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2025屆陜西省西安市高新灃東中學(xué)第二學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)試題試卷含答案考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.2.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④4.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.125.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,例如:,,,那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.17.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.已知集合,則集合真子集的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.89.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.11.已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,設(shè),,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a值范圍為_________.15.已知命題:,,那么是__________.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為,斜率為的直線過(guò)且與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若在第一象限,那么_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),直線與圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說(shuō)明理由.18.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,直線與拋物線交于另一點(diǎn).(1)設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為,試用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo);②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時(shí),求直線的方程.19.(12分)一年之計(jì)在于春,一日之計(jì)在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.(1)當(dāng)取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當(dāng)時(shí),用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,且,求證:;(2)若時(shí),恒有,求的最大值.21.(12分)已知a>0,證明:1.22.(10分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯(cuò)誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯(cuò)誤;為真,說(shuō)明至少一個(gè)為真命題,則不能推出為真;為真,說(shuō)明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯(cuò)誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.2、B【解析】
先利用對(duì)稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對(duì)稱性可得:為的中點(diǎn),且,所以,因?yàn)?,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí),考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、D【解析】
因?yàn)?,所以①不正確;因?yàn)?,所以,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)椋?,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.4、D【解析】
中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?,處在最中間的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.5、B【解析】
先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個(gè),從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù),排除C和D.當(dāng)時(shí),,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.8、C【解析】
解出集合,再由含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用,含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對(duì)應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來(lái)求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、A【解析】
根據(jù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱可知關(guān)于對(duì)稱,從而得到在上單調(diào)遞增且;再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱圖象關(guān)于對(duì)稱時(shí),單調(diào)遞減時(shí),單調(diào)遞增又且,即本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)奇偶性和對(duì)稱性得到函數(shù)的單調(diào)性,通過(guò)自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.12、C【解析】
分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得.所以.因?yàn)?,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時(shí),,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.14、【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問(wèn)題等價(jià)于在時(shí)恒成立,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.15、真命題【解析】
由冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】已知命題:,,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則,所以是真命題,故答案為:真命題【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】
如圖所示,先證明,再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因?yàn)?所以,過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M,N,過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E,設(shè)|BF|=m,|AF|=n,則|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因?yàn)?所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的定義,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2)是,理由見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)判別式即可證明.(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明,需要分類討論,【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí)直線方程為或,直線與橢圓相切.當(dāng)時(shí),由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設(shè),,當(dāng)時(shí),,,,所以,即.當(dāng)時(shí),由得,則,,.因?yàn)?所以,即.故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查向量的運(yùn)算,注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)①;②.【解析】
(1)設(shè)過(guò)的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出,化簡(jiǎn)即可;(2)由(1)知點(diǎn)在軸上,故,設(shè)出直線方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)閮?nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑,列出方程組求解即可.【詳解】(1)設(shè)過(guò)的直線交拋物線于,,聯(lián)立方程組,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知點(diǎn)在軸上,故,聯(lián)立的直線方程:.,又點(diǎn)在拋物線上,得,又,;②由題得,(解法一)所以直線的方程為(解法二)設(shè)內(nèi)切圓半徑為,則.設(shè)直線的斜率為,則:直線的方程為:代入直線的直線方程,可得于是有:得,又由(1)可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則,即:,解得:所以,直線的方程為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線相關(guān)的綜合問(wèn)題的求解,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.19、(1)當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大.(2)n=1時(shí),X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對(duì)一個(gè)坑而言,要補(bǔ)播種的概率,有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機(jī)變量的概率分布,二項(xiàng)分布,主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)算,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,并設(shè),則,,將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,通過(guò)推導(dǎo)出來(lái)證得結(jié)論;(2)構(gòu)造函數(shù),對(duì)實(shí)數(shù)分、、,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,可得出的最大值.【詳解】(1),,所以,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.要證,即證.不妨設(shè),則,,下證,即證,構(gòu)造函數(shù),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,即,故結(jié)論成立;(2)由
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