實(shí)數(shù)-2025年浙教版九年級中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第一單元數(shù)與式

《第1講實(shí)數(shù)》

【知識梳理】

1.實(shí)數(shù)的分類

(1)按定義分類:

自然數(shù)

有理數(shù)

實(shí)數(shù)＜有限小數(shù)或

無限循環(huán)小數(shù)

f正無理數(shù)

無理數(shù)\1—，無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

(2)按性質(zhì)分類:

(正實(shí)數(shù)(『下右有坤里粉數(shù)f［正正整分?jǐn)?shù)數(shù)

(正無理數(shù)

實(shí)數(shù)1零

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù).負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

2.實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

⑴數(shù)軸:規(guī)定了原點(diǎn)、單倉長度、正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)教----對

(2)相反數(shù):a的相反數(shù)是一a,0的相反數(shù)是0.

(3)倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

0沒有倒數(shù),倒數(shù)等于本身的數(shù)是1或T.

(4)絕對值:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值,記做⑷.

a(a>0);

0(a=0);

—a(a<0).

(5)科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)數(shù)表示成。與10〃相乘的形式(其中為整數(shù)),叫做科學(xué)記數(shù)法.

(6)近似數(shù):一個(gè)近似數(shù)田合五人到哪一位,就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.對于有計(jì)數(shù)單位的近似數(shù)，由

近似數(shù)的位數(shù)和后面的計(jì)數(shù)單位共同確定.如3.618萬,數(shù)字8實(shí)際上是十位上的數(shù)字,即精確到十

位.

3.實(shí)數(shù)的大小比較

⑴代數(shù)比較規(guī)則:正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于負(fù)數(shù);兩個(gè)正數(shù),絕對值大的數(shù)大;兩個(gè)負(fù)

數(shù),絕對值大的數(shù)反而小.

(2)幾何比較規(guī)則:在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

實(shí)數(shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方和開方.運(yùn)算順序:先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減；

同級運(yùn)算,從左到右進(jìn)行.如有括號,先進(jìn)行括號里的運(yùn)算.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算律

(1)交換律:,ab=ba.

(2)結(jié)合律:(a+6)+c=a+(Z>+c),(ab)c=a(bc).

(3)分酉己律:〃+Z?+c)=—+成>+%.

6.實(shí)數(shù)的幕的運(yùn)算

(1)0次幕:任何非零實(shí)數(shù)的0次幕為1,即?！?1(得0).

(2)負(fù)整數(shù)次幕:規(guī)定/"=一1_3用,n為正整數(shù)),特別地,=:一(存0).

(3)-1的奇偶次幕:一1的奇次幕為一1，偶次幕為1.

【考題探究】

類型一正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念

［例1］［2024?山西］中國空間站位于距離地面約400km的太空環(huán)境中.由于沒有大氣層保護(hù),在太陽光線

直射下，空間站表面溫度可高于零上150℃,其背陽面溫度可低于零下100℃若零上150℃記作+150℃,則

零下100℃記作（B）

A.+100℃B.-100℃

C.+50℃D.-50℃

變式1［2024?湖北］在生產(chǎn)生活中，正數(shù)和負(fù)數(shù)都有現(xiàn)實(shí)意義.例如:收入20元記作+20元,則支出10元記

作（B）

A.+10元B.110兀

C.+20元D.—20元

類型二實(shí)數(shù)的分類

［例2］［經(jīng)典題］實(shí)數(shù)tan45°,V8,0,一兀，眄-|sin60°,0.3131131113…（每兩個(gè)“3”之間依次多一個(gè)

“1”）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（C）

A.lB.2

C.3D.4

變式2［2024?福建］下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（D）

A.-3B.0

C.1D.V5

類型三數(shù)軸、相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值

【例3］［易錯題］（1）相反數(shù)等于它本身的數(shù)是0.

（2）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1.

（3）絕對值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù).

變式3［2023?杭州］已知數(shù)軸上的點(diǎn)分別表示數(shù)a,b,其中一.若。*6=6數(shù)。在數(shù)軸

上用點(diǎn)C表示，則點(diǎn)4,8,C在數(shù)軸上的位置可能是（B）

,4/g,?”,g

-10101

AB

如4、B

-10101

CD

類型四實(shí)數(shù)的大小比較與估算

【例4][2024?浙江]以下四個(gè)城市中，某天中午12時(shí)氣溫最低的城市是（C）

北京濟(jì)南太原鄭州

0℃-1℃-2℃3℃

A.北京B.濟(jì)南

C.太原D.鄭州

變式4T[2024?南充]如圖，數(shù)軸上表示/的點(diǎn)可能是（C）

ABCID■I

-10123

變式4-1圖

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)B

C.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

變式4-2[2024?重慶B卷]估計(jì)百）的值應(yīng)在（C）

A.8和9之間B.9和10之間

C.10和11之間D.U和12之間

【解析】V12(V2+V3)=2V3(V2+V3)=2V6+6.

V5.76<6<6.25,AV5.76<V6<V6.25,

.,.2.4<V6<2.5,

.,.10.8<2V6+6<ll,故選C.

類型五科學(xué)記數(shù)法

【例5][2024?浙江]2024年浙江省經(jīng)濟(jì)第一季度GDP為201370000萬元.其中201370000用科學(xué)記數(shù)

法表示為（D）

A.20.137X109B.0.20137X108

C.2.0137X109D.2.0137X108

變式5[2024?威海]據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上

海微系統(tǒng)所、國家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)”九章三

號”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄.“九章三號”處理高斯玻色取樣的

速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前

最強(qiáng)的超級計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過二百億年的時(shí)間處理.將“百萬分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為(B)

A.1X10-5B.1X10-6

C.1X10-7D.1X10-8

類型六實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【例6】[2024?浙江]計(jì)算:6)1-V8+I-5I，

解:原式=4-2+5=7.

變式6—1[2023?溫州]計(jì)算：

1-1|+^-8+—(-4).

解:原式=1-2+9+4=12.

變式6—2[2024?山西]計(jì)算:(一6)X：—弓)？+[(—3)+(—1)].

解:原式=-2—4-4=一10.

變式6—3[2025?預(yù)測]計(jì)算:(-1)2°25+(—2尸+(3.14—兀)°-48$30。+|2—712.

解:原式=—l+j+l—4X^+2V3—2=—1+5+1—2V3+2V3—2=-17.

類型七實(shí)數(shù)的規(guī)律型問題

[例7][2024?揚(yáng)州]1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù):1,1,2,3,5,…,這一列數(shù)滿

足:從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

(D)

A.676B.674

C.1348D.1350

【解析】這列數(shù)為1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)教為一組，每一組前2個(gè)教為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為

偶教.

V2024+3=674……2,即南2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)教，寺數(shù)有674X2+2=1350(個(gè))，故選D.

變式7正偶數(shù)2,4,6,8,10,…按如圖所示的規(guī)律排列，則第27行從左往右數(shù)的第21個(gè)數(shù)是744.

2

46

81012

14161820

變式7圖

【解析】由圖可知，

第一行有1個(gè)教，

第二行有2個(gè)教，

第三行有3個(gè)教，

第〃行有"個(gè)教，

.?.前〃行共有嗎也個(gè)教，

.,.前27行共有378個(gè)教，

工第27行從左往右教的第21個(gè)數(shù)是（378—27+21）X2=744.

【課后作業(yè)】

1.[2024?舟山模擬]舟山市體育中考,女生立定跳遠(yuǎn)的測試中，以1.97m為滿分標(biāo)準(zhǔn),若小賀

跳出了2.00m可記作+0.03m,則小鄭跳出了1.90m,應(yīng)記作（A）

A.-0.07mB.+0.07m

C.+1.90mD.-1.90m

2.[2024?連云港]的相反數(shù)是（A）

11

A.iB.--

22

C.-2D.2

3.[2024?郅州區(qū)模擬]杭州亞運(yùn)會首創(chuàng)推出“亞運(yùn)數(shù)字火炬手”，最終105000000人參與了

“線上火炬?zhèn)鬟f”，數(shù)據(jù)105000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（C）

A.105X106B.10.5X107

C.1.05X108D.1.05X109

4.[2024?天津]計(jì)算3—（—3）的結(jié)果等于（D）

A.16B.0

C.3D.6

5.[2024-廣西]下列選項(xiàng)記錄了我國四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是

(A)

A.北京一4.6℃B.上海5.8℃

C.天津一3.2℃D.重慶8.1℃

6.[2023?溫州]如圖，比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是(D)

,4,,,>

-2-1012

第6題圖

A.-lB.0

C.lD.2

7.[2024?煙臺]下列實(shí)數(shù)中的無理數(shù)是（C）

2

A.-B.3.14

3

C.V15D.V64

8.[2024?北京]實(shí)數(shù)a"在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（C）

，，，？，，，，：，，I

-4-3-2-101234

第8題圖

A.b>一1B.|0|>2

C.a+b>0D.ab>0

9.[2024?包頭]若肛n互為倒數(shù),且滿足m+mn=3,則〃的值為（B）

11

A二B二

42

C.2D.4

10.[2024?寧波校級模擬]有如下數(shù)列:Q1,02,。3,04,45,46,…,3t—2,an-l,〃〃，…，滿足Un-2*an=

2al,已知（21=1,（23=4,貝!J42024=（D）

A.8B.6

C.4D.2

=

【解析】9*Cln-2*dn2an-l,

lai=a\?的.

又的=4,

:?a?=2.

依此類推，04=4,a5=2,06=1,07=1,08=2,…,

由此可見，這列數(shù)按1,2,4,4,2,1循環(huán)出現(xiàn).

3C.20244-6=337.......2,

?，?02024—2.

11.在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”.當(dāng)時(shí)有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子

的出生天數(shù),在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗）,滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)

出生了（B）

第14題圖

A.1335天B.516天

C.435天D.54天

【解析】孩子自出生后的天數(shù)是1X7X7X7+3X7X7+3X7+5=343+147+21+5=516.

12.如圖，某學(xué)?！疤依畈蛷d”把WiFi密碼做成了數(shù)學(xué)題.小紅在餐廳就餐時(shí)，思索了一會兒,

輸入密碼，順利地連接到了“桃李餐廳”的網(wǎng)絡(luò).她輸入的密碼是244872.

賬號：TacLiCanTing

5*3十6=301848

W42*6十7=144256

*9*2十5=451055

桃李餐廳歡迎你！4*8十6=密碼

第15題圖

【解析】由三個(gè)等式，得到規(guī)律：

由5*3十6=301848可知，前兩位教、中間兩位教、后兩位教分別為5X6,3義6,6義（5+3）;

由2*6十7=144256可知，前兩位教、中間兩位教、后兩位教分別為2X7,6X7,7X（2+6）;

由9*2十5=451055可知，前兩位教、中間兩位教、后兩位數(shù)分別為9X5,2X5,5X（9+2）,

.*.4*8?6的前兩位教、中間兩位教、后兩位數(shù)分別為4X6,8X6,6義（4+8）,故4*8十6=

244872.

13.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形.底

面正方形的邊長與側(cè)面等腰三角形底邊上的高的比值是西一1.若H<V5-1<n+Un是整數(shù)）,

則n的值為1

【解析】V4<5<9,.,.2<V5<3,

.,.1<V5-1<2.

又—Kn+1,.\n=l.

14.計(jì)算:

⑴[2024?濱州]2一葉(一2)X(一以一

解:原式=:+1—|=0.

0_1

⑵[2024?廣安]停一3)+2sin60°+|V3-2|-Q).

解:原式=l+2X?+2一百一2

=l+V3+2-V3-2

=1.

15.下面是亮亮同學(xué)計(jì)算一道題的過程：

15^5X(-3)-6X(|+|)

=154-(-15)-6x|+6x|...①

=-1-9+4...②

=-6……③

(1)亮亮的計(jì)算過程是從步驟①開始出現(xiàn)錯誤的(填序號).

⑵請你寫出正確的計(jì)算過程.

解:(2)15+5><(—3)—6*(1+§

32

=3X(-3)-6Xj-6X|

=—9—9—4

=-22.

16.計(jì)算:(一6)X(|一■)—23.

圓圓在做作業(yè)時(shí),發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了.

⑴如果被污染的數(shù)字是右請計(jì)算(一6)Xg-|)-23.

(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6,求被污染的數(shù)字.

解:⑴(—6)X(1-[)—23

1

=(—6)X--8=—1—8=—9.

⑵設(shè)被污染的數(shù)室是X,

由題意，得(一6)X(|—x)—23=6,

斛得x=3.

答:被污染的數(shù)字是3.

17.[2024?涼山州]閱讀材料并解決相關(guān)問題：

如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣,從