圓中的范圍與最值問(wèn)題（原卷版）

專題25圓中的范圍與最值問(wèn)題

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：

（1）形如〃=2二2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.

x-a

（2）形如。=雙+勿；的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

（3）形如根=（x-a）2+（y-6）2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q,b）的距離平方的最值問(wèn)

題

【方法技巧與總結(jié)】

解決圓中的范圍與最值問(wèn)題常用的策略：

（1）數(shù)形結(jié)合

（2）多與圓心聯(lián)系

（3）參數(shù)方程

（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問(wèn)題

【題型歸納目錄】

題型一：斜率型

題型二：直線型

題型三：距離型

題型四：周長(zhǎng)面積型

題型五：數(shù)量積型

題型六：坐標(biāo)與角度型

題型七：長(zhǎng)度型

題型八：方程中的參數(shù)

【典例例題】

題型一：斜率型

例1.（2022?福建南平?三模）已知尸（私力）為圓C：（元-iy+（y-l）2=l上任意一點(diǎn)，則土二的最大值為

m+1

例2.（多選題）（2022?山東泰安?三模）已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程丁+/一4x-2y+4=0,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.上的最大值為《B.上的最小值為0

x3x

C.f+y2的最大值為君+1D.升y的最大值為3+0

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））在正三角形43c中，M為8C中點(diǎn)，尸為三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且

pA

滿足叢=22修，則二■最小值為（）

PB

A.1B.在C.受D.B

422

例4.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)尸（x,y）在圓（尤-iy+（yT）2=3上運(yùn)動(dòng)，則言的最大值為

（）

A.-6-730B.6+而C.-6+aD.6-730

題型二：直線型

例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（無(wú),?。┦菆AY+y2-6x-4y+12=0上的動(dòng)點(diǎn)，則x+y的最大

值為（）

A.5+0B.5-0C.6D.5

例6.（2022?全國(guó)?高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知點(diǎn)尸（x,y）是圓C：（x-“）2+y2=3（a>0）上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓

C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,百），則的最大值與最小值之和為（）

A.4B.276C.-4D.-276

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）點(diǎn)P（x,y）是圓Y+y2=12上的動(dòng)點(diǎn)，則》的最大值是.

題型三：距離型

例8.（2022?上海虹口?二模）設(shè)acR,keR,三條直線4：ax-y-2a+5=0,l2：x+ay-3a-4=0f

k：y=M,貝也與4的交點(diǎn)”到4的距離的最大值為.

\PA\r-

例9.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)尸滿足阿二42,

則附常尸葉的最大值為.

2

例10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若A,3是OO：f+y2=4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且方.礪=一2，A,8到

直線/：瓜+y-4=0的距離分別為4，d2f則4+a的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

例11.（2022?陜西安康?二模（文））已知直線/與圓+V=4交于A（&y）,5（孫％）兩點(diǎn)，且|明=2,

則|%+乂+4+|%2+%+4的最大值為.

例12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)％1，%，%，%滿足：x；+￥=1，考+代=1,玉%2+%%=。，

則吟曰+$習(xí)的最大值為_(kāi)____.

V2V2

例13.（2022?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)P在曲線d+y'W+N上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)尸到直線無(wú)+>+2=0的

距離的最大值為（）

A.272B.2C.72D.4

例14.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線、=履+%（k70）與x軸和y軸分別交于A,B

兩點(diǎn)，|AB|=20,若C4LCB,則當(dāng)％,加變化時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)（L1）的距離的最大值為（）

A.4A/2B.3拒C.20D.&

例15.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（TO）,圓（x-l）2+/=9上的兩個(gè)不同的點(diǎn)A（%,%）、網(wǎng)和為）

滿足Q=而（4eR）,貝”4占+3乂一25|+|4馬+3%—25|的最大值為（）

27

A.12B.18C.60D.—

2

例16.（2022?江西?寧岡中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知點(diǎn)尸（x,y）在圓V+y2=i上，則"以+仃一仔

的最大值為（）

A.拒B.2A/2C.1D.72+1

例17.（2022?河北衡水?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)3在>軸上，|AB|=2,點(diǎn)C

滿足ACL8C,則點(diǎn)C到點(diǎn)尸（班,1）的距離的最大值為（）

7

A.3B.-C.5D.4

2

例18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若x、為任意實(shí)數(shù)，若（a+iy+S-2）2=l,貝版尤-。）？+（lnx-6）2

最小值為（）

A.2A/2B.9C.9-4亞D.2a-1

，滿足：

例（立寧?東北育才學(xué)校二模）已知平面向量力/二DNER,a-xb>a-b,a=2,a.b=4,

19.2022VtUV

-2cJ=6,貝!|a-c的最小值為（）

A.1B.也土狗C.3V6-2

D.

32

例20.（2022?河南河南?三模（理））已知M,N為圓C：Y+y_2了_今=0上兩點(diǎn)，且|肱V|=4,點(diǎn)、p

IuuirUUBI?

在直線/：x-y+3=0上，則+的最小值為（）

A.2V2-2B.2A/2

C.20+2D.2A/2-V5

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)尸滿足黑=石，則;（IW

I尸田/

+|PB|2）的最大值為（）

A.3+y/3B.7+46

C.8+4百D.16+8百

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸是半圓C："2y_/=f上的點(diǎn),Q是直線x-y-l=O上的一

點(diǎn)，則|尸。|的最小值為（）

A.還C.叵一1

B.72-1

22"-T

例23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若M,N分別為圓G：（x+6y+（y-5）2=4與圓Cz：（x-2）2+（y-l）2=1

上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線x+y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，貝11PMi+|「叫的最小值為（）

A.4A/5-3B.6C.9D.12

例24.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））過(guò)圓C：。-1）2+/=1外一點(diǎn)尸作圓。的兩條切線出、PB,切點(diǎn)

分別為A、B,若BALM,則點(diǎn)尸到直線，：x+y-5=0的距離的最小值為（）

A.1B.&C.20D.3也

題型四：周長(zhǎng)面積型

例25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（2,0）,B（0,-1）,點(diǎn)尸是圓爐+（y-1）2=1上任意一

點(diǎn)，則△PAB面積最大值為（）

A.2B.4+75C.1+—D.2+—

22

例26.（2022?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)（文））已知圓C:（x-2）2+（y-6）2=4,點(diǎn)M為直線/：x-y+8=0上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形CWB周長(zhǎng)的最小值為（）

A.8B.6他C.50D.2+40

例27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓C:（尤-2）2+（y-6>=4,點(diǎn)M為直線/：彳->+8=。上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則當(dāng)四邊形C4MB周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形C4M3的

外接圓方程為（）

A.（x-7）2+（y-l）2=4B.（x-1）2+（y-7）2=4

C.（x-7）2+（y-l）2=2D.（x-l）2+（y-7）2=2

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C與圓O:f+產(chǎn)=】外切，且與直線

尤-百y+4=0相切，則圓C的面積的最小值為（）

7171

A.—B.兀C.—D.21

49

例29.（2022?北京昌平?二模）已知直線/：依7+1=0與圓C:（x-1）2+V=4相交于兩點(diǎn)A,B,當(dāng)。變化

時(shí)，△ABC的面積的最大值為（）

A.1B.72C.2D.272

例30.（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））已知直線/1：7辦-〉=0（，"€氏）過(guò)定點(diǎn)人，直線4：x+my+4-2n?=。

過(guò)定點(diǎn)B,乙與4的交點(diǎn)為C,貝LABC面積的最大值為（）

A.710B.2逐

C.5D.10

題型五：數(shù)量積型

例31.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以B為圓心的圓與直線AC相切.若

點(diǎn)尸是圓2上的動(dòng)點(diǎn)，則歷.屈的最大值是.

例32.（2022?遼寧大連?二模）已知A（4,0）,8（0,-6）,點(diǎn)P在曲線丁=1一M二百上，則西.麗的最小值

為.

例33.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C,且|4用=&,則就.炭

的最小值為.

例34.（多選題）（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè)）已知圓P:（x-5）2+（y-2>=4,直線/:y=依，點(diǎn)/（5,4）,

貝U（）

4

A.當(dāng)〃=二時(shí)，直線/與圓月相切

2

B.若直線/平分圓月的周長(zhǎng)，則〃=不

C.若直線/上存在點(diǎn)A,使得NB4M=90。，則〃的最大值為15+庖

24

44

D.當(dāng)。=2時(shí)，N為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為不

例35.（多選題）（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知圓M：（x-4）2+（y-5）2=12,直線/：mx-y-2m+3=O,

直線/與圓M交于A,C兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)（2,3）

8.|林|的最小值為4

C.市.碇的取值范圍為［-12,4］

D.當(dāng)/AMC最小時(shí)，其余弦值為g

例36.（多選題）（2022?湖北?模擬預(yù)測(cè)）若動(dòng)直線/：“a->+4-4m=0與圓（7：0-4）2+0-5）2=9相交

于A,8兩點(diǎn)，貝I］（）

A.|AB|的最小值為40

B.麗的最大值為-7

C.況?麗（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為78

D.而?通的最大值為18

2

例37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線V-1■=：!的右焦點(diǎn)為F,M（4,3石），直線與y軸交

于點(diǎn)N,點(diǎn)尸為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且卜/<3正，直線與以為直徑的圓交于點(diǎn)M、。則1PMi?|尸。|的

最大值為（）

A.48B.49C.50D.42

22

例38.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為橢圓二+匕=1上任意一點(diǎn)，A,8是圓（x-l）?+丁=8上

2726'"

兩點(diǎn)，且A3=4忘，則麗晨麗的最大值與最小值的和是（）

A.20B.12A/3C.40D.48—

例39.（2022?河南開(kāi)封?二模（文））騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛(ài).如

圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為石，AABE,

△BECAECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過(guò)程中，羽.而達(dá)

到最大值時(shí)點(diǎn)P到地面的距離為（）

C.-+y/3D.逅+若

22

題型六：坐標(biāo)與角度型

則l2V的最大值為（）

例40.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知龍，丁滿足爐+y2=4y-3,

獷+y

A.1B.2C.yj3D.

例41.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）若圓河:（％-85。）2+（y一51口。）2=1（0工。＜2?）與圓

":f+/―2%—4y=0交于A、B兩點(diǎn)，貝（J/wiNANB的最大值為（）

例42.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知￡,b，2是非零平面向量，同=2邛-4=1,（^c-b）-b=0,

II

W=口，則rr的最大值是.

例43.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知圓C:（尤-l>+（y+2應(yīng)了=16和兩點(diǎn)A（0,T〃）、8（0，M，若

圓C上存在點(diǎn)P,使得則機(jī)的最大值為（）

A.5B.6C.7D.8

例44.（多選題）（2022?河北?高三階段練習(xí)）已知圓C=1上兩點(diǎn)4、8滿足點(diǎn)

〃（%,0）滿足：|他4|=|府|,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)|AB|=0時(shí)，尤o=：

B.當(dāng)％=。時(shí)，過(guò)M點(diǎn)的圓C的最短弦長(zhǎng)是2班

C.線段A8的中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值是上立

D.過(guò)M點(diǎn)作圖C的切線且切點(diǎn)為A,B,則為的取值范圍是

例45.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線質(zhì)—y+2左=0與直線尤+@-2=0相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)A（4,0）,

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝hanNCM尸的最大值為（）

A.2-s/3B.與C.1D.6

例46.（2022?北京?北大附中高三開(kāi)學(xué)考試）已知圓C：（%-2）2+（y-2）2=r2（r>0）和兩點(diǎn)M（T,0）,N（l,0）,

且圓C上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足NMPN=90。，則r的最大值為（）

A.2-72-1B.3C.2忘+1D.5

例47.（2022?全國(guó)?二模（理））動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且半徑為1,則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值

為（）

A.1B.2C.72D.20

例48.（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（cos/sina）,

B^cos:a+訃巾+功以為鄰邊作平行四邊形ACSQ（-2,0）,則"QO的最大值為（）

71n「兀一兀

4B.-C.—D.一

432

例49.（2022?江西?上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知網(wǎng)3,4-20）,過(guò)點(diǎn)尸作圓C：（無(wú)一/+（、—

（。為參數(shù)，且aeR）的兩條切線分別切圓C于點(diǎn)A、B,貝Usin/APB的最大值為（）

A/3V6

CRz.----LnJ.------

24

例50.（2022?江蘇蘇州?高三階段練習(xí)）已知羽y滿足/+/=6丁一6,則的最大值為（)

5+y

c1+#K

A.1B.73

例51.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓C：N+y2=4,M、N是直線/：y=x+4上的兩點(diǎn)，若對(duì)線段

MV上任意一點(diǎn)P,圓C上均存在兩點(diǎn)A、3,使得cos/AP2=g,則線段MN長(zhǎng)度的最大值為（）

A.2B.4C.40D.4月

題型七：長(zhǎng)度型

例52.（2022?上海?高三階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的

幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)4B,動(dòng)點(diǎn)P滿足PA|=%P3|（其中2是正常數(shù)，且Xrl）,則尸的軌跡是

一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”.現(xiàn)已知兩定點(diǎn)”（T，。）、"（2,1）,2是圓0：尤2+9=3上的動(dòng)點(diǎn)，

則也|PM|+|PN|的最小值為

例53.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓C是以點(diǎn)M（2,2道）和點(diǎn)N（6,-2道）為直徑的圓，點(diǎn)P為圓C

上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)3（1,1）,則21PAi-|尸目的最大值為（）

A.y/26B.4+0C.8+5尼D.應(yīng)

例54.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）己知圓G：（x-iy+（y+l）2=l，圓。2乂彳-4）2+（丫-5）2=9,點(diǎn)加、

N分別是圓C1、圓C?上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則上叫-|尸閭的最大值是（）

A.2.75+4B.9C.7D.275+2

例55.（2022?廣東?汕頭市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知A,8是曲線國(guó)一1=小4一（yr），上兩個(gè)不同的

點(diǎn)，C（0,l）,則|G4|+|CB|的最大值與最小值的比值是（）

A.述B.72C.漁D.6

52

例56.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知曲線石:/+/=1,等邊三角形ABC的兩個(gè)頂

點(diǎn)A,8在E上，頂點(diǎn)C在E外，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OC長(zhǎng)的最大值為（）

A.3B.2A/2C.6D.2

例57.（2022?河南新鄉(xiāng)?三模（理））已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,尸點(diǎn)在拋物線上，。點(diǎn)在圓

22

C：（%-6）+（y-2）=4±,則|尸。|+|尸盟的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

例58.（2022?北京西城?一模）已知點(diǎn)A為圓。心-帆）2+。-吁1）2=2上一點(diǎn)，點(diǎn)3（3,0）,當(dāng)根變化時(shí),

線段A8長(zhǎng)度的最小值為（）

A.1B.2C.72D.2A/2

例59.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知P為拋物線C:/=8x上的動(dòng)點(diǎn)，。為直線/：x-y+4=0

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓E：（x-3『+y2=8的切線，切點(diǎn)為A,則期的最小值為（）

A.72+1B.272-1C.3母-1D.30-2

例60.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知直線/過(guò)點(diǎn)A0,后），則直線/被圓O：f+/=12截得的弦長(zhǎng)的

最小值為（）

A.3B.6C.3乖）D.6百

例61.（2022?安徽馬鞍山?三模（文））己知尸（狐〃）為拋物線C：y2=i6x上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C的焦點(diǎn)F作。P：

（x-m）2+（y-nf=1的切線，切點(diǎn)為A,則線段加長(zhǎng)度的最小值為（）

A.3B.715C.5D.3a

例62.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））己知圓￡:（*-1）2+（丫-1）2=1,圓Q：（x-4）?+（y-5p=9,點(diǎn)

M，N分別是圓C1、圓C?上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)「為》=-%上的動(dòng)點(diǎn)，貝“尸河|+歸時(shí)的最小值是（）

A.4B.病-4C.761+4D.761-8

例63.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓C：x2+y2-2x-3=0,若直線/：辦一y+1—。=0