生活中的圓周運動（解析版）-2024-2025學(xué)年高一物理（人教版必修第二冊）

生活中的圓周運動

學(xué)習(xí)目標(biāo)

2022年課程標(biāo)準(zhǔn)物理素養(yǎng)

物理觀念：能識別生活中各類圓周運動實例，如汽車過拱形橋、火車

轉(zhuǎn)彎、航天器中的圓周運動等，清晰闡述它們的運動特征，包括線速度、

2.2.3會用線速度、角速度、

角速度、向心加速度的方向與大小特點，深入理解向心力來源在不同場景

周期描述勻速圓周運動。知

下的差異，精準(zhǔn)判斷向心力是由摩擦力、彈力、重力或它們的合力提供。

道勻速圓周運動向心加速度

科學(xué)思維：面對生活中的圓周運動復(fù)雜情境，能簡化模型，如將汽車

的大小和方向。通過實驗，

簡化為質(zhì)點，把實際的道路情況抽象為理想的圓周路徑，運用理想化方法

探究并了解勻速圓周運動向

分析問題，培養(yǎng)抓住主要矛盾的能力。

心力大小與半徑、角速度、

科學(xué)探究：針對生活中的圓周運動現(xiàn)象，能自主提出探究問題，如探

質(zhì)量的關(guān)系。能用牛頓第二

究游樂場摩天輪不同位置的受力情況，設(shè)計可行的探究方案，包括確定研

定律分析勻速圓周運動的向

究對象、選擇實驗器材、規(guī)劃實驗步驟等，培養(yǎng)問題意識與方案設(shè)計能力。

心力。了解生產(chǎn)生活中的離

科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：深刻認(rèn)識圓周運動知識在生活、科技、工程等領(lǐng)域

心現(xiàn)象及其產(chǎn)生的原因。

的廣泛應(yīng)用，如高速離心機分離物質(zhì)、衛(wèi)星繞地球軌道運行等，感受物理

對推動社會發(fā)展的強大力量，激發(fā)學(xué)習(xí)物理的內(nèi)在動力與社會責(zé)任感。

知識梳理

知識點一、汽車過弧形橋

1.汽車過拱形橋

(1)向心力來源與受力分析

當(dāng)汽車在拱形橋的最高點時，汽車受到豎直向下的重力G和橋面對它豎直向上的支持力

N。此時，汽車做圓周運動的向心力是由重力和支持力的合力提供的，即向F向=G—N。

2

根據(jù)向心力公式為n=rv竺(其中m是汽車質(zhì)量，v是汽車速度，r是拱形橋的半徑)，

r

nr\)iriV

可得機g—N=——，所以N=mg---------

rr

(2)速度對壓力的影響

2

當(dāng)汽車速度V增大時，根據(jù)N=mg-"，橋面對汽車的支持力N會減小。當(dāng)v=

r

時，N=0,此時汽車對橋面的壓力為零，汽車處于臨界狀態(tài)。

2.汽車過凹形圖

在凹形橋的最低點，汽車受到豎直向下的重力G和橋面對它豎直向上的支持力N,此時

mv2mv2tnv2

向心力片j=N—G。根據(jù)弓=—,可得N—G=—,即N=—+機g?？梢钥闯?，

rrr

汽車速度越大，橋面對汽車的支持力越大。

知識點二、火車轉(zhuǎn)彎

1.水平軌道

當(dāng)火車在水平軌道上轉(zhuǎn)彎時，如果內(nèi)外軌一樣高，火車車輪有沿外軌向外滑動的趨勢。

此時，火車轉(zhuǎn)彎的向心力是由外軌對火車輪緣的側(cè)向彈力提供的。

2.外軌高于內(nèi)軌

實際的鐵路彎道處，外軌會高于內(nèi)軌?；疖囀艿截Q直向下的重力G和垂直于軌道平面向

上的支持力N。此時，重力和支持力的合力提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力。

設(shè)軌道平面與水平面的夾角為。，根據(jù)幾何關(guān)系和向心力公式，可得

mv2

=mgtanO=—,火車按規(guī)定速度行駛時，輪緣幾乎不受側(cè)向壓力。

r

知識點三、航天器中的離心運動

1.向心力的來源

航天器在距地面100-200km繞地球做圓周運動時，它的軌道半徑近似等于地球的半徑

R,它受到地球的引力近似等于飛船的重力mg。

2.航天員對航天器壓力的影響

航天器繞地球運動時，航天員除受重力mg,還受航天器的支持力FN,故向心力

ir2iV1TI2VI

7^=mg-FN=----,航天員對航天器的壓力為=mg------，當(dāng)丫=）熊時，F(xiàn)N=0,

RR

航天員處于完全失重狀態(tài)。

知識點四、離心運動與近心運動

1.離心運動

mv~

（1）概念：當(dāng)提供的向心力F向小于物體做圓周運動所需的向心力一時，物體將做

r

逐漸遠(yuǎn)離圓心的離心運動。

（2）應(yīng)用：洗衣機的脫水筒在高速旋轉(zhuǎn)時，衣物中的水由于所需向心力大于筒壁提供

的向心力，水做離心運動而脫離衣物。

2.近心運動

mv~

當(dāng)提供的向心力F向大于物體做圓周運動所需的向心力一時，物體將做逐漸靠近圓心

r

的近心運動。比如，用繩子系著小球做圓周運動，如果突然減小線速度，繩子拉力大于小

球所需向心力，小球就會做近心運動。

問題探究

問題一：車輛轉(zhuǎn)彎問題

【角度1】汽車轉(zhuǎn)彎問題

【典例1]（2024?山東煙臺?三模）如圖所示，兒W為半徑為:一的;圓弧路線，NP為長度19廠

4

的直線路線，為半徑為4r的:圓弧路線，為長度16r的直線路線。賽車從M點

4

以最大安全速度通過圓弧路段后立即以最大加速度沿直線加速至最大速度外并保持為勻速

行駛。已知賽車勻速轉(zhuǎn)彎時徑向最大靜摩擦力和加速時的最大合外力均為車重的左倍，最大

速度％=6癡1g為重力加速度，賽車從M點按照MNP路線運動到尸點與按照腦V/，路

線運動到P點的時間差為（）

【答案】C

【解析】賽車從M點按照MNP路線運動到P點過程，在圓周運動過程有

2

v_7]_12兀Y

在NP直線路線勻加速過程有

kmg=max,vm=v,+。也

解得

,n^kgr5y/kgr

zi=-7；-'z2=~；-

2kgkg

在NP直線路線勻加速至最大速度過程的位移為

ss

再=^--t2=17.5r<19r

則勻速過程的時間

,_19r-X[y[kgr

q=------=-----

%4kg

賽車從M點按照WP路線運動到P點過程，在圓周運動過程有

V2_7^_12乃?4尸

km￡=m—,’4=-7=:------

64r44%

在MP，直線路線勻加速過程有

kmg=ma2,vm=v2+a2t5

解得

在直線路線勻加速至最大速度過程的位移為

x2="4=16r

即勻加速至最大速度時，恰好到達(dá)P,則賽車從M點按照MNP路線運動到P點與按照

路線運動到P點的時間差為

故選C。

/3.點技解法通則

1.分析受力情況

汽車轉(zhuǎn)彎時，主要受到以下力的作用：重力、支持力、靜摩擦力。

2.向心力公式

0my2

F'=—

r

其中，F(xiàn)n是向心力，m是汽車的質(zhì)量，v是汽車的速度，r是轉(zhuǎn)彎半徑。

在汽車轉(zhuǎn)彎問題中，靜摩擦力提供向心力，因此有：

mv2

J,n=-----

r

3.確定不發(fā)生側(cè)滑的條件

汽車不發(fā)生側(cè)滑的條件是靜摩擦力不超過最大靜摩擦力，即：備〈所

其中，N是摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是支持力（通常等于重力）。

由于支持力通常等于汽車的重力，因此有：

mv2

<jumg

化簡得:

4.解題步驟

（1）確定已知量：如汽車的質(zhì)量，轉(zhuǎn)彎半徑，摩擦系數(shù)等。

（2）應(yīng)用向心力公式：寫出靜摩擦力提供向心力的公式。

（3）求解最大安全速度：利用不發(fā)生側(cè)滑的條件求解汽車的最大安全速度。

（4）分析實際情況：根據(jù)題目要求，分析汽車的實際速度是否超過最大安全速度，從而判

斷汽車是否會側(cè)滑。

【變式1T】（23-24高一下?云南大理?期中）圖甲是汽車通過凸形橋時的情景，圖乙是汽車

急轉(zhuǎn)彎時的情景。若已知圖甲中凸形橋圓弧半徑為R；圖乙中轉(zhuǎn)彎圓弧半徑也為R,路面外

側(cè)高內(nèi)側(cè)低，傾角為"重力加速度為g,則以下說法正確的是（）

A.圖甲中汽車通過橋頂時，速度越大，汽車對橋面的壓力越大

B.圖甲中如果車速1，=風(fēng)，一定會出現(xiàn)“飛車現(xiàn)象”

C.圖乙中只要車速v<JgAtan。,車輛一定向內(nèi)側(cè)滑動

D.圖乙中即使車速v>JgRtanJ,車輛不一定向外側(cè)滑動

【答案】D

【解析】A.圖甲中汽車通過橋頂時，根據(jù)牛頓第二定律可得

mg-F=m—

NK

由此可知，速度越大'汽車對橋面的壓力越小，故A錯誤；

B.圖甲中如果車速丫=M，則此時FN為零，即此時為“飛車現(xiàn)象”的臨界狀態(tài)，故B錯

誤；

C.圖乙中只要車速v<JgRtan。,車輛有向內(nèi)運動的趨勢，若車輛與地面間的側(cè)向靜摩擦

力足夠大，車輛也可能不會向內(nèi)側(cè)滑動，故C錯誤；

D.圖乙中當(dāng)車速v>JgRtand,車輛有向外運動的趨勢，若車輛與地面間的側(cè)向靜摩擦力

足夠大，車輛不一定向外側(cè)滑動，故D正確。

故選D。

【變式1-2］（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）汽車的自動泊車系統(tǒng)持續(xù)發(fā)展。如圖所示為某次

電動汽車自動泊車全景示意圖。汽車按圖示路線（半徑為6m的;圓弧與長為5m的直線構(gòu)

成）順利停車。汽車與地面間的動摩擦因數(shù)為0.3（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），重力

加速度g=10m/s2,汽車可視為質(zhì)點，下列說法正確的是（）

A.汽車在轉(zhuǎn)彎過程中受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用

B.汽車在轉(zhuǎn)彎過程中做勻變速曲線運動

C.汽車在轉(zhuǎn)彎過程中的最大允許速度為3啦m/s

D.汽車在泊車過程中受到的摩擦力總是與運動方向相反

［答案1C

【解析】A.汽車在轉(zhuǎn)彎過程中受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力只是效果力，故

A錯誤；

B.汽車在轉(zhuǎn)彎過程中，加速度方向時刻發(fā)生變化，不是做勻變速曲線運動，故B錯誤；

C.根據(jù)牛頓第二定律可得

v2

/mng=m—

r

可得汽車在轉(zhuǎn)彎過程中的最大允許速度為

vm=Jjugr=A/0.3X10X6IH/s=3V2m/s

故C正確；

D.汽車在泊車過程中摩擦力不僅要改變汽車的速度大小，還要改變汽車的速度方向，所以

摩擦力的方向不是與總與運動方向相反，故D錯誤。

故選C。

I角度2】火車轉(zhuǎn)彎問題

【典例2］（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）如圖甲所示，在修筑鐵路時，為了消除輪緣

與鐵軌間的擠壓，要根據(jù)彎道的半徑和規(guī)定的行駛速度，設(shè)計適當(dāng)?shù)膬A斜軌道，即兩個軌道

存在一定的高度差。如圖乙所示，火車軌道在某轉(zhuǎn)彎處其軌道平面傾角為仇轉(zhuǎn)彎半徑為乙

在該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛的速度為v,則下列說法中正確的是（）

A.火車運動的圓周平面為圖乙中的。

B.當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時，火車實際轉(zhuǎn)彎速度越小越好

C.當(dāng)火車行駛的速率大于Jgrtan。時,外側(cè)鐵軌對車輪的輪緣施加壓力

D.當(dāng)火車行駛的速率等于向病時，內(nèi)、外側(cè)鐵軌對車輪的輪緣均無壓力

1答案】C

【解析】A.火車運動的圓周平面為水平面，為圖中的b,故A錯誤；

D.由重力與支持力的合力提供向心力可得

v2

mgtan—m一

r

所以在該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛的速度為

v=Jgrtan0

故D錯誤；

C.由C項分析可知，當(dāng)火車行駛的速率大于Jgrtan4時,外側(cè)鐵軌對車輪的輪緣施加壓力,

故C正確；

B.若火車行駛的速度小于設(shè)計速度時，內(nèi)側(cè)鐵軌對車輪的輪緣施加壓力，速度越小，壓力

越大，內(nèi)軌道和輪緣之間的磨損越嚴(yán)重，故B錯誤。

故選C。

【變式2-1］（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，擺式列車可以解決轉(zhuǎn)彎半徑過小造成

的離心問題，擺式列車是集電腦、自動控制等高新技術(shù)于一體的新型高速列車。當(dāng)列車轉(zhuǎn)彎

時，在電腦控制下，車廂會自動傾斜，使得車廂受到的彈力用與車廂底板垂直，外與車廂

重力的合力恰好提供向心力，車廂沒有離心側(cè)翻的趨勢'當(dāng)列車行走在直線上時，車廂又恢

復(fù)原狀，就像玩具“不倒翁”一樣。它的優(yōu)點是能夠在現(xiàn)有線路上運行，無需對線路等設(shè)施進

行較大的改造。運行實踐表明：擺式列車通過彎道的速度可提高20%~40%,最高可達(dá)

50%,擺式列車不愧為“曲線沖刺能手”。假設(shè)有一超高速擺式列車在水平面內(nèi)行駛，以

360km/h的速度轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎半徑為2km,則質(zhì)量為50kg的乘客在轉(zhuǎn)彎過程中所受到的列車

給他的作用力約為（）

A.500NB.559NC.707ND.0

【答案】B

【解析I列車在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)彎，支持力和重力的合力提供向心力，故列車對乘客的作用力為

?559N

故選B。

【變式2-2］（23-24高一下?山西長治?期末）（多選）如圖甲所示，鋪設(shè)鐵路時，彎道處的

外軌會略高于內(nèi)軌?，F(xiàn)有一列火車以恒定速率v通過一彎道（視為水平圓周運動），火車的

輪緣恰好不對內(nèi)、外軌道擠壓。如圖乙所示為轉(zhuǎn)彎時一節(jié)車廂內(nèi)，放在桌面上的水杯與火車

保持相對靜止，且杯內(nèi)的水面與軌道所在平面平行，已知火車軌道所在平面與水平面間的夾

角為6,彎道的轉(zhuǎn)彎半徑為凡水杯與水的總質(zhì)量為加，重力加速度為g。則下列說法正確

的是（）

C.水杯對桌面的靜摩擦力大小為0D.水杯對車廂側(cè)壁的壓力大小為0

【答案】ACD

【解析】AB.根據(jù)火車轉(zhuǎn)彎時的向心力由重力和支持力的合力提供，有

v

mgtan6=m一

R

解得

v=yJgRtan6

故A正確，B錯誤；

CD.火車的向心加速度大小為

m2tan3八

a=-----------=gtanU

m

水杯的向心加速度大小與其相等，由此可知水杯重力與桌面對其的支持力的合力提供向心力,

故水杯對桌面的靜摩擦力大小為0,水杯對車廂側(cè)壁的壓力大小為0,故CD正確。

故選ACD。

問題二、豎直平面內(nèi)的圓周運動

【角度1】輕繩模型

【典例3］（24-25高一上?浙江?期中）雜技表演水流星如圖所示，一根繩系著盛水的杯子,

隨著演員的掄動，杯子在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，已知軌跡半徑為r=0.4m,水的質(zhì)量

200g,杯子的質(zhì)量50g,繩子質(zhì)量不計，重力加速度g=10m/s2,則下列說法正確的是（）

vM

A.杯子運動到最高點時，水恰好不流出，則最高點速度大小為4m/s

B.當(dāng)杯子運動到最高點N時速度大小為6m/s時，水對杯子的彈力大小為16N,方向

豎直向下

C.杯子在下降過程速度變大，合力沿軌跡切線方向的分力與速度同向

D.杯子在最低點M時處于受力平衡狀態(tài)

【答案】C

【解析】A.杯子運動到最高點時，水剛好不落下，對水則有

v2

mg=m—

r

所以杯子在最高點時的速度為

v=2m/s

故A錯誤；

B.當(dāng)杯子到最高點速度為6m/s時,對水根據(jù)牛頓第二定律有

V'2

+mg=m——

r

解得

FN=16N

即杯子對水的彈力為16N,方向豎直向下，根據(jù)牛頓第三定律可得水對杯子的彈力大小為

16N,方向豎直向上*故B錯誤;

C.杯子在運動過程中做的是變速圓周運動，沿圓周下降過程速度增加是因為其受到的合力

沿切線方向的分力與速度同向，故c正確;

D.杯子在最低點時加速度方向豎直向上，此時杯子處于超重狀態(tài)，故D錯誤。

故選C。

，川、點注解法通則

繩子拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在最高點時，小球受重力和拉力，兩者的合力

充當(dāng)向心力，如圖所示

mg\

01

由牛頓第二定律有

V2

F+mg=m—

Tr

由于繩子只能產(chǎn)生拉力，在最高點，當(dāng)FT=O時，向心力有最小值，此時小球的速度亦

有最小值，o

Vmin=弋gR

【變式3-1］（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，長為工的輕繩一端固定在。點，另一

端系一小球（可視為質(zhì)點），小球在豎直平面內(nèi)沿逆時針方向做圓周運動。己知小球運動過

程中輕繩拉力廠的大小與繩和豎直方向OP的夾角。的關(guān)系為尸=b+bcos。,6為已知的常數(shù),

當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間,小球的質(zhì)量為機，則小球在最低點和最高點的速度分別為（

A,”殷比病B,而，麻

Vm

C.庭產(chǎn)誓■D.黑，瘋

【答案】A

【解析】。=0。時

F=2b

小球在最低點，設(shè)其速度為匕，由牛頓第二定律得

2b—mg=m-j-

解得

產(chǎn)一皿

Vm

，=180°時，F(xiàn)=0

小球在最高點，設(shè)其速度為匕，由牛頓第二定律得

mg=

解得

故選Ao

【變式3-2]（24-25高三上?江西?階段練習(xí)）如圖所示，用一輕質(zhì)細(xì)線拴著的所受重力大小

為G的小球（視為質(zhì)點）在豎直平面內(nèi)做圓周運動。若在圓心。的正上方一半半徑處放一

細(xì)釘（圖中未畫出），細(xì)線接觸細(xì)釘后小球經(jīng)過。點且小球經(jīng)過。點時細(xì)線的拉力大小為

片；若在圓心。正下方一半半徑處放一細(xì)釘，細(xì)線接觸細(xì)釘后小球同樣經(jīng)過。點，且小球

經(jīng)過O點時細(xì)線的拉力大小為月，已知小球做豎直面內(nèi)的圓周運動經(jīng)過最低點和最高點時

的拉力大小之差為6G,細(xì)線接觸細(xì)釘前、后瞬間小球的速度不變，不計空氣阻力，則（）

A.耳+g=2GB.片一為=2GC.片+E=6GD.片-￡=6G

【答案】B

【解析】設(shè)細(xì)線的長度為L,小球的質(zhì)量為m,小球經(jīng)過最高點時和最低點時的速度大小分

別為匕和V?，細(xì)線對應(yīng)的拉力大小分別為刀和馬,有

T,+G=m^~

1L

T-Gr=772—vl

L

T「T\=6G

細(xì)線接觸細(xì)釘前、后瞬間小球的速度不變,運動的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，則細(xì)線的拉力發(fā)生

突變（分別設(shè)為7/和心'），有

T[+G=m^~

L

~2

T；-G=m

萬

由題意可知

￡_1'=6G

T；_F[=6G

解得

F「F2=2G

故選B。

【角度2】輕桿模型

【典例4]（23-24高一下?山東濟寧?期末）如圖所示，長度為4A的輕桿兩端分別固定小球

4、B（均可視為質(zhì)點），小球/、2的質(zhì)量分別為加、3m,桿上距/球/處的。點套在光

滑的水平轉(zhuǎn)軸上，桿可繞水平轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。當(dāng)48兩球靜止在圖示位置時，轉(zhuǎn)軸

受桿的作用力大小為￡；當(dāng)/、8兩球轉(zhuǎn)動至圖示位置時，桿3部分恰好不受力，轉(zhuǎn)軸受

桿的作用力大小為鳥。忽略空氣阻力，則用與鳥的比值為（）

6

o

OB

A.1:12B.1:4

C.1:3D.4:9

【答案】C

【解析】當(dāng)A、B兩球靜止在圖示位置時，對整體由平衡條件得

F[=mg+3mg=4mg

由牛頓第三定律可知，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為

F[=F；=Amg

當(dāng)A、B兩球轉(zhuǎn)動至圖示位置時，桿OA部分恰好不受力，對A球

mg=ma）2L

對B球

F；-3mg=32.3￡

聯(lián)立解得

冕二12mg

由牛頓第三定律可知

F?=F；=12mg

則

A=1

F23

故選c。

/pAAtt解法通則

如圖所示，通過最高點時，桿對小球的作用力和重力的合力提供向心力，由于桿對小球

可以產(chǎn)生拉力，也可以產(chǎn)生支持力，故小球的向心力既無最大值限制也無最小值限制（在桿

受力范圍內(nèi)），此時小球的速度大于或等于零皆可。

?y〃g、

'\O':

、、-_./

【變式4-1】如圖所示，細(xì)桿的一端與一小球相連，可繞過。點的水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)

動?，F(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中。，6分別表示小球軌道的最低點和最高點。

則桿對球的作用力可能是（）

A.。處為拉力，6處可能為拉力B.a處為拉力,6處一定為推力

C.“處為推力，6處為拉力D.。處為推力，6處可能為推力

【答案】A

【解析】小球在a點時，向心力豎直向上，因重力豎直向下，可知桿給球一定有向上的拉力；

球在b點時，向心力向下，因重力也向下，可知桿對球的作用力可能是向上的推力，也可能

是向下的拉力，也可能為零，故選A。

【變式4-2］（23-24高一下?福建福州?期末）（多選）如圖所示，長為0.25m的輕質(zhì)細(xì)桿一

端固定于。點，另一端固定有一質(zhì)量為1kg的小球，使小球繞。點在豎直面內(nèi)以2m/s的線

速度做勻速圓周運動。取g=10m/s2。下列說法正確的是（）

A.小球通過最高點時，對桿的作用力大小是16N,方向豎直向下

B.小球通過最高點時，對桿的作用力大小是6N,方向豎直向上

C.小球通過最低點時，對桿的作用力大小是26N,方向豎直向上

D.小球通過最低點時，對桿的作用力大小是26N,方向豎直向下

【答案】BD

【解析】AB.設(shè)小球通過最高點時，桿對小球的作用力大小是尸，方向豎直向下，由牛頓

第二定律得

v2

mg+F=m—

r

解得

F=6N

由牛頓第三定律可知小球?qū)U的作用力大小是6N,方向豎直向上，故A錯誤，B正確；

CD.設(shè)小球通過最高點時，桿對小球的作用力大小是片，方向豎直向上，由牛頓第二定律

得

v2

-mg=m——

tr

解得

4=26N

由牛頓第三定律可知小球?qū)U的作用力大小是26N,方向豎直向下，故C錯誤，D正確。

故選BD?

【角度3】類輕桿模型

【典例5］（23-24高一下?山東濰坊?期中）（多選）如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓

形細(xì)管道內(nèi)做圓周運動。當(dāng)小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與在最高點

時的速度平方的關(guān)系如圖乙所示（取豎直向上為正方向），重力加速度為g=10m/s2。則下

列說法正確的是（）

A.小球的質(zhì)量為0.8kgB.小球的質(zhì)量為0.4kg

C.小球做圓周運動的半徑為1.0mD.小球做圓周運動的半徑為0.4m

【答案】BC

【解析】AB.當(dāng)速度的平方為零時，小球在最高點時處于平衡狀態(tài)，此時

mg=4N

可得

m=0.4kg

故B正確，A錯誤；

CD.當(dāng)在最高點，管道對小球速度為零時，速度平方為10m2/s2,此時重力提供向心力，

有

v2

mg=m—

r

代入數(shù)據(jù)可得

r=1.0m

故C正確，D錯誤。

故選BCo

/pAAtt解法通則

小球在豎直放置的光滑管中做圓周運動時，受力情況與小球固定在桿上的受力情況相同,

如圖所示。管可以對小球產(chǎn)生向上的支持力，也可以對小球產(chǎn)生向下的壓力，小球的向心力既

無最大值限制也無最小值限制（在管壁受力范圍內(nèi)），速度大于或等于零皆可。

【變式5-1】如圖所示，可視為質(zhì)點的、質(zhì)量為心的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑

圓形管道內(nèi)做圓周運動，管道內(nèi)徑略大于小球直徑。下列有關(guān)說法中正確的是（）

A.小球能夠通過最高點時的最小速率為0

B.小球能夠通過最高點時的最小速率為疲

C.如果小球在最高點時的速率為庾，則此時小球?qū)艿赖耐獗谟凶饔昧?/p>

D.如果小球在最低點時的速率為至，則此時小球?qū)艿赖膬?nèi)壁有作用力

I答案】A

【解析】AB.由于在最高點時，圓形管道內(nèi)壁能支撐小球，所以小球能夠通過最高點時的

最小速率為0，故A正確，B錯誤；

C.如果小球在最高點時的速率為疑，設(shè)此時管道對小球的彈力大小為尸，由牛頓第二定

律得

v2

mg+F=m~

解得

斤=0

根據(jù)牛頓第三定律知，小球?qū)艿赖膬?nèi)、外壁均沒有作用力，故c錯誤;

D.如果小球在最低點時的速率為庾，根據(jù)牛頓第二定律，有

V2

N-mg=加下

解得

N=2mg>0

根據(jù)牛頓第三定律知，小球通過最低點時對管道的外壁有作用力，大小為2加g,故D錯誤。

故選Ao

【變式5-2]（23-24高三上?安徽六安?階段練習(xí)）如圖所示，豎直面內(nèi)的圓形管道半徑火

遠(yuǎn)大于橫截面的半徑，有一小球直徑比管橫截面直徑略小，在管道內(nèi)做圓周運動。小球過最

高點時，小球?qū)鼙诘膹椓Υ笮∮肊表示、速度大小用v表示，當(dāng)小球以不同速度經(jīng)過管

道最高點時，其尸-丫2圖像如圖所示。則（）

B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?

a

C.=6時，小球?qū)鼙诘膹椓Ψ较蜇Q直向下

D.F=36時，小球受到的彈力大小是重力大小的5倍

【答案】D

【解析】AB.在最高點，若v=0,則

F=mg=c

若尸=0,重力提供向心力，則

v2a

m2=m—=m—

RR

解得小球的質(zhì)量

acR

g=—,m=——

Ra

故AB錯誤；

C.若尸=0,則v2=°,則/=6時，小球所受的彈力方向向下，所以小球?qū)鼙诘膹椓Ψ?/p>

向豎直向上，故C錯誤；

D.當(dāng)聲=6時，根據(jù)

尸b「

mg+F=m—,r—c—mg

R

解得

b=2gR

當(dāng)v2=36時，根據(jù)

mg+F'=m—

解得

F'=5mg

故D正確。

故選D。

問題三、離心現(xiàn)象

【典例6】（2024?浙江?二模）一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示。光滑細(xì)桿的一端

固定在豎直轉(zhuǎn)軸OO'上的。點，并可隨軸一起轉(zhuǎn)動。桿上套有一輕質(zhì)彈簧，彈簧一端固定

于。點，另一端與套在桿上的圓環(huán)相連。當(dāng)測速器穩(wěn)定工作時，通過圓環(huán)的位置可以確定

細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動的角速度。桿與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角a始終為60。，重力加速度為g。則（）

A.角速度越大，圓環(huán)受到的桿的支持力越大

B.角速度越大，圓環(huán)受到的彈簧彈力越大

C.彈簧處于原長狀態(tài)時，圓環(huán)的向心加速度為百g

D.突然停止轉(zhuǎn)動后，圓環(huán)下滑過程中重力勢能和彈簧彈性勢能之和一直減小

【答案】A

【解析】C.若彈簧處于原長，則圓環(huán)僅受重力和支持力，其合力使得圓環(huán)沿水平方向做勻

速圓周運動。設(shè)此時角速度為4,根據(jù)牛頓第二定律得

tana

設(shè)彈簧原長為1,圓環(huán)此時轉(zhuǎn)動的半徑為

r[=/sina

此時的向心加速度為

26

a=co0r^—g

故C錯誤；

AB.設(shè)彈簧的長度為x,則圓環(huán)做圓周運動的半徑為

r=xsina

圓環(huán)受到的桿的支持力為N,圓環(huán)受到的彈簧的支持力為T,則當(dāng)時，圓環(huán)受力

分析如圖

對圓環(huán)，根據(jù)平衡條件可得

Tcosa+Nsina=G

Ncosa-Tsina=mco2r

解得

2G-3mco2x

1=----------------

4

43mco2x+2y/iG

4

當(dāng)?！禐闀r，圓環(huán)受力分析如圖

對圓環(huán)，根據(jù)平衡條件可得

Nsina-Tcosa=G

Ncosa+Tsina=mco2r

解得

,,y/3mco2x+2A/JG

N二--------------

4

3ma)2x-2G

1=--------------

4

當(dāng)角速度增大時，彈簧的長度變大,則角速度越大時，圓環(huán)受到的桿的支持力也越大；當(dāng)

0＜口＜4時，圓環(huán)受到的彈簧彈力隨角速度變大在變小，當(dāng)。時，圓環(huán)受到的彈簧彈

力隨角速度變大在變大，即圓環(huán)受到的彈簧彈力隨角速度變大在先變小后變大，故A正確,

B錯誤；

D.突然停止轉(zhuǎn)動后，圓環(huán)下滑過程中，圓環(huán)先加速下滑后減速下滑，即圓環(huán)的動能先增大

后減小，根據(jù)圓環(huán)和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則重力勢能和彈簧彈性勢能之和先減小后

增大，故D錯誤。

故選Ao

法國|解法通則

分析離心現(xiàn)象的兩點注意

1.對于離心運動的分析和計算，其實質(zhì)仍是向心力的分析和計算，要把物體做離心運動的

臨界狀態(tài)看成恰好能做勻速圓周運動處理。

2.要注意離心現(xiàn)象是做圓周運動的物體所受合力減小或合力突然消失所致的現(xiàn)象，絕不

可以錯誤地認(rèn)為離心現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是離心力（本來就不存在離心力）大于向心力。

【變式6T】（24-25高二上?山西太原?開學(xué)考試）下列現(xiàn)象中，與離心現(xiàn)象無關(guān)的是（）

A.汽車緊急剎車時，乘客身體向后倒B.旋轉(zhuǎn)的傘柄把傘邊緣的水甩出去

C.用洗衣機脫水桶給衣服脫水D.利用棉花糖機制作棉花糖

【答案】A

【解析】A.汽車緊急剎車時，乘客身體向前傾斜，這是由于慣性造成的，與離心現(xiàn)象無關(guān)，

故A符合題意；

B.旋轉(zhuǎn)傘柄把傘邊緣的水滴甩出去，這是離心現(xiàn)象造成的，故B不符合題意；

C.用洗衣機脫水桶給衣服脫水，這是離心現(xiàn)象造成的，故C不符合題意；

D.利用棉花糖機制作棉花糖，這是離心現(xiàn)象造成的，故D不符合題意。

故選Ao

【變式6-2］（22-23高二下?云南?期末）離心運動在日常生活中有很多應(yīng)用，有時也會帶來

危害。下列描述中，防止離心現(xiàn)象的是（）

圖甲圖乙圖丙圖丁

A.圖甲中將雨傘上的雨水甩干

B.圖乙中洗衣機脫水時，把附著在物體上的水分甩掉

C.圖丙中用離心分離器分離物質(zhì)

D.圖丁中汽車在公路上轉(zhuǎn)彎不允許超過規(guī)定的速度

【答案】D

【解析】A.將雨傘上的雨水甩干，是應(yīng)用離心現(xiàn)象，故A不符合題意；

B.洗衣機脫水工作就是應(yīng)用了水的離心運動，故B不符合題意；

C.用離心分離器分離物質(zhì)是應(yīng)用離心現(xiàn)象，故C不符合題意；

D.汽車轉(zhuǎn)彎時要限制車速是為了防止車速過快時，從而產(chǎn)生側(cè)滑，是防止離心現(xiàn)象，故D

符合題意。

故選D。

問題四、航天器中的圓周運動

【典例7]（23-24高一下?北京順義?期中）在太空實驗室中可以利用勻速圓周運動測量小球

質(zhì)量。如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定于。點，另一端系一待測小球，使其繞。做勻

速圓周運動，用力傳感器測得繩上的拉力為尸，用停表測得小球轉(zhuǎn)過〃圈所用的時間為

用刻度尺測得。點到球心的距離為圓周運動的半徑R。下列說法正確的是（）

A.圓周運動軌道只能處于某一平面內(nèi)

B.小球的質(zhì)量為至之

4萬2/

C.若誤將圈記作"圈，則所得質(zhì)量偏大

D.若測R時未計入小球直徑，則所得質(zhì)量偏小

【答案】A

【解析IA.在太空實驗室中，物體均處于完全失重狀態(tài)，則小球沒有重力效果，圓周運動

軌道處于任意平面內(nèi)時，小球所受指向圓心的合力均為繩上的拉力，小球做圓周運動的效果

都相同，故A正確；

B.小球做勻速圓周運動，小球所受合力為繩上的拉力尸，該拉力充當(dāng)向心力，則由牛頓第

二定律有

F=ma）?R=R

周期為

T=-

n

聯(lián)立方程得

Ft-

m=—z—：—

故B錯誤；

C.若誤將（n-1）圈記作〃圈，貝IJ"變大，由

Ft2

m=————

4萬2”2R

可知，機變小，故C錯誤；

D.若測區(qū)時未計入小球半徑，則R變小，由

Ft2

m=——「不—

4兀，2R

可知，加變大，故D錯誤。

故選Ao

【變式7-1］（23-24高一下?浙江?期中）航天員在空間站進行第二次太空授課時，演示了水

油分離實驗：在失重環(huán)境下水油分層現(xiàn)象消失，通過旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生“離心力”實現(xiàn)分層。實驗過程

為：用細(xì)繩系住小瓶并使小瓶繞細(xì)繩一端做圓周運動，做成一個“人工離心機”成功將瓶中混

合的水和食用油分離,水和油分離后，小瓶經(jīng)過如圖兩個位置時，（油的密度小于水的密度）

下列判斷正確的是（）

A.a、d部分是油B.a、"部分是水

C.b、d部分是油D.b、d部分是水

【答案】D

【解析】水的密度大，單位體積水的質(zhì)量大，瓶子中的油和水做勻速圓周運動的角速度相同，

根據(jù)

F=marr

可知水做圓周運動所需要的向心力大，當(dāng)合力F不足以提供向心力時，水先做離心運動，

所以油和水分離后，油在水的內(nèi)側(cè)，故b、d部分是水。

故選D。

【變式7-2］（23-24高三上?河南濮陽?期中）通過觀看“太空授課”，同學(xué)們確信在太空站完

全失重環(huán)境下已無法用天平稱量物體的質(zhì)量。為此，某物理興趣小組設(shè)計了在這種環(huán)境中測

量物體質(zhì)量的實驗裝置及實驗方案。如圖1所示，將質(zhì)量待測的小球靜置于桌面上，小球與

拉力傳感器計通過一根細(xì)線連接，細(xì)線穿過圓盤上的一個小孔（盡量光滑些），A為光電門，

可記錄小球直徑通過光電門的時間。

（1）以下是實驗操作和測量步驟：

①用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑力示數(shù)如圖2所示，則其讀數(shù)為mm：

②輕推小球，給小球一個初速度，使它在桌面上做勻速圓周運動；

③記錄拉力傳感器的讀數(shù)八

④記錄小球通過光電門的時間t；

⑤用毫米刻度尺測出細(xì)線在桌面上那部分長度為,則小球的運動半徑r=；b+|；

⑥根據(jù)所測得物理量求得小球質(zhì)量〃尸（結(jié)果用Gd、八;表示）；

⑦改變小球的初速度，重復(fù)實驗，多次測量；

⑧對多次測量的機值取平均值，最后得到小球質(zhì)量。

（2）該小組還提出了利用圖像法處理數(shù)據(jù)的方案：以［，:為縱坐標(biāo)、尸為橫坐標(biāo)，作出

［，［-下圖線，得到圖線的斜率為公則小球質(zhì)量/=（結(jié)果用人發(fā)表示）。

（3）在第一個實驗數(shù)據(jù)處理方案中多次測量再取平均值，這樣做的目的是；第二個

實驗數(shù)據(jù)處理方案（即圖像法）也可實現(xiàn)此目的，而且更簡便、直觀。

【答案】18.6匕-減少偶然誤差

d2k

【解析】（1）①［1］根據(jù)圖示可知，小球的直徑

d=18mm+O.lx6mm=18.6mm

⑥⑵根據(jù)向心力方程

解得

Frt2

m=——

d2

（2）［3］根據(jù)以上分析可知

所以

解得

r