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2025屆山東省滕州市第十一中學(xué)高三5月中旬質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.2.某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排,要求郁金香不在兩邊,任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或4.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過(guò)的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),例如:,,已知函數(shù)(),則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.5.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.46.已知集合,,則()A. B.C. D.7.在直三棱柱中,己知,,,則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.8.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.9.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.10.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.11.如圖,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.9 B.10 C.18 D.20二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.14.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,如圖是過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.15.已知為拋物線:的焦點(diǎn),過(guò)作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點(diǎn),直線與交于、兩點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_________.16.已知是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線上任意一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知三點(diǎn)在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),若直線過(guò)點(diǎn),求此時(shí)直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時(shí),求面積的最小值.18.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r(shí),求在上的值域.19.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點(diǎn),AC,BD交于點(diǎn)O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).21.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.(1)若,求證:平面;(2)若,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
把代入,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.2.B【解析】
間接法求解,兩盆錦紫蘇不相鄰,被另3盆隔開(kāi)有,扣除郁金香在兩邊有,即可求出結(jié)論.【詳解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有種,然后將盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有,扣除郁金香在兩邊,排盆虞美人、盆郁金香有種,再將盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有,所以共有種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列應(yīng)用問(wèn)題、分步乘法計(jì)數(shù)原理,不相鄰問(wèn)題插空法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3.D【解析】
根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng),解得
,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時(shí),解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,通過(guò)結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍,由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?,所以,令(),則(),函數(shù)的對(duì)稱軸方程為,所以,,所以,所以的值域?yàn)?故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,換元思想,分類討論和應(yīng)用意識(shí).5.B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得。∴.選B。6.A【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
由條件可看出,則為異面直線與所成的角,可證得三角形中,,解得從而得出異面直線與所成的角.【詳解】連接,,如圖:又,則為異面直線與所成的角.因?yàn)榍胰庵鶠橹比庵?,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解?故選C【點(diǎn)睛】考查直三棱柱的定義,線面垂直的性質(zhì),考查了異面直線所成角的概念及求法,考查了邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?!驹斀狻?,故奇函數(shù),四個(gè)圖像均符合。當(dāng)時(shí),,,排除C、D當(dāng)時(shí),,,排除A。故選B。【點(diǎn)睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。9.B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.10.A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.11.D【解析】
先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
由已知可得函數(shù)f(x)的周期與對(duì)稱軸,函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由f(x)=f(2﹣x),得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,∵f(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)x∈[﹣1,0]時(shí),f(x)=﹣x,g(x),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖:由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用配方法化簡(jiǎn)式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題。14.【解析】
利用公式計(jì)算出,其中為的周長(zhǎng),為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問(wèn)題,涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.15.16.【解析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點(diǎn)由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴,同理∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為16點(diǎn)睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,可以使運(yùn)算化繁為簡(jiǎn).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問(wèn)題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.16.【解析】
由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo),求出對(duì)稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】
(Ⅰ)設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標(biāo),,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸右側(cè)(包括軸),設(shè),,,的斜率為,又,則,①因?yàn)椋寓谟散佗诘?,,(且)從而?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào),從而,所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù),得到函數(shù),然后,直接求解的值;(2)首先,化簡(jiǎn)函數(shù),然后,結(jié)合周期公式,得到,再結(jié)合,及正弦函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?)因?yàn)榧匆驗(yàn)?,所以所以因?yàn)樗运援?dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),(最大值)當(dāng)時(shí),在是增函數(shù),在是減函數(shù).的值域是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單角的三角函數(shù)值的求解方法,兩角和與差的正弦、余弦公式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí),考查了運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE∥PC,即可證出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中點(diǎn),,求出S△ABD,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:∵點(diǎn)O,E分別是AC,PA的中點(diǎn),∴OE是△PAC的中位線,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱錐E﹣PBD的體積.【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系,證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積,注意等體積法的應(yīng)用,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20.(1)曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程;(2)由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義可知,.21.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長(zhǎng)度關(guān)系,為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因?yàn)?,所以;?)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向
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