整式的乘法與因式分解 壓軸題分類(lèi)（原卷版）-2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型必刷題

專(zhuān)題11整式的乘法與因式分解壓軸題真題分類(lèi)-高分必刷題(原卷版)

專(zhuān)題簡(jiǎn)介：本份資料包含《整式的乘法與因式分解》這一章中五種種類(lèi)型的?？?jí)狠S題，所選題目源自各

名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含的題型有：募的運(yùn)算的壓軸題、整式乘法的壓軸題、與平方

差公式完全平方公式相關(guān)的的壓軸題、配方法的壓軸題、因式分解的壓軸題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)

生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者學(xué)生沖刺高分刷題時(shí)使用。

題型一：幕的運(yùn)算的壓軸題

1.(2021春?岳麓區(qū))定義：如果2"=〃(m,〃為正數(shù))，那么我們把根叫做〃的。數(shù)，記作機(jī)=。(〃).

(1)根據(jù)。數(shù)的定義，填空：D(2)=,D(16)=.

(2)。數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：D(s?力=D(s)+D⑺，D(9)=D⑷-D(p),其中q>p.

D

根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算：

①若。(〃)=1,求。(/)；

②若己知。(3)=2a-b,D(5)=a+c,試求。(15),D(A),D(108),D(2工)的值(用a、b、

320

c表示).

2.閱讀材料：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為%=-1,這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi(a,b

為實(shí)數(shù))的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，。叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，6叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部.它有如下特點(diǎn)：

①它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類(lèi)似.例如計(jì)算：

(2+z)+(3-4/)=(2+3)+(1-4)i=5-3z；(3+z)i=3z+z2=3z-1.

②若他們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱(chēng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；若它們的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱(chēng)這

兩個(gè)復(fù)數(shù)共輾，如1+2;的共軌復(fù)數(shù)為1-2z.

根據(jù)材料回答：

(1)填空：戶(hù)=,?4=；

(2)求(2+02的共輾復(fù)數(shù)；

(3)已知(a+z)(b+i)=l+3z,求/+廬(產(chǎn)+戶(hù)+戶(hù)..+泮20)的值.

3.(雨花區(qū)校級(jí)月考)規(guī)定兩數(shù)a,6之間的一種運(yùn)算，記作(a,b),如果不=6,則(a,b)=c.我們

叫(a,b)為“雅對(duì)”.

例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明等式(3,3)+(3,5)=

(3,15)成立.證明如下：

設(shè)(3,3)—m,(3,5)—n,則3'"=3,3"=5,

故3m3"=3m+”=3X5=15,

貝U(3,15)=m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)計(jì)算(5,2)+(5,7)=,并說(shuō)明理由.

(3)利用“雅對(duì)”定義證明：(2",3")=(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)”都成立.

題型二：整式乘法的壓軸題

4.(2021?天心區(qū)開(kāi)學(xué))對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)a,b,c,d,可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)(a,b)與(c,d).我

們規(guī)定：(a,b)O(c,d)=bc-ad.例如：(1,2)O(3,4)=2X3-1X4=2.

根據(jù)上述規(guī)定解決下列問(wèn)題：

(1)有理數(shù)對(duì)(3,-5)0(4,-2)=；

(2)當(dāng)滿(mǎn)足等式(-2,3x-1)O(k,x+k)=5+%的x是整數(shù)時(shí)，求正整數(shù)上的值；

(3)若(5+2/,2s+t)O(尤,_y)=2/-s對(duì)于任意有理數(shù)s,f均成立，求x+y的值.

5.(2020秋?開(kāi)福區(qū)月考)好學(xué)的小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：(L+4)(2x+5)(3x-6)

2

的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：工?2%?3尤=3爐，常數(shù)項(xiàng)為：4X5X(-6)=-120,那么一

2

次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù).根據(jù)嘗試和總結(jié)她發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就

是：,lx5X(-6)+2X4X(-6)+3X4X5=-3,即一次項(xiàng)為-3x.

2

請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東同學(xué)解決問(wèn)題的思路、方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合自己對(duì)多項(xiàng)式乘法

法則的理解，解決以下問(wèn)題.

(1)計(jì)算(x+2)(3尤+1)(5x-3)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為.

(2)若計(jì)算(%2+尤+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求a的值.

(3)若(x+1)2O21=aox2O21+aix2O2O+a2x2O19-i--i-a2020x+a202i)則及020=.

6.(2014秋?雨花區(qū)校級(jí)月考)你能求(x-1)(x"+x98+x97+-+x+l)的值嗎？

遇到這樣的問(wèn)題，我們可以先思考一下，從簡(jiǎn)單的情形入手.分別計(jì)算下列各式的值:

(1)(X-1)(x+1)=x2-1;

(2)(x-1)C^+.r+l)—x3-1；

(3)(x-1)(f+d+x+l)=x4-1；

由此我們可以得到：

(x-1)(x"+x98+x97+■■■+x+1)=；

請(qǐng)你利用上面的結(jié)論，完成下面兩題的計(jì)算：

(1)299+298+297+-+2+1；

(2)(-2)50+(-2)49+(-2)48+-+(-2)+1.

題型三：與平方差公式、完全平方公式相關(guān)的的壓軸題

7.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.

如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù).

(1)28是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為24+2和2左(其中左取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)

嗎？為什么？

(3)①若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，試說(shuō)明其周長(zhǎng)一定為神秘?cái)?shù).

②在①的條件下，面積是否為神秘?cái)?shù)？為什么？

8.一個(gè)正整數(shù)機(jī)能寫(xiě)成優(yōu)=(a-b)(a+6)(a、6均為正整數(shù)，且則稱(chēng)為"美滿(mǎn)數(shù)"，a、b為

他的一個(gè)完美變形，在機(jī)的所有完美變形中，若次+呈最大，則稱(chēng)°、6為機(jī)的最佳完美變形，此時(shí)F

(m)=/+廿.例如：12=(4+2)(4-2),12為“完美數(shù)”，4和2為12的一個(gè)完美變形，32=(9+7)

(9-7)=(6+2)(6-2),因?yàn)?2+72>62+22,所以9和7是32的最佳完美變形，所以F(32)=130.

(1)8(填“是”或“不是”)完美數(shù)；

10(填“是”或“不是”)完美數(shù)；

13(填“是”或“不是”)完美數(shù)；

(2)求產(chǎn)(48)；

(3)若一個(gè)兩位數(shù)w的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別為x,j(14W/9),n為“完美數(shù)”且x+y能被8

整除，求尸(”)的最小值.

9.(2018秋?天心區(qū)校級(jí)期中)【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒

等式.

例如圖1可以得到(a心^^ab+b2,基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)根據(jù)圖2,寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：.

(2)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+b+c=10,ab+ac+bc^35,則.

(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為。的正方形，y張邊長(zhǎng)為6的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)

方形紙片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+2b)長(zhǎng)方形，貝!Jx+y+z=.

【知識(shí)遷移】(4)事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊

長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一

個(gè)代數(shù)恒等式：.

X

x1

圖4

題型四：配方法的壓軸題

10.(2020秋?長(zhǎng)沙縣校級(jí)月考)閱讀下面文字內(nèi)容并解決問(wèn)題：

對(duì)于形如x2+2ax+/的二次三項(xiàng)式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x+a)2的形式.但/+4x-5

=。2+?+4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3),對(duì)于二次三項(xiàng)式_?+4%-5就不能直接用完

全平方公式分解了，對(duì)此，我們可以填上一項(xiàng)4,使它與/+4尤構(gòu)成一個(gè)完全平方式、然后再減去4,

這樣整個(gè)多項(xiàng)式的值不變，即=(x+5)(x-1).

像這樣，把一個(gè)二次三項(xiàng)式變成含有完全平方式的方法，叫做配方法.

請(qǐng)用配方法來(lái)解下列問(wèn)題：

(1)用配方法因式分解：/-6x+5；

(2)已知：x2+y2-8x+12y+52—0,求(x+y)2的值；

(3)求/+8x+7的最小值.

11.配方法可以用來(lái)解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決很多問(wèn)題.例如：因?yàn)?a220,所以

即：3<?2+1有最小值1,此時(shí)a=0；同樣，因?yàn)?3(d+1)2?0,所以-3(a+1)2+6W6,即-3(a+1)

2+6有最大值6,此時(shí)。=-1.

(1)當(dāng)犬=時(shí)，代數(shù)式2(x-1)2+3有最(填寫(xiě)大或小)值為.

(2)當(dāng)尤=時(shí)，代數(shù)式-/+4尤+3有最(填寫(xiě)大或小)值為.

(3)矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是16/77,當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí),

花園的面積最大？最大面積是多少？

12.(2021秋?天心區(qū)校級(jí)月考)上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式Ca±b)2=/±2必+廿的多種運(yùn)用

后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式/+4尤+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過(guò)交流、討論，最后總結(jié)出

如下解答方法：

解：J?+^X+5=X2+4X+4+1=(x+2)2+1

(x+2)2?o,

/.當(dāng)x=-2時(shí)，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(x+2)2+1^1

...當(dāng)(x+2)2=0時(shí)，(x+2)2+1的值最小，最小值是1,

.,./+4x+5的最小值是1.

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題

(1)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)尤=—時(shí)，代數(shù)式/-6x+12的最小值是一；

(2)知識(shí)運(yùn)用：若y=-x2+2x-3,當(dāng)天=—時(shí)，y有最—值(填“大”或“小”)，這個(gè)值是一；

(3)知識(shí)拓展：若-d+Bx+y+SnO,求y+元的最小值.

13.(2021秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中)閱讀下面材料，在代數(shù)式中，我們把一個(gè)二次多項(xiàng)式化為一個(gè)完全平方式

與一個(gè)常數(shù)的和的方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，它不僅可以將一個(gè)看似

不能分解的多項(xiàng)式因式分解，還能求代數(shù)式最大值，最小值等問(wèn)題.

例如：求代數(shù)式：12元+2020的最小值

解：原式=/-12無(wú)+62-62+2020

=(%-6)2+1984

,/(%-6)22o,

.,.當(dāng)尤=6時(shí)，(彳-6)2的值最小，最小值為0,

(%-6)2+198421984,

當(dāng)(x-6)2=0時(shí)，(尤-6)2+1984的值最小，最小值為1984,

，代數(shù)式：x2-12x+2020的最小值是1984.

例如:分解因式：/T20尤+3456

解：原式=/-2X60x+602-6()2+3456

=(X-60)2-144

=(x-60)2-122

=(x-60+12)(x-60-12)

=(x-48)(x-72).

(1)分解因式f-46x+520；

(2)若y=-/+2x+1313,求y的最大值；

(3)當(dāng)初，”為何值時(shí)，代數(shù)式機(jī)2_2優(yōu)+2”2-4w+2030有最小值，并求出這個(gè)最小值.

14.(雨花區(qū)校級(jí)月考)對(duì)于形如/+2w+/這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成(x+a*的形式.但

對(duì)于二次三項(xiàng)式/+2xa-3a2,就不能直接運(yùn)用公式了.此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式j(luò)r+2xa-3a2中

先加上一項(xiàng)使它與7+2m的和成為一個(gè)完全平方式，再減去整個(gè)式子的值不變，于是有：

j<r+2xa-3a2=(x2+2xa+a2)-a2-3/

=(x+a)2-4a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3〃)(%-“)

像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配

方法”，利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：

(1)分解因式：/_6〃+8；

(2)若x2-2xy+2y2-2y+l=0,求爐的值.

題型五：因式分解的壓軸題

15.閱讀，已知。+/?=-4,ab=3,求“2+82的值。

解：因?yàn)橐阎猘+Z?=-4,ab=3,

所以〃+/=①+加2一2帥=(一4)2—2x3=10

請(qǐng)你根據(jù)上述解題思路解答下列問(wèn)題：

(1)已知a—/?=—3,ab=—2,求(a+6)(a~—6I)的值；

(2)己知a-c-Z?=-10,(?-Z?)+c=-12,求(a-6)2的值。

16.先閱讀下列材料，然后回答后面問(wèn)題：

將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.能分組分解的多項(xiàng)式通常有

四項(xiàng)或六項(xiàng)，一般的分組分解有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分

法等.

如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)

如“3+1”分法：

Ixy+y1-1+x2=x2+2xy+y2-1=(x+y)2-1=(x+y+l)(x+y-I)

請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：

(1)分解因式：X2-x-y;

(2)分解因式：45am2-20ax2+20axy-5ay2；

(3)分解因式：4a2+4a-4a2b-b-4ab+l.

17.將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分

組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法：

axay+bx+by

={ax+ay)+(bx+by)

=a(x+y)+6>+y)

=(x+y)(a+b)

請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：

(1)分解因式：X2-y2-x-y；

(2)分解因式：9m2-4x2+4xy-y2；

(3)分解因式：4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1.

18.(2019秋?雨花區(qū)校級(jí)月考)“十字相乘法”能把二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如0?+6孫+勺2的關(guān)于羽

y的二次三項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是把％2項(xiàng)系數(shù)。分解成兩個(gè)因數(shù)〃1,42的積，即〃=〃1?。2,把/項(xiàng)

系數(shù)。分解成兩個(gè)因數(shù)Cl,C2的積，即C=C1?C2,并使〃1”2+〃2?C1正好等于孫項(xiàng)的系數(shù)。，那么可以

直接寫(xiě)成結(jié)果：a^+bxy+cy1=Caix+ciy)(〃zx+c2y).

例：分解因式：x2-2孫-8y2.

解：如圖1,其中1=1X1,-8=(-4)X2,ffi]-2=1X2+1X(-4).

.*.x2-2xy-Sy2=(x-4y)(x+2y)

而對(duì)于形如〃W+b孫+cy2+dx+ey4/的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法來(lái)分解，如圖2,將4分解

成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，/分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b,pk+qj

=e,mk+nj=d,即第1,2歹！J、第2,3列和第1,3列都滿(mǎn)足十字相乘規(guī)則，則原式=(mx+pyt/)("x+qy+左)；

例：分解因式：f+2xy-3y2+3x+y+2

解：如圖3,其中1=1X1,-3=(-1)X3,2=1X2；

而2=1X3+1X(-1),1=(-1)X2+3X1,3=1X24-1X1；

.\/+2孫-3y2+3x+y+2=(x-y+1)(x+3y+2)

請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：

(1)分解因式：

①67-17xy+12y2=__________________

②2x2_孫_6y2+2x+17y-12=

③x2-xy-6y2+2x-6y—

（2）若關(guān)于x,y的二元二次式/+7町-18/-5x+my-24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求機(jī)的值.

圖1圖2圖3

19.閱讀下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分項(xiàng)數(shù)多于3的多項(xiàng)式只單純

用上述方法就無(wú)法分解，如龍2—2孫+V一16,我們細(xì)心觀(guān)察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公

式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解.過(guò)程如下：

x2-2xy+y2-16=（尤-16=（尤-y+4）（尤-y-4）,這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種分組

的思想方法解決下列問(wèn)題：

1.知識(shí)運(yùn)用：

試用“分組分解法”分解因式：x2-r+XZ-VZ；

2.解決問(wèn)題：

（1）已知a,b,c為AA5c的三邊，S.b2+2ab=c2+2ac,試判斷AABC的形狀.

21

（2）已知四個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,d,滿(mǎn)足“Hb,c力d,a+ac-12k,b~+be=12k,c+ac-24k,

d2+ad=24k,同時(shí)成立.

①當(dāng)左=1時(shí)，求