第八章　必刷大題17　解析幾何【微信公眾號：偷著學】

必刷大題17解析幾何第八章匯報人：1.(2024·南通模擬)已知P為拋物線C：y2＝4x上位于第一象限的點，F(xiàn)為C的焦點，PF與C交于點Q(異于點P).直線l與C相切于點P，與x軸交于點M.過點P作l的垂線交C于另一點N.(1)證明：線段MP的中點在定直線上；1234因為點P在第一象限，12341234令y＝0，則x＝－x0，所以M(－x0，0)，所以線段MP的中點在定直線x＝0上.1234因為PN⊥l，1234所以x＝2或8，1234將等式兩邊平方后化簡得x2＋y2＝1.1234(1)求曲線C的方程；1234設M(x1，y1)，N(x2，y2)，1234所以x1x2＋y1y2＝0?x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，化簡得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，1234圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑為1，123412341234(1)求橢圓C的標準方程；1234設橢圓C的半焦距為c>0，1234(2)當直線l的斜率為k(k≠0)時，在x軸上是否存在一點P(異于點F)，使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由.由(1)可得F(1,0)，根據(jù)題意可設直線l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m,0)(m≠1)，消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，12341234①由題意可知x軸為直線PA與直線PB的對稱軸，因為k≠0，可得(x1－1)(x2－m)＋(x1－m)(x2－1)＝0，整理得2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋2m＝0， ②1234解得m＝4，所以存在點P，使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等，此時P(4,0).1234(1)求雙曲線C的漸近線方程；設|F1F2|＝2c，因為AF1⊥F1F2，∠AF2F1＝30°，12341234(2)設D為雙曲線C的右頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點H，使|GH|為定值.設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2).①當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝kx＋m，化簡得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋8)＝0，則Δ＝(－2km)2＋4(m2＋8)(2－k2)>0，12341234即m2－4k2＋8>0，＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，所以(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4化簡得m2－4km－12k2＝(m＋2k)(m－6k)＝0，所以m＝－2k或m＝6k，且均滿足m2－4k2＋8>0.當m＝－2k時，直線l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾；當m＝6k時，直線l的方程為y＝k(x＋6)，過定點M(－6,0).②當直線l的斜率不存在時，由對稱性，不妨設直線DE：y＝x－2，1234得x＝2(舍去)或x＝－6，此時直線l過定點M(－6,0).綜上，直線l過定點M(－6,0).因為DG⊥EF，所以點