-o-o--a-一4

13

三.解答題（共7小題，滿分61分）

14.（5分）計(jì)算：（2-夜）。+岳+口.

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕的性質(zhì)、算術(shù)平方根和立方根的定義，先算乘方和開方，再算加減即可.

【解答】解：原式=1+4+（-2）

=5+(-2)

=3.

13—x

15.（7分）先化簡’再求值：力—三荔仿其中尤=遍?

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將X的值代入計(jì)算可得答案.

【解答】解：原式=2+x-3x-3

(x-3)2%(無+1)

=^1+^1)

%+1

%(%+1)

1

x

x=遍時，原式=絡(luò).

當(dāng)

16.（8分）為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加法律知識競賽，在相同條件下對他們的法律知識進(jìn)行

了10次測驗(yàn)，成績?nèi)缦拢海▎挝唬悍郑?/p>

甲成績76849084818788818584

乙成績82868790798193907478

（1）請?zhí)顚懴卤?

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差85分以上的頻率

甲848414.40.4

84

乙8484340.5

90

(2)利用以上的信息，請你對甲、乙兩名同學(xué)的成績進(jìn)行分析.

【分析】(1)先把甲的成績由小到大排列，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解；根據(jù)眾數(shù)的定義得到乙的眾數(shù)為

90；然后根據(jù)頻率的公式計(jì)算乙的頻率；

(2)通過表中數(shù)據(jù)比較平均數(shù)和中位數(shù)，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果比較眾數(shù)和85分以上的次數(shù)，根據(jù)方差大

小比較成績的穩(wěn)定性.

【解答】解：(1)甲的成績由小到大排列為：76,81,81,84,84,84,85,87,88,90,所以甲的中

1

位數(shù)為］(84+84)=84,

乙的眾數(shù)為90；

乙中85分以上的次數(shù)為5；

乙的頻率=磊=0.5；

故答案為:84；90,0.5；

(2)兩個同學(xué)的平均數(shù)和中位數(shù)相同，乙的眾數(shù)比甲班高，85分以上的次數(shù)乙要多；但甲的方差比乙

要小，成績更穩(wěn)定.

17.(8分)小明用的練習(xí)本可以到甲超市購買，也可以到乙超市購買.已知兩超市的標(biāo)價都是每本1元,

但甲超市的優(yōu)惠條件是購買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價的70%賣；乙超市的優(yōu)惠條件是每本都按

標(biāo)價的85%賣.

(1)當(dāng)小明要買20本時，到哪家超市購買較省錢？

(2)寫出在甲超市購買，總價y甲(元)與購買本數(shù)尤(本)(x>10)的關(guān)系式

(3)小明現(xiàn)有24元，最多可以買多少本練習(xí)本？

【分析】(1)根據(jù)兩家超市的優(yōu)惠條件進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)當(dāng)尤>10時，IX10+1X70%(x-10)=0.7無+3,求解即可；

(3)由(1)(2)知，超過17元時，甲商店每本顯然低于乙店，故用24元應(yīng)到甲商店買，當(dāng)y=24時，

24=0.7尤+3,求解即可.

【解答】解：(1)甲超市收款為：1X1O+1X7O%X(20-10)=17(:元)，

乙超市收款為：1X85%X2O=17(元)，

.,?小明要買20本時，到兩家超市購買的費(fèi)用相同；

(2)當(dāng)x>10時，y=lX10+lX70%(X-10)=0.7尤+3,

即總價y甲(元)與購買本數(shù)x(本)(x>10)的關(guān)系式為y=0.7x+3；

(3)由(1)(2)知，超過17元時，甲商店每本顯然低于乙店，故用24元應(yīng)到甲商店買，

當(dāng)y=24時，24=0.7x+3,

解得：x=30,

答：小明用24元最多可買30本.

18.(9分)如圖，以等腰三角形A8C的一腰為直徑作OO,分別交另一腰AB和底AC于點(diǎn)N,連

接ON并延長交O。的切線CP于點(diǎn)P,連接

(1)求證：OP//AB.

(2)延長尸。交于點(diǎn)。，求證：P嶺=PN?PD.

【分析】(1)連接BN,利用三角形的中位線定理即可解決問題;

(2)連接OM.證明是。。的切線即可解決問題；

【解答】(1)證明：連接

是直徑，

:./BNC=90°,

：.BN±AC,

\'BA=BC,

：.AN=NC,

'JOB^OC,

J.ON//AB,BPOP//AB.

(2)證明：連接OM.

,JOM^OB,

：.ZOBM=ZOMB,

'：PD//AB,

：.ZPOCZOBM,ZPOM=ZOMB,

:./POC=/POM,

'：OP^OP,OM^OC,

.'.△POM2APOC(SAS),

ZPMO=ZPCO,

是O。的切線，

：.PCLOC,

.../PCO=90°,

：.ZOMP=9Q°,

J.OMLPM,

；.9是0。的切線，

：.PM1=PN-PD.

19.(12分)如圖1,已知拋物線y=4+6x+c與龍軸交于點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C

(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是直線8C上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸￡>〃x軸交于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作PEJ_8C

于點(diǎn)E,當(dāng)△PDE的周長最大時，求出△PCE的周長最大值及此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)APDE的周長最大時，將點(diǎn)B沿射線AC的方向平移遮個單位至點(diǎn)8,再

將線段沿射線8C方向平移，點(diǎn)8、夕的對應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)加、N.在平移過程中，點(diǎn)尸、M、N是

否能構(gòu)成以PN為腰的等腰三角形，若能，直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

(圖1)(圖2)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

(2)根據(jù)BD〃x軸，PE_L8C得出條件判定△尸則可得出。E：PE-.PD=3：4：5,從

而可將的周長用尸。表示出來，設(shè)尸(“2,—金2+|〃?+4),可得。(幻2一品，一金2+|〃?+4),

從而產(chǎn)。=-品2+|帆，然后得出△PDE的周長為關(guān)于機(jī)的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案;

(3)由點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)寫出直線AC的解析式，由平移的規(guī)律可得點(diǎn)2、3的對應(yīng)點(diǎn)M、N的關(guān)系，

設(shè)M(n,-$+4),則N(n+1)-$+6).由兩點(diǎn)距離公式得出PM2=等滔—竽〃+尸”=胡后一苧〃+竽，

MN2=5.若點(diǎn)P、M、N能構(gòu)成以PN為腰的等腰三角形，則有兩種情況：①以尸為頂點(diǎn)，②以N為頂

點(diǎn)，分別得出關(guān)于〃的方程，解得w的值，則可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo).

【解答】解：(1)?..點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0、C(0,4)在拋物線的圖象上，

將它們代入y—cu?+bx+c得：

4a-2b+c=0卜=一9

；.[9a+3b+c=0,解得上2，

(c=4P=3

5=4

???拋物線的解析式為產(chǎn)-|X2+|X+4；

(2)*：B(3,0)、C(0,4),

：.OB=3,OC=4,

在RtABOC中,BC=-JOB2+OC2=5.

???尸?！ㄔS,

；?/PDE=/CBO,

'：PE±BC,

：.ZPED=ZCOB=90°,

.'.△PDE^ACBO,

：.DE：PE：尸0=3：4：5,

???APDE的周長CNDE=爭D,

?；B（3,0）、C（0,4）,

4

???直線BC的解析式為y=3-

設(shè)尸（相，—1m2+^m+4）,

???尸?！?軸交5C于點(diǎn)D,

112?2

D(—m2—-^m,—3加+km+4)，

2233

13

PD=-2機(jī)9+2機(jī),

.「62,18

??CAPDE=--^m+-g-m

=_((7YI-^)2+2.7,

v-1<0,

o37

當(dāng)根=3時，△2￡>￡的周長取得最大值，最大值為2.7,此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-，-)；

222

(3)VA(-2,0)、C(0,4),

直線AC的解析式為y=2x+4,

VBB'=V5,即點(diǎn)B向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到點(diǎn)9,

.?.點(diǎn)8、⑶的對應(yīng)點(diǎn)M、N也同樣有3、8的位置關(guān)系，且點(diǎn)M在直線上，

44

???設(shè)M（n,-鏟+4）,則N（n+L—鏟+6）.

37

由（2）得P（一，一），

22

."序=爭2一爭什|,/=引2_爭—竽M爐=5.

若點(diǎn)尸、M、N能構(gòu)成以PN為腰的等腰三角形，貝U：

①以尸為頂點(diǎn)，尸序=尸.，則等2一爭+|=等“2一爭什學(xué)

解得77=靜，此時點(diǎn)N的橫坐標(biāo)XN=音

②以N為頂點(diǎn)，Pa=MN?,則等2一金+苧=5,

解得片嗎翌此時點(diǎn)N的橫坐標(biāo)刈=里等%

綜上所述，符合題意的點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為凸或空磬^或衛(wèi)2等棗.

55050

20.(12分)【問題背景】

“綜合與實(shí)踐”課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們剪拼圖形，用發(fā)展的眼光看問題，感受圖形的變換美！

【特例感知】

(1)如圖(1),紙片ABC。為矩形，且AO=4,AB=2,點(diǎn),E,尸分別為邊A。，8C的中點(diǎn)，沿EF將

紙片剪成兩部分，將紙片DEFC沿紙片ABFE的對角線EB方向向上平移.

①當(dāng)紙片。EFC平移至點(diǎn)與的中點(diǎn)。重合時,兩個紙片重疊部分尸GE'X的面積與原矩形紙片

ABCD的面積之比是1：8.

1

②當(dāng)兩個紙片重疊部分FGE'H的面積與原矩形紙片ABCD的面積之比是一時，則平移距離EE'為

16

V2-1或&+1_.

【類比探究】

(2)如圖(2),當(dāng)紙片KLMN為菱形,KN=a(a>2),NN=60°時，將紙片KLMN沿其對角線KM

剪開，將紙片KLM沿KM方向向上平移.當(dāng)兩個紙片重疊部分K'PM的面積與紙片的面積之比

1

為萬時，求平移距離KK'(用含a的式子表示).

【拓展延伸】

(3)某小組將圖(2)剪下來的△山”與圖(1)中的四邊形A2FE按圖(3)的方式放在同一平面內(nèi)，

使點(diǎn)L與點(diǎn)、B重合，ML與BF重合.將從如圖(3)所示的起始位置開始繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)a

(0°<a<30°),旋轉(zhuǎn)過程中，邊KL與邊AE相交于點(diǎn)T,邊刈與邊EF相交于點(diǎn)S,連接ST.請

直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中S-TL,SABFS,SAABT之間的數(shù)量關(guān)系.

2由中點(diǎn)。為EB的中點(diǎn)，E與。

重合，得出EE'=VL進(jìn)而即可得解;

11

②由兩個紙片重疊部分FGE'H的面積與原矩形紙片ABCD面積之比是一，得出S四邊形FGE，H=:然

16N

后可得2—1(EE)—/(2/—EE')2=I，解方程即可得解；

(2)由平移得△MK'PsAMKL,進(jìn)而可得出MK'u￥a,再進(jìn)行線段和差即可;

(3)如圖，延長EA到尸，使4P=SE連BP,過點(diǎn)S作SALL3T交于點(diǎn)N,過點(diǎn)P作尸。_LBT交

牛在丁'

BT于點(diǎn)。，利用面積公式求出工臣=BT-BS,SABPT=BS,得出“臣=V3SABPr,進(jìn)而即

可得解；

【解答】解：⑴①：AO=4,AB=2,

?'?S矩形ABCO=2X4=8，

丁點(diǎn)石，尸分別為邊A。，8。的中點(diǎn)，

.=1=